La historia de la lógica se ocupa del estudio del desarrollo de la ciencia de la inferencia válida ( lógica ). Las lógicas formales se desarrollaron en la antigüedad en la India , China y Grecia . Los métodos griegos, particularmente la lógica aristotélica (o el término lógica) tal como se encuentra en el Organon , encontraron amplia aplicación y aceptación en la ciencia y las matemáticas occidentales durante milenios. [1] Los estoicos , especialmente Crisipo , iniciaron el desarrollo de la lógica de predicados .
Filósofos cristianos e islámicos como Boecio (fallecido en 524), Ibn Sina (Avicena, fallecido en 1037), Tomás de Aquino (fallecido en 1274) y Guillermo de Ockham (fallecido en 1347) desarrollaron aún más la lógica de Aristóteles en la Edad Media , alcanzando un punto culminante en la mediados del siglo XIV, con Jean Buridan . El período comprendido entre el siglo XIV y principios del XIX fue testigo de un gran declive y abandono, y al menos un historiador de la lógica considera este período estéril. [2] Los métodos empíricos dominaban la época, como lo demuestra el Novum Organon de Sir Francis Bacon de 1620.
La lógica revivió a mediados del siglo XIX, al comienzo de un período revolucionario en el que la materia se convirtió en una disciplina rigurosa y formal que tomó como modelo el método exacto de prueba utilizado en matemáticas , un retorno a la tradición griega. [3] El desarrollo de la lógica "simbólica" o "matemática" moderna durante este período por parte de personas como Boole , Frege , Russell y Peano es el más significativo en los dos mil años de historia de la lógica, y es posiblemente uno de los más significativos en los dos mil años de historia de la lógica. de los acontecimientos más importantes y notables de la historia intelectual humana . [4]
Los avances en la lógica matemática en las primeras décadas del siglo XX, particularmente a partir del trabajo de Gödel y Tarski , tuvieron un impacto significativo en la filosofía analítica y la lógica filosófica , particularmente a partir de la década de 1950, en temas como la lógica modal y la lógica temporal. , lógica deóntica y lógica de relevancia .
El Nasadiya Sukta del Rigveda ( RV 10 .129) contiene especulaciones ontológicas en términos de varias divisiones lógicas que luego fueron reformuladas formalmente como los cuatro círculos de catuskoti : "A", "no A", "A y 'no A'". y "no A y no no A".
¿Quién lo sabe realmente?
¿Quién aquí lo proclamará?
¿De dónde se produjo? ¿De dónde es esta creación?
Los dioses vinieron después, con la creación de este universo.
¿Quién sabe entonces de dónde ha surgido?
La lógica comenzó de forma independiente en la antigua India y continuó desarrollándose hasta principios de los tiempos modernos sin ninguna influencia conocida de la lógica griega. [8]
Aunque los orígenes en la India del debate público ( pariṣad ), una forma de investigación racional, no están claros, sabemos que los debates públicos eran comunes en la India preclásica, ya que se alude con frecuencia a ellos en varios Upaniṣads y en la literatura budista temprana. El debate público no es la única forma de deliberaciones públicas en la India preclásica. Se convocaban periódicamente asambleas ( pariṣad o sabhā ) de diversos tipos, integradas por expertos relevantes, para deliberar sobre una variedad de asuntos, incluidos asuntos administrativos, legales y religiosos.
En el Bhagavata purana se afirma que un filósofo llamado Dattatreya enseñó Anviksiki a Aiarka, Prahlada y otros. Del Markandeya purana se desprende que el Anviksiki-vidya expuesto por él consistía en una mera disquisición sobre el alma de acuerdo con la filosofía del yoga. Dattatreya expuso el lado filosófico de Anvlksiki y no su aspecto lógico. [9] [10]
Si bien los maestros mencionados anteriormente trataron algunos temas particulares de Anviksiki, el crédito de fundar Anviksiki en su sentido especial de ciencia debe atribuirse a Medhatithi Gautama (c. siglo VI a. C.). Guatama fundó la escuela de lógica anviksiki . [11] El Mahabharata (12.173.45), alrededor del siglo V a. C., se refiere a las escuelas de lógica anviksiki y tarka .
Pāṇini (c. siglo V a. C.) desarrolló una forma de lógica (con la quela lógica booleanatiene algunas similitudes) para su formulación dela gramática sánscrita. Chanakya(c. 350-283 a. C.)describe la lógica en su Arthashastra como un campo de investigación independiente. [12]
Dos de las seis escuelas de pensamiento indias tratan de la lógica: Nyaya y Vaisheshika . Los Nyāya Sūtras de Aksapada Gautama (c. siglo II d.C.) constituyen los textos centrales de la escuela Nyaya, una de las seis escuelas ortodoxas de filosofía hindú . Esta escuela realista desarrolló un esquema rígido de inferencia de cinco miembros que incluía una premisa inicial, una razón, un ejemplo, una aplicación y una conclusión. [13] La filosofía budista idealista se convirtió en el principal oponente de los Naiyayikas.
Los jainistas hicieron su contribución única a este desarrollo dominante de la lógica al ocuparse también de las cuestiones epistemológicas básicas, es decir, las relativas a la naturaleza del conocimiento, cómo se deriva el conocimiento y de qué manera se puede decir que el conocimiento es confiable.
Los jainistas tienen doctrinas de la relatividad que se utilizan para la lógica y el razonamiento:
Estos conceptos filosóficos jainistas hicieron contribuciones muy importantes a la antigua filosofía india , especialmente en las áreas del escepticismo y la relatividad. [4] [14]
Nagarjuna (c. 150-250 d.C.), el fundador del Madhyamaka ("Camino Medio") desarrolló un análisis conocido como catuṣkoṭi (sánscrito), un sistema de argumentación "cuadrilateral" que implica el examen sistemático y el rechazo de cada uno. de las 4 posibilidades de una proposición, P :
Sin embargo, a veces se dice que Dignāga (c 480–540 d.C.) desarrolló un silogismo formal, [15] y fue a través de él y su sucesor, Dharmakirti , que la lógica budista alcanzó su apogeo; se cuestiona si su análisis constituye realmente un sistema silogístico formal. En particular, su análisis se centró en la definición de una relación que garantiza la inferencia, " vyapti ", también conocida como concomitancia o penetración invariable. [16] Con este fin, se desarrolló una doctrina conocida como "apoha" o diferenciación. [17] Esto implicó lo que podría llamarse inclusión y exclusión de propiedades definitorias.
La famosa "rueda de la razón" de Dignāga ( Hetucakra ) es un método para indicar cuándo una cosa (como el humo) puede tomarse como un signo invariable de otra cosa (como el fuego), pero la inferencia es a menudo inductiva y se basa en observaciones pasadas. Matilal comenta que el análisis de Dignāga es muy parecido al método conjunto de acuerdo y diferencia de John Stuart Mill, que es inductivo. [18]
En China, a un contemporáneo de Confucio , Mozi , "Maestro Mo", se le atribuye la fundación de la escuela mohista , cuyos cánones trataban de cuestiones relativas a la inferencia válida y las condiciones de las conclusiones correctas. En particular, algunos estudiosos atribuyen a una de las escuelas que surgió del mohismo, los lógicos , su investigación temprana de la lógica formal . Debido al duro gobierno del legalismo en la posterior dinastía Qin , esta línea de investigación desapareció en China hasta la introducción de la filosofía india por parte de los budistas .
Se ha empleado un razonamiento válido en todos los períodos de la historia de la humanidad. Sin embargo, la lógica estudia los principios de razonamiento, inferencia y demostración válidos. Probablemente la idea de demostrar una conclusión surgió en relación con la geometría , que originalmente significaba lo mismo que "medición de la tierra". [19] Los antiguos egipcios descubrieron la geometría , incluida la fórmula para calcular el volumen de una pirámide truncada . [20] La antigua Babilonia también era experta en matemáticas. El Manual de diagnóstico médico de Esagil-kin-apli del siglo XI a. C. se basó en un conjunto lógico de axiomas y suposiciones, [21] mientras que los astrónomos babilónicos de los siglos VIII y VII a. C. emplearon una lógica interna dentro de sus sistemas planetarios predictivos, una Importante contribución a la filosofía de la ciencia . [22]
Mientras que los antiguos egipcios descubrieron empíricamente algunas verdades de la geometría, el gran logro de los antiguos griegos fue reemplazar los métodos empíricos por pruebas demostrativas . Tanto Tales como Pitágoras , los filósofos presocráticos , parecían conscientes de los métodos geométricos.
Se conservan fragmentos de pruebas tempranas en las obras de Platón y Aristóteles, [23] y la idea de un sistema deductivo probablemente era conocida en la escuela pitagórica y en la Academia platónica . [20] Las pruebas de Euclides de Alejandría son un paradigma de la geometría griega. Los tres principios básicos de la geometría son los siguientes:
Se encuentra más evidencia de que los primeros pensadores griegos se preocupaban por los principios del razonamiento en el fragmento llamado dissoi logoi , escrito probablemente a principios del siglo IV a.C. Esto es parte de un prolongado debate sobre la verdad y la falsedad. [24] En el caso de las ciudades-estado griegas clásicas, el interés por la argumentación también fue estimulado por las actividades de los retóricos u oradores y los sofistas , que utilizaban argumentos para defender o atacar una tesis, tanto en contextos legales como políticos. [25]
Se dice que Tales, considerado más ampliamente como el primer filósofo de la tradición griega , [26] [27] midió la altura de las pirámides por sus sombras en el momento en que su propia sombra era igual a su altura. Se decía que Tales había realizado un sacrificio para celebrar el descubrimiento del teorema de Tales , tal como Pitágoras tenía el teorema de Pitágoras . [28]
Tales es el primer individuo conocido que utilizó el razonamiento deductivo aplicado a la geometría, al derivar cuatro corolarios de su teorema, y el primer individuo conocido a quien se le ha atribuido un descubrimiento matemático. [29] Los matemáticos indios y babilónicos conocían su teorema para casos especiales antes de demostrarlo. [30] Se cree que Tales aprendió que un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto durante sus viajes a Babilonia . [31]
Antes del 520 a. C., en una de sus visitas a Egipto o Grecia, Pitágoras podría haberse encontrado con el c. 54 años mayor que Tales. [32] El estudio sistemático de la prueba parece haber comenzado con la escuela de Pitágoras (es decir, los pitagóricos) a finales del siglo VI a.C. [20] De hecho, los pitagóricos, creyendo que todo era número, son los primeros filósofos en enfatizar la forma en lugar de la materia . [33]
Los escritos de Heráclito (c. 535 – c. 475 a. C.) fueron el primer lugar donde se le dio especial atención a la palabra logos en la filosofía griega antigua, [34] Heráclito sostuvo que todo cambia y que todo era fuego y opuestos en conflicto, aparentemente solo unificados. por este Logos . Es conocido por sus dichos oscuros.
Este logos se mantiene siempre, pero los humanos siempre resultan incapaces de comprenderlo, tanto antes de escucharlo como cuando lo escucharon por primera vez. Porque aunque todas las cosas llegan a ser según este logos , los humanos son como los inexpertos cuando experimentan las palabras y los hechos como he expuesto, distinguiendo cada uno según su naturaleza y diciendo cómo es. Pero otras personas no se dan cuenta de lo que hacen cuando están despiertas, del mismo modo que olvidan lo que hacen mientras duermen.
— Diels-Kranz , 22B1
A diferencia de Heráclito, Parménides sostenía que todo es uno y nada cambia. Pudo haber sido un pitagórico disidente, que no estaba de acuerdo con que el Uno (un número) produjera los muchos. [35] "X no es" siempre debe ser falso o carecer de sentido. Lo que existe de ningún modo puede dejar de existir. Nuestras percepciones sensoriales, al notar la generación y la destrucción, están en un grave error. En lugar de la percepción sensorial, Parménides defendió el logos como medio para llegar a la Verdad. Se le ha llamado el descubridor de la lógica, [36] [37]
Porque esta visión de que lo que no existe nunca puede predominar. Debes excluir tu pensamiento de esta forma de búsqueda, ni permitir que la experiencia ordinaria en su variedad te obligue a seguir este camino (es decir, el de permitir) que el ojo, como es ciego, y el oído, lleno de sonido, y la lengua. , mandar; pero (debes) juzgar por medio de la Razón ( Logos ) la prueba tan controvertida que expongo.
—B 7.1–8.2
Zenón de Elea , alumno de Parménides, tuvo la idea de un patrón argumental estándar que se encuentra en el método de prueba conocido como reductio ad absurdum . Esta es la técnica de sacar una conclusión obviamente falsa (es decir, "absurda") a partir de una suposición, demostrando así que la suposición es falsa. [38] Por lo tanto, Zenón y su maestro son vistos como los primeros en aplicar el arte de la lógica. [39] El diálogo de Platón, Parménides, retrata a Zenón afirmando haber escrito un libro defendiendo el monismo de Parménides demostrando la consecuencia absurda de suponer que hay pluralidad. Zenón utilizó este método para desarrollar sus paradojas en sus argumentos contra el movimiento. Este razonamiento dialéctico se hizo popular más tarde. Los miembros de esta escuela fueron llamados "dialécticos" (de una palabra griega que significa "discutir").
Que nadie que ignora la geometría entre aquí.
— Inscrito sobre la entrada de la Academia de Platón.
Ninguna de las obras supervivientes del gran filósofo del siglo IV Platón (428-347 a. C.) incluye lógica formal, [40] pero incluyen importantes contribuciones al campo de la lógica filosófica . Platón plantea tres preguntas:
La primera cuestión surge en el diálogo Teeteto , donde Platón identifica pensamiento u opinión con habla o discurso ( logos ). [41] La segunda pregunta es resultado de la teoría de las Formas de Platón . Las formas no son cosas en el sentido ordinario, ni estrictamente ideas en la mente, pero corresponden a lo que los filósofos llamaron más tarde universales , es decir, una entidad abstracta común a cada conjunto de cosas que tienen el mismo nombre. Tanto en La República como en El Sofista , Platón sugiere que la conexión necesaria entre los supuestos de un argumento válido y su conclusión corresponde a una conexión necesaria entre "formas". [42] La tercera pregunta se refiere a la definición . Muchos de los diálogos de Platón tratan de la búsqueda de una definición de algún concepto importante (la justicia, la verdad, el Bien), y es probable que Platón quedara impresionado por la importancia de la definición en matemáticas. [43] Lo que subyace a cada definición es una forma platónica, la naturaleza común presente en diferentes cosas particulares. Por tanto, una definición refleja el objeto último de la comprensión y es el fundamento de toda inferencia válida. Esto tuvo una gran influencia en Aristóteles, alumno de Platón , en particular en la noción de Aristóteles de la esencia de una cosa. [44]
La lógica de Aristóteles , y particularmente su teoría del silogismo , ha tenido una enorme influencia en el pensamiento occidental . [45] Aristóteles fue el primer lógico que intentó un análisis sistemático de la sintaxis lógica , del sustantivo (o término ) y del verbo. Fue el primer lógico formal , ya que demostró los principios del razonamiento empleando variables para mostrar la forma lógica subyacente de un argumento. [46] Buscó relaciones de dependencia que caracterizan la inferencia necesaria, y distinguió la validez de estas relaciones de la verdad de las premisas. Fue el primero en abordar los principios de contradicción y tercero excluido de forma sistemática. [47]
Sus obras lógicas, llamadas Organon , son el estudio formal más antiguo de la lógica que ha llegado hasta los tiempos modernos. Aunque es difícil determinar las fechas, el orden probable de escritura de las obras lógicas de Aristóteles es:
Estas obras son de destacada importancia en la historia de la lógica. En las Categorías , intenta discernir todas las cosas posibles a las que un término puede referirse; esta idea sustenta su obra filosófica Metafísica , que a su vez tuvo una profunda influencia en el pensamiento occidental.
También desarrolló una teoría de la lógica no formal ( es decir, la teoría de las falacias ), que se presenta en Tópicos y refutaciones sofísticas . [47]
Sobre Interpretación contiene un tratamiento integral de las nociones de oposición y conversión; el capítulo 7 está en el origen del cuadrado de oposición (o cuadrado lógico); El capítulo 9 contiene el comienzo de la lógica modal .
Los Análisis Prior contienen su exposición del "silogismo", donde se aplican por primera vez en la historia tres principios importantes: el uso de variables, un tratamiento puramente formal y el uso de un sistema axiomático.
La otra gran escuela de la lógica griega es la de los estoicos . [48] La lógica estoica tiene sus raíces en el filósofo Euclides de Megara , de finales del siglo V a. C., alumno de Sócrates y contemporáneo un poco mayor de Platón, probablemente siguiendo la tradición de Parménides y Zenón. Sus alumnos y sucesores fueron llamados " megarianos " o "erísticos", y más tarde "dialécticos". Los dos dialécticos más importantes de la escuela megariana fueron Diodoro Cronos y Filón , que estuvieron activos a finales del siglo IV a.C.
Los estoicos adoptaron la lógica megariana y la sistematizaron. El miembro más importante de la escuela fue Crisipo (c. 278-c. 206 a. C.), que fue su tercer director y que formalizó gran parte de la doctrina estoica. Se supone que escribió más de 700 obras, incluidas al menos 300 sobre lógica, de las cuales casi ninguna sobrevive. [49] [50] A diferencia de Aristóteles, no tenemos obras completas de los megarianos o de los primeros estoicos, y tenemos que confiar principalmente en relatos (a veces hostiles) de fuentes posteriores, entre las que destacan Diógenes Laërtius , Sextus Empiricus , Galeno , Aulus Gellius. , Alejandro de Afrodisias y Cicerón . [51]
Tres contribuciones significativas de la escuela estoica fueron (i) su explicación de la modalidad , (ii) su teoría del condicional material y (iii) su explicación del significado y la verdad . [52]
Las obras de Al-Kindi , Al-Farabi , Avicena , Al-Ghazali , Averroes y otros lógicos musulmanes se basaron en la lógica aristotélica y fueron importantes para comunicar las ideas del mundo antiguo al Occidente medieval. [62] Al-Farabi (Alfarabi) (873–950) fue un lógico aristotélico que discutió los temas de los contingentes futuros , el número y la relación de las categorías, la relación entre lógica y gramática , y las formas de inferencia no aristotélicas . [63] Al-Farabi también consideró las teorías de los silogismos condicionales y la inferencia analógica , que eran parte de la tradición estoica de la lógica más que de la aristotélica. [64]
Maimónides (1138-1204) escribió un Tratado de lógica (árabe: Maqala Fi-Sinat Al-Mantiq ), refiriéndose a Al-Farabi como el "segundo maestro", siendo el primero Aristóteles.
Ibn Sina (Avicena) (980-1037) fue el fundador de la lógica aviceniana , que reemplazó a la lógica aristotélica como sistema lógico dominante en el mundo islámico, [65] y también tuvo una importante influencia en escritores medievales occidentales como Alberto Magno . [66] Avicena escribió sobre el silogismo hipotético [67] y sobre el cálculo proposicional , que eran ambos parte de la tradición lógica estoica. [68] Desarrolló una teoría silogística original "temporalmente modalizada", que involucra lógica temporal y lógica modal . [63] También hizo uso de la lógica inductiva , como los métodos de acuerdo, diferencia y variación concomitante que son críticos para el método científico . [67] Una de las ideas de Avicena tuvo una influencia particularmente importante en los lógicos occidentales como Guillermo de Ockham : la palabra de Avicena para un significado o noción ( ma'na ), fue traducida por los lógicos escolásticos como el latín intentio ; En lógica y epistemología medievales , este es un signo en la mente que representa naturalmente una cosa. [69] Esto fue crucial para el desarrollo del conceptualismo de Ockham : un término universal ( por ejemplo, "hombre") no significa una cosa que existe en la realidad, sino más bien un signo en la mente ( intencionio in intellectu ) que representa muchas cosas en la realidad. ; Ockham cita el comentario de Avicena sobre Metafísica V en apoyo de esta opinión. [70]
Fakhr al-Din al-Razi (n. 1149) criticó la " primera figura " de Aristóteles y formuló un sistema temprano de lógica inductiva, presagiando el sistema de lógica inductiva desarrollado por John Stuart Mill (1806-1873). [71] Los eruditos islámicos posteriores consideraron que el trabajo de Al-Razi marcaba una nueva dirección para la lógica islámica, hacia una lógica posavicena . Esto fue elaborado con más detalle por su alumno Afdaladdîn al-Khûnajî (muerto en 1249), quien desarrolló una forma de lógica que giraba en torno al tema de las concepciones y los asentimientos . En respuesta a esta tradición, Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) inició una tradición de lógica neoavicena que se mantuvo fiel al trabajo de Avicena y existió como una alternativa a la escuela posavicena más dominante durante los siglos siguientes. [72]
La escuela iluminacionista fue fundada por Shahab al-Din Suhrawardi (1155-1191), quien desarrolló la idea de "necesidad decisiva", que se refiere a la reducción de todas las modalidades (necesidad, posibilidad , contingencia e imposibilidad ) al modo único de necesidad. . [73] Ibn al-Nafis (1213-1288) escribió un libro sobre lógica aviceniana, que era un comentario de Al-Isharat ( Los signos ) y Al-Hidayah ( La guía ) de Avicena. [74] Ibn Taymiyyah (1263-1328), escribió el Ar-Radd 'ala al-Mantiqiyyin , donde argumentó en contra de la utilidad, aunque no de la validez, del silogismo [75] y a favor del razonamiento inductivo . [71] Ibn Taymiyyah también argumentó en contra de la certeza de los argumentos silogísticos y a favor de la analogía ; su argumento es que los conceptos fundados en la inducción no son en sí mismos ciertos sino sólo probables y, por tanto, un silogismo basado en tales conceptos no es más seguro que un argumento basado en la analogía. Afirmó además que la inducción misma se basa en un proceso de analogía. Su modelo de razonamiento analógico se basó en el de los argumentos jurídicos. [76] [77] Este modelo de analogía se ha utilizado en el trabajo reciente de John F. Sowa . [77]
El Sharh al-takmil fi'l-mantiq escrito por Muhammad ibn Fayd Allah ibn Muhammad Amin al-Sharwani en el siglo XV es la última obra árabe importante sobre lógica que se ha estudiado. [78] Sin embargo, se escribieron "miles y miles de páginas" sobre lógica entre los siglos XIV y XIX, aunque sólo una fracción de los textos escritos durante este período han sido estudiados por los historiadores, por lo que se sabe poco sobre el trabajo original sobre el Islam. lógica producida durante este último período. [72]
"Lógica medieval" (también conocida como "lógica escolástica") generalmente significa la forma de lógica aristotélica desarrollada en la Europa medieval aproximadamente durante el período 1200-1600. [1] Durante siglos después de que se formulara la lógica estoica, fue el sistema de lógica dominante en el mundo clásico. Cuando se reanudó el estudio de la lógica después de la Edad Media , la fuente principal fue la obra del filósofo cristiano Boecio , que estaba familiarizado con algo de la lógica de Aristóteles, pero casi nada de la obra de los estoicos. [79] Hasta el siglo XII, las únicas obras de Aristóteles disponibles en Occidente fueron las Categorías , Sobre la interpretación y la traducción de Boecio de la Isagoge de Porfirio (un comentario sobre las Categorías). Estas obras fueron conocidas como la "Vieja Lógica" ( Logica Vetus o Ars Vetus ). Una obra importante en esta tradición fue la Logica Ingredientibus de Peter Abelard (1079-1142). Su influencia directa fue pequeña, [80] pero su influencia a través de alumnos como Juan de Salisbury fue grande, y su método de aplicar un análisis lógico riguroso a la teología moldeó la forma en que se desarrolló la crítica teológica en el período siguiente. [81] La prueba del principio de explosión , también conocido como principio de Pseudo-Escoto, la ley según la cual cualquier proposición puede probarse a partir de una contradicción (incluida su negación), fue dada por primera vez por el lógico francés del siglo XII William de Soissons .
A principios del siglo XIII, las obras restantes del Organon de Aristóteles , incluidos los Análisis previos , los Análisis posteriores y las Refutaciones sofísticas (conocidas colectivamente como Logica Nova o "Nueva Lógica"), se habían recuperado en Occidente. [82] El trabajo lógico hasta entonces era principalmente paráfrasis o comentario sobre la obra de Aristóteles. [83] El período comprendido entre mediados del siglo XIII y mediados del XIV fue uno de desarrollos significativos en la lógica, particularmente en tres áreas que eran originales, con poco fundamento en la tradición aristotélica anterior. Estos fueron: [84]
Las últimas grandes obras de esta tradición son la Lógica de John Poinsot (1589-1644, conocido como Juan de Santo Tomás ), las Disputas metafísicas de Francisco Suárez (1548-1617) y la Lógica demostrativa de Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733). ).
Lógica tradicional generalmente significa la tradición de los libros de texto que comienza con La Lógica, o el Arte de Pensar, de Antoine Arnauld y Pierre Nicole , más conocida como Lógica de Port-Royal . [89] Publicado en 1662, fue la obra más influyente sobre lógica después de Aristóteles hasta el siglo XIX. [90] El libro presenta una doctrina vagamente cartesiana (que la proposición es una combinación de ideas en lugar de términos, por ejemplo) dentro de un marco que se deriva ampliamente de la lógica de términos aristotélica y medieval . Entre 1664 y 1700, hubo ocho ediciones, y el libro tuvo una influencia considerable después de eso. [90] El Port-Royal introduce los conceptos de extensión e intensión . La explicación de las proposiciones que Locke da en el Ensayo es esencialmente la de Port-Royal: "Las proposiciones verbales, que son palabras, [son] los signos de nuestras ideas, juntas o separadas en oraciones afirmativas o negativas. De modo que esa proposición consiste en en la unión o separación de estos signos, según concuerden o no las cosas que representan." [91]
Dudley Fenner ayudó a popularizar la lógica ramista , una reacción contra Aristóteles. Otra obra influyente fue el Novum Organum de Francis Bacon , publicado en 1620. El título se traduce como "nuevo instrumento". Esta es una referencia a la obra de Aristóteles conocida como Organon . En esta obra, Bacon rechaza el método silogístico de Aristóteles en favor de un procedimiento alternativo "que mediante un trabajo lento y fiel recopila información de las cosas y la lleva a la comprensión". [92] Este método se conoce como razonamiento inductivo , un método que parte de la observación empírica y procede a axiomas o proposiciones inferiores; a partir de estos axiomas inferiores se pueden inducir otros más generales. Por ejemplo, para encontrar la causa de un fenómeno de naturaleza como el calor, se deben elaborar tres listas:
Entonces, la forma naturaleza (o causa) del calor puede definirse como aquello que es común a cada situación de la lista de presencia, y que falta en cada situación de la lista de ausencia, y que varía en grado en cada situación de la variabilidad. lista.
Otras obras en la tradición de los libros de texto incluyen Logick: Or, the Right Use of Reason (1725) de Isaac Watts , Logick (1826) de Richard Whately y A System of Logic (1843) de John Stuart Mill . Aunque esta última fue una de las últimas grandes obras de la tradición, la visión de Mill de que los fundamentos de la lógica residen en la introspección [93] influyó en la idea de que la lógica se entiende mejor como una rama de la psicología, visión que dominó los siguientes cincuenta años de la psicología. su desarrollo, especialmente en Alemania. [94]
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GWF Hegel indicó la importancia de la lógica para su sistema filosófico cuando condensó su extensa Ciencia de la Lógica en una obra más breve publicada en 1817 como primer volumen de su Enciclopedia de las Ciencias Filosóficas. La Lógica "Más Breve" o "Enciclopedia" , como se la conoce a menudo, establece una serie de transiciones que conducen desde la más vacía y abstracta de las categorías (Hegel comienza con el "Ser Puro" y la "Nada Pura") hasta el " Absoluto ". ", la categoría que contiene y resuelve todas las categorías que la precedieron. A pesar del título, la Lógica de Hegel no es realmente una contribución a la ciencia de la inferencia válida. En lugar de derivar conclusiones sobre conceptos a través de inferencias válidas a partir de premisas, Hegel busca mostrar que pensar en un concepto obliga a pensar en otro concepto (uno no puede, sostiene, poseer el concepto de "Calidad" sin el concepto de "Cantidad"); Esta compulsión supuestamente no es una cuestión de psicología individual, porque surge casi orgánicamente del contenido de los conceptos mismos. Su propósito es mostrar la estructura racional de lo "Absoluto"; de hecho, de la racionalidad misma. El método mediante el cual el pensamiento pasa de un concepto a su contrario, y luego a conceptos posteriores, se conoce como dialéctica hegeliana .
Aunque la Lógica de Hegel ha tenido poco impacto en los estudios lógicos convencionales, su influencia se puede ver en otros lugares:
Entre los trabajos de Mill y Frege transcurrió medio siglo durante el cual la lógica fue ampliamente tratada como una ciencia descriptiva, un estudio empírico de la estructura del razonamiento y, por tanto, esencialmente como una rama de la psicología . [96] El psicólogo alemán Wilhelm Wundt , por ejemplo, discutió cómo derivar "lo lógico de las leyes psicológicas del pensamiento", enfatizando que "el pensamiento psicológico es siempre la forma más integral de pensamiento". [97] Esta opinión estaba muy extendida entre los filósofos alemanes de la época:
Ésta fue la visión dominante de la lógica en los años posteriores al trabajo de Mill. [101] Este enfoque psicológico de la lógica fue rechazado por Gottlob Frege . También fue objeto de una crítica extensa y destructiva por parte de Edmund Husserl en el primer volumen de sus Investigaciones lógicas (1900), un ataque que ha sido descrito como "abrumador". [102] Husserl argumentó enérgicamente que fundamentar la lógica en observaciones psicológicas implicaba que todas las verdades lógicas seguían sin ser probadas, y que el escepticismo y el relativismo eran consecuencias inevitables.
Estas críticas no extirparon inmediatamente lo que se llama " psicologismo ". Por ejemplo, el filósofo estadounidense Josiah Royce , si bien reconoció la fuerza de la crítica de Husserl, seguía siendo "incapaz de dudar" de que el progreso en psicología iría acompañado de progreso en lógica, y viceversa. [103]
El período comprendido entre el siglo XIV y principios del XIX fue en gran medida uno de decadencia y abandono, y los historiadores de la lógica lo consideran generalmente estéril. [2] El resurgimiento de la lógica se produjo a mediados del siglo XIX, al comienzo de un período revolucionario donde la materia se convirtió en una disciplina rigurosa y formalista cuyo ejemplo fue el método exacto de prueba utilizado en matemáticas . El desarrollo de la lógica "simbólica" o "matemática" moderna durante este período es el más significativo en los 2000 años de historia de la lógica, y es posiblemente uno de los acontecimientos más importantes y notables de la historia intelectual humana. [4]
Una serie de características distinguen la lógica moderna de la antigua lógica aristotélica o tradicional, las más importantes de las cuales son las siguientes: [104] La lógica moderna es fundamentalmente un cálculo cuyas reglas de operación están determinadas sólo por la forma y no por el significado de la lógica . símbolos que emplea, como en matemáticas. Muchos lógicos quedaron impresionados por el "éxito" de las matemáticas, en el sentido de que no había habido una disputa prolongada sobre ningún resultado verdaderamente matemático. CS Peirce observó [105] que aunque un error en la evaluación de una integral definida por Laplace condujo a un error relativo a la órbita de la luna que persistió durante casi 50 años, el error, una vez descubierto, se corrigió sin ninguna disputa seria. Peirce contrastó esto con la disputa y la incertidumbre que rodean la lógica tradicional, y especialmente el razonamiento en metafísica . Sostuvo que una lógica verdaderamente "exacta" dependería del pensamiento matemático, es decir, "diagramático" o "icónico". "Aquellos que sigan tales métodos... escaparán de todo error, excepto aquellos que se corregirán rápidamente una vez que se sospeche". La lógica moderna también es "constructiva" más que "abstractiva"; es decir, en lugar de abstraer y formalizar teoremas derivados del lenguaje ordinario (o de intuiciones psicológicas sobre la validez), construye teoremas mediante métodos formales y luego busca una interpretación en el lenguaje ordinario. Es enteramente simbólico, lo que significa que incluso las constantes lógicas (que los lógicos medievales llamaban " syncategoremata ") y los términos categóricos se expresan en símbolos.
El desarrollo de la lógica moderna se divide aproximadamente en cinco períodos: [106]
La idea de que la inferencia podría representarse mediante un proceso puramente mecánico se encuentra ya en Raymond Llull , quien propuso un método (algo excéntrico) para sacar conclusiones mediante un sistema de anillos concéntricos. El trabajo de lógicos como las Calculadoras de Oxford [108] condujo a un método de utilizar letras en lugar de escribir cálculos lógicos ( calcules ) en palabras, un método utilizado, por ejemplo, en la Logica magna de Pablo de Venecia . Trescientos años después de Llull, el filósofo y lógico inglés Thomas Hobbes sugirió que toda la lógica y el razonamiento podían reducirse a las operaciones matemáticas de suma y resta. [109] La misma idea se encuentra en la obra de Leibniz , que había leído tanto a Llull como a Hobbes, y quien argumentaba que la lógica se puede representar mediante un proceso combinatorio o cálculo. Pero, al igual que Llull y Hobbes, no logró desarrollar un sistema detallado o integral, y su trabajo sobre este tema no se publicó hasta mucho después de su muerte. Leibniz dice que los lenguajes ordinarios están sujetos a "innumerables ambigüedades" y no son adecuados para un cálculo, cuya tarea es exponer errores en la inferencia que surgen de las formas y estructuras de las palabras; [110] por lo tanto, propuso identificar un alfabeto del pensamiento humano que comprenda conceptos fundamentales que podrían componerse para expresar ideas complejas, [111] y crear un raciocinador de cálculo que haría que todos los argumentos fueran "tan tangibles como los de los matemáticos, de modo que podemos encontrar nuestro error de un vistazo, y cuando hay disputas entre personas, podemos simplemente decir: calculemos". [112]
Gergonne (1816) dijo que el razonamiento no tiene por qué versar sobre objetos sobre los cuales uno tiene ideas perfectamente claras, porque las operaciones algebraicas pueden llevarse a cabo sin tener ninguna idea del significado de los símbolos involucrados. [113] Bolzano anticipó una idea fundamental de la teoría de la prueba moderna cuando definió la consecuencia lógica o "deducibilidad" en términos de variables: [114]
Por eso digo que las proposiciones , , ,... son deducibles de las proposiciones , , , ,... con respecto a partes variables , ,..., si toda clase de ideas cuya sustitución por , ,... hace todo , , , ,... verdadero, también hace que todo , , ,... sea verdadero. Ocasionalmente, como es costumbre, diré que las proposiciones , , ,... siguen , o pueden inferirse o derivarse , de , , , ,.... Proposiciones , , , ,... Llamaré a las premisas , , , ,... las conclusiones.
Esto ahora se conoce como validez semántica .
La lógica moderna comienza con lo que se conoce como la "escuela algebraica", que se origina con Boole e incluye a Peirce , Jevons , Schröder y Venn . [115] Su objetivo era desarrollar un cálculo para formalizar el razonamiento en el área de clases, proposiciones y probabilidades. La escuela comienza con la obra fundamental de Boole, Análisis matemático de la lógica , que apareció en 1847, aunque De Morgan (1847) es su precursor inmediato. [116] La idea fundamental del sistema de Boole es que las fórmulas algebraicas se pueden utilizar para expresar relaciones lógicas. Esta idea se le ocurrió a Boole en su adolescencia, mientras trabajaba como acomodador en una escuela privada en Lincoln, Lincolnshire . [117] Por ejemplo, sean x e y las clases, el símbolo = signifique que las clases tienen los mismos miembros, xy represente la clase que contiene todos y sólo los miembros de x e y, y así sucesivamente. Boole llama a estos símbolos electivos , es decir, símbolos que seleccionan ciertos objetos para su consideración. [118] Una expresión en la que se utilizan símbolos electivos se llama función electiva , y una ecuación cuyos miembros son funciones electivas, es una ecuación electiva . [119] La teoría de las funciones electivas y su "desarrollo" es esencialmente la idea moderna de funciones de verdad y su expresión en forma normal disyuntiva . [118]
El sistema de Boole admite dos interpretaciones, en lógica de clases y en lógica proposicional. Boole distinguió entre "proposiciones primarias" que son objeto de la teoría silogística y "proposiciones secundarias", que son objeto de la lógica proposicional, y mostró cómo, bajo diferentes "interpretaciones", el mismo sistema algebraico podría representar ambas. Un ejemplo de proposición primaria es "Todos los habitantes son europeos o asiáticos". Un ejemplo de proposición secundaria es "O todos los habitantes son europeos o todos son asiáticos". [120] Estos se distinguen fácilmente en la lógica de predicados moderna, donde también es posible demostrar que el primero se sigue del segundo, pero es una desventaja significativa que no hay forma de representar esto en el sistema booleano. [121]
En su Lógica simbólica (1881), John Venn utilizó diagramas de áreas superpuestas para expresar relaciones booleanas entre clases o condiciones de verdad de proposiciones. En 1869, Jevons se dio cuenta de que los métodos de Boole podían mecanizarse y construyó una "máquina lógica" que mostró a la Royal Society al año siguiente. [118] En 1885, Allan Marquand propuso una versión eléctrica de la máquina que aún se conserva (imagen en la Biblioteca Firestone).
Todos los defectos del sistema de Boole (como el uso de la letra v para proposiciones existenciales) fueron remediados por sus seguidores. Jevons publicó Lógica pura, o la lógica de la calidad aparte de la cantidad en 1864, donde sugirió un símbolo para significar exclusivo o , lo que permitió simplificar enormemente el sistema de Boole. [122] Schröder aprovechó esto útilmente cuando expuso teoremas en columnas paralelas en sus Vorlesungen (1890-1905). Peirce (1880) demostró cómo todas las funciones electivas booleanas podían expresarse mediante el uso de una única operación binaria primitiva, " ni... ni... " e igualmente " ni ambos... ni... ", [ 123] sin embargo, como muchas de las innovaciones de Peirce, esto permaneció desconocido o desapercibido hasta que Sheffer lo redescubrió en 1913. [124] Los primeros trabajos de Boole también carecen de la idea de la suma lógica que se origina en Peirce (1867), Schröder (1877) y Jevons. (1890), [125] y el concepto de inclusión , sugerido por primera vez por Gergonne (1816) y claramente articulado por Peirce (1870).
El éxito del sistema algebraico de Boole sugirió que toda lógica debe ser capaz de representación algebraica, y hubo intentos de expresar una lógica de relaciones en esa forma, de los cuales el más ambicioso fue el monumental Vorlesungen über die Algebra der Logik de Schröder ("Conferencias sobre la Algebra of Logic", vol iii 1895), aunque la idea original fue nuevamente anticipada por Peirce. [126]
La inquebrantable aceptación de Boole de la lógica de Aristóteles es enfatizada por el historiador de la lógica John Corcoran en una accesible introducción a Leyes del pensamiento [127]. Corcoran también escribió una comparación punto por punto de Análisis previos y Leyes del pensamiento . [128] Según Corcoran, Boole aceptó y respaldó plenamente la lógica de Aristóteles. Los objetivos de Boole eran "ir por debajo, por encima y más allá" de la lógica de Aristóteles: 1) proporcionándole fundamentos matemáticos que incluyan ecuaciones, 2) ampliando la clase de problemas que podía tratar (desde evaluar la validez hasta resolver ecuaciones) y 3) ampliar el rango. de aplicaciones que podría manejar, por ejemplo, desde proposiciones que tienen sólo dos términos hasta aquellas que tienen muchos arbitrariamente.
Más específicamente, Boole estuvo de acuerdo con lo que dijo Aristóteles ; Los "desacuerdos" de Boole, si se les puede llamar así, se refieren a lo que Aristóteles no dijo. En primer lugar, en el ámbito de los fundamentos, Boole redujo las cuatro formas proposicionales de la lógica aristotélica a fórmulas en forma de ecuaciones, lo que en sí mismo era una idea revolucionaria. En segundo lugar, en el ámbito de los problemas de la lógica, la adición de Boole a la lógica de la resolución de ecuaciones (otra idea revolucionaria) implicaba la doctrina de Boole de que las reglas de inferencia de Aristóteles (los "silogismos perfectos") deben complementarse con reglas para la resolución de ecuaciones. En tercer lugar, en el ámbito de las aplicaciones, el sistema de Boole podía manejar proposiciones y argumentos de términos múltiples, mientras que Aristóteles sólo podía manejar proposiciones y argumentos de sujeto-predicado de dos términos. Por ejemplo, el sistema de Aristóteles no podía deducir "Ningún cuadrilátero que sea un cuadrado es un rectángulo que sea un rombo" de "Ningún cuadrado que sea un cuadrilátero es un rombo que sea un rectángulo" o de "Ningún rombo que sea un rectángulo es un cuadrado que es un cuadrilátero".
Después de Boole, los siguientes grandes avances los realizó el matemático alemán Gottlob Frege . El objetivo de Frege era el programa del logicismo , es decir, demostrar que la aritmética es idéntica a la lógica. [129] Frege fue mucho más lejos que cualquiera de sus predecesores en su enfoque riguroso y formal de la lógica, y su cálculo o Begriffsschrift es importante. [129] Frege también trató de demostrar que el concepto de número puede definirse por medios puramente lógicos, de modo que (si tenía razón) la lógica incluye la aritmética y todas las ramas de las matemáticas que son reducibles a la aritmética. No fue el primer escritor en sugerir esto. En su obra pionera Die Grundlagen der Arithmetik (Los fundamentos de la aritmética), secciones 15 a 17, reconoce los esfuerzos de Leibniz, JS Mill y Jevons, citando la afirmación de este último de que "el álgebra es una lógica altamente desarrollada, y los números, pero discriminación lógica." [130]
El primer trabajo de Frege, el Begriffsschrift ("guión conceptual") es un sistema rigurosamente axiomatizado de lógica proposicional, que se basa en sólo dos conectivos (negacional y condicional), dos reglas de inferencia ( modus ponens y sustitución) y seis axiomas. Frege se refirió a la "integridad" de este sistema, pero no pudo demostrarlo. [131] La innovación más significativa, sin embargo, fue su explicación del cuantificador en términos de funciones matemáticas. La lógica tradicional considera que la frase "César es un hombre" tiene fundamentalmente la misma forma que "todos los hombres son mortales". Las oraciones con un sujeto con nombre propio se consideraban de carácter universal, interpretables como "cada César es un hombre". [132] Al principio Frege abandona los tradicionales "conceptos sujeto y predicado ", reemplazándolos con argumento y función respectivamente, que cree "resistirán la prueba del tiempo. Es fácil ver cómo considerar un contenido como una función de un argumento conduce a la formación de conceptos. Además, merece atención la demostración de la conexión entre los significados de las palabras si, y, no, o, hay, algunos, todos, etc.". [133] Frege argumentó que la expresión cuantificadora "todos los hombres" no tiene la misma forma lógica o semántica que "todos los hombres", y que la proposición universal "todo A es B" es una proposición compleja que involucra dos funciones , a saber, '- es A' y ' – es B' tal que todo lo que satisface el primero, también satisface el segundo. En notación moderna, esto se expresaría como
En inglés, "para todo x, si Ax entonces Bx". Así, sólo las proposiciones singulares tienen forma sujeto-predicado y son irreduciblemente singulares, es decir, no reducibles a una proposición general. Las proposiciones universales y particulares, por el contrario, no tienen en absoluto una forma simple de sujeto-predicado. Si "todos los mamíferos" fuera el sujeto lógico de la oración "todos los mamíferos son habitantes de la tierra", entonces para negar la oración completa tendríamos que negar el predicado para dar "todos los mamíferos no son habitantes de la tierra". Pero este no es el caso. [134] Este análisis funcional de las oraciones del lenguaje ordinario tuvo posteriormente un gran impacto en la filosofía y la lingüística .
Esto significa que en el cálculo de Frege, las proposiciones "primarias" de Boole se pueden representar de forma diferente a las proposiciones "secundarias". "Todos los habitantes son hombres o mujeres" es
mientras que "Todos los habitantes son hombres o todos los habitantes son mujeres" es
Como observó Frege en una crítica del cálculo de Boole:
Además de proporcionar un sistema de lógica unificado y completo, el cálculo de Frege también resolvió el antiguo problema de la generalidad múltiple . La ambigüedad de "toda chica besó a un chico" es difícil de expresar en la lógica tradicional, pero la lógica de Frege la resuelve a través del diferente alcance de los cuantificadores. De este modo
Significa que a cada chica le corresponde algún chico (cualquiera servirá) al que la chica besó. Pero
Significa que hay un chico en particular al que besaron todas las chicas. Sin este dispositivo, el proyecto del logicismo habría sido dudoso o imposible. Usándolo, Frege proporcionó una definición de la relación ancestral , de la relación de muchos a uno y de la inducción matemática . [136]
Este período se superpone con el trabajo de la conocida como "escuela matemática", que incluía a Dedekind , Pasch , Peano , Hilbert , Zermelo , Huntington , Veblen y Heyting . Su objetivo era la axiomatización de ramas de las matemáticas como la geometría, la aritmética, el análisis y la teoría de conjuntos. El más notable fue el Programa de Hilbert , que buscaba basar todas las matemáticas en un conjunto finito de axiomas, demostrando su consistencia por medios "finitistas" y proporcionando un procedimiento que decidiría la verdad o falsedad de cualquier enunciado matemático. La axiomatización estándar de los números naturales recibe el mismo nombre de axiomas de Peano . Peano mantuvo una clara distinción entre símbolos matemáticos y lógicos. Aunque desconocía el trabajo de Frege, recreó de forma independiente su aparato lógico basándose en el trabajo de Boole y Schröder. [137]
El proyecto logicista sufrió un revés casi fatal con el descubrimiento de una paradoja en 1901 por Bertrand Russell . Esto demostró que la ingenua teoría de conjuntos de Frege conducía a una contradicción. La teoría de Frege contenía el axioma de que para cualquier criterio formal, existe un conjunto de todos los objetos que cumplen el criterio. Russell demostró que un conjunto que contenga exactamente conjuntos que no son miembros de sí mismos contradiría su propia definición (si no es miembro de sí mismo, es miembro de sí mismo, y si es miembro de sí mismo, no lo es) . [138] Esta contradicción se conoce ahora como la paradoja de Russell . Ernst Zermelo propuso un método importante para resolver esta paradoja . [139] La teoría de conjuntos de Zermelo fue la primera teoría de conjuntos axiomática . Se desarrolló hasta convertirse en la ahora canónica teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). La paradoja de Russell es simbólicamente la siguiente:
El monumental Principia Mathematica , una obra de tres volúmenes sobre los fundamentos de las matemáticas , escrita por Russell y Alfred North Whitehead y publicada entre 1910 y 1913, también incluyó un intento de resolver la paradoja mediante un elaborado sistema de tipos : un conjunto de elementos. es de un tipo diferente al de cada uno de sus elementos (el conjunto no es el elemento; un elemento no es el conjunto) y no se puede hablar del " conjunto de todos los conjuntos ". Los Principia fueron un intento de derivar todas las verdades matemáticas de un conjunto bien definido de axiomas y reglas de inferencia en lógica simbólica .
Los nombres de Gödel y Tarski dominan la década de 1930, [140] un período crucial en el desarrollo de las metamatemáticas : el estudio de las matemáticas utilizando métodos matemáticos para producir metateorías , o teorías matemáticas sobre otras teorías matemáticas. Las primeras investigaciones sobre metamatemáticas habían sido impulsadas por el programa de Hilbert. El trabajo en metamatemática culminó con el trabajo de Gödel, quien en 1929 demostró que una oración dada de primer orden es deducible si y sólo si es lógicamente válida, es decir, es verdadera en todas las estructuras de su lenguaje. Esto se conoce como teorema de completitud de Gödel . Un año más tarde, demostró dos teoremas importantes que demostraban que el programa de Hibert era inalcanzable en su forma original. La primera es que ningún sistema consistente de axiomas cuyos teoremas puedan enumerarse mediante un procedimiento eficaz como un algoritmo o programa de computadora es capaz de probar todos los hechos sobre los números naturales . Para cualquier sistema de este tipo, siempre habrá afirmaciones sobre los números naturales que sean verdaderas, pero que no sean demostrables dentro del sistema. La segunda es que si tal sistema también es capaz de probar ciertos hechos básicos sobre los números naturales, entonces el sistema no puede probar la consistencia del sistema mismo. Estos dos resultados se conocen como teoremas de incompletitud de Gödel , o simplemente Teorema de Gödel . Más adelante en la década, Gödel desarrolló el concepto de constructibilidad de la teoría de conjuntos , como parte de su prueba de que el axioma de elección y la hipótesis del continuo son consistentes con la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . En la teoría de la prueba , Gerhard Gentzen desarrolló la deducción natural y el cálculo secuente . El primero intenta modelar el razonamiento lógico tal como ocurre "naturalmente" en la práctica y se aplica más fácilmente a la lógica intuicionista , mientras que el segundo fue ideado para aclarar la derivación de pruebas lógicas en cualquier sistema formal. Desde el trabajo de Gentzen, la deducción natural y los cálculos secuenciales se han aplicado ampliamente en los campos de la teoría de la prueba, la lógica matemática y la informática. Gentzen también demostró teoremas de normalización y eliminación de cortes para la lógica intuicionista y clásica que podrían usarse para reducir las pruebas lógicas a una forma normal. [141]
Alfred Tarski , alumno de Łukasiewicz , es mejor conocido por su definición de verdad y consecuencia lógica , y el concepto semántico de satisfacción lógica . En 1933 publicó (en polaco) El concepto de verdad en los lenguajes formalizados , en el que propuso su teoría semántica de la verdad : una frase como "la nieve es blanca" es verdadera si y sólo si la nieve es blanca. La teoría de Tarski separó el metalenguaje , que hace la afirmación sobre la verdad, del lenguaje objeto, que contiene la oración cuya verdad se afirma, y dio una correspondencia (el esquema T ) entre frases en el lenguaje objeto y elementos de una interpretación . El enfoque de Tarski sobre la difícil idea de explicar la verdad ha tenido una influencia duradera en la lógica y la filosofía, especialmente en el desarrollo de la teoría de modelos . [142] Tarski también produjo un trabajo importante sobre la metodología de los sistemas deductivos y sobre principios fundamentales como la integridad , la decidibilidad , la coherencia y la definibilidad . Según Anita Feferman, Tarski "cambió el rostro de la lógica en el siglo XX". [143]
Alonzo Church y Alan Turing propusieron modelos formales de computabilidad, dando soluciones negativas independientes al Entscheidungsproblem de Hilbert en 1936 y 1937, respectivamente. El Entscheidungsproblem pedía un procedimiento que, dada cualquier afirmación matemática formal, determinara algorítmicamente si la afirmación es verdadera. Church y Turing demostraron que no existe tal procedimiento; El artículo de Turing presentó el problema de la detención como un ejemplo clave de un problema matemático sin una solución algorítmica.
El sistema de computación de Church se desarrolló hasta convertirse en el moderno cálculo λ , mientras que la máquina de Turing se convirtió en un modelo estándar para un dispositivo informático de uso general. Pronto se demostró que muchos otros modelos de computación propuestos tenían potencia equivalente a los propuestos por Church y Turing. Estos resultados llevaron a la tesis de Church-Turing de que cualquier algoritmo determinista que pueda ser ejecutado por un humano puede ser ejecutado por una máquina de Turing. Church demostró resultados adicionales de indecidibilidad, mostrando que tanto la aritmética de Peano como la lógica de primer orden son indecidibles . Trabajos posteriores de Emil Post y Stephen Cole Kleene en la década de 1940 ampliaron el alcance de la teoría de la computabilidad e introdujeron el concepto de grados de insolubilidad .
Los resultados de las primeras décadas del siglo XX también tuvieron un impacto en la filosofía analítica y la lógica filosófica , particularmente a partir de la década de 1950, en temas como la lógica modal , la lógica temporal , la lógica deóntica y la lógica de relevancia .
Después de la Segunda Guerra Mundial, la lógica matemática se ramificó en cuatro áreas de investigación interrelacionadas pero separadas: teoría de modelos , teoría de la prueba , teoría de la computabilidad y teoría de conjuntos . [144]
En la teoría de conjuntos, el método de forzar revolucionó el campo al proporcionar un método sólido para construir modelos y obtener resultados de independencia. Paul Cohen introdujo este método en 1963 para demostrar la independencia de la hipótesis del continuo y el axioma de elección de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . [145] Su técnica, que fue simplificada y ampliada poco después de su introducción, desde entonces se ha aplicado a muchos otros problemas en todas las áreas de la lógica matemática.
La teoría de la computabilidad tuvo sus raíces en los trabajos de Turing, Church, Kleene y Post en las décadas de 1930 y 1940. Se convirtió en un estudio de computabilidad abstracta, que pasó a conocerse como teoría de la recursividad . [146] El método de prioridad , descubierto de forma independiente por Albert Muchnik y Richard Friedberg en la década de 1950, condujo a importantes avances en la comprensión de los grados de insolubilidad y estructuras relacionadas. La investigación sobre la teoría de la computabilidad de orden superior demostró sus conexiones con la teoría de conjuntos. Los campos de análisis constructivo y análisis computable se desarrollaron para estudiar el contenido efectivo de los teoremas matemáticos clásicos; éstos a su vez inspiraron el programa de matemáticas inversas . Una rama separada de la teoría de la computabilidad, la teoría de la complejidad computacional , también se caracterizó en términos lógicos como resultado de investigaciones sobre la complejidad descriptiva .
La teoría de modelos aplica los métodos de la lógica matemática para estudiar modelos de teorías matemáticas particulares. Alfred Tarski publicó muchos trabajos pioneros en este campo, que llevan el nombre de una serie de artículos que publicó bajo el título Contribuciones a la teoría de modelos . En la década de 1960, Abraham Robinson utilizó técnicas de teoría de modelos para desarrollar cálculo y análisis basados en infinitesimales , un problema que había sido propuesto por primera vez por Leibniz.
En la teoría de la prueba, la relación entre las matemáticas clásicas y las matemáticas intuicionistas se aclaró mediante herramientas como el método de realizabilidad inventado por Georg Kreisel y la interpretación Dialectica de Gödel . Este trabajo inspiró el área contemporánea de la minería de prueba . La correspondencia Curry-Howard surgió como una profunda analogía entre lógica y computación, incluida una correspondencia entre sistemas de deducción natural y cálculos lambda tipificados utilizados en informática. Como resultado, la investigación sobre esta clase de sistemas formales comenzó a abordar aspectos tanto lógicos como computacionales; Esta área de investigación llegó a ser conocida como teoría de tipos moderna. También se lograron avances en el análisis ordinal y el estudio de resultados de independencia en aritmética como el teorema de Paris-Harrington .
Este fue también un período, particularmente a partir de la década de 1950, en el que las ideas de la lógica matemática comenzaron a influir en el pensamiento filosófico. Por ejemplo, la lógica tensa es un sistema formalizado para representar y razonar sobre proposiciones calificadas en términos de tiempo. El filósofo Arthur Prior jugó un papel importante en su desarrollo en los años 1960. Las lógicas modales amplían el alcance de la lógica formal para incluir los elementos de modalidad (por ejemplo, posibilidad y necesidad ). Las ideas de Saul Kripke , particularmente sobre mundos posibles , y el sistema formal ahora llamado semántica de Kripke han tenido un profundo impacto en la filosofía analítica . [147] Su obra más conocida e influyente es Naming and Necessity (1980). [148] Las lógicas deónticas están estrechamente relacionadas con las lógicas modales: intentan capturar las características lógicas de obligación , permiso y conceptos relacionados. Aunque Bolzano mostró algunas novedades básicas que sincretizan la lógica matemática y filosófica a principios del siglo XIX, fue Ernst Mally , un alumno de Alexius Meinong , quien propuso el primer sistema deóntico formal en su Grundgesetze des Sollens , basado en la sintaxis de Whitehead. y el cálculo proposicional de Russell .
Otro sistema lógico fundado después de la Segunda Guerra Mundial fue la lógica difusa por el matemático azerbaiyano Lotfi Asker Zadeh en 1965.
