Alfred Tarski ( / ˈ t ɑːr s k i / , nacido Alfred Teitelbaum ; [1] [2] [3] 14 de enero de 1901 - 26 de octubre de 1983) fue un lógico y matemático polaco-estadounidense [4] . [5] Autor prolífico mejor conocido por su trabajo sobre teoría de modelos , metamatemática y lógica algebraica , también contribuyó al álgebra abstracta , topología , geometría , teoría de la medida , lógica matemática , teoría de conjuntos y filosofía analítica .
Educado en Polonia en la Universidad de Varsovia y miembro de la escuela de lógica de Lwów-Varsovia y de la escuela de matemáticas de Varsovia , emigró a los Estados Unidos en 1939, donde se naturalizó como ciudadano en 1945. Tarski enseñó y realizó investigaciones. en matemáticas en la Universidad de California, Berkeley , desde 1942 hasta su muerte en 1983. [6]
Sus biógrafos Anita Burdman Feferman y Solomon Feferman afirman que, "junto con su contemporáneo, Kurt Gödel , cambió el rostro de la lógica en el siglo XX, especialmente a través de su trabajo sobre el concepto de verdad y la teoría de los modelos". [7]
Alfred Tarski nació como Alfred Teitelbaum ( ortografía polaca : "Tajtelbaum"), de padres que eran judíos polacos en circunstancias cómodas. Manifestó sus habilidades matemáticas por primera vez mientras estaba en la escuela secundaria, en Szkoła Mazowiecka de Varsovia . [8] Sin embargo, ingresó en la Universidad de Varsovia en 1918 con la intención de estudiar biología . [9]
Después de que Polonia recuperó la independencia en 1918, la Universidad de Varsovia quedó bajo el liderazgo de Jan Łukasiewicz , Stanisław Leśniewski y Wacław Sierpiński y rápidamente se convirtió en una institución de investigación líder mundial en lógica, matemáticas fundamentales y filosofía de las matemáticas. Leśniewski reconoció el potencial de Tarski como matemático y lo animó a abandonar la biología. [9] A partir de entonces, Tarski asistió a cursos impartidos por Łukasiewicz, Sierpiński, Stefan Mazurkiewicz y Tadeusz Kotarbiński , y en 1924 se convirtió en la única persona que completó un doctorado bajo la supervisión de Leśniewski. Su tesis se tituló O wyrazie pierwotnym logistyki ( Sobre el término primitivo de la logística ; publicada en 1923). Tarski y Leśniewski pronto se enfriaron entre sí, principalmente debido al creciente antisemitismo de este último. [7] Sin embargo, más tarde, Tarski reservó sus más cálidos elogios para Kotarbiński, que fueron correspondidos.
En 1923, Alfred Teitelbaum y su hermano Wacław cambiaron su apellido por el de "Tarski". Los hermanos Tarski también se convirtieron al catolicismo romano , la religión dominante en Polonia. Alfred lo hizo a pesar de que era un ateo declarado . [10] [11]
Después de convertirse en la persona más joven en completar un doctorado en la Universidad de Varsovia, Tarski enseñó lógica en el Instituto Pedagógico Polaco, matemáticas y lógica en la universidad, y trabajó como asistente de Łukasiewicz. Como estos puestos estaban mal remunerados, Tarski también enseñó matemáticas en una escuela secundaria de Varsovia; [12] antes de la Segunda Guerra Mundial, no era raro que intelectuales europeos de calibre investigador enseñaran en la escuela secundaria. Por lo tanto, entre 1923 y su partida a los Estados Unidos en 1939, Tarski no sólo escribió varios libros de texto y muchos artículos, algunos de ellos innovadores, sino que también lo hizo mientras se mantenía principalmente enseñando matemáticas en la escuela secundaria. En 1929, Tarski se casó con su compañera profesora Maria Witkowska, una polaca de origen católico. Había trabajado como mensajera para el ejército en la guerra polaco-soviética . Tuvieron dos hijos; un hijo, Jan Tarski, que se convirtió en físico, y una hija, Ina, que se casó con el matemático Andrzej Ehrenfeucht . [13]
Tarski solicitó una cátedra de filosofía en la Universidad de Lwów , pero por recomendación de Bertrand Russell se la concedieron a Leon Chwistek . [14] En 1930, Tarski visitó la Universidad de Viena , dio una conferencia en el coloquio de Karl Menger y conoció a Kurt Gödel . Gracias a una beca, pudo regresar a Viena durante la primera mitad de 1935 para trabajar con el grupo de investigación de Menger. De Viena viajó a París para presentar sus ideas sobre la verdad en la primera reunión del movimiento Unidad de la Ciencia , una consecuencia del Círculo de Viena . La carrera académica de Tarski en Polonia se vio fuerte y repetidamente impactada por su herencia. Por ejemplo, en 1937, Tarski solicitó una cátedra en la Universidad de Poznań , pero la cátedra fue abolida para evitar que se la asignaran a Tarski (que era indiscutiblemente el solicitante más fuerte) por ser judío. [15] Los vínculos de Tarski con el movimiento Unidad de la Ciencia probablemente le salvaron la vida, porque resultaron en que lo invitaran a dirigirse al Congreso de la Unidad de la Ciencia celebrado en septiembre de 1939 en la Universidad de Harvard . Así abandonó Polonia en agosto de 1939, en el último barco que zarpó de Polonia rumbo a los Estados Unidos antes de la invasión alemana y soviética de Polonia y el estallido de la Segunda Guerra Mundial . Tarski se fue de mala gana, porque Leśniewski había muerto unos meses antes, creando una vacante que Tarski esperaba llenar. Ajeno a la amenaza nazi , dejó a su esposa e hijos en Varsovia. No los volvió a ver hasta 1946. Durante la guerra, casi toda su familia judía fue asesinada a manos de las autoridades de ocupación alemanas.
Una vez en Estados Unidos, Tarski ocupó varios puestos temporales de docencia e investigación: la Universidad de Harvard (1939), el City College de Nueva York (1940) y, gracias a una beca Guggenheim , el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (1942), donde volvió a encontrarse con Gödel. En 1942, Tarski se incorporó al Departamento de Matemáticas de la Universidad de California, Berkeley , donde pasó el resto de su carrera. Tarski se convirtió en ciudadano estadounidense en 1945. [16] Aunque emérito desde 1968, enseñó hasta 1973 y supervisó el doctorado. candidatos hasta su muerte. [17] En Berkeley, Tarski adquirió la reputación de ser un maestro asombroso y exigente, un hecho señalado por muchos observadores:
Sus seminarios en Berkeley rápidamente se hicieron famosos en el mundo de la lógica matemática. Sus estudiantes, muchos de los cuales se convirtieron en matemáticos distinguidos, notaron la asombrosa energía con la que él los engatusaba y engatusaba para obtener sus mejores trabajos, exigiendo siempre los más altos estándares de claridad y precisión. [18]
Tarski era extrovertido, ingenioso, de carácter fuerte, enérgico y de lengua afilada. Prefería que su investigación fuera colaborativa (a veces trabajaba toda la noche con un colega) y era muy exigente con las prioridades. [19]
Tarski, un líder y maestro carismático, conocido por su estilo expositivo brillantemente preciso pero lleno de suspenso, tenía estándares intimidantemente altos para los estudiantes, pero al mismo tiempo podía ser muy alentador, especialmente con las mujeres, en contraste con la tendencia general. Algunos estudiantes se asustaron, pero quedó un círculo de discípulos, muchos de los cuales se convirtieron en líderes de renombre mundial en su campo. [20]
Tarski supervisó veinticuatro doctorados. disertaciones que incluyen (en orden cronológico) las de Andrzej Mostowski , Bjarni Jónsson , Julia Robinson , Robert Vaught , Solomon Feferman , Richard Montague , James Donald Monk, Haim Gaifman , Donald Pigozzi y Roger Maddux , así como las de Chen Chung Chang y Jerome Keisler. , autores de Model Theory (1973), [21] un texto clásico en el campo. [22] [23] También influyó fuertemente en las disertaciones de Alfred Lindenbaum, Dana Scott y Steven Givant. Cinco de los estudiantes de Tarski eran mujeres, un hecho notable dado que los hombres representaban una abrumadora mayoría de estudiantes de posgrado en ese momento. [23] Sin embargo, tuvo relaciones extramatrimoniales con al menos dos de estos estudiantes. Después de mostrarle a otra de sus alumnas [ ¿quién? ] trabajar con un colega masculino [ ¿quién? ] , el colega lo publicó él mismo, lo que la llevó a abandonar los estudios de posgrado y luego mudarse a otra universidad y a un asesor diferente. [24]
Tarski dio conferencias en el University College de Londres (1950, 1966), el Institut Henri Poincaré de París (1955), el Instituto Miller de Investigación Básica en Ciencias de Berkeley (1958-60), la Universidad de California en Los Ángeles (1967), y la Pontificia Universidad Católica de Chile (1974–75). Entre las muchas distinciones obtenidas a lo largo de su carrera, Tarski fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos , la Academia Británica y la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos en 1958, [25] recibió títulos honoríficos de la Pontificia Universidad Católica de Chile en 1975, de la Universidad Paul Cézanne de Marsella en 1977 y de la Universidad de Calgary , así como de la Citación de Berkeley en 1981. Tarski presidió la Asociación para la Lógica Simbólica , 1944-1946, y la Unión Internacional para la Historia y la Filosofía. de Ciencias, 1956–57. También fue editor honorario de Algebra Universalis . [26]
Los intereses matemáticos de Tarski eran excepcionalmente amplios. Sus artículos recopilados tienen alrededor de 2.500 páginas, la mayoría de ellos sobre matemáticas, no sobre lógica. Para obtener un estudio conciso de los logros matemáticos y lógicos de Tarski realizado por su antiguo alumno Solomon Feferman, consulte "Interludios I-VI" en Feferman y Feferman. [27]
El primer artículo de Tarski, publicado cuando tenía 19 años, trataba sobre la teoría de conjuntos , tema al que volvió a lo largo de su vida. [28] En 1924, él y Stefan Banach demostraron que, si se acepta el axioma de elección , una bola se puede cortar en un número finito de piezas y luego volver a ensamblarlas en una bola de mayor tamaño, o alternativamente se puede volver a ensamblar en dos bolas cuyo tamaño sea igual al de la original. Este resultado ahora se denomina paradoja de Banach-Tarski . [29]
En Un método de decisión para álgebra y geometría elementales , Tarski demostró, mediante el método de eliminación de cuantificadores , que la teoría de primer orden de los números reales bajo suma y multiplicación es decidible . (Si bien este resultado apareció recién en 1948, se remonta a 1930 y fue mencionado en Tarski (1931).) Este es un resultado muy curioso, porque Alonzo Church demostró en 1936 que la aritmética de Peano (la teoría de los números naturales ) no es decidible. . La aritmética de Peano también está incompleta según el teorema de incompletitud de Gödel . En sus Teorías indecidibles de 1953 , Tarski et al. demostró que muchos sistemas matemáticos, incluida la teoría de la red , la geometría proyectiva abstracta y las álgebras de cierre , son todos indecidibles. La teoría de los grupos abelianos es decidible, pero la de los grupos no abelianos no lo es.
En las décadas de 1920 y 1930, Tarski enseñaba a menudo geometría en la escuela secundaria . [ ¿dónde? ] Utilizando algunas ideas de Mario Pieri , en 1926 Tarski ideó una original axiomatización de la geometría euclidiana plana , considerablemente más concisa que la de Hilbert . [30] Los axiomas de Tarski forman una teoría de primer orden desprovista de teoría de conjuntos, cuyos individuos son puntos y que tienen sólo dos relaciones primitivas . En 1930, demostró que esta teoría era decidible porque se podía correlacionar con otra teoría que ya había demostrado que era decidible, a saber, su teoría de primer orden de los números reales.
En 1929 demostró que gran parte de la geometría sólida euclidiana podría reformularse como una teoría de segundo orden cuyos individuos son esferas (una noción primitiva ), una única relación binaria primitiva "está contenida en" y dos axiomas que, entre otras cosas, implican esa contención ordena parcialmente las esferas. Relajar el requisito de que todos los individuos sean esferas produce una formalización de la mereología mucho más fácil de exponer que la variante de Lesniewski . Cerca del final de su vida, Tarski escribió una carta muy larga, publicada como Tarski y Givant (1999), resumiendo su trabajo sobre geometría. [31]
Cardinal Algebras estudió álgebras cuyos modelos incluyen la aritmética de números cardinales . Álgebras ordinales establece un álgebra para la teoría aditiva de tipos de orden . La suma cardinal, pero no ordinal, conmuta.
En 1941, Tarski publicó un importante artículo sobre relaciones binarias , que inició el trabajo sobre álgebra de relaciones y sus metamatemáticas que ocupó a Tarski y sus estudiantes durante gran parte del resto de su vida. Si bien esa exploración (y el trabajo estrechamente relacionado de Roger Lyndon ) descubrió algunas limitaciones importantes del álgebra de relaciones, Tarski también demostró (Tarski y Givant 1987) que el álgebra de relaciones puede expresar la mayor parte de la teoría de conjuntos axiomática y la aritmética de Peano . Para una introducción al álgebra de relaciones , consulte Maddux (2006). A finales de la década de 1940, Tarski y sus estudiantes idearon álgebras cilíndricas , que son para la lógica de primer orden lo que el álgebra booleana de dos elementos es para la lógica oracional clásica . Este trabajo culminó con las dos monografías de Tarski, Henkin y Monk (1971, 1985). [32]
El alumno de Tarski, Robert Lawson Vaught , ha clasificado a Tarski como uno de los cuatro más grandes lógicos de todos los tiempos, junto con Aristóteles , Gottlob Frege y Kurt Gödel . [7] [33] [34] Sin embargo, Tarski a menudo expresó gran admiración por Charles Sanders Peirce , particularmente por su trabajo pionero en la lógica de las relaciones .
Tarski produjo axiomas de consecuencia lógica y trabajó en sistemas deductivos , el álgebra de la lógica y la teoría de la definibilidad. Sus métodos semánticos, que culminaron en la teoría de modelos que él y varios de sus estudiantes de Berkeley desarrollaron en las décadas de 1950 y 1960, transformaron radicalmente las metamatemáticas de la teoría de la prueba de Hilbert. Alrededor de 1930, Tarski desarrolló una teoría abstracta de deducciones lógicas que modela algunas propiedades de los cálculos lógicos. Matemáticamente, lo que describió es simplemente un operador de cierre finito en un conjunto (el conjunto de oraciones ). En lógica algebraica abstracta , los operadores de cierre finito todavía se estudian bajo el nombre de operador de consecuencia , que fue acuñado por Tarski. El conjunto S representa un conjunto de oraciones, un subconjunto T de S una teoría, y cl( T ) es el conjunto de todas las oraciones que se derivan de la teoría. Este enfoque abstracto se aplicó a la lógica difusa (ver Gerla 2000).
En opinión de [Tarski], las metamatemáticas se volvieron similares a cualquier disciplina matemática. No sólo pueden matematizarse sus conceptos y resultados, sino que también pueden integrarse en las matemáticas. ... Tarski destruyó la frontera entre metamatemáticas y matemáticas. Se opuso a restringir el papel de las metamatemáticas a los fundamentos de las matemáticas. [35]
El artículo de Tarski de 1936 "Sobre el concepto de consecuencia lógica" argumentó que la conclusión de un argumento se seguirá lógicamente de sus premisas si y sólo si cada modelo de las premisas es un modelo de la conclusión. [36] En 1937, publicó un artículo en el que presentaba claramente sus puntos de vista sobre la naturaleza y el propósito del método deductivo, y el papel de la lógica en los estudios científicos. [28] Su enseñanza en la escuela secundaria y en la licenciatura sobre lógica y axiomática culminó en un texto breve clásico, publicado primero en polaco, luego en traducción al alemán y finalmente en una traducción al inglés de 1941 como Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas . [37]
"Verdad y prueba" de Tarski de 1969 consideró tanto los teoremas de incompletitud de Gödel como el teorema de indefinibilidad de Tarski , y reflexionó sobre sus consecuencias para el método axiomático en matemáticas.
En 1933, Tarski publicó un artículo muy extenso en polaco, titulado "Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych", [38] "Estableciendo una definición matemática de verdad para lenguajes formales". La traducción alemana de 1935 se tituló "Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen", "El concepto de verdad en lenguajes formalizados", a veces abreviado como "Wahrheitsbegriff". Una traducción al inglés apareció en la primera edición de 1956 del volumen Lógica, Semántica, Metamatemáticas . Esta colección de artículos de 1923 a 1938 es un acontecimiento de la filosofía analítica del siglo XX , una contribución a la lógica simbólica , la semántica y la filosofía del lenguaje . Para una breve discusión de su contenido, consulte la Convención T (y también el esquema T ).
Algunos recientes [ ¿cuándo? ] El debate filosófico examina hasta qué punto la teoría de la verdad de Tarski para los lenguajes formalizados puede verse como una teoría de la verdad por correspondencia . El debate se centra en cómo interpretar la condición de adecuación material de Tarski para una definición verdadera. Esa condición requiere que la teoría de la verdad tenga los siguientes teoremas para todas las oraciones p del lenguaje para el cual se define la verdad:
(donde p es la proposición expresada por "p")
El debate se reduce a si leer oraciones de esta forma, como
"La nieve es blanca" es cierta si y sólo si la nieve es blanca.
como expresión meramente de una teoría deflacionaria de la verdad o como encarnación de la verdad como una propiedad más sustancial (ver Kirkham 1992). Es importante darse cuenta de que la teoría de la verdad de Tarski es para lenguajes formalizados, por lo que los ejemplos en lenguaje natural no son ilustraciones [ ¿por qué? ] del uso de la teoría de la verdad de Tarski. [ cita necesaria ]
En 1936, Tarski publicó versiones polaca y alemana de una conferencia, "Sobre el concepto de seguir lógicamente", [39] que había pronunciado el año anterior en el Congreso Internacional de Filosofía Científica en París. Una nueva traducción al inglés de este artículo, Tarski (2002), destaca las muchas diferencias entre las versiones alemana y polaca del artículo y corrige una serie de errores de traducción en Tarski (1983). [39]
Esta publicación [ ¿cuál? ] estableció la definición moderna teórica de modelos de consecuencia lógica (semántica), o al menos la base para ella. Si la noción de Tarski era enteramente moderna depende de si pretendía admitir modelos con dominios variables (y en particular, modelos con dominios de diferentes cardinalidades ). [ cita necesaria ] Esta pregunta es un tema de debate en el actual [ ¿cuándo? ] literatura filosófica. John Etchemendy estimuló gran parte de la discusión reciente sobre el tratamiento que hace Tarski de diversos ámbitos. [40]
Tarski termina señalando que su definición de consecuencia lógica depende de una división de términos en lógicos y extralógicos y expresa cierto escepticismo en cuanto a que tal división objetiva se produzca próximamente. "¿Qué son las nociones lógicas?" Por tanto, se puede considerar que continúa "Sobre el concepto de consecuencia lógica". [ cita necesaria ]
Otra teoría sobre cómo Tarski ha llamado la atención en los últimos tiempos [ ¿cuándo? ] La literatura filosófica es la que se describe en su "¿Qué son las nociones lógicas?" (Tarski 1986). Ésta es la versión publicada de una charla que dio originalmente en 1966 en Londres y posteriormente en 1973 en Buffalo ; fue editado sin su participación directa por John Corcoran . Se convirtió en el artículo más citado en la revista History and Philosophy of Logic . [41]
En la charla, Tarski propuso demarcar las operaciones lógicas (que él llama "nociones") de las no lógicas. Los criterios sugeridos se derivaron del programa de Erlangen del matemático alemán del siglo XIX Felix Klein . Mautner (en 1946), y posiblemente [ se necesita aclaración ] un artículo del matemático portugués José Sebastião e Silva , se anticiparon a Tarski al aplicar el Programa de Erlangen a la lógica. [ cita necesaria ]
Ese programa [ ¿cual? ] clasificó los diversos tipos de geometría ( geometría euclidiana , geometría afín , topología , etc.) por el tipo de transformación uno uno del espacio sobre sí mismo que dejaba invariantes a los objetos de esa teoría geométrica. (Una transformación uno a uno es un mapa funcional del espacio sobre sí mismo, de modo que cada punto del espacio está asociado o asignado a otro punto del espacio. Entonces, "gire 30 grados" y "aumente por un factor de 2" son descripciones intuitivas de transformaciones uno-uno uniformes simples.) Las transformaciones continuas dan lugar a los objetos de topología, las transformaciones de similitud a las de la geometría euclidiana, etc. [ cita necesaria ]
A medida que el rango de transformaciones permisibles se vuelve más amplio, el rango de objetos que uno es capaz de distinguir conservados mediante la aplicación de las transformaciones se vuelve más estrecho. Las transformaciones de similitud son bastante estrechas (preservan la distancia relativa entre puntos) y por lo tanto nos permiten distinguir relativamente muchas cosas (por ejemplo, triángulos equiláteros de triángulos no equiláteros). Las transformaciones continuas (que intuitivamente pueden considerarse transformaciones que permiten estiramiento, compresión, flexión y torsión no uniformes, pero no rasgaduras ni pegados) nos permiten distinguir un polígono de un anillo (anillo con un agujero en el centro). pero no nos permiten distinguir dos polígonos entre sí. [ cita necesaria ]
La propuesta de Tarski [ ¿cuál? ] era demarcar las nociones lógicas considerando todas las posibles transformaciones uno a uno ( automorfismos ) de un dominio sobre sí mismo. Por dominio se entiende el universo del discurso de un modelo para la teoría semántica de la lógica. Si se identifica el valor de verdad Verdadero con el conjunto de dominio y el valor de verdad Falso con el conjunto vacío, entonces las siguientes operaciones se cuentan como lógicas según la propuesta:
En cierto modo, la presente propuesta es el anverso de la de Lindenbaum y Tarski (1936), quienes demostraron que todas las operaciones lógicas de los Principia Mathematica de Bertrand Russell y Whitehead son invariantes bajo transformaciones uno a uno del dominio en sí mismo. La presente propuesta también se emplea en Tarski y Givant (1987). [42]
Solomon Feferman y Vann McGee discutieron más a fondo la propuesta de Tarski [ ¿cuál? ] en un trabajo publicado después de su muerte. Feferman (1999) plantea problemas a la propuesta y sugiere una cura: reemplazar la preservación de Tarski por automorfismos con preservación por homomorfismos arbitrarios . En esencia, esta sugerencia evita la dificultad que tiene la propuesta de Tarski al abordar una igualdad de operación lógica entre distintos dominios de una cardinalidad dada y entre dominios de distintas cardinalidades. La propuesta de Feferman resulta en una restricción radical de los términos lógicos en comparación con la propuesta original de Tarski. En particular, acaba contando como lógicos sólo aquellos operadores de lógica estándar de primer orden sin identidad. [ cita necesaria ]
Vann McGee (1996) proporciona una explicación precisa de qué operaciones son lógicas en el sentido de la propuesta de Tarski en términos de expresabilidad en un lenguaje que extiende la lógica de primer orden al permitir conjunciones y disyunciones arbitrariamente largas y la cuantificación de muchas variables arbitrarias. "Arbitrariamente" incluye un infinito contable. [43]
