Leon Albert Henkin (19 de abril de 1921, Brooklyn, Nueva York - 1 de noviembre de 2006, Oakland, California ) fue un lógico estadounidense, cuyas obras jugaron un papel importante en el desarrollo de la lógica, particularmente en la teoría de tipos . Fue un activo académico en la Universidad de California , Berkeley, donde hizo grandes contribuciones como investigador, docente, así como en cargos administrativos. [1] En esta universidad dirigió, junto con Alfred Tarski , el Grupo de Lógica y Metodología de la Ciencia , [2] del que surgieron muchos lógicos y filósofos importantes. Tenía un fuerte sentido de compromiso social y era un apasionado defensor de sus ideas pacifistas y progresistas. [2] Participó en muchos proyectos sociales destinados a la enseñanza de matemáticas, así como proyectos destinados a apoyar a mujeres y grupos minoritarios para que siguieran carreras en matemáticas y campos relacionados. Amante de la danza y la literatura, apreciaba la vida en todas sus facetas: el arte, la cultura, la ciencia y, sobre todo, la calidez de las relaciones humanas. [2] Es recordado por sus alumnos por su gran amabilidad, así como por su excelencia académica y docente. [3]
Henkin es conocido principalmente por sus pruebas de integridad de diversos sistemas formales , como la teoría de tipos y la lógica de primer orden (la integridad de esta última, en su versión débil, había sido demostrada por Kurt Gödel en 1929). [4] Para demostrar la integridad de la teoría de tipos, Henkin introduce una nueva semántica, no equivalente a la semántica estándar, basada en estructuras llamadas modelos generales (también conocidos como modelos de Henkin ). El cambio de semántica que propuso permite proporcionar un cálculo deductivo completo para la teoría de tipos y para la lógica de segundo orden , entre otras lógicas. Los métodos de Henkin han ayudado a probar varios resultados de la teoría de modelos , tanto en lógica clásica como no clásica . Además de la lógica, la otra rama en la que se centraron sus investigaciones fue el álgebra ; se especializó en álgebras cilíndricas , en las que trabajó junto con Tarski y Donald Monk. [5] En cuanto a la filosofía de las matemáticas, aunque son escasos los trabajos en los que la aborda explícitamente, se puede considerar que tiene una posición nominalista . [6]
Leon Albert Henkin nació el 19 de abril de 1921 en Brooklyn, Nueva York, en una familia judía que había emigrado de Rusia una generación antes. El primero de la familia en emigrar fue Abraham Henkin, el mayor de los hermanos del padre de León. [2] Según León, [7] su padre había estado extremadamente orgulloso de él desde que era solo un niño. Sus grandes expectativas eran evidentes en el nombre que le dio: eligió llamar a su hijo Albert después de una serie de artículos sobre la teoría de la relatividad de Einstein que el New York Times publicó poco antes del nacimiento de Henkin. Su familia simpatizaba con las ideas pacifistas y progresistas y, aunque no era religioso, tenía tradiciones judías profundamente arraigadas. León creció rodeado de estrechos lazos familiares; era muy cercano a sus primos, con quienes vivió durante su infancia en Brooklyn. [2]
Henkin estudió principalmente en escuelas públicas de la ciudad de Nueva York; Asistió a Lincoln High School, donde se graduó a los 16 años para ingresar a la Universidad de Columbia . Tanto en la universidad como en la secundaria fue miembro de los equipos de ajedrez; Siempre prefirió los juegos que implicaban el pensamiento racional a los juegos de azar. [2] En los años de su educación secundaria, Henkin consideró convertirse en profesor de matemáticas y también llegó a desear convertirse en escritor (como expresó más tarde en una carta personal). [8] Aunque se dedicó a la vida académica universitaria, nunca abandonó su interés por la enseñanza de las matemáticas elementales, a la que posteriormente contribuyó activamente.
En 1937 León ingresó a la Universidad de Columbia como estudiante de matemáticas. Fue durante su paso por esta institución cuando desarrolló un interés por la lógica, lo que determinaría el rumbo de su carrera académica. Su primer contacto con la lógica fue a través del libro de B. Russell , " Misticismo y Matemáticas ", que despertó su interés durante una visita a la biblioteca. [9] Este interés fue aumentado y cultivado por algunos cursos. Aunque el departamento de matemáticas de la Universidad no ofrecía cursos de Lógica (éstos los ofrecía el departamento de Filosofía), León era uno de los pocos estudiantes de matemáticas interesados en esa disciplina y decidió asistir a ellos. [7] En el otoño de 1938, en su segundo año como estudiante de la Universidad de Columbia, participó en un primer curso de Lógica impartido por Ernest Nagel , quien había contribuido a la creación de la Asociación de Lógica Simbólica dos años antes. Este curso lo acercó al libro de Russell " Principios de Matemáticas ", donde encontró por primera vez el axioma de elección ; La presentación de Russell le causó una fuerte impresión y lo llevó a explorar los Principia Mathematica que Russell escribió con Whitehead unos años más tarde. Le impresionaron las ideas generales de la teoría de tipos y el misterioso axioma de la reducibilidad . [7] Tanto el axioma de elección como la teoría de tipos jugaron más tarde un papel importante en su tesis doctoral.
Al año siguiente, en el semestre de otoño de 1939, Henkin tomó un segundo curso de Lógica con Nagel, en el que se abordaron sistemas formales de lógica proposicional y lógica de primer orden. Estos constituyeron su primera experiencia con el tratamiento matemático de sistemas deductivos. El curso no abordó resultados metalógicos que establecieran una relación entre la semántica y la sintáctica, y no se abordó en absoluto la cuestión de la exhaustividad. [7] Sin embargo, Nagel propuso a Henkin como proyecto independiente la lectura de la prueba de la integridad de la lógica proposicional dada por Quine , que había aparecido unos meses antes en el Journal of Symbolic Logic . [10] Esta lectura fue muy significativa para Henkin, no tanto por el contenido en sí, sino porque con ella descubrió que podía comprender las investigaciones sobre lógica y matemáticas que se estaban llevando a cabo en ese momento. [7] Según Henkin, aunque logró seguir la demostración de Quine, no logró captar la idea de la prueba: " Simplemente señalé que el objetivo del artículo era mostrar que cada tautología tenía una prueba formal en el sistema. de axiomas presentados, y dediqué todo mi esfuerzo a comprobar el razonamiento de Quine de que esto era así, sin reflexionar jamás sobre por qué el autor y el lector estaban haciendo este esfuerzo. Este objetivo estrictamente limitado también me impidió preguntarme cómo pensaba el autor poner los pasos de. la prueba junta; el resultado fue que no logré captar 'la idea de la prueba', el ingrediente esencial necesario para el descubrimiento " [7]
Justo antes de que Henkin comenzara su segundo año en Columbia, estalló la Segunda Guerra Mundial. Esto tuvo varias repercusiones en su vida. Uno de ellos tuvo un efecto positivo en su educación. Días antes de que estallara la guerra, el matemático y lógico polaco Alfred Tarski había venido a Harvard , por invitación de Quine, para dar una serie de conferencias sobre lógica. Con la invasión de Polonia por parte de Alemania, a Tarski le resultó imposible regresar a Polonia y tuvo que permanecer en Estados Unidos. Tarski visitó varias ciudades dando conferencias sobre lógica. [11] Una de estas conferencias fue en Columbia, y Henkin, como el resto de los estudiantes de lógica, asistió con gran entusiasmo. En él, Tarski hablaba del trabajo de Gödel sobre proposiciones indecidibles en teoría de tipos y sobre la existencia de algoritmos de decisión para sistemas formales, un tema que Henkin encontró extremadamente estimulante. [7]
En su último año en Columbia, en 1941, el profesor FJ Murray, sabiendo que Henkin era un estudiante de matemáticas interesado en la Lógica, sugirió revisar juntos la monografía de Gödel recientemente publicada en Princeton sobre la coherencia del axioma de elección con el continuo generalizado. hipótesis . Si bien las reuniones que tuvieron para discutirlo fueron escasas y León terminó revisando esta monografía prácticamente solo, la experiencia fue considerada por él como la más enriquecedora en su formación en Columbia. [7] Según Henkin, entonces comenzaron a tomar forma algunas de las ideas que se convirtieron en el punto de partida de su tesis doctoral.
En 1940, Henkin decidió solicitar la admisión a un programa de doctorado, sin haber definido del todo qué camino seguir en su investigación. Fue aceptado en tres universidades, de las cuales eligió Princeton , ya que allí se encontraba el reconocido lógico Alonzo Church , aunque en ese momento Henkin desconocía su trabajo. [7]
Henkin comenzó sus estudios de posgrado en Princeton en 1941, bajo la dirección de Church. El doctorado. El programa al que asistió consistió en dos años de cursos de matemáticas, después de los cuales debía realizar un examen oral "calificador" para demostrar que tenía una buena educación en al menos tres ramas de las matemáticas; con esto recibiría una maestría. Luego tendría otros dos años para escribir una tesis doctoral que contuviera investigaciones originales, después de lo cual obtendría el título de Ph.D. [7]
Los dos primeros años tomó cursos de lógica -impartidos por Church-, análisis y topología general. En el primer curso de lógica con Church se estudiaron varios sistemas formales de Lógica Proposicional y Lógica de Primer Orden; Se revisaron algunas pruebas de completitud y parte discutida de los teoremas de Löwenheim-Skolem, así como una presentación de la prueba de Gödel sobre la completitud de la lógica de primer orden. En el segundo trataron con gran detalle un sistema de segundo orden para la aritmética de Peano , así como lo incompleto de esta teoría axiomática y la consiguiente incompletitud de la lógica de segundo orden. [7]
En 1941 Estados Unidos entró en la Segunda Guerra Mundial, alterando los planes de Henkin. Tuvo que apresurar su examen de calificación oral, con el que obtuvo el título de MA y abandonó Princeton para participar en el Proyecto Manhattan . Esta interrupción duraría cuatro años, durante los cuales aportó sus conocimientos matemáticos trabajando en problemas de radar y en el diseño de una planta para separar isótopos de uranio. [7] La mayor parte de su trabajo requirió análisis numérico para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Durante este período, todos sus trabajos y lecturas sobre lógica quedaron completamente suspendidos. [7]
Una vez que terminó la guerra, Henkin regresó a Princeton en 1946, donde todavía debía escribir una tesis para completar su doctorado. estudios. A su regreso se unió al curso de lógica que Church había iniciado un mes antes sobre la teoría de Frege del " sentido y la referencia ". En este curso descubrió la teoría de tipos de Church, que encontró sumamente interesante. Las preguntas que hizo al respecto finalmente lo llevaron a dar su prueba de la integridad de la teoría de tipos, que pudo adaptar para dar también una nueva prueba de la integridad de la lógica de primer orden. [7] Estos resultados, así como otros que surgieron de las mismas ideas, llegaron a formar parte de la tesis doctoral de Henkin, que se tituló " La integridad de los sistemas formales ", con la que se graduó en junio de 1947. La tesis en sí no se publicó, aunque algunas partes fueron reescritas y publicadas. [12] [13] [14] Muchos años después, Henkin escribió el artículo " El descubrimiento de mis pruebas de integridad ", [7] que contiene una revisión detallada del contenido de su disertación. Los procedimientos utilizados en él se han convertido en métodos frecuentes de demostración en diversas ramas de la lógica.
Habiendo obtenido su Ph.D. Licenciada, Henkin pasó dos años más en Princeton trabajando en estudios posdoctorales. Durante este tiempo, en 1948, conoció a Ginette Potvin, durante un viaje a Montreal con su hermana Estelle y el estudiante graduado de matemáticas de Princeton Harold Kuhn . Ginette se convertiría en su esposa en 1950, medio año después de que Estelle se casara con Harold. Después de completar su segundo año de estudios postdoctorales en Princeton en 1949, León regresó a California, donde ingresó al departamento de matemáticas de la Universidad del Sur de California . Allí ocupó el cargo de profesor asistente hasta 1953.
En 1952, Tarski había logrado obtener un puesto permanente en Berkeley para Henkin. Sin embargo, Henkin no quiso aceptarlo, ya que simpatizaba con las protestas levantadas recientemente por el controvertido juramento de lealtad que se había exigido a los profesores universitarios desde 1950. [15] Una vez que desapareció el requisito del juramento, Henkin aceptó la oferta de Tarski y llegó a un acuerdo. en Berkeley en 1953.
A partir de 1953, la mayor parte de la actividad académica de Henkin giró en torno a Berkeley, donde colaboró con un sólido grupo de investigación en Lógica. Allí permaneció casi toda su vida académica, salvo algunos periodos en los que viajó al extranjero con becas y ayudas de diversos institutos, como la estancia de un año que tuvo en Ámsterdam o la que realizó en Israel con las Becas Fulbright de Investigación que obtuvo. (en 1954 y 1979 respectivamente). [dieciséis]
Henkin siempre estuvo agradecido a Tarski, ya que gracias a él pudo establecerse en Berkeley. Después de la muerte de Tarski en 1983, escribió en una carta personal: “Le escribo para decirle que Alfred Tarski, que llegó a Berkeley en 1942 y fundó nuestro gran Centro para el Estudio de la Lógica y los Fundamentos, murió el miércoles por la noche, a los 82 años [ ...]. Fue él quien me trajo a Berkeley en 1953, por lo que le debo mucho tanto a nivel personal como científico”. [17]
Tarski no sólo le ofreció a Henkin una oportunidad laboral, sino que también le brindó un entorno de colaboración interdisciplinario muy fértil para el desarrollo de Logic. Tarski había fundado el Centro para el Estudio de la Lógica y los Fundamentos en Berkeley, pero con la ayuda de Henkin logró reunir a un grupo de lógicos, matemáticos y filósofos que formaron el Grupo de Lógica y Metodología de la Ciencia , [2] que se todavía activo hoy. [18] Como parte de este proyecto, crearon un programa de posgrado interdisciplinario que culminó con un doctorado. Tarski y Henkin impulsaron el proyecto organizando importantes congresos y conferencias sobre Lógica, siguiendo la concepción de Tarski de "la lógica como base común para todo el conocimiento humano". [19] [18] La intensa actividad que tuvo lugar en Berkeley en las décadas de 1950 y 1960 en metalógica se debió en gran medida a la actividad de Tarski y Henkin, tanto en la enseñanza como en la investigación. Muchos resultados de lo que hoy es crucial para la Teoría de Modelos surgieron como resultado de la actividad académica en Berkeley que tuvo lugar en esos años.
Entre los viajes de investigación que Henkin realizó a lo largo de los años se encuentran sus visitas a universidades de Hannover, Princeton, Colorado, así como a varias Universidades europeas, como Oxford (en el Reino Unido), y otras en Yugoslavia, España, Portugal y Francia. . En 1979, con su segunda Beca Fulbright, Henkin pasó un año en Israel, en Haifa, en el Departamento de Educación Científica de la Universidad Technion. [2] En esta ocasión también visitó dos universidades en Egipto. En 1982 visitó España por primera vez. Dio conferencias en varias universidades, incluidas las de Barcelona, Madrid y Sevilla. [2]
Henkin tuvo un papel activo en la investigación y la docencia, pero sus actividades en la universidad fueron mucho más allá. Además de la dedicación que puso en su docencia y en la orientación del Grupo de Lógica y Metodología de la Ciencia , ocupó algunos cargos administrativos; fue director del Departamento de Matemáticas de 1966 a 1968, y posteriormente de 1983 a 1985. [2] Una de las actividades a las que dedicó más energía fue la enseñanza de las matemáticas, sobre la que también realizó algunas investigaciones. [20]
En algunas ocasiones Henkin acudió a los colegios de sus hijos para hablar con niños de primaria sobre matemáticas, hablándoles de " los números negativos ", o " cómo restar por suma ". Por esa época (alrededor de 1960), Henkin comenzó a alternar su trabajo de investigación en matemáticas con el trabajo de investigación en la enseñanza de las matemáticas; esto último se hizo cada vez más frecuente. [2]
En 1991 se le concedió el título de Profesor Emérito de la Universidad de Berkeley y se jubiló.
Después de jubilarse, Henkin continuó trabajando en proyectos de enseñanza de matemáticas. A partir de 1991, participó en un programa de cursos de verano en Mills College destinado a brindar educación en matemáticas a mujeres talentosas de todo el país para prepararlas para la universidad. Finalmente, Ginette y Henkin se mudaron a Oakland, donde Henkin murió unos años después, en noviembre de 2006. [2]
Siempre amable con sus alumnos y compañeros, a quienes invitaba frecuentemente a su casa para disfrutar de veladas con Ginette, es recordado como un brillante investigador, un docente comprometido con su disciplina y una persona solidaria con su comunidad. [21]
Una de las frases que mejor capta el sentimiento expresado en diversos testimonios de sus alumnos es la de Douglas Hofstadter : "Me siento muy afortunado de haber sido su alumno de posgrado ya que aprendí de él mucho más que lógica. Es su humanidad la que conquistó "Siempre deseo no ser menos amable con mis estudiantes de posgrado y no menos ansioso por seguir su crecimiento profesional después de graduarse que él conmigo". [22]
El trabajo de Henkin en álgebra se centró en álgebras cilíndricas , tema que investigó junto con Alfred Tarski y Donald Monk. [23] El álgebra cilíndrica proporciona estructuras que son para la lógica de primer orden lo que el álgebra de Boole es para la lógica proposicional. [5] [24] Uno de los propósitos de Henkin y Tarski al promover la lógica algebraica era atraer el interés de los matemáticos por la lógica, [25] convencidos como estaban de que la lógica podía proporcionar principios unificadores a las matemáticas: [2] "De hecho Nos atreveríamos incluso a predecir que a través de la investigación lógica pueden surgir importantes principios unificadores que ayudarán a dar coherencia a una matemática que a veces parece en peligro de volverse infinitamente divisible". [26]
Según Monk, [5] la investigación de Henkin sobre álgebra cilíndrica se puede dividir en las siguientes partes: Teoría algebraica, Teoría algebraica de conjuntos, Teoremas de representación, Construcciones algebraicas no representables y Aplicaciones a la lógica. [5]
En 1949 se publicó " La completitud del cálculo funcional de primer orden " [12] , así como " La completitud en la teoría de tipos " [27] en 1950. Ambos presentaron parte de los resultados expuestos en la disertación " La completitud del cálculo funcional formal". sistemas " con el que Henkin recibió su doctorado. Licenciado en Princeton en 1947. Uno de los resultados más conocidos de Henkin es el de la integridad de la lógica de primer orden, publicado en el artículo de 1949 antes mencionado, que aparece como el primer teorema de la disertación de 1947. Dice lo siguiente:
Cualquier conjunto de oraciones formalmente consistentes en el sistema deductivo de es satisfacible por una estructura numerable .
Este teorema se denomina hoy en día "teorema de completitud", ya que de él se deduce fácilmente lo siguiente:
Si es un conjunto de oraciones de y es consecuencia semántica de , entonces es deducible de .
Esta es la versión fuerte del teorema de completitud, del cual se obtiene como corolario la versión débil. Este último enuncia el resultado para el caso particular en el que se trata del conjunto vacío, es decir, el cálculo deductivo de la lógica de primer orden es capaz de derivar todas las fórmulas válidas. La versión débil, conocida como teorema de completitud de Gödel , había sido demostrada por Gödel en 1929, en su propia tesis doctoral. La prueba de Henkin es más general, más accesible que la de Gödel y más fácilmente generalizable a lenguajes de cualquier cardinalidad. Aborda la completitud desde una perspectiva nueva y fructífera [28] y su mayor cualidad es quizás que su prueba puede adaptarse fácilmente para demostrar la completitud de otros sistemas deductivos. Otros resultados centrales para la teoría de modelos se obtienen como corolarios de la fuerte integridad de la lógica de primer orden demostrada por Henkin. De ello se deduce, por ejemplo, el siguiente resultado para un lenguaje de primer orden :
Todo conjunto de fórmulas bien formadas que es satisfactible en una estructura −es satisfacible en una estructura numerable infinita.
Este resultado se conoce como teorema de Löwenheim-Skolem "hacia abajo". Otro resultado obtenido del teorema de completitud es:
Un conjunto de fórmulas bien formadas tiene un modelo si y sólo si cada subconjunto finito tiene un modelo.
Este último se conoce como el " teorema de la compacidad " de la lógica de primer orden, que también puede expresarse como: "Cualquier conjunto de fórmulas bien formadas que sea finitamente satisfactible es satisfacible". [29] Es decir, si para cada uno de los subconjuntos finitos de hay una estructura en la que todas sus fórmulas son verdaderas, entonces también hay una estructura en la que todas las fórmulas de son verdaderas. Se le conoce como "teorema de la compacidad" porque corresponde a la compacidad de un determinado espacio topológico, definido a partir de nociones semánticas. [30]
Entre los otros teoremas de completitud dados por Henkin, el más relevante es quizás el de completitud de la Teoría de tipos de Church, que es el primero de los teoremas de completitud que Henkin demostró. Luego, adaptó el método desarrollado en esa prueba para demostrar la integridad de otros sistemas deductivos. Este método se ha seguido utilizando para dar pruebas de completitud tanto en lógica clásica como no clásica, y se ha convertido en la prueba habitual de completitud para la lógica de primer orden en los libros de texto de Lógica. Cuando Henkin publicó este resultado en 1949, la exhaustividad ni siquiera formaba parte de los temas canónicos cubiertos por los libros de texto; Unos veinte años más tarde, este teorema, junto con su demostración y corolarios, formaba parte de prácticamente todos los libros de texto de Lógica. [31] En cuanto a la lógica no clásica, el método de Henkin se puede utilizar, entre otras cosas, para extender la integridad de la lógica difusa desde el primer orden hasta el orden superior, produciendo una teoría de tipos difusa completa; [32] también ofrece una manera de obtener resultados que vinculan la lógica clásica con la lógica intuicionista ; [33] y permite probar resultados de completitud en otras lógicas no clásicas, como en los casos de la teoría de tipos híbridos [34] y la teoría de tipos proposicionales híbridas ecuacionales. [35]
A pesar de ser uno de sus resultados más conocidos, Henkin llegó a la prueba de la integridad de la lógica de primer orden "accidentalmente", intentando demostrar un resultado completamente diferente. [7] El orden de publicación de sus artículos e incluso el orden de presentación de los teoremas en su disertación de 1947 no reflejan la evolución que siguieron las ideas que lo llevaron a sus resultados completos. [36] Sin embargo, Henkin simplifica la difícil tarea de seguir el desarrollo y la configuración de sus ideas en su artículo " El descubrimiento de mis pruebas de integridad ", [7] publicado en 1996. En él, describe el proceso de desarrollo de sus ideas. disertación. No sólo explica el contenido de su trabajo, sino que también explica las ideas que lo llevaron, desde sus primeros cursos de lógica en la universidad hasta el final de la redacción de su tesis. [37]
Al final de la guerra, Henkin regresó a Princeton para completar sus estudios de doctorado, para los cuales aún tenía que escribir una tesis que contenía una investigación original. Tan pronto como llegó a Princeton, asistió al curso de lógica de Church que había comenzado un mes antes y que trataba de la teoría de Frege sobre el "sentido y la referencia". Motivado por las ideas de Frege, Church quiso ponerlas en práctica mediante una teoría axiomática formal. Para ello, tomó la sencilla Teoría de tipos que había publicado unos años antes y la dotó de una jerarquía de tipos, inspirada en la idea de "sentido" expuesta por Frege. Fue en este curso que Henkin se familiarizó con la Teoría de tipos de Church, que encontró de gran interés. Inmediatamente hizo una conjetura al respecto, cuya prueba esperaba que pudiera convertirse en su tesis doctoral.
Uno de los atributos que llamó la atención de Henkin sobre la teoría de tipos de Church fue que el operador - permitía nombrar muchos objetos en la jerarquía de tipos. Como explica en " El descubrimiento de mis pruebas de completitud ", se propuso descubrir qué elementos tenían nombres en esta teoría. Comenzó explorando los elementos nombrados en los dos dominios en la base de la jerarquía de tipos. Tomó como universo de individuos y añadió una constante para cada uno, el número y la función sucesora , de modo que cada elemento en el dominio fuera nombrado a partir de apariciones repetidas de . Al ascender en la jerarquía, intentó especificar qué funciones sobre esos elementos eran nombrables. El conjunto de ellas era supernumerable, por lo que tenía que haber algunas sin nombre, ya que sólo hay un número numerable de expresiones. ¿Cómo se podría decir qué elementos eran los nombrables? Para que cada expresión correspondiera al elemento que denotaba, necesitaba una función de elección , en cuya búsqueda Henkin invirtió muchos esfuerzos. Finalmente, se dio cuenta de que mediante el cálculo deductivo podía formar clases de equivalencia de expresiones cuya igualdad podía derivarse mediante el cálculo, y formar con estas clases un modelo isomorfo a la nueva jerarquía de tipos formada por los elementos nombrados. Se había centrado en las interpretaciones del lenguaje formal, cuando la clave para resolver el problema residía en el sistema deductivo. Quedaba por hacer del universo de los objetos nombrados por las proposiciones un conjunto de dos elementos: los valores de verdad. Esto podría lograrse expandiendo los axiomas para formar un conjunto máximamente consistente. Una vez logrado esto, se podría demostrar que todo conjunto consistente de fórmulas tiene un modelo que satisface exactamente las fórmulas de –los elementos de dicho modelo son las clases de equivalencia de las propias expresiones–. Es decir, habría logrado dar una prueba de la integridad del cálculo deductivo. [6]
El mismo método utilizado para demostrar la integridad de la teoría de tipos de Church podría adaptarse fácilmente para dar una prueba de la integridad (fuerte) de la lógica de primer orden y de otras que siguieron más adelante. Las ideas sobre los elementos denominables en la jerarquía de tipos que subyacen al descubrimiento de las pruebas de completitud de Henkin llevaron a la introducción exitosa de una nueva semántica, llamada semántica general , que se basa en modelos generales (o modelos de Henkin).
El método de Henkin para dar pruebas de completitud consiste en construir un modelo determinado: comienza con un conjunto de fórmulas , cuya coherencia se supone. Luego se construye un modelo que satisface exactamente las fórmulas de . La idea de Henkin de construir un modelo adecuado se basa en obtener una descripción suficientemente detallada de dicho modelo utilizando las oraciones del lenguaje formal, y establecer qué objetos podrían ser los elementos de dicho modelo. Si se supiera, para cada fórmula del lenguaje de , si debe ser satisfecha o no por el modelo, tendríamos una descripción integral del modelo que permitiría su construcción. Esto es exactamente lo que se busca: un conjunto de oraciones que contengan para lo cual se sostiene que toda oración del lenguaje o su negación pertenece a Gamma. En el caso de la lógica de primer orden se requiere una cosa más: que el conjunto sea ejemplificado, es decir, para toda fórmula existencial exista una constante que actúe como testigo de la misma. Por otro lado, dado que la naturaleza de los objetos que componen el universo del modelo es irrelevante, no surge ninguna objeción a tomar como individuos los propios términos del lenguaje –o clases de equivalencia de ellos–.
El primer paso que se debe dar es extender el lenguaje agregando una colección infinita de nuevas constantes individuales, y luego ordenar las fórmulas del lenguaje (que son infinitas). Una vez hecho esto, el objetivo es construir inductivamente una cadena infinita de conjuntos consistentes y ejemplificados: partimos de , agregando sistemáticamente a este conjunto todas las fórmulas que no hagan que el conjunto resultante sea inconsistente, agregando también ejemplificaciones de las fórmulas existenciales. Se construye así una cadena infinita de conjuntos consistentes y ejemplificados, cuya unión es un conjunto máximamente consistente y ejemplificado; este será el conjunto requerido .
Habiendo logrado construir este conjunto ejemplificado y consistente al máximo, se puede construir el modelo descrito por él. ¿Qué individuos constituyen el universo del modelo? En el caso de la lógica de primer orden sin igualdad, los elementos del dominio serán los términos del lenguaje formal. Para construir las funciones y relaciones del modelo seguimos minuciosamente lo que dicta: si el lenguaje contiene un -relator , su interpretación en el modelo será una relación formada por todas las -tuplas de términos en el universo del modelo tal que la fórmula que dice están relacionados pertenece a . Si el lenguaje incluye igualdad, el dominio del modelo son las clases de equivalencia de los términos del lenguaje. La relación de equivalencia se establece mediante las fórmulas del conjunto máximamente consistente: dos términos son iguales si hay una fórmula que así lo indique.
Resumiendo, la demostración en el caso de un lenguaje numerable tiene dos partes: [6]
La simple Teoría de Tipos, con el cálculo - y la semántica estándar es suficientemente rica para expresar la aritmética categóricamente, de donde se sigue, por el teorema de incompletitud de Gödel , que es incompleta. Siguiendo la idea de identificar los elementos nombrables en la jerarquía de tipos, Henkin propuso un cambio en la interpretación del lenguaje, aceptando como jerarquías de tipos algunas que anteriormente no eran admitidas. Si a cada nivel de la jerarquía se le pide no que existan todas las funciones correspondientes, sino sólo aquellas que sean definibles, entonces se obtiene una nueva semántica, y con ella una nueva lógica. [38] La semántica resultante se conoce como semántica general. En él las estructuras que son admisibles como modelos son las conocidas como 'modelos generales'. [39] Estos se pueden utilizar no sólo en la teoría de tipos, sino también, por ejemplo, para obtener lógicas completas (y compactas) de orden superior .
La obtención de lógicas completas de orden superior mediante el uso de la semántica general logra el equilibrio esperado entre el poder expresivo de una lógica y el poder de su cálculo deductivo. En lógica de segundo orden con semántica estándar se sabe que cuantificar variables predicativas confiere al lenguaje un inmenso poder expresivo, a cambio de lo cual se pierde el poder del cálculo deductivo: este último no es suficiente para producir el extenso conjunto de fórmulas válidas de esta lógica (con semántica estándar). Cambiar el cálculo no resuelve nada, ya que el teorema de incompletitud de Gödel asegura que ningún cálculo deductivo podría alcanzar la completitud. Por el contrario, al cambiar la semántica, es decir, al cambiar los conjuntos que forman los universos en los que se interpretan las variables y constantes predicativas, la lógica resulta completa, a costa de perder capacidad expresiva. [40]
En lógica de segundo orden, el conjunto de fórmulas válidas es tan grande porque el concepto de estructura estándar es demasiado restrictivo y no hay suficientes para encontrar modelos que refuten las fórmulas. [41] Al relajar las condiciones que pedimos a las estructuras sobre las que se interpreta el lenguaje, existen más modelos en los que las fórmulas deben ser verdaderas para ser válidas y por tanto se reduce el conjunto de fórmulas válidas; lo hace de tal manera que coincide con el conjunto producido por un cálculo deductivo, dando lugar a la completitud. [42]
Una de las áreas en las que las bases sentadas por el trabajo de Henkin han resultado fructíferas es en la búsqueda de una lógica que funcione como un marco común para la traducción entre lógicas. Este marco está destinado a ser utilizado como una herramienta metalógica; su propósito no es elegir "una lógica" por encima de las demás, lo que suprimiría la riqueza que aporta la diversidad de ellas, sino proporcionar el contexto adecuado para contrastarlas, comprenderlas y así aprovechar al máximo las cualidades de cada una. . [42]
Una investigación que lleva las ideas de Henkin en esta dirección es la de María Manzano, una de sus alumnas, cuya propuesta es utilizar la Lógica Multiordenada como marco común para la traducción de lógicas. [42] Los objetivos de esta propuesta se pueden sintetizar en dos: 1) utilizar un único cálculo deductivo para todos ellos; y 2) utilizar las metapropiedades de la lógica multiclasificada para probar más fácilmente las metapropiedades de otras lógicas. Además, contar con un marco lógico es útil para comparar diferentes lógicas comparando las teorías que las representan. [42] Aunque Henkin no habla de traducción de fórmulas, ni hace explícito un lenguaje multiordenado o cálculo, las ideas que utiliza en dos de sus artículos sirven como base para el enfoque de la traducción: [43] " Completitud en la teoría de tipos " [44] y " Destierro de la regla de sustitución de variables funcionales ". [45]
El tema de la inducción matemática se abordó con frecuencia en las actividades de enseñanza de Henkin. Probablemente su experiencia en este campo fue fruto de su artículo " Sobre la inducción matemática ". [46] Este era su artículo favorito de Henkin, del cual incluso escribió que lo consideraba su mejor artículo expositivo. [47] En él definió los Modelos de Peano como aquellos que cumplen los tres axiomas de segundo orden de Peano y los Modelos de Inducción como los que satisfacen el tercero de ellos: el axioma de inducción. Demostró que aunque todas las operaciones recursivas pueden introducirse en los modelos de Peano, este no es el caso en los modelos de inducción. En concreto, existen Modelos de Inducción en los que no se puede definir la operación de exponenciación. [46] En este artículo, Henkin también presenta la estructura matemática que pueden tener los modelos de Inducción, que es bastante simple: pueden ser el modelo estándar, es decir, isomorfos a los números naturales, o de dos formas más; isomorfo a ciclos –que corresponden al módulo de números enteros ; o isomorfismo a lo que Henkin llamó "cucharas", que es una combinación de una lista finita seguida de un ciclo. [46] [42]
De los artículos publicados por Henkin, el más filosófico es " Algunas notas sobre el nominalismo ", [48] que escribió en respuesta a dos artículos sobre el nominalismo, [16] uno de Quine y el otro escrito conjuntamente por Quine y Goodman. Las discusiones relevantes a esta doctrina filosófica surgen naturalmente en las pruebas de completitud dadas por Henkin, así como en su propuesta de un cambio en la semántica a través de modelos generales. Tanto por el contenido de sus obras como por sus propias declaraciones se considera que su postura era nominalista. [6]
La actividad de Henkin como profesor universitario fue vigorosa. Enseñó en todos los niveles, poniendo el mismo cuidado y dedicación en cada uno de ellos. Algunos de los cursos que impartió estaban directamente relacionados con su área de investigación, como " Lógica Matemática ", " Metamatemática " o " Álgebra Cilíndrica ", pero otros se extendieron a una gran diversidad de áreas, incluyendo, entre otros, " Fundamentos de Geometría " , " Álgebra y Trigonometría ", " Matemática Finita ", " Cálculo con Geometría Analítica " o " Conceptos Matemáticos para Profesores de Educación Primaria ". [16] Sus alumnos coinciden en que sus explicaciones fueron extremadamente claras y llamaron la atención del oyente. [49] En palabras de uno de sus alumnos, " parte de su magia era su elegante expresión de las matemáticas, pero también trabajó duro para involucrar a su audiencia en conjeturar y ver el siguiente paso o sorprenderse por él. Ciertamente capturó el interés de su público ." [50]
Uno de los aspectos de sus conferencias en los que puso especial cuidado fue en encontrar un ritmo adecuado, ante el constante dilema de cómo encontrar la velocidad óptima para el aprendizaje. Consideró importante que los alumnos pudieran seguir el ritmo de la clase, aunque esto implicara que a algunos les resultara lenta, podían continuar a su propio ritmo con las lecturas. [2] Sin embargo, también consideraba que lo que se aprende fácilmente se olvida fácilmente, por lo que buscó un equilibrio entre hacer sus clases accesibles y desafiantes para los estudiantes, de modo que estos hicieran el esfuerzo de aprender más profundamente. [49] Sobre su propia experiencia como estudiante, comentó en una entrevista: " Esa manera fácil en que surgieron las ideas hizo que fuera demasiado fácil olvidarlas. Probablemente aprendí material más densamente condensado en lo que llamamos el 'seminario para bebés en topología conjuntiva', dirigida por Arthure Stone, aprendí más porque nos obligó a hacer todo el trabajo " [51] .
Además de sus cursos y supervisión de estudiantes de posgrado, el papel de Henkin en la educación de los académicos fue significativo. Tarski lo había invitado a Berkeley con un propósito claro. Como matemático, Henkin tuvo un papel clave en el proyecto de Tarski de hacer de Berkeley un centro de desarrollo de la lógica, [52] reuniendo a matemáticos, lógicos y filósofos. Henkin lo ayudó a llevar a cabo el proyecto, ayudándolo en la creación del Grupo interdisciplinario en Lógica y Metodología de la Ciencia , cuyo exitoso desempeño se debió en gran medida al impulso de Henkin. [2] Parte de este proyecto fue la creación de un programa universitario interdisciplinario que culminó con un doctorado. en " Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia ". También colaboró en la organización de importantes encuentros y congresos que promovieron la colaboración interdisciplinar unida por la lógica. [52] El resultado fue que en las décadas de 1950 y 1960 hubo un desarrollo vibrante de la lógica en Berkeley, del cual surgieron muchos avances en la teoría de modelos.
Aunque el primer encuentro de Henkin con la enseñanza de las matemáticas fue como profesor, más adelante en su vida también comenzó a investigar sobre la enseñanza de las matemáticas. Algunos de sus escritos en este campo son: " Retrazando las Matemáticas Elementales ", [53] " Nuevas direcciones en las matemáticas de la escuela secundaria " [54] o " Los roles de la acción y del pensamiento en la educación matemática ". [55] A partir de 1979 puso especial énfasis en esta faceta de su investigación [2] y las últimas tesis doctorales que dirigió están relacionadas con la enseñanza de las matemáticas o la integración de grupos minoritarios en la investigación. [dieciséis]
A Henkin le gustaba escribir artículos expositivos, [56] por algunos de los cuales recibió premios como el Premio Chauvenet (1964), [57] por el artículo " ¿Are Logic and Mathematics Identical? " [9] o el Premio Lester R. Ford , [16] por el artículo " Fundamentos matemáticos de las matemáticas ". [58]
A lo largo de su vida, Leon Henkin mostró un profundo compromiso con la sociedad y a menudo fue llamado un activista social. [16] Muchos de sus proyectos de enseñanza de matemáticas buscaban acercar las matemáticas y áreas afines a grupos minoritarios o socialmente desfavorecidos. [59] Era consciente de que somos parte de la historia y del contexto que nos rodea, como registra uno de sus escritos:
" Olas de la historia inundan nuestra nación, agitando nuestra sociedad y nuestras instituciones. Pronto vemos cambios en la forma en que todos hacemos las cosas, incluidas nuestras matemáticas y nuestra enseñanza. Estos cambios se forman en riachuelos y corrientes que se fusionan en varios puntos. Se forman ángulos con aquellos que surgen en partes de nuestra sociedad bastante diferentes a la educación, las matemáticas o la ciencia, contribuyendo a poderosas corrientes que producirán futuras olas de la historia. La Gran Depresión y la Segunda Guerra Mundial formaron el trasfondo de mis años de estudio; La Guerra Fría y el Movimiento por los Derechos Civiles fueron el telón de fondo en el que comencé mi carrera como investigador matemático y más tarde comencé a involucrarme en la educación matemática ." [60]
Henkin estaba convencido de que se podían lograr cambios a través de la educación y, fiel a su idea, se comprometió tanto con programas de educación matemática elemental como con programas cuyo objetivo fuera combatir la exclusión. [61] Mostró un compromiso político con la sociedad, defendiendo ideas progresistas. Inspiró a muchos de sus estudiantes a involucrarse en la educación matemática. [2] Diane Resek, una de sus estudiantes con afinidad por la enseñanza, lo describió de la siguiente manera:
" León estaba comprometido a trabajar por la equidad en la sociedad. Pudo ver que los matemáticos profesionales podían marcar una diferencia, particularmente en lo que respecta a las desigualdades raciales en los Estados Unidos. Fue una de las primeras personas en decir que algo que frena el avance racial Las minorías y las personas más pobres en Estados Unidos eran sus bajas tasas de participación en carreras de matemáticas y ciencias. Creía que había formas de enseñar y nuevos programas que podrían corregir este problema " [62] .
Consciente de los aportes que los matemáticos podrían hacer a través de la enseñanza, Henkin defendió que la enseñanza debe ser valorada en el ambiente académico, como expresó en una carta personal: " En estos tiempos en que nuestros doctores en matemáticas tradicionalmente formados están encontrando caminos difíciles en el mercado, me parece que nosotros, los profesores, deberíamos buscar especialmente nuevos ámbitos en los que la formación matemática pueda hacer una contribución sustancial a los objetivos básicos de la sociedad " [63]
Algunos de los proyectos sociales que formó o en los que participó son los siguientes. [2] Entre 1957 y 1959 formó parte de los Institutos de Verano, dirigidos a profesores de matemáticas y dedicados a mejorar la educación secundaria y universitaria. En 1958 la National Science Foundation autorizó al comité de la American Mathematical Society –que se había interesado desde hacía algunos años en el uso de películas y material visual para la educación matemática– a producir películas experimentales con este fin, acompañadas de manuales impresos con apéndices que profundizar en los contenidos y problemas a resolver. Henkin participó en este proyecto con una película sobre inducción matemática, cuyo manual complementario fue impreso por la American Mathematical Society. [64] La película fue transmitida en la serie " Mathematics Today ". Entre 1961 y 1964 participó en una serie de cursos para profesores de educación primaria, organizados por la Comisión del Programa de Licenciatura en Matemáticas. También por esa época impulsó la iniciativa Actividades para Ampliar Oportunidades, que buscaba brindar oportunidades a estudiantes prometedores de grupos étnicos minoritarios ofreciéndoles cursos de verano y becas. Participó en el programa SEED (Educación Primaria Especial para Desfavorecidos), que incentivó a estudiantes universitarios a participar en la educación primaria, así como en SESAME (Excelencia Especial en Educación Científica y Matemática), el programa de doctorado interdisciplinario creado por miembros de varios departamentos de ciencias, cuyo propósito era investigar la enseñanza y el aprendizaje de las ciencias, la ingeniería y las matemáticas. Entre 1960 y 1968 participó en una serie de conferencias en escuelas de matemáticas y estuvo involucrado en el desarrollo de varias películas producidas por el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM). Estas películas trataron temas como el sistema de números enteros y el sistema de números racionales. También participó en cursos de apoyo para estudiantes de cálculo y convenció al departamento de matemáticas para que permitiera a los estudiantes de posgrado recibir el mismo apoyo financiero para trabajar como profesores de escuela primaria que para trabajar como profesores asistentes en la universidad. [49] " No sólo creía en la igualdad, sino que también trabajó activamente para que se lograra ". [sesenta y cinco]
