Álgebra

rama de las matemáticas

El álgebra elemental se interesa por las ecuaciones polinómicas y busca descubrir qué valores las resuelven (imagen superior). El álgebra abstracta estudia estructuras algebraicas , como el anillo de números enteros dado por el conjunto de números enteros ( ) junto con operaciones de suma ( ) y multiplicación ( ) (imagen inferior). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \times }$

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia los sistemas algebraicos y la manipulación de ecuaciones dentro de esos sistemas. Es una generalización de la aritmética que incluye variables además de números regulares y operaciones algebraicas distintas de las operaciones aritméticas estándar como la suma y la multiplicación .

El álgebra elemental es la forma principal de álgebra que se enseña en la escuela y examina enunciados matemáticos utilizando variables para valores no especificados. Busca determinar para qué valores las afirmaciones son verdaderas. Para ello, utiliza diferentes métodos de transformación de ecuaciones para aislar variables . El álgebra lineal es un campo estrechamente relacionado que investiga variables que aparecen en varias ecuaciones lineales , los llamados sistemas de ecuaciones lineales . Intenta descubrir los valores que resuelven todas las ecuaciones al mismo tiempo.

El álgebra abstracta estudia las estructuras algebraicas , que constan de un conjunto de objetos matemáticos junto con una o varias operaciones binarias definidas sobre ese conjunto. Es una generalización del álgebra elemental y lineal ya que permite objetos matemáticos distintos de los números y operaciones no aritméticas. Distingue entre diferentes tipos de estructuras algebraicas, como grupos , anillos y campos , según el número de operaciones que utilizan y las leyes que siguen . El álgebra universal constituye un nivel adicional de generalización que no se limita a operaciones binarias e investiga patrones más abstractos que caracterizan las estructuras algebraicas.

Los métodos algebraicos se estudiaron por primera vez en la antigüedad para resolver problemas específicos en campos como la geometría . Los matemáticos posteriores examinaron técnicas generales para resolver ecuaciones independientemente de sus aplicaciones específicas. Se basaron en descripciones verbales de problemas y soluciones hasta los siglos XVI y XVII, cuando se desarrolló un formalismo matemático riguroso. A mediados del siglo XIX, el alcance del álgebra se amplió más allá de una teoría de ecuaciones para cubrir diversos tipos de operaciones algebraicas y estructuras algebraicas.

El álgebra es relevante para muchas ramas de las matemáticas, como la geometría, la topología , la teoría de números y el cálculo , y otros campos de investigación, como la lógica y las ciencias empíricas .

Definición y etimología

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las operaciones algebraicas ^[a] y las estructuras algebraicas . ^{[2] Una estructura algebraica es un} conjunto no vacío de objetos matemáticos , como los números reales , junto con operaciones algebraicas definidas en ese conjunto, como la suma y la multiplicación . ^[3] Álgebra explora las leyes, las características generales y los tipos de estructuras algebraicas. Dentro de ciertas estructuras algebraicas, estudia el uso de variables en ecuaciones y cómo manipular estas ecuaciones. ^[4]

El álgebra suele entenderse como una generalización de la aritmética . ^[5] La aritmética estudia operaciones aritméticas, como suma, resta , multiplicación y división , en un dominio específico de números, como los números reales. ^[6] El álgebra elemental constituye el primer nivel de abstracción. Al igual que la aritmética, se limita a tipos específicos de números y operaciones. Generaliza estas operaciones al permitir cantidades indefinidas en forma de variables además de números. ^[7] Se logra un mayor nivel de abstracción en el álgebra abstracta, que no se limita a un dominio específico y estudia diferentes clases de estructuras algebraicas, como grupos y anillos . Estas estructuras algebraicas no se limitan a operaciones aritméticas típicas y cubren otras operaciones binarias además de ellas. ^[8] El álgebra universal es aún más abstracta en el sentido de que no se limita a operaciones binarias ni se interesa en clases específicas de estructuras algebraicas, sino que investiga las características de las estructuras algebraicas en general. ^[9]

La palabra álgebra proviene del título del libro de al-Khwarizmi, Al-Jabr . ^[10]

El término "álgebra" se utiliza a veces en un sentido más estricto para referirse únicamente al álgebra elemental o únicamente al álgebra abstracta. ^[11] Cuando se usa como sustantivo contable, un álgebra es un tipo específico de estructura algebraica que involucra un espacio vectorial equipado con un cierto tipo de operación binaria . ^[12] Dependiendo del contexto, "álgebra" también puede referirse a otras estructuras algebraicas, como un álgebra de Lie o un álgebra asociativa . ^[13]

La palabra álgebra proviene del término árabe الجبر ( al-jabr ) y originalmente se refería al tratamiento quirúrgico de la fijación de huesos . En el siglo IX, el término recibió un significado matemático en la obra El libro compendioso sobre el cálculo por terminación y equilibrio , en la que el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi lo utilizó para describir un método de resolución de ecuaciones. La palabra entró en el idioma inglés en el siglo XVI desde el italiano, el español y el latín medieval. ^[14] Inicialmente, el significado del término estaba restringido a la teoría de ecuaciones , es decir, al arte de manipular ecuaciones polinómicas con vistas a resolverlas. Esto cambió en el transcurso del siglo XIX ^[b] cuando el alcance del álgebra se amplió para cubrir el estudio de diversos tipos de operaciones algebraicas y estructuras algebraicas junto con sus axiomas subyacentes. ^[17]

Ramas principales

Álgebra elemental

Notación de expresión algebraica:
  1 – potencia (exponente)
  2 – coeficiente
  3 – término
  4 – operador
  5 – término constante
  x y c – variables/constantes

El álgebra elemental, también conocida como álgebra escolar, álgebra universitaria y álgebra clásica, ^[18] es la forma más antigua y básica de álgebra. Es una generalización de la aritmética que se basa en el uso de variables y examina cómo se pueden transformar las fórmulas . ^[19]

La aritmética es el estudio de operaciones numéricas e investiga cómo se combinan y transforman los números usando operaciones aritméticas como suma , resta , multiplicación y división . Por ejemplo, la operación de suma combina dos números, llamados sumandos, en un tercer número, llamado suma, como en . ^[6] ${\displaystyle 2+5=7}$

El álgebra elemental se basa en las mismas operaciones y permite variables además de números regulares. Las variables son símbolos de cantidades desconocidas o no especificadas. Permiten establecer relaciones cuyos valores exactos no se conocen y expresar leyes generales que son verdaderas independientemente de los números que se utilicen. Por ejemplo, la ecuación pertenece a la aritmética y expresa una igualdad sólo para estos números específicos. Al reemplazar los números con variables, es posible expresar una ley general que se aplica a cualquier combinación posible de números, como en la ecuación . ^[19] ${\displaystyle 2\times 3=3\times 2}$ ${\displaystyle a\times b=b\times a}$

El álgebra elemental se interesa por las expresiones algebraicas , que se forman mediante el uso de operaciones aritméticas para combinar variables y números. Por ejemplo, la expresión es una expresión algebraica creada multiplicando el número 5 por la variable x y sumando el número 3 al resultado. Otros ejemplos de ecuaciones algebraicas son y . ^[20] ${\displaystyle 5x+3}$ ${\displaystyle 32xyz}$ ${\displaystyle 64x^{2}+7y-13}$

Las expresiones algebraicas se utilizan para construir declaraciones que relacionan dos expresiones entre sí. Una ecuación es una declaración formada al comparar dos expresiones con un signo igual (=), como en . Las inecuaciones se forman con símbolos como el signo menor que (<) y el signo mayor que (>). A diferencia de las meras expresiones, las afirmaciones pueden ser verdaderas o falsas y su valor de verdad suele depender de los valores de las variables. Por ejemplo, la afirmación es verdadera si x es 2 o -2 y falsa en caso contrario. ^[21] ${\displaystyle 5x^{2}+6x=3y+4}$ ${\displaystyle x^{2}=4}$

El principal objetivo del álgebra elemental es determinar para qué valores un enunciado es verdadero. Para lograrlo, se apoya en diferentes técnicas utilizadas para transformar y manipular declaraciones. Un principio clave que guía este proceso es que todo lo que se haga en un lado de una ecuación también debe hacerse en el otro lado de la ecuación. Por ejemplo, si uno resta 5 del lado izquierdo de una ecuación, también necesita restar 5 del lado derecho de la ecuación para equilibrar ambos lados. El objetivo de estos pasos suele ser aislar la variable que nos interesa de un lado, un proceso conocido como resolución de la ecuación de esa variable. Por ejemplo, la ecuación se puede resolver para x sumando 7 a ambos lados, lo que aísla x en el lado izquierdo y da como resultado la ecuación . ^[22] ${\displaystyle x-7=4}$ ${\displaystyle x=11}$

Hay muchas otras técnicas que se utilizan para resolver ecuaciones. La simplificación se emplea para reemplazar una expresión complicada por una equivalente más simple. Por ejemplo, la expresión se puede reemplazar con la expresión . ^[23] La factorización se utiliza para reescribir una expresión como producto de varios factores. Esta técnica es común en polinomios para determinar para qué valores la expresión es cero . Por ejemplo, el polinomio se puede factorizar como . El polinomio en su conjunto es cero si uno de sus factores es cero, es decir, si x es -2 o 5. ^[24] Para declaraciones con varias variables, la sustitución es una técnica común para reemplazar una variable con una expresión equivalente que no No utilice esta variable. Por ejemplo, si se sabe eso, se puede simplificar la expresión para llegar a . ^[25] Otras técnicas se basan en propiedades conmutativas , distributivas y asociativas . ^[26] ${\displaystyle 7x-3x}$ ${\displaystyle 4x}$ ${\displaystyle x^{2}-3x-10}$ ${\displaystyle (x+2)(x-5)}$ ${\displaystyle y=3x}$ ${\displaystyle 7xy}$ ${\displaystyle 21x^{2}}$

Las ecuaciones algebraicas se pueden utilizar para describir figuras geométricas. Todos los valores de xey que resuelven la ecuación se interpretan como puntos y se dibujan como una línea roja.

El álgebra elemental tiene aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas, las ciencias, los negocios y la vida cotidiana. ^[27] Una aplicación importante en el campo de la geometría se refiere al uso de ecuaciones algebraicas para describir figuras geométricas en forma de gráfico . Para ello, las diferentes variables de la ecuación se interpretan como coordenadas y los valores que resuelven la ecuación se interpretan como puntos de la gráfica. Por ejemplo, si x se establece en cero en la ecuación , entonces y tiene que ser −1 para que la ecuación sea verdadera. Esto significa que el par xy (0, −1) es parte de la gráfica de la ecuación. El par xy (0, 7), por el contrario, no resuelve la ecuación y, por lo tanto, no forma parte de la gráfica. La gráfica abarca la totalidad de todos los pares xy que resuelven la ecuación. ^[28] ${\displaystyle y=0.5x-1}$

Álgebra lineal

El álgebra lineal emplea los métodos del álgebra elemental para estudiar sistemas de ecuaciones lineales . ^[29] Una ecuación es lineal si ninguna variable se multiplica por otra variable y no se aplican operaciones como exponenciación , extracción de raíces y logaritmo a las variables. Por ejemplo, las ecuaciones y son lineales mientras que las ecuaciones y son no lineales . Varias ecuaciones forman un sistema de ecuaciones si todas dependen del mismo conjunto de variables. ^[30] ${\displaystyle 0.25x-4=y}$ ${\displaystyle x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0}$ ${\displaystyle x^{2}=y}$ ${\displaystyle 3x_{1}x_{2}+15=0}$

Los sistemas de ecuaciones lineales suelen expresarse mediante matrices ^[c] y vectores ^[d] para representar todo el sistema en una sola ecuación. Esto se puede hacer moviendo las variables al lado izquierdo de cada ecuación y moviendo los términos constantes al lado derecho. Luego, el sistema se expresa formulando una matriz que contiene todos los coeficientes de las ecuaciones y multiplicándola por el vector formado por las variables. ^[31] Por ejemplo, el sistema de ecuaciones

1. ${\displaystyle 9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}=0}$
2. ${\displaystyle 2.3x_{1}+7x_{3}=9}$
3. ${\displaystyle -5x_{1}-17x_{2}=-3}$

Se puede escribir como

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}9&3&-13\\2.3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}}$$

Al igual que el álgebra elemental, el álgebra lineal está interesada en manipular y transformar ecuaciones para resolverlas. Va más allá del álgebra elemental al tratar varias ecuaciones a la vez y buscar los valores para los cuales todas las ecuaciones son verdaderas al mismo tiempo. Por ejemplo, si el sistema está formado por dos ecuaciones y luego usa los valores 1 y 3 para y no resuelve el sistema de ecuaciones porque solo resuelve la primera pero no la segunda ecuación. ^[32] ${\displaystyle 3x_{1}-x_{2}=0}$ ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=8}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Dos preguntas centrales en álgebra lineal son si un sistema de ecuaciones tiene alguna solución y, de ser así, si tiene una solución única. Un sistema de ecuaciones que tiene soluciones se llama consistente . Este es el caso si las ecuaciones no se contradicen entre sí. Si dos o más ecuaciones se contradicen, el sistema de ecuaciones es inconsistente y no tiene soluciones. Por ejemplo, las ecuaciones y se contradicen entre sí ya que no existen valores de y que resuelvan ambas ecuaciones al mismo tiempo. ^[33] ${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=0}$ ${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=7}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Que un sistema consistente de ecuaciones tenga una solución única depende del número de variables y del número de ecuaciones independientes . Varias ecuaciones son independientes entre sí si no proporcionan la misma información y no pueden derivarse unas de otras. Existe una solución única si el número de variables es el mismo que el número de ecuaciones independientes. Los sistemas indeterminados , por el contrario, tienen más variables que ecuaciones y tienen un número infinito de soluciones si son consistentes. ^[34]

Las ecuaciones lineales con dos variables se pueden interpretar geométricamente como líneas. La solución de un sistema de ecuaciones lineales es donde se cruzan las rectas.

Muchas de las técnicas empleadas en álgebra elemental para resolver ecuaciones también se aplican en álgebra lineal. El método de sustitución comienza con una ecuación y aísla una variable en ella. Continúa con la siguiente ecuación y reemplaza la variable aislada con la expresión encontrada, reduciendo así el número de variables desconocidas en uno. Se aplica el mismo proceso nuevamente a esta y a las ecuaciones restantes hasta que se determinen los valores de todas las variables. ^[35] El método de eliminación crea una nueva ecuación sumando una ecuación a otra ecuación. De esta forma, es posible eliminar una variable que aparece en ambas ecuaciones. Para un sistema que contiene las ecuaciones y , es posible eliminar y sumando la primera a la segunda ecuación, revelando así que x es 13. ^{[e] [36]} Muchas técnicas avanzadas implementan algoritmos basados ​​en cálculos matriciales, como el de Cramer. regla , la eliminación de Gauss-Jordan y la descomposición LU . ^[37] ${\displaystyle -x+7y=3}$ ${\displaystyle 2x-7y=10}$

A nivel geométrico, los sistemas de ecuaciones se pueden interpretar como figuras geométricas. Para sistemas que tienen dos variables, cada ecuación representa una línea en el espacio bidimensional . El punto donde se cruzan las dos rectas es la solución. Para sistemas inconsistentes, las dos líneas corren paralelas, lo que significa que no hay solución ya que nunca se cruzan. Si dos ecuaciones no son independientes, entonces describen la misma recta, lo que significa que cada solución de una ecuación es también una solución de la otra ecuación. Estas relaciones permiten buscar soluciones gráficamente trazando las ecuaciones y determinando dónde se cruzan. ^[38] Los mismos principios también se aplican a sistemas de ecuaciones con más variables, con la diferencia de que las ecuaciones no describen líneas sino figuras de dimensiones superiores. Por ejemplo, las ecuaciones con tres variables corresponden a planos en el espacio tridimensional y los puntos donde todos los planos se cruzan resuelven el sistema de ecuaciones. ^[39]

Álgebra abstracta

El álgebra abstracta, también llamada álgebra moderna, ^[40] estudia diferentes tipos de estructuras algebraicas . Una estructura algebraica es un marco para comprender operaciones con objetos matemáticos , como la suma de números. Mientras que el álgebra elemental y el álgebra lineal funcionan dentro de los límites de estructuras algebraicas particulares, el álgebra abstracta adopta un enfoque más general que compara en qué se diferencian las estructuras algebraicas entre sí y qué tipos de estructuras algebraicas existen, como grupos , anillos y campos . ^[41]

Muchas estructuras algebraicas se basan en operaciones binarias, que toman dos objetos como entrada y los combinan en un solo objeto como salida.

A nivel formal, una estructura algebraica es un conjunto ^[f] de objetos matemáticos, llamado conjunto subyacente, junto con una o varias operaciones. ^[g] El álgebra abstracta generalmente se limita a operaciones binarias que toman dos objetos cualesquiera del conjunto subyacente como entradas y los asignan a otro objeto de este conjunto como salida. ^[44] Por ejemplo, la estructura algebraica tiene los números naturales como conjunto subyacente. La suma es su operación binaria y toma dos números como entrada para producir un número en forma de suma como salida. ^[43] El conjunto subyacente puede contener objetos matemáticos distintos de números y las operaciones no se limitan a operaciones aritméticas regulares. ^[45] ${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle }$

El álgebra abstracta clasifica las estructuras algebraicas en función de las leyes o axiomas que obedecen sus operaciones y el número de operaciones que utiliza. Uno de los tipos más básicos es un grupo, que tiene una operación y requiere que esta operación sea asociativa y tenga un elemento identidad y elementos inversos . Una operación ^[h] es asociativa si no importa el orden de varias aplicaciones, es decir, si es el mismo que para todos los elementos. Una operación tiene un elemento identidad o un elemento neutral si existe un elemento e que no cambia el valor de ningún otro elemento, es decir, si . Una operación admite elementos inversos si para algún elemento existe un elemento recíproco que invierte sus efectos. Si un elemento está vinculado a su inverso, entonces el resultado es el elemento neutro e , expresado formalmente como . Toda estructura algebraica que cumple estos requisitos es un grupo. ^[46] Por ejemplo, es un grupo formado por el conjunto de números enteros junto con la operación de suma. El elemento neutro es 0 y el elemento inverso de cualquier número es . ^[47] Los números naturales, por el contrario, no forman un grupo ya que contienen sólo números positivos y, por tanto, carecen de elementos inversos. ^[48] ​​La teoría de grupos es la subdisciplina de los grupos de estudio de álgebra abstracta. ^[49] ${\displaystyle (a\circ b)\circ c}$ ${\displaystyle a\circ (b\circ c)}$ ${\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e}$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

Diagrama de relaciones entre algunas estructuras algebraicas.

Un anillo es una estructura algebraica con dos operaciones ( y ) que funcionan de manera similar a la suma y la multiplicación. Todos los requisitos de los grupos también se aplican a la primera operación: es asociativa y tiene un elemento identidad y elementos inversos. Además, es conmutativo, lo que significa que es válido para todos los elementos. El axioma de distributividad gobierna cómo las dos operaciones interactúan entre sí. Dice que y . ^{[i] [51]} El anillo de números enteros es un anillo de la forma . ^[52] Un anillo se convierte en un campo si ambas operaciones siguen los axiomas de asociatividad, conmutatividad y distributividad y si ambas operaciones tienen un elemento identidad y elementos inversos. ^{[j] [54]} El anillo de números enteros no forma un campo porque carece de inversos multiplicativos. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de es , que no forma parte de los números enteros. Los números racionales , los números reales y los números complejos forman cada uno un campo. ^[55] ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$ ${\displaystyle a\star (b\circ c)=(a\star b)\circ (a\star c)}$ ${\displaystyle (b\circ c)\star a=(b\star a)\circ (c\star a)}$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+,\times \rangle }$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}}$

Además de grupos, anillos y campos, existen muchas otras estructuras algebraicas que estudia el álgebra abstracta. Incluyen magmas , semigrupos , monoides , grupos abelianos , anillos conmutativos , módulos , redes , espacios vectoriales y álgebras sobre un campo . Se diferencian entre sí en cuanto a los tipos de objetos que describen y los requisitos que cumplen sus operaciones. Muchos de ellos están relacionados entre sí en el sentido de que una estructura básica se puede convertir en una estructura más avanzada agregando requisitos adicionales. ^[56] Por ejemplo, un magma se convierte en un semigrupo si su operación es asociativa. ^[57]

álgebra universal

El álgebra universal es el estudio de las estructuras algebraicas en general. Es una generalización del álgebra abstracta que no se limita a operaciones binarias y también permite operaciones con más entradas, como las operaciones ternarias . El álgebra universal no está interesada en los elementos específicos que componen los conjuntos subyacentes y, en cambio, investiga qué características estructurales tienen en común las diferentes estructuras algebraicas. ^[58] Una de esas características estructurales se refiere a las identidades que son verdaderas en diferentes estructuras algebraicas. En este contexto, una identidad es una ecuación universal o una ecuación que es verdadera para todos los elementos del conjunto subyacente. Por ejemplo, la conmutatividad es una ecuación universal que establece que es idéntica para todos los elementos. ^[59] Se dice que dos estructuras algebraicas que comparten todas sus identidades pertenecen a la misma variedad . ^[60] Por ejemplo, el anillo de números enteros y el anillo de polinomios forman parte de la misma variedad porque tienen las mismas identidades, como la conmutatividad y la asociatividad. El campo de los números racionales, por el contrario, no pertenece a esta variedad ya que tiene identidades adicionales, como la existencia de inversos multiplicativos. ^[61] ${\displaystyle a\circ b}$ ${\displaystyle b\circ a}$

Además de las identidades, el álgebra universal también está interesada en las características estructurales asociadas con las cuasiidentidades . Una cuasiidentidad es una identidad que sólo necesita estar presente bajo ciertas condiciones. ^[k] Es una generalización de la identidad en el sentido de que toda identidad es una cuasiidentidad pero no toda cuasiidentidad es una identidad. Las estructuras algebraicas que comparten todas sus cuasiidentidades tienen ciertas características estructurales en común, lo que se expresa al afirmar que pertenecen a una misma cuasivariedad . ^[62]

Las subálgebras restringen sus operaciones a un subconjunto del conjunto subyacente de la estructura algebraica original.

Los homomorfismos son una herramienta del álgebra universal para examinar características estructurales comparando dos estructuras algebraicas. ^[63] Un homomorfismo es una función que toma los elementos del conjunto subyacente de una estructura algebraica como entrada y tiene los elementos del conjunto subyacente de otra estructura algebraica como salida. Su característica especial es que conserva ciertas características estructurales de las estructuras algebraicas. Si las dos estructuras algebraicas usan operaciones binarias y tienen la forma y entonces la función es un homomorfismo si cumple el siguiente requisito: . La existencia de un homomorfismo revela que la operación en la segunda estructura algebraica juega el mismo papel que la operación en la primera estructura algebraica. ^[64] ${\displaystyle \langle A,\circ \rangle }$ ${\displaystyle \langle B,\star \rangle }$ ${\displaystyle h:A\to B}$ ${\displaystyle h(x\circ y)=h(x)\star h(y)}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \circ }$

Otra herramienta de comparación es la relación entre una estructura algebraica y su subálgebra . ^[65] Si es una subálgebra de entonces el conjunto A es un subconjunto de B. ^[l] Una subálgebra tiene que usar las mismas operaciones que la estructura algebraica ^[m] y tienen que seguir los mismos axiomas. Esto incluye el requisito de que todas las operaciones en la subálgebra estén cerradas en A, lo que significa que solo producen elementos que pertenecen a A. ^[65] Por ejemplo, el conjunto de números enteros pares junto con la suma es una subálgebra del conjunto completo de números enteros juntos con adición. Este es el caso porque la suma de dos números pares vuelve a ser un número par. Pero el conjunto de los enteros impares junto con la suma no es una subálgebra ya que la suma de dos números impares produce un número par, que no forma parte del subconjunto elegido. ^[66] ${\displaystyle \langle A,\circ \rangle }$ ${\displaystyle \langle B,\circ \rangle }$

Historia

El Papiro Rhind del antiguo Egipto , fechado alrededor de 1650 a. C., es uno de los primeros documentos que analizan problemas algebraicos.

El origen del álgebra radica en los intentos de resolver problemas matemáticos que implican cálculos aritméticos, generalmente en forma de teoría de ecuaciones . Estos desarrollos ocurrieron en el período antiguo en diversas regiones como Babilonia , Egipto , Grecia , China e India . Uno de los documentos más antiguos es el Papiro Rhind del antiguo Egipto, que fue escrito alrededor de 1650 a. C. ^[n] y analiza cómo resolver ecuaciones lineales , como se expresa en problemas como "Una cantidad; se le suma la cuarta. Se convierte en quince. ¿Cuál es la cantidad?" Tablillas de arcilla babilónicas de aproximadamente la misma época explican métodos para resolver ecuaciones polinómicas lineales y cuadráticas , como el método para completar el cuadrado . ^[67]

Muchas de estas ideas llegaron a los antiguos griegos. A partir del siglo VI a. C., su principal interés era la geometría más que el álgebra, pero empleaban métodos algebraicos para resolver problemas geométricos. Por ejemplo, estudiaron figuras geométricas tomando sus longitudes y áreas como cantidades desconocidas por determinar, como se ejemplifica en la formulación de Pitágoras del método de la diferencia de dos cuadrados y más tarde en los Elementos de Euclides . ^[68] En el siglo III a. C., Diofanto proporcionó un tratamiento detallado de cómo resolver ecuaciones algebraicas en una serie de libros llamados Arithmetica . Fue el primero en experimentar con notación simbólica para expresar polinomios. ^[69] En la antigua China, el libro Los nueve capítulos sobre el arte matemático exploró varias técnicas para resolver ecuaciones algebraicas, incluido el uso de construcciones tipo matriz. ^[70]

El libro compendioso sobre cálculo por terminación y equilibrio de al-Khwarizmi proporcionó una explicación general de cómo se pueden resolver ecuaciones lineales y cuadráticas mediante los métodos de "reducción" y "equilibrio".

Es controvertido hasta qué punto estos primeros desarrollos deben considerarse parte del álgebra propiamente dicha y no precursores. Ofrecieron soluciones a problemas algebraicos pero no los concibieron de manera abstracta y general, sino que se centraron en casos y aplicaciones específicas. ^[71] Esto cambió con el matemático persa al-Khwarizmi , ^[o] quien publicó su Libro compendioso sobre el cálculo por terminación y equilibrio en 825 EC. Presenta el primer tratamiento detallado de los métodos generales que se pueden utilizar para manipular ecuaciones lineales y cuadráticas "reduciendo" y "equilibrando" ambos lados. ^[73] Otras contribuciones influyentes al álgebra provinieron del matemático árabe Thābit ibn Qurra en el siglo IX y del matemático persa Omar Khayyam en los siglos XI y XII. ^[74]

En la India, Brahmagupta investigó cómo resolver ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones con varias variables en el siglo VII d.C. Entre sus otras innovaciones estuvo el uso de cero y números negativos en ecuaciones algebraicas. ^[75] Los matemáticos indios Mahāvīra en el siglo IX y Bhāskara II en el siglo XII refinaron aún más los métodos y conceptos de Brahmagupta. ^[76] En 1247, el matemático chino Qin Jiushao escribió el Tratado matemático en nueve secciones , que incluye un algoritmo para la evaluación numérica de polinomios , incluidos los polinomios de grados superiores. ^[77]

François Viète y René Descartes inventaron una notación simbólica para expresar ecuaciones como fórmulas matemáticas.

El matemático italiano Fibonacci trajo las ideas y técnicas de al-Khwarizmi a Europa en libros como su Liber Abaci . ^[78] En 1545, el erudito italiano Gerolamo Cardano publicó su libro Ars Magna , que cubría muchos temas de álgebra y fue el primero en presentar métodos generales para resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas . ^[79] En los siglos XVI y XVII, los matemáticos franceses François Viète y René Descartes introdujeron letras y símbolos para denotar variables y operaciones, lo que hizo posible expresar ecuaciones como fórmulas matemáticas. Sus predecesores se habían basado en descripciones verbales de problemas y soluciones. ^[80] Algunos historiadores ven este desarrollo como un punto de inflexión clave en la historia del álgebra y consideran lo que vino antes como la prehistoria del álgebra porque carecía de la naturaleza abstracta basada en la manipulación simbólica. ^[81]

Garrett Birkhoff desarrolló muchos de los conceptos fundamentales del álgebra universal.

Muchos intentos en los siglos XVII y XVIII de encontrar soluciones generales ^[p] a polinomios de grado cinco y superiores fracasaron. ^[84] A finales del siglo XVIII, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra , que describe la existencia de ceros de polinomios de cualquier grado sin proporcionar una solución general. ^[15] A principios del siglo XIX, el matemático italiano Paolo Ruffini y el matemático noruego Niels Henrik Abel pudieron demostrar que no existe una solución general para polinomios de grado cinco y superiores. ^[84] En respuesta a sus hallazgos y poco después, el matemático francés Évariste Galois desarrolló lo que más tarde se conocería como teoría de Galois , que ofrecía un análisis más profundo de las soluciones de polinomios y al mismo tiempo sentaba las bases de la teoría de grupos . ^[16] Los matemáticos pronto se dieron cuenta de la relevancia de la teoría de grupos para otros campos y la aplicaron a disciplinas como la geometría y la teoría de números. ^[85]

A partir de mediados del siglo XIX, el interés por el álgebra pasó del estudio de los polinomios asociados con el álgebra elemental hacia una investigación más general de las estructuras algebraicas, lo que marcó el surgimiento del álgebra abstracta . Este enfoque exploró la base axiomática de operaciones algebraicas arbitrarias. ^[86] La invención de nuevos sistemas algebraicos basados ​​en diferentes operaciones y elementos acompañó este desarrollo, como el álgebra de Boole , el álgebra vectorial y el álgebra matricial . ^[87] Los primeros desarrollos influyentes en el álgebra abstracta fueron realizados por los matemáticos alemanes David Hilbert , Ernst Steinitz , Emmy Noether y Emil Artin . Investigaron diferentes formas de estructuras algebraicas y las clasificaron según sus axiomas subyacentes en tipos, como grupos, anillos y campos. ^[88] La idea básica del enfoque aún más general asociado con el álgebra universal fue concebida por primera vez por el matemático inglés Alfred North Whitehead en su libro de 1898 Tratado sobre el álgebra universal . A partir de la década de 1930, el matemático estadounidense Garrett Birkhoff amplió estas ideas y desarrolló muchos de los conceptos fundamentales de este campo. ^[89] Desarrollos estrechamente relacionados fueron la formulación de la teoría de modelos , la teoría de categorías , el álgebra topológica , el álgebra homológica , las álgebras de Lie , las álgebras libres y los grupos de homología . ^[90]

En varios campos

Otras ramas de las matemáticas

La algebraización de las matemáticas es el proceso de aplicar métodos y principios algebraicos a otras ramas de las matemáticas . Esto implica el uso de símbolos en forma de variables para expresar conocimientos matemáticos en un nivel más general. Otro aspecto clave es aplicar estructuras para modelar cómo interactúan diferentes tipos de objetos sin necesidad de especificar cuál es la naturaleza de estos objetos más allá de sus patrones de interacción. ^[91] Esto es posible porque los patrones abstractos estudiados por el álgebra tienen muchas aplicaciones concretas en campos como la geometría , la topología , la teoría de números y el cálculo . ^[92]

La ecuación algebraica describe una esfera en el origen con un radio de 1. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

A la geometría le interesan las figuras geométricas, que pueden describirse con enunciados algebraicos. Por ejemplo, la ecuación describe una línea en un espacio bidimensional mientras que la ecuación corresponde a una esfera en un espacio tridimensional. De especial interés para la geometría algebraica son las variedades algebraicas , ^[q] que son soluciones a sistemas de ecuaciones polinomiales que pueden usarse para describir figuras geométricas más complejas. ^[93] La topología estudia las propiedades de figuras geométricas o espacios topológicos que se conservan bajo operaciones de deformación continua . La topología algebraica se basa en teorías algebraicas como la teoría de grupos para clasificar espacios topológicos. Por ejemplo, los grupos de homotopía clasifican espacios topológicos en función de la existencia de bucles o agujeros en ellos. ^[94] La teoría de números se ocupa de las propiedades y las relaciones entre los números enteros. La teoría algebraica de números aplica métodos algebraicos a este campo de investigación, por ejemplo, utilizando expresiones algebraicas para describir leyes, como el último teorema de Fermat , y analizando cómo los números forman estructuras algebraicas, como el anillo de los números enteros . ^[95] Los conocimientos del álgebra también son relevantes para el cálculo, que utiliza expresiones matemáticas para examinar las tasas de cambio y acumulación . Se basa en el álgebra para comprender cómo se pueden transformar estas expresiones y qué papel juegan las variables en ellas. ^[96] Debido a su presencia en todas las matemáticas, la influencia del álgebra se extiende a muchas ciencias y campos relacionados, incluida la física , la informática y la ingeniería . ^[97] ${\displaystyle y=3x-7}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

Lógica

La lógica es el estudio del razonamiento correcto. ^[98] La lógica algebraica emplea métodos algebraicos para describir y analizar las estructuras y patrones que subyacen al razonamiento lógico . ^[99] Una parte está interesada en comprender las estructuras matemáticas mismas sin tener en cuenta las consecuencias concretas que tienen en la actividad de hacer inferencias . Otra parte investiga cómo los problemas de la lógica pueden expresarse en el lenguaje del álgebra y cómo los conocimientos obtenidos mediante el análisis algebraico afectan a la lógica. ^[100]

El álgebra booleana es un recurso influyente en la lógica algebraica para describir la lógica proposicional . ^[101] Las proposiciones son afirmaciones que pueden ser verdaderas o falsas. ^[102] La lógica proposicional utiliza conectivos lógicos para combinar dos proposiciones y formar una proposición compleja. Por ejemplo, el conectivo "si... entonces" se puede utilizar para combinar las proposiciones "llueve" y "las calles están mojadas" para formar la proposición compleja "si llueve entonces las calles están mojadas". La lógica proposicional está interesada en cómo el valor de verdad de una proposición compleja depende de los valores de verdad de sus constituyentes. ^[103] Con el álgebra booleana, este problema se puede abordar interpretando los valores de verdad como números: 0 corresponde a falso y 1 corresponde a verdadero. Los conectivos lógicos se entienden como operaciones binarias que toman dos números como entrada y devuelven la salida que corresponde al valor de verdad de la proposición compleja. ^{[104] La lógica algebraica también está interesada en cómo se pueden describir} sistemas de lógica más complejos a través de estructuras algebraicas y a qué variedades y cuasivaridades pertenecen estas estructuras algebraicas. ^[105]

Educación

Las balanzas se utilizan en la educación de álgebra para ayudar a los estudiantes a comprender cómo se pueden transformar las ecuaciones para determinar valores desconocidos. ^[106]

La educación en álgebra se centra principalmente en álgebra elemental, que es una de las razones por las que se la conoce como álgebra escolar. Generalmente se introduce en la educación secundaria una vez que los estudiantes han dominado los fundamentos de la aritmética. ^[107] Su objetivo es familiarizar a los estudiantes con el lado abstracto de las matemáticas ayudándoles a comprender el simbolismo matemático, por ejemplo, cómo se pueden utilizar variables para representar cantidades desconocidas. Una dificultad adicional para los estudiantes radica en el hecho de que, a diferencia de los cálculos aritméticos, las expresiones algebraicas a menudo no se pueden resolver directamente. En cambio, los estudiantes deben aprender a transformarlos de acuerdo con ciertas leyes hasta que se pueda determinar la cantidad desconocida. ^[108]

Un ejemplo común para presentar a los estudiantes los problemas básicos del álgebra es el uso de balanzas para representar ecuaciones. La masa de algunas pesas en la báscula es desconocida y representa variables. Resolver una ecuación corresponde a sumar y quitar pesos en ambos lados de tal manera que los lados se mantengan en equilibrio hasta que el único peso que quede en un lado sea el peso de masa desconocida. ^[106] El uso de problemas planteados es otra herramienta para mostrar cómo se aplica el álgebra a situaciones de la vida real. Por ejemplo, a los estudiantes se les puede presentar una situación en la que Noemí tiene el doble de manzanas que su hermano. Dado que ambos juntos tienen doce manzanas, se pide a los estudiantes que encuentren una ecuación algebraica que describa esta situación y que determinen cuántas manzanas tiene Noemí. ^[109]

Ver también

• Álgebra sobre un conjunto
• Azulejo de álgebra
• combinatoria algebraica
• C*-álgebra
• Álgebra de composición
• Álgebra informática
• Álgebra exterior
• álgebra F
• F-coálgebra
• Álgebra de Heyting
• álgebra de hopf
• Álgebra no asociativa
• Esquema de álgebra
• Álgebra relacional
• sigma-álgebra
• álgebra simétrica
• T-álgebra
• Álgebra tensorial

Referencias

Notas

1. Cuando se entiende en el sentido más amplio, una operación algebraica es mapear desde una potencia cartesiana de un conjunto a ese conjunto , expresado formalmente como . La suma de números reales es un ejemplo de operaciones algebraicas: toma dos números como entrada y produce un número como salida. Tiene la forma . ^[1] ${\displaystyle \omega :A^{n}\to A}$ ${\displaystyle +:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$
2. Estos cambios fueron provocados en parte por descubrimientos que resolvieron muchos de los problemas más antiguos del álgebra. Por ejemplo, la prueba del teorema fundamental del álgebra demostró la existencia de soluciones complejas de polinomios ^[15] y la introducción de la teoría de Galois caracterizó los polinomios que tienen soluciones generales . ^[dieciséis]
3. Una matriz es una tabla de números, como
   $${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&-7&19\\0.3&7&-4\end{bmatrix}}}$$
4. Un vector es una matriz de números o una matriz con una sola columna, como
   $${\displaystyle {\begin{bmatrix}2.1\\0\\-1\end{bmatrix}}}$$
5. En algunos casos, una ecuación debe multiplicarse por una constante antes de sumarla a otra ecuación.
6. Un conjunto es una colección de elementos, como números, vectores u otros conjuntos. La teoría de conjuntos describe las leyes y propiedades de los conjuntos. ^[42]
7. Según algunas definiciones, las estructuras algebraicas incluyen un elemento distinguido como componente adicional, como el elemento identidad en el caso de la multiplicación. ^[43]
8. Los símbolos como y se utilizan a menudo en álgebra abstracta para representar cualquier operación que puede parecerse o no a operaciones aritméticas. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \star }$
9. Algunas definiciones requieren además que la segunda operación sea asociativa. ^[50]
10. Para la segunda operación, suele haber un elemento, correspondiente a 0, que no requiere un elemento inverso. ^[53]
11. Las condiciones toman la forma de una cláusula Horn .
12. Esto significa que todos los elementos de A también son elementos de B, pero B puede contener elementos que no se encuentran en A.
13. Según algunas definiciones, también es posible que una subálgebra tenga menos operaciones. ^[66]
14. La fecha exacta está en disputa.
15. Algunos historiadores lo consideran el "padre del álgebra", mientras que otros reservan este título para Diofanto. ^[72]
16. Una solución general o una solución en radicales es una ecuación algebraica de forma cerrada que aísla la variable en un lado. Por ejemplo, la solución general de ecuaciones cuadráticas de la forma es . La ausencia de soluciones generales no significa que no existan soluciones numéricas. ^{[82] [83]} ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$
17. Las variedades algebraicas estudiadas en geometría son diferentes de las variedades más generales estudiadas en álgebra universal.

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