ecuación cuartica

Ecuación polinómica

En matemáticas , una ecuación de cuarto grado es aquella que se puede expresar como una función de cuarto grado igual a cero. La forma general de una ecuación de cuarto grado es

Gráfica de una función polinómica de grado 4, con sus 4 raíces y 3 puntos críticos .

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$

donde a  ≠ 0.

La ecuación cuártica es la ecuación polinómica de mayor orden que puede resolverse mediante radicales en el caso general (es decir, una en la que los coeficientes pueden tomar cualquier valor).

Historia

A Lodovico Ferrari se le atribuye el descubrimiento de la solución de la cuarta en 1540, pero dado que esta solución, como todas las soluciones algebraicas de la cuarta, requiere que se encuentre la solución de una cúbica , no pudo publicarse inmediatamente. ^[1] La solución de la cuarta fue publicada junto con la de la cúbica por el mentor de Ferrari, Gerolamo Cardano, en el libro Ars Magna (1545).

La prueba de que éste era el polinomio general de orden superior para el que se podían encontrar tales soluciones se presentó por primera vez en el teorema de Abel-Ruffini en 1824, demostrando que todos los intentos de resolver polinomios de orden superior serían inútiles. Las notas dejadas por Évariste Galois antes de su muerte en un duelo en 1832 condujeron más tarde a una elegante teoría completa de las raíces de los polinomios, de la cual este teorema fue uno de los resultados. ^[2]

Resolver una ecuación de cuarto grado, casos especiales.

Considere una ecuación de cuarto grado expresada en la forma : ${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4}=0}$

Existe una fórmula general para encontrar las raíces de ecuaciones de cuarto grado, siempre que el coeficiente del término principal sea distinto de cero. Sin embargo, dado que el método general es bastante complejo y susceptible a errores de ejecución, es mejor aplicar uno de los casos especiales que se enumeran a continuación, si es posible.

caso degenerado

Si el término constante a ₄  = 0, entonces una de las raíces es x  = 0, y las otras raíces se pueden encontrar dividiendo por x y resolviendo la ecuación cúbica resultante ,

${\displaystyle a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0.\,}$

Raíces evidentes: 1 y −1 y − k

Llame a nuestro polinomio cuártico Q ( x ) . Como 1 elevado a cualquier potencia es 1,

${\displaystyle Q(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\ .}$

Por lo tanto, si Q (1) = 0 y entonces x = 1 es raíz de Q ( x ) . De manera similar se puede demostrar que si x = −1 es una raíz. ${\displaystyle \ a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{0}+a_{2}+a_{4}=a_{1}+a_{3}\ ,}$

En cualquier caso, el cuártico completo se puede dividir por el factor ( x − 1) o ( x + 1) , respectivamente, lo que produce un nuevo polinomio cúbico , que se puede resolver para encontrar las otras raíces del cuártico.

Si y entonces es raíz de la ecuación. Luego, el cuartico completo se puede factorizar de esta manera: ${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{2}=0\ }$ ${\displaystyle \ a_{4}=a_{3}k\ ,}$ ${\displaystyle \ x=-k\ }$

${\displaystyle \ a_{0}x^{4}+a_{0}kx^{3}+a_{3}x+a_{3}k=a_{0}x^{3}(x+k)+a_{3}(x+k)=(a_{0}x^{3}+a_{3})(x+k)\ .}$

Alternativamente, si y entonces x = 0 y x = − k se convierten en dos raíces conocidas. Q ( x ) dividido por x ( x + k ) es un polinomio cuadrático. ${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{3}=a_{2}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{4}=0\ ,}$

Ecuaciones bicuadráticas

Una ecuación de cuarto grado donde a ₃ y a ₁ son iguales a 0 toma la forma

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{4}=0\,\!}$

y por lo tanto es una ecuación bicuadrática , que es fácil de resolver: let , entonces nuestra ecuación se convierte en ${\displaystyle z=x^{2}}$

${\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{2}z+a_{4}=0\,\!}$

la cual es una ecuación cuadrática simple, cuyas soluciones se encuentran fácilmente usando la fórmula cuadrática:

${\displaystyle z={\frac {-a_{2}\pm {\sqrt {a_{2}^{2}-4a_{0}a_{4}}}}{2a_{0}}}\,\!}$

Cuando lo hayamos resuelto (es decir, encontrado estos dos valores z ), podremos extraer x de ellos

${\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

Si cualquiera de las soluciones de z fueran números negativos o complejos, entonces algunas de las soluciones de x son números complejos.

Ecuaciones cuasisimétricas

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}=0\,}$

Pasos:

1. Dividir por x2  ^.
2. Utilice cambio de variable z = x + m / x .
3. Entonces, z  ² = x  ² + ( m / x )  ² + 2 m .

Esto lleva a:

${\displaystyle a_{0}(x^{2}+m^{2}/x^{2})+a_{1}(x+m/x)+a_{2}=0}$,

${\displaystyle a_{0}(z^{2}-2m)+a_{1}(z)+a_{2}=0}$,

${\displaystyle z^{2}+(a_{1}/a_{0})z+(a_{2}/a_{0}-2m)=0}$(una cuadrática en z = x + m / x )

Múltiples raíces

Si el cuártico tiene raíz doble , se puede encontrar tomando el polinomio máximo común divisor con su derivada. Luego se pueden dividir y resolver la ecuación cuadrática resultante.

En general, existen sólo cuatro casos posibles de ecuaciones de cuarto grado con raíces múltiples, que se enumeran a continuación: ^[3]

1. Multiplicidad-4 (M4): cuando la ecuación cuártica general se puede expresar como , para algún número real . Este caso siempre se puede reducir a una ecuación bicuadrática. ${\displaystyle a(x-l)^{4}=0}$ ${\displaystyle l}$
2. Multiplicidad-3 (M3): cuando la ecuación general de cuarto grado se puede expresar como , donde  y  son un par de dos números reales diferentes. Este es el único caso que nunca puede reducirse a una ecuación bicuadrática. ${\displaystyle a(x-l)^{3}(x-m)=0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$
3. Doble Multiplicidad-2 (DM2): cuando la ecuación general de cuarto grado se puede expresar como , donde  y  son un par de dos números reales diferentes o un par de números conjugados complejos no reales. Este caso también siempre se puede reducir a una ecuación bicuadrática. ${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)^{2}=0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$
4. Multiplicidad única-2 (SM2): cuando la ecuación cuártica general se puede expresar como , donde ,  y  son tres números reales diferentes o es un número real y  y son un par de números conjugados complejos no reales. Este caso se divide en dos subcasos, aquellos que se pueden reducir a una ecuación bicuadrática y aquellos en los que esto es imposible. ${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)(x-n)=0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Entonces, si los tres coeficientes no mónicos de la ecuación cuártica deprimida, , en términos de los cinco coeficientes de la ecuación cuártica general se dan de la siguiente manera: ,  y , entonces los criterios para identificar a priori cada caso de ecuaciones cuárticas con raíces múltiples y sus respectivas soluciones se exponen a continuación. ${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$ ${\displaystyle p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$ ${\displaystyle q={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}$ ${\displaystyle r={\frac {16ab^{2}c-64a^{2}bd-3b^{4}+256a^{3}e}{256a^{4}}}}$

• M4. La ecuación cuártica general corresponde a este caso siempre que , por lo que las cuatro raíces de esta ecuación quedan dadas de la siguiente manera: . ${\displaystyle p=q=r=0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=-{\frac {b}{4a}}}$
• M3. La ecuación cuártica general corresponde a este caso siempre que y , por lo que las cuatro raíces de esta ecuación se dan de la siguiente manera:   y  , ya sea ; en caso contrario,   y  . ${\displaystyle p^{2}=-12r>0}$ ${\displaystyle 27q^{2}=-8p^{3}>0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{4}={\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$
• DM2. La ecuación cuártica general corresponde a este caso siempre que , por lo que las cuatro raíces de esta ecuación quedan dadas de la siguiente manera:  y . ${\displaystyle p^{2}=4r>0=q}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{2}=x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$
• SM2 bicuadrático. La ecuación cuártica general corresponde a este subcaso de las ecuaciones SM2 siempre que , por lo que las cuatro raíces de esta ecuación se dan de la siguiente manera: ,  y . ${\displaystyle p\neq q=r=0}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{3}={\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$
• SM2 no bicuadrático. La ecuación cuártica general corresponde a este subcaso de las ecuaciones SM2 siempre que , por lo que las cuatro raíces de esta ecuación vienen dadas por la siguiente fórmula: ^[4] , donde , y . ${\displaystyle (p^{2}+12r)^{3}=[p(p^{2}-36r)+{\frac {27}{2}}q^{2}]^{2}>0\neq {q}}$ ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left[\xi {\sqrt {s_{1}}}\pm {\sqrt {2{\biggl (}s_{2}-{\frac {\xi q}{\sqrt {s_{1}}}}{\biggr )}}}\right]-{\frac {b}{4a}}}$ ${\displaystyle s_{1}={\frac {9q^{2}-32pr}{p^{2}+12r}}>0}$ ${\displaystyle s_{2}=-{\frac {2p(p^{2}-4r)+9q^{2}}{2(p^{2}+12r)}}\neq 0}$ ${\displaystyle \xi =\pm 1}$

El caso general

La fórmula cuártica.

Para comenzar, el cuarto cuartico primero debe convertirse en un cuarto cuartico deprimido .

Conversión a una cuartica deprimida

Dejar

Sea la ecuación cuártica general que se desea resolver. Divide ambos lados por A ,

${\displaystyle \ x^{4}+{B \over A}x^{3}+{C \over A}x^{2}+{D \over A}x+{E \over A}=0\ .}$

El primer paso, si B aún no es cero, debería ser eliminar el término x ³ . Para hacer esto, cambie las variables de x a u , de modo que

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ .}$

Entonces

${\displaystyle \ \left(u-{B \over 4A}\right)^{4}+{B \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{3}+{C \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{2}+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

Ampliar las potencias de los binomios produce

${\displaystyle \ \left(u^{4}-{B \over A}u^{3}+{6u^{2}B^{2} \over 16A^{2}}-{4uB^{3} \over 64A^{3}}+{B^{4} \over 256A^{4}}\right)+{B \over A}\left(u^{3}-{3u^{2}B \over 4A}+{3uB^{2} \over 16A^{2}}-{B^{3} \over 64A^{3}}\right)+{C \over A}\left(u^{2}-{uB \over 2A}+{B^{2} \over 16A^{2}}\right)+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

Recolectando las mismas potencias de u se obtiene

${\displaystyle \ u^{4}+\left({-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\right)u^{2}+\left({B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\right)u+\left({-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\right)=0\ .}$

Ahora cambie el nombre de los coeficientes de u . Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\ ,\\b&={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\ ,\\c&={-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\ .\end{aligned}}}$

La ecuación resultante es

que es una ecuación de cuarto grado deprimida .

Si entonces tenemos el caso especial de una ecuación bicuadrática, que se resuelve fácilmente, como se explicó anteriormente. Tenga en cuenta que la solución general que se proporciona a continuación no funcionará para el caso especial. La ecuación debe resolverse como bicuadrática. ${\displaystyle \ b=0\ }$ ${\displaystyle \ b=0\ .}$

En cualquier caso, una vez que se resuelve la cuartica deprimida para u , sustituyendo esos valores en

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ }$

produce los valores de x que resuelven el cuartico original.

Resolver una cuarta cuartica deprimida cuando b ≠ 0

Después de convertir a una ecuación de cuarto grado deprimida

${\displaystyle u^{4}+au^{2}+bu+c=0}$

y excluyendo el caso especial b = 0, que se resuelve como bicuadrático, asumimos de aquí en adelante que b ≠ 0 .

Separaremos los términos izquierda y derecha como

${\displaystyle u^{4}=-au^{2}-bu-c}$

y sumar términos a ambos lados para convertirlos en cuadrados perfectos .

Sea y cualquier solución de esta ecuación cúbica :

${\displaystyle 2y^{3}-ay^{2}-2cy+(ac-{\tfrac {1}{4}}b^{2})=(2y-a)(y^{2}-c)-{\tfrac {1}{4}}b^{2}=0\ .}$

Entonces (ya que b ≠ 0)

${\displaystyle 2y-a\neq 0}$

para que podamos dividir por él, dando

${\displaystyle y^{2}-c={\frac {b^{2}}{4(2y-a)}}\ .}$

Entonces

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}=u^{4}+2yu^{2}+y^{2}=(2y-a)u^{2}-bu+(y^{2}-c)=(2y-a)u^{2}-bu+{\frac {b^{2}}{\ 4(2y-a)\ }}=\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}\ .}$

Restando obtenemos la diferencia de dos cuadrados que es el producto de la suma y la diferencia de sus raíces.

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}-\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}=\left(u^{2}+y+{\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)\left(u^{2}+y-{\sqrt {2y-a\ }}\,u+{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)=0}$

que se puede resolver aplicando la fórmula cuadrática a cada uno de los dos factores. Entonces los valores posibles de u son:

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$o

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ .}$

Usar otra y de entre las tres raíces de la cúbica simplemente hace que estos mismos cuatro valores de u aparezcan en un orden diferente. Las soluciones de la cúbica son:

${\displaystyle \ y={\frac {a}{6}}+w-{\frac {p}{3w}}\ }$

${\displaystyle \ w={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\ }}\ }}}$

usando cualquiera de las tres posibles raíces cúbicas. Una estrategia inteligente es elegir el signo de la raíz cuadrada que haga que el valor absoluto de w sea lo más grande posible.

${\displaystyle \ p=-{\frac {a^{2}}{12}}-c\ ,}$

${\displaystyle \ q=-{\frac {a^{3}}{108}}+{\frac {ac}{3}}-{\frac {b^{2}}{8}}\ .}$

La solución de Ferrari

En caso contrario, la cuartica deprimida puede resolverse mediante un método descubierto por Lodovico Ferrari . Una vez obtenida la cuartica deprimida, el siguiente paso es agregar la identidad válida

${\displaystyle \left(u^{2}+a\right)^{2}-u^{4}-2au^{2}=a^{2}}$

a la ecuación ( 1 ), dando

El efecto ha sido plegar el término u ⁴ en un cuadrado perfecto : ( u ²  + a) ² . El segundo término, au ² , no ha desaparecido, pero ha cambiado de signo y se ha desplazado hacia el lado derecho.

El siguiente paso es insertar una variable y en el cuadrado perfecto en el lado izquierdo de la ecuación ( 2 ), y un 2 y correspondiente en el coeficiente de u ² en el lado derecho. Para realizar estas inserciones, se agregarán las siguientes fórmulas válidas a la ecuación ( 2 ),

${\displaystyle {\begin{aligned}(u^{2}+a+y)^{2}-(u^{2}+a)^{2}&=2y(u^{2}+a)+y^{2}\ \ \\&=2yu^{2}+2ya+y^{2},\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle 0=(a+2y)u^{2}-2yu^{2}-au^{2}\,}$

Estas dos fórmulas, sumadas, producen

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}-\left(u^{2}+a\right)^{2}=\left(a+2y\right)u^{2}-au^{2}+2ya+y^{2}\qquad \qquad (y{\hbox{-insertion}})\,}$

que sumado a la ecuación ( 2 ) produce

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}+bu+c=\left(a+2y\right)u^{2}+\left(2ya+y^{2}+a^{2}\right).\,}$

Esto es equivalente a

El objetivo ahora es elegir un valor para y tal que el lado derecho de la ecuación ( 3 ) se convierta en un cuadrado perfecto. Esto se puede hacer dejando que el discriminante de la función cuadrática se vuelva cero. Para explicar esto, primero expande un cuadrado perfecto para que sea igual a una función cuadrática:

${\displaystyle \left(su+t\right)^{2}=\left(s^{2}\right)u^{2}+\left(2st\right)u+\left(t^{2}\right).\,}$

La función cuadrática del lado derecho tiene tres coeficientes. Se puede comprobar que elevando al cuadrado el segundo coeficiente y luego restando cuatro veces el producto del primer y tercer coeficiente se obtiene cero:

${\displaystyle \left(2st\right)^{2}-4\left(s^{2}\right)\left(t^{2}\right)=0.\,}$

Por lo tanto, para convertir el lado derecho de la ecuación ( 3 ) en un cuadrado perfecto, se debe resolver la siguiente ecuación:

${\displaystyle (-b)^{2}-4\left(2y+a\right)\left(y^{2}+2ya+a^{2}-c\right)=0.\,}$

Multiplica el binomio por el polinomio,

${\displaystyle b^{2}-4\left(2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac\right)\right)=0\,}$

Divide ambos lados por −4 y mueve − b ^2/4 hacia la derecha,

${\displaystyle 2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac-{\frac {b^{2}}{4}}\right)=0}$

Divide ambos lados por 2,

Esta es una ecuación cúbica en y . Resuelva para y usando cualquier método para resolver este tipo de ecuaciones (por ejemplo, conversión a una cúbica reducida y aplicación de la fórmula de Cardano). Cualquiera de las tres posibles raíces servirá.

Doblando el segundo cuadrado perfecto

Con el valor de y así seleccionado, ahora se sabe que el lado derecho de la ecuación ( 3 ) es un cuadrado perfecto de la forma

${\displaystyle \left(s^{2}\right)u^{2}+(2st)u+\left(t^{2}\right)=\left(\left({\sqrt {s^{2}}}\right)u+{(2st) \over 2{\sqrt {s^{2}}}}\right)^{2}}$

(Esto es correcto para ambos signos de raíz cuadrada, siempre y cuando se tome el mismo signo para ambas raíces cuadradas. A ± es redundante, ya que sería absorbido por otro ± algunas ecuaciones más adelante en esta página).

para que se pueda doblar:

${\displaystyle (a+2y)u^{2}+(-b)u+\left(y^{2}+2ya+a^{2}-c\right)=\left(\left({\sqrt {a+2y}}\right)u+{(-b) \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)^{2}.}$

Nota: Si b ≠ 0 entonces a + 2 y ≠ 0. Si b = 0 entonces esta sería una ecuación bicuadrática, que resolvimos anteriormente.

Por lo tanto la ecuación ( 3 ) se convierte en

La ecuación ( 5 ) tiene un par de cuadrados perfectos plegados, uno a cada lado de la ecuación. Los dos cuadrados perfectos se equilibran.

Si dos cuadrados son iguales, entonces los lados de los dos cuadrados también son iguales, como se muestra en:

Recolectar poderes similares a u produce

Nota: El subíndice s de y es para indicar que son dependientes. ${\displaystyle \pm _{s}}$ ${\displaystyle \mp _{s}}$

La ecuación ( 6 ) es una ecuación cuadrática para u . Su solución es

${\displaystyle u={\frac {\pm _{s}{\sqrt {a+2y}}\pm _{t}{\sqrt {(a+2y)-4\left(a+y\pm _{s}{b \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)}}}{2}}.}$

Simplificando se obtiene

${\displaystyle u={\pm _{s}{\sqrt {a+2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3a+2y\pm _{s}{2b \over {\sqrt {a+2y}}}\right)}} \over 2}.}$

Esta es la solución de la ecuación de cuartica deprimida, por lo tanto las soluciones de la ecuación de cuartica original son

Recuerde: los dos provienen del mismo lugar en la ecuación ( 5' ) y ambos deben tener el mismo signo, mientras que el signo de es independiente. ${\displaystyle \pm _{s}}$ ${\displaystyle \pm _{t}}$

Resumen del método de Ferrari

Dada la ecuación de cuarto grado

${\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,\,}$

su solución se puede encontrar mediante los siguientes cálculos:

${\displaystyle a=-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},}$

${\displaystyle b={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},}$

${\displaystyle c=-{3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}.}$

Si entonces ${\displaystyle \,b=0,}$

${\displaystyle x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-a\pm _{t}{\sqrt {a^{2}-4c}} \over 2}}\qquad {\mbox{(for }}b=0{\mbox{ only)}}.}$

De lo contrario, continúe con

${\displaystyle P=-{a^{2} \over 12}-c,}$

${\displaystyle Q=-{a^{3} \over 108}+{ac \over 3}-{b^{2} \over 8},}$

${\displaystyle R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}},}$

(cualquier signo de la raíz cuadrada servirá)

${\displaystyle U={\sqrt[{3}]{R}},}$

(hay 3 raíces complejas, cualquiera de ellas servirá)

${\displaystyle y=-{5 \over 6}a+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0,&\to U-{P \over 3U},\end{cases}}\quad \quad \quad }$

${\displaystyle W={\sqrt {a+2y}}}$

${\displaystyle x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3a+2y\pm _{s}{2b \over W}\right)}} \over 2}.}$

Los dos ± _s deben tener el mismo signo, el ± _t es independiente. Para obtener todas las raíces, calcule x para ± _s ,± _t = +,+ y para +,−; y para −,+ y para −,−. Esta fórmula maneja raíces repetidas sin problema.

Ferrari fue el primero en descubrir una de estas soluciones laberínticas ^{[ cita requerida ]} . La ecuación que resolvió fue

${\displaystyle x^{4}+6x^{2}-60x+36=0}$

que ya estaba en forma deprimida. Tiene un par de soluciones que se pueden encontrar con el conjunto de fórmulas que se muestran arriba.

La solución de Ferrari en el caso especial de los coeficientes reales.

Si los coeficientes de la ecuación de cuarto grado son reales, entonces la ecuación cúbica deprimida anidada ( 5 ) también tiene coeficientes reales, por lo que tiene al menos una raíz real.

Además la función cúbica

${\displaystyle C(v)=v^{3}+Pv+Q,}$

donde P y Q están dados por ( 5 ) tiene las propiedades que

${\displaystyle C\left({a \over 3}\right)={-b^{2} \over 8}<0}$y

${\displaystyle \lim _{v\to \infty }C(v)=\infty ,}$donde a y b están dados por ( 1 ).

Esto significa que ( 5 ) tiene una raíz real mayor que , y por lo tanto que ( 4 ) tiene una raíz real mayor que . ${\displaystyle a \over 3}$ ${\displaystyle -a \over 2}$

Usando esta raíz, el término en ( 8 ) siempre es real, lo que asegura que las dos ecuaciones cuadráticas ( 8 ) tengan coeficientes reales. ^[5] ${\displaystyle {\sqrt {a+2y}}}$

Obtener soluciones alternativas por las malas

Podría suceder que solo se obtuviera una solución a través de las fórmulas anteriores, porque no se prueban los cuatro patrones de signos para cuatro soluciones y la solución obtenida es compleja . También puede darse el caso de que sólo se busque una solución real. Sea x ₁ la solución compleja. Si todos los coeficientes originales A , B , C , D y E son reales (lo que debería ser el caso cuando sólo se desean soluciones reales), entonces existe otra solución compleja x ₂ que es el conjugado complejo de x ₁ . Si las otras dos raíces se denotan como x ₃ y x ₄ , entonces la ecuación de cuarto grado se puede expresar como

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0,\,}$

pero esta ecuación de cuarto grado es equivalente al producto de dos ecuaciones de segundo grado:

y

Desde

${\displaystyle x_{2}=x_{1}^{\star }}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-x_{1})(x-x_{2})&=x^{2}-(x_{1}+x_{1}^{\star })x+x_{1}x_{1}^{\star }\\&=x^{2}-2\operatorname {Re} (x_{1})x+[\operatorname {Re} (x_{1})]^{2}+[\operatorname {Im} (x_{1})]^{2}.\end{aligned}}}$

Dejar

${\displaystyle a=-2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle b=\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}}$

de modo que la ecuación ( 9 ) se convierte en

También sean variables (desconocidas) w y v tales que la ecuación ( 10 ) se convierta en

Multiplicar las ecuaciones ( 11 ) y ( 12 ) produce

Comparando la ecuación ( 13 ) con la ecuación de cuarto grado original, se puede ver que

${\displaystyle a+w={B \over A},}$

${\displaystyle b+wa+v={C \over A},}$

${\displaystyle wb+va={D \over A},}$

y

${\displaystyle vb={E \over A}.}$

Por lo tanto

${\displaystyle w={B \over A}-a={B \over A}+2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle v={E \over Ab}={\frac {E}{A\left(\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}\right)}}.}$

La ecuación ( 12 ) se puede resolver para x dando como resultado

${\displaystyle x_{3}={-w+{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2},}$

${\displaystyle x_{4}={-w-{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2}.}$

Una de estas dos soluciones debería ser la solución real deseada.

Metodos alternativos

Solución rápida y memorable desde los primeros principios

La mayoría de las soluciones de la ecuación de cuarto grado en los libros de texto requieren una sustitución que es difícil de memorizar. He aquí un enfoque que hace que sea fácil de entender. El trabajo está hecho si podemos factorizar la ecuación de cuarto grado en un producto de dos cuadráticas . Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\\&=\left(x^{2}+px+q\right)\left(x^{2}+rx+s\right)\\&=x^{4}+(p+r)x^{3}+(q+s+pr)x^{2}+(ps+qr)x+qs\end{aligned}}}$

Al igualar coeficientes, esto da como resultado el siguiente conjunto de ecuaciones simultáneas:

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=p+r\\c&=q+s+pr\\d&=ps+qr\\e&=qs\end{aligned}}}$

Esto es más difícil de resolver de lo que parece, pero si comenzamos de nuevo con una cuartica deprimida donde , que se puede obtener sustituyendo , entonces y: ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle (x-b/4)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r=-p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c+p^{2}&=s+q\\d/p&=s-q\\e&=sq\end{aligned}}}$

Ahora es fácil eliminar ambos haciendo lo siguiente: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(c+p^{2}\right)^{2}-(d/p)^{2}&=(s+q)^{2}-(s-q)^{2}\\&=4sq\\&=4e\end{aligned}}}$

Si establecemos , entonces esta ecuación se convierte en la ecuación cúbica : ${\displaystyle P=p^{2}}$

${\displaystyle P^{3}+2cP^{2}+\left(c^{2}-4e\right)P-d^{2}=0}$

que se soluciona en otro lado. Una vez que lo tengas , entonces: ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=-p\\2s&=c+p^{2}+d/p\\2q&=c+p^{2}-d/p\end{aligned}}}$

Las simetrías en esta solución son fáciles de ver. Hay tres raíces de la cúbica, que corresponden a las tres formas en que una cuarta se puede factorizar en dos cuadráticas, y elegir valores positivos o negativos de para la raíz cuadrada de simplemente intercambia las dos cuadráticas entre sí. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$

Teoría de Galois y factorización.

El grupo simétrico S ₄ de cuatro elementos tiene el grupo de cuatro de Klein como subgrupo normal . Esto sugiere el uso de un resolutivo cuyas raíces pueden describirse de diversas formas como una transformada de Fourier discreta o una transformada matricial de Hadamard de las raíces. Supongamos que r _i para i de 0 a 3 son raíces de

${\displaystyle x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad (1)}$

Si ahora configuramos

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}+r_{2}+r_{3}),\\s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}+r_{2}-r_{3}),\\s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}-r_{2}-r_{3}),\\s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}-r_{2}+r_{3}),\end{aligned}}}$

entonces, como la transformación es una involución , podemos expresar las raíces en términos de los cuatro si _exactamente de la misma manera. Como conocemos el valor s ₀ = − b /2, en realidad sólo necesitamos los valores de s ₁ , s ₂ y s ₃ . Estos podemos encontrarlos expandiendo el polinomio.

${\displaystyle \left(z^{2}-s_{1}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{2}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{3}^{2}\right)\qquad (2)}$

lo cual si hacemos el supuesto simplificador de que b  = 0, es igual a

${\displaystyle z^{6}+2cz^{4}+\left(c^{2}-4e\right)z^{2}-d^{2}\qquad (3)}$

Este polinomio es de grado seis, pero sólo de grado tres en z ² , por lo que la ecuación correspondiente tiene solución. Mediante prueba podemos determinar cuáles tres raíces son las correctas y, por tanto, encontrar las soluciones de la cuarta.

Podemos eliminar cualquier requisito de prueba utilizando una raíz del mismo polinomio resolutivo para factorizar; si w es cualquier raíz de (3), y si

${\displaystyle F_{1}=x^{2}+wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}-{\frac {cw^{3}}{d}}+2{\frac {ew}{d}}}$

${\displaystyle F_{2}=x^{2}-wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}+{\frac {cw^{3}}{d}}-2{\frac {ew}{d}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}}$

entonces

${\displaystyle F_{1}F_{2}=x^{4}+cx^{2}+dx+e\qquad \qquad (4)}$

Por lo tanto, podemos resolver la ecuación cuártica resolviendo w y luego resolviendo las raíces de los dos factores usando la fórmula cuadrática.

Métodos aproximados

Los métodos descritos anteriormente son, en principio, métodos exactos de búsqueda de raíces. También es posible utilizar métodos de aproximación sucesivos que convergen iterativamente hacia las raíces, como el método de Durand-Kerner . Los métodos iterativos son los únicos disponibles para ecuaciones quínticas y de orden superior, más allá de casos triviales o especiales.

Ver también

• Ecuación lineal
• Ecuación cuadrática
• ecuación cúbica
• Ecuación quíntica
• Polinomio
• El método de Newton.

Referencias

• El logro de Ferrari
• Fórmula cuártica como cuatro ecuaciones simples en PlanetMath .

Notas

1. "Ludovico Ferrari".
2. Stewart, Ian, Teoría de Galois, tercera edición (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004)
3. Chávez-Pichardo, Mauricio; Martínez-Cruz, Miguel A.; Trejo-Martínez, Alfredo; Martínez-Carbajal, Daniel; Arenas-Resendiz, Tanya (julio de 2022). "Una revisión completa de la ecuación cuártica general con coeficientes reales y raíces múltiples". Matemáticas . 10 (14): 2377. doi : 10.3390/math10142377 . ISSN  2227-7390.
4. Chávez-Pichardo, Mauricio; Martínez-Cruz, Miguel A.; Trejo-Martínez, Alfredo; Vega-Cruz, Ana Beatriz; Arenas-Resendiz, Tanya (marzo de 2023). "Sobre la practicidad de las soluciones analíticas para todas las ecuaciones algebraicas de tercer y cuarto grado con coeficientes reales". Matemáticas . 11 (6): 1447. doi : 10.3390/math11061447 . ISSN  2227-7390.
5. Carstensen, Jens, Komplekse tal, primera edición , (Systime 1981), ISBN 87-87454-71-8 . (en danés) 

enlaces externos

• Calculadora para resolver Cuarticas