Complejo conjugado

Operación fundamental con números complejos.

Representación geométrica ( diagrama de Argand ) de y su conjugado en el plano complejo. El conjugado complejo se encuentra reflexionando sobre el eje real. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z}$

En matemáticas , el conjugado complejo de un número complejo es el número con una parte real igual y una parte imaginaria iguales en magnitud pero de signo opuesto . Es decir, si y son números reales, entonces el conjugado complejo de es. El conjugado complejo de a menudo se denota como o . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a-bi.}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z^{*}}$

En forma polar , si y son números reales, entonces el conjugado de es. Esto se puede demostrar usando la fórmula de Euler . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle re^{i\varphi }}$ ${\displaystyle re^{-i\varphi }.}$

El producto de un número complejo y su conjugado es un número real:  (o  en coordenadas polares ). ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle r^{2}}$

Si una raíz de un polinomio univariado con coeficientes reales es compleja, entonces su conjugado complejo también es una raíz .

Notación

El conjugado complejo de un número complejo se escribe como o La primera notación, un vinculum , evita la confusión con la notación de la transpuesta conjugada de una matriz , que puede considerarse como una generalización del conjugado complejo. El segundo se prefiere en física , donde la daga (†) se usa para la transpuesta conjugada, así como en ingeniería eléctrica e ingeniería informática , donde la notación de barras puede confundirse con la negación lógica ("NOT") símbolo del álgebra booleana , mientras que la barra La notación es más común en matemáticas puras . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z^{*}.}$

Si un número complejo se representa como una matriz ${\displaystyle 2\times 2}$ , las notaciones son idénticas y el conjugado complejo corresponde a la transpuesta de la matriz , que es un giro a lo largo de la diagonal. ^[1]

Propiedades

Las siguientes propiedades se aplican a todos los números complejos y, a menos que se indique lo contrario, pueden demostrarse por escrito y en la forma ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle a+bi.}$

Para dos números complejos cualesquiera, la conjugación es distributiva sobre la suma, resta, multiplicación y división: ^{[ref 1]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}},\\{\overline {z-w}}&={\overline {z}}-{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}},\quad {\text{and}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{if }}w\neq 0.\end{aligned}}}$$

Un número complejo es igual a su conjugado complejo si su parte imaginaria es cero, es decir, si el número es real. En otras palabras, los números reales son los únicos puntos fijos de conjugación.

La conjugación no cambia el módulo de un número complejo: ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=|z|.}$

La conjugación es una involución , es decir, el conjugado del conjugado de un número complejo es En símbolos, ^{[ref 1]} ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z.}$ ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$

El producto de un número complejo por su conjugado es igual al cuadrado del módulo del número:

$${\displaystyle z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}.}$$

inverso multiplicativo

$${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad {\text{ for all }}z\neq 0.}$$

La conjugación es conmutativa en composición con exponenciación a potencias enteras, con la función exponencial y con el logaritmo natural para argumentos distintos de cero:

$${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad {\text{ for all }}n\in \mathbb {Z} }$$

^{[nota 1]}

$${\displaystyle \exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}}$$

$${\displaystyle \ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}{\text{ if }}z{\text{ is not zero or a negative real number }}}$$

Si es un polinomio con coeficientes reales y entonces también. Por lo tanto, las raíces no reales de polinomios reales ocurren en pares conjugados complejos ( ver Teorema de la raíz conjugada compleja ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(z)=0,}$ ${\displaystyle p\left({\overline {z}}\right)=0}$

En general, si es una función holomorfa cuya restricción a los números reales tiene valores reales, y y están definidos, entonces ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (z)}$ ${\displaystyle \varphi ({\overline {z}})}$

$${\displaystyle \varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!}$$

El mapa de a es un homeomorfismo (donde la topología on se considera la topología estándar) y antilineal , si se considera un espacio vectorial complejo sobre sí mismo. Aunque parezca una función que se comporta bien , no es holomorfa ; invierte la orientación, mientras que las funciones holomorfas preservan localmente la orientación. Es biyectivo y compatible con las operaciones aritméticas, por lo que es un automorfismo de campo . Como mantiene fijos los números reales, es un elemento del grupo de Galois de la extensión de campo . Este grupo de Galois tiene solo dos elementos: y la identidad en Por lo tanto, los únicos dos automorfismos de campo de que dejan fijos los números reales son el mapa de identidad y conjugación compleja. ${\displaystyle \sigma (z)={\overline {z}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Usar como variable

Una vez dado un número complejo o , su conjugado es suficiente para reproducir las partes de la variable -: ${\displaystyle z=x+yi}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\displaystyle z}$

• Parte real: ${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• Parte imaginaria: ${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• Módulo (o valor absoluto) : ${\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• Argumento : entonces ${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},}$ ${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$

Además, se puede utilizar para especificar líneas en el plano: el conjunto ${\displaystyle {\overline {z}}}$

$${\displaystyle \left\{z:z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}}$$

${\displaystyle {r},}$ ${\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {r}}$ ${\displaystyle u=e^{ib},}$

$${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}}$$

${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle u.}$

Estos usos del conjugado de como variable se ilustran en el libro Inversive Geometry (1933) de Frank Morley , escrito con su hijo Frank Vigor Morley. ${\displaystyle z}$

Generalizaciones

Las otras álgebras unitales reales planas, números duales y números complejos divididos también se analizan mediante conjugación compleja.

Para matrices de números complejos, donde representa la conjugación elemento por elemento de ^{[ref 2]} Compare esto con la propiedad donde representa la transpuesta conjugada de ${\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)\left({\overline {\mathbf {B} }}\right),}$ ${\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} .}$ ${\textstyle \left(\mathbf {AB} \right)^{*}=\mathbf {B} ^{*}\mathbf {A} ^{*},}$ ${\textstyle \mathbf {A} ^{*}}$ ${\textstyle \mathbf {A} .}$

Tomar la transpuesta conjugada (o adjunta) de matrices complejas generaliza la conjugación compleja. Aún más general es el concepto de operador adjunto para operadores en espacios de Hilbert complejos (posiblemente de dimensión infinita) . Todo esto está incluido en las *-operaciones de C*-álgebras .

También se puede definir una conjugación para cuaterniones y cuaterniones divididos : el conjugado de es ${\textstyle a+bi+cj+dk}$ ${\textstyle a-bi-cj-dk.}$

Todas estas generalizaciones son multiplicativas sólo si se invierten los factores:

$${\displaystyle {\left(zw\right)}^{*}=w^{*}z^{*}.}$$

Dado que la multiplicación de álgebras reales planas es conmutativa , esta inversión no es necesaria allí.

También existe una noción abstracta de conjugación de espacios vectoriales sobre números complejos . En este contexto, cualquier mapa antilineal que satisfaga ${\textstyle V}$ ${\textstyle \varphi :V\to V}$

1. ${\displaystyle \varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}\,,}$¿ Dónde y está el mapa de identidad ? ${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$ ${\displaystyle V,}$
2. ${\displaystyle \varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)}$para todos y ${\displaystyle v\in V,z\in \mathbb {C} ,}$
3. ${\displaystyle \varphi \left(v_{1}+v_{2}\right)=\varphi \left(v_{1}\right)+\varphi \left(v_{2}\right)\,}$para todos ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V,}$

se llama conjugación compleja o estructura real . Como la involución es antilineal , no puede ser el mapa de identidad en ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V.}$

Por supuesto, es una transformación lineal si se observa que cada espacio complejo tiene una forma real que se obtiene tomando los mismos vectores que en el espacio original y restringiendo los escalares para que sean reales. Las propiedades anteriores en realidad definen una estructura real en el espacio vectorial complejo ^[2] ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle V,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$

Un ejemplo de esta noción es la operación de transposición conjugada de matrices complejas definida anteriormente. Sin embargo, en espacios vectoriales complejos genéricos, no existe una noción canónica de conjugación compleja.

Ver también

• Cuadrado absoluto  – Producto de un número por sí mismoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Línea conjugada compleja  – Operación en geometría compleja
• Representación conjugada compleja
• Espacio vectorial conjugado complejo  – Concepto matemáticoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Álgebra de composición  : tipo de álgebras, posiblemente no asociativas
• Conjugado (raíces cuadradas)  – Cambio de signo de una raíz cuadrada
• Función hermitiana  – Tipo de función compleja
• Derivados de Wirtinger  : concepto en análisis complejo

Referencias

1. Friedberg, Stephen; Insel, Arnold; Spence, Lawrence (2018), Álgebra lineal (5 ed.), ISBN 978-0134860244, Apéndice D
2. Arfken, Métodos matemáticos para físicos , 1985, pág. 201

Notas a pie de página

1. Ver Exponenciación#Potencias no enteras de números complejos .

Bibliografía

• Budinich, P. y Trautman, A. El tablero de ajedrez Spinorial . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (Los mapas antilineales se analizan en la sección 3.3). 

1. "Explicación de la lección: representación matricial de números complejos | Nagwa". www.nagwa.com . Consultado el 4 de enero de 2023 .
2. Budinich, P. y Trautman, A. El tablero de ajedrez Spinorial . Springer-Verlag, 1988, pág. 29