cuaternión dividido

Álgebra asociativa de cuatro dimensiones sobre los reales

En álgebra abstracta , los cuaterniones divididos o cocuaterniones forman una estructura algebraica introducida por James Cockle en 1849 con este último nombre. Forman un álgebra asociativa de dimensión cuatro sobre los números reales .

Después de la introducción en el siglo XX de definiciones de anillos y álgebras sin coordenadas , se demostró que el álgebra de cuaterniones divididos es isomorfa al anillo de las matrices reales de 2 × 2 . Por tanto, el estudio de los cuaterniones divididos puede reducirse al estudio de matrices reales, y esto puede explicar por qué hay pocas menciones a los cuaterniones divididos en la literatura matemática de los siglos XX y XXI.

Definición

Los cuaterniones divididos son combinaciones lineales (con coeficientes reales) de cuatro elementos básicos 1, i, j, k que satisfacen las siguientes reglas del producto:

yo ² = −1 ,

j ² = 1 ,

k2 ⁼ 1 ,

ij = k = −ji .

Por asociatividad , estas relaciones implican

jk = −i = −kj ,

ki = j = −ik ,

y también ijk = 1 .

Entonces, los cuaterniones divididos forman un espacio vectorial real de dimensión cuatro con {1, i, j, k} como base . También forman un anillo no conmutativo , extendiendo las reglas del producto anteriores por distributividad a todos los cuaterniones divididos.

Consideremos las matrices cuadradas.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {i}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {k}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Satisfacen la misma tabla de multiplicar que los cuaterniones divididos correspondientes. Como estas matrices forman una base de las matrices de dos por dos, la función lineal única que asigna 1, i, j, k a (respectivamente) induce un isomorfismo de álgebra desde los cuaterniones divididos a las matrices reales de dos por dos. . ${\displaystyle {\boldsymbol {1}},{\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}}$

Las reglas de multiplicación anteriores implican que los ocho elementos 1, i, j, k, −1, −i, −j, −k forman un grupo bajo esta multiplicación, que es isomorfo al grupo diédrico D ₄ , el grupo de simetría de a cuadrado . De hecho, si se considera un cuadrado cuyos vértices son los puntos cuyas coordenadas son 0 o 1 , la matriz es la rotación horaria del cuarto de vuelta, es la simetría alrededor de la primera diagonal y es la simetría alrededor del eje x . ${\displaystyle {\boldsymbol {i}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$

Propiedades

Al igual que los cuaterniones introducidos por Hamilton en 1843, forman un álgebra asociativa real de cuatro dimensiones . Pero al igual que el álgebra real de matrices 2 × 2, y a diferencia del álgebra real de cuaterniones, los cuaterniones divididos contienen divisores de cero no triviales , elementos nilpotentes e idempotentes . (Por ejemplo,1/2(1 + j) es un divisor cero idempotente, y i − j es nilpotente). Como álgebra sobre los números reales , el álgebra de cuaterniones divididos es isomorfa al álgebra de matrices reales 2×2 por el isomorfismo definido anteriormente. .

Este isomorfismo permite identificar cada cuaternión dividido con una matriz de 2×2. Entonces, cada propiedad de los cuaterniones divididos corresponde a una propiedad similar de las matrices, que a menudo recibe nombres diferentes.

El conjugado de un cuaternión dividido q = w + x i + y j + z k , es q ^∗ = w − x i − y j − z k . En términos de matrices, el conjugado es la matriz cofactor obtenida intercambiando las entradas diagonales y cambiando el signo de las otras dos entradas.

El producto de un cuaternión dividido con su conjugado es la forma cuadrática isotrópica :

${\displaystyle N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2},}$

que se llama norma del cuaternión dividido o determinante de la matriz asociada.

La parte real de un cuaternión dividido q = w + x i + y j + z k es w = ( q ^∗ + q )/2 . Es igual a la traza de la matriz asociada.

La norma de un producto de dos cuaterniones divididos es el producto de sus normas. De manera equivalente, el determinante de un producto de matrices es el producto de sus determinantes. Esta propiedad significa que los cuaterniones divididos forman un álgebra de composición . Como hay cuaterniones divididos distintos de cero que tienen una norma cero, los cuaterniones divididos forman un "álgebra de composición dividida", de ahí su nombre.

Un cuaternión dividido con una norma distinta de cero tiene un inverso multiplicativo , a saber, q ^∗ / N ( q ) . En términos de matrices, esto equivale a la regla de Cramer que afirma que una matriz es invertible si y sólo su determinante es distinto de cero y, en este caso, la inversa de la matriz es el cociente de la matriz cofactor por el determinante.

El isomorfismo entre cuaterniones divididos y matrices reales 2 × 2 muestra que el grupo multiplicativo de cuaterniones divididos con una norma distinta de cero es isomorfo con y el grupo de cuaterniones divididos de norma 1 es isomorfo con ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} ).}$

Geométricamente, los cuaterniones divididos se pueden comparar con los cuaterniones de Hamilton como lápices de planos . En ambos casos los números reales forman el eje de un lápiz. En los cuaterniones de Hamilton hay una esfera de unidades imaginarias, y cualquier par de unidades imaginarias antípodas genera un plano complejo con la recta real. Para los cuaterniones divididos, existen hiperboloides de unidades hiperbólicas e imaginarias que generan planos complejos ordinarios o complejos divididos, como se describe a continuación en § Estratificación.

Representación como matrices complejas.

Hay una representación de los cuaterniones divididos como una subálgebra asociativa unitaria de las matrices de 2 × 2 con entradas complejas . Esta representación puede definirse mediante el homomorfismo de álgebra que asigna un cuaternión dividido w + x i + y j + z k a la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w+xi&y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}}.}$

Aquí, i ( cursiva ) es la unidad imaginaria , que no debe confundirse con el elemento base del cuaternión dividido i ( romano vertical ).

La imagen de este homomorfismo es el anillo matricial formado por las matrices de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}},}$

donde el superíndice denota un conjugado complejo . ${\displaystyle ^{*}}$

Este homomorfismo asigna respectivamente los cuaterniones divididos i, j, k en las matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}.}$

La prueba de que esta representación es un homomorfismo de álgebra es sencilla, pero requiere algunos cálculos aburridos, que pueden evitarse partiendo de la expresión de cuaterniones divididos como matrices reales de 2 × 2 y utilizando la similitud matricial . Sea S la matriz

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}.}$

Luego, aplicado a la representación de cuaterniones divididos como matrices reales de 2 × 2 , el homomorfismo del álgebra anterior es la similitud de matrices.

${\displaystyle M\mapsto S^{-1}MS.}$

Se deduce casi inmediatamente que para un cuaternión dividido representado como una matriz compleja, el conjugado es la matriz de los cofactores y la norma es el determinante.

Con la representación de cuaterniones divididos como matrices complejas. las matrices de cuaterniones de norma 1 son exactamente los elementos del grupo unitario especial SU(1,1) . Esto se utiliza en geometría hiperbólica para describir movimientos hiperbólicos del modelo de disco de Poincaré . ^[1]

Generación a partir de números complejos divididos

Los cuaterniones divididos pueden generarse mediante la construcción Cayley-Dickson modificada ^[2] similar al método de LE Dickson y Adrian Albert . para las álgebras de división C , H y O. La regla de la multiplicación

$${\displaystyle (a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\ da+bc^{*})}$$

${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b),}$

$${\displaystyle N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).}$$

abnúmeros complejos divididos ${\displaystyle q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),}$

entonces

$${\displaystyle N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$$

Estratificación

En esta sección se estudian y clasifican las subálgebras reales generadas por un único cuaternión dividido.

Sea p = w + x i + y j + z k un cuaternión dividido. Su parte real es w = 1/2( p + p ^* ) . Sea q = p – w =1/2( p – p ^* ) sea su parte irreal . Se tiene q ^* = – q y, por lo tanto, se deduce que p ² es un número real si y sólo p es un número real ( q = 0 y p = w ) o un cuaternión dividido puramente irreal ( w = 0 y p = q ). ${\displaystyle p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).}$

La estructura de la subálgebra generada por p se sigue de manera sencilla. Uno tiene ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$

${\displaystyle \mathbb {R} [p]=\mathbb {R} [q]=\{a+bq\mid a,b\in \mathbb {R} \},}$

y esta es un álgebra conmutativa . Su dimensión es dos excepto si p es real (en este caso, la subálgebra es simplemente ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los elementos irreales de cuyo cuadrado es real tienen la forma aq con ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

Es necesario considerar tres casos, que se detallan en las siguientes subsecciones.

Caso nilpotente

Con la notación anterior, si (es decir, si q es nilpotente ), entonces N ( q ) = 0 , es decir, esto implica que existen w y t de modo que 0 ≤ t < 2 π y ${\displaystyle q^{2}=0,}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=0.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle p=w+a\mathrm {i} +a\cos(t)\mathrm {j} +a\sin(t)\mathrm {k} .}$

Esta es una parametrización de todos los cuaterniones divididos cuya parte irreal es nilpotente.

Esta es también una parametrización de estas subálgebras por los puntos de un círculo: los cuaterniones divididos de la forma forman un círculo ; una subálgebra generada por un elemento nilpotente contiene exactamente un punto del círculo; y el círculo no contiene ningún otro punto. ${\displaystyle \mathrm {i} +\cos(t)\mathrm {j} +\sin(t)\mathrm {k} }$

El álgebra generada por un elemento nilpotente es isomorfa hacia y al plano de los números duales . ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle }$

Unidades imaginarias

Hiperboloide de dos hojas, fuente de unidades imaginarias.

Este es el caso donde N ( q ) > 0 . dejar que uno tenga ${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Resulta que1/norte q pertenece al hiperboloide de dos hojas de ecuaciónPor lo tanto, existen números reales n , t , u tales que 0 ≤ t < 2 π y ${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.}$

${\displaystyle p=w+n\cosh(u)\mathrm {i} +n\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

Esta es una parametrización de todos los cuaterniones divididos cuya parte irreal tiene una norma positiva.

Esta es también una parametrización de las subálgebras correspondientes por los pares de puntos opuestos de un hiperboloide de dos hojas: los cuaterniones divididos de la forma forman un hiperboloide de dos hojas; una subálgebra generada por un cuaternión dividido con una parte irreal de norma positiva contiene exactamente dos puntos opuestos en este hiperboloide, uno en cada hoja; y el hiperboloide no contiene ningún otro punto. ${\displaystyle \cosh(u)\mathrm {i} +\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$

El álgebra generada por un cuaternión dividido con una parte irreal de norma positiva es isomorfa al campo de números complejos . ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Unidades hiperbólicas

Hiperboloide de una hoja, fuente de unidades hiperbólicas .
(el eje vertical se llama x en el artículo)

Este es el caso donde N ( q ) < 0 . dejar que uno tenga ${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=-n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Resulta que1/norte q pertenece al hiperboloide de una hoja de la ecuación y ² + z ² − x ² = 1 . Por tanto, existen números reales n , t , u tales que 0 ≤ t < 2 π y

${\displaystyle p=w+n\sinh(u)\mathrm {i} +n\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

Esta es una parametrización de todos los cuaterniones divididos cuya parte irreal tiene una norma negativa.

Esta es también una parametrización de las subálgebras correspondientes por los pares de puntos opuestos de un hiperboloide de una hoja: los cuaterniones divididos de la forma forman un hiperboloide de una hoja; una subálgebra generada por un cuaternión dividido con una parte irreal de norma negativa contiene exactamente dos puntos opuestos en este hiperboloide; y el hiperboloide no contiene ningún otro punto. ${\displaystyle \sinh(u)\mathrm {i} +\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$

El álgebra generada por un cuaternión dividido con una parte irreal de norma negativa es isomorfa al anillo de números complejos divididos . También es isomorfo (como un álgebra) según el mapeo definido por ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\quad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.}$

Estratificación por norma.

Como se ve arriba, los cuaterniones divididos puramente irreales de norma –1, 1 y 0 forman respectivamente un hiperboloide de una hoja, un hiperboloide de dos hojas y un cono circular en el espacio de cuaterniones no reales.

Estas superficies son asíntotas por pares y no se cruzan. Su complemento consta de seis regiones conectadas:

• las dos regiones ubicadas en el lado cóncavo del hiperboloide de dos láminas, donde ${\displaystyle N(q)>1}$
• las dos regiones entre el hiperboloide de dos hojas y el cono, donde ${\displaystyle 0<N(q)<1}$
• la región entre el cono y el hiperboloide de una hoja donde ${\displaystyle -1<N(q)<0}$
• la región fuera del hiperboloide de una hoja, donde ${\displaystyle N(q)<-1}$

Esta estratificación se puede refinar considerando cuaterniones divididos de una norma fija: para cada número real n ≠ 0 , los cuaterniones divididos puramente irreales de norma n forman un hiperboloide. Todos estos hiperboloides son asíntotas del cono anterior y ninguna de estas superficies se cruza con ninguna otra. Como el conjunto de cuaterniones divididos puramente irreales es la unión disjunta de estas superficies, esto proporciona la estratificación deseada.

Espacio de color

Se han aplicado cuaterniones divididos al equilibrio de color ^[3] El modelo se refiere al álgebra de Jordan de matrices simétricas que representan el álgebra. El modelo concilia la tricromacia con la oponencia de Hering y utiliza el modelo Cayley-Klein de geometría hiperbólica para distancias cromáticas.

Notas históricas

Los cocuaterniones fueron introducidos inicialmente (bajo ese nombre) ^[4] en 1849 por James Cockle en la Revista Filosófica Londres-Edimburgo-Dublín . Los artículos introductorios de Cockle fueron recordados en la Bibliografía de 1904 ^[5] de la Quaternion Society .

Alexander Macfarlane llamó a la estructura de los vectores de cuaterniones divididos un sistema exesférico cuando habló en el Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. ^[6] Macfarlane consideró la "contraparte hiperboloidal del análisis esférico" en un artículo de 1910 "Unificación y desarrollo de los Principios del Álgebra del Espacio" en el Boletín de la Sociedad Quaternion . ^[7]

La esfera unitaria fue considerada en 1910 por Hans Beck. ^[8] Por ejemplo, el grupo diédrico aparece en la página 419. La estructura de cuaternión dividido también se ha mencionado brevemente en Annals of Mathematics . ^{[9] [10]}

Sinónimos

• Paracuaterniones (Ivanov y Zamkovoy 2005, Mohaupt 2006) Las variedades con estructuras paracuaterniónicas se estudian en geometría diferencial y teoría de cuerdas . En la literatura paracuaterniónica, k se reemplaza por −k .
• Sistema exesférico (Macfarlane 1900)
• Cuaterniones divididos (Rosenfeld 1988) ^[11]
• Anticuaterniones (Rosenfeld 1988)
• Pseudocuaterniones (Yaglom 1968 ^[12] Rosenfeld 1988)

Ver también

• matrices de pauli
• bicuaterniones divididos
• Octoniones divididas
• Cuaterniones duales

Referencias

1. Karzel, Helmut & Günter Kist (1985) "Kinematic Algebras and its Geometries", en Rings and Geometry , editores de R. Kaya, P. Plaumann y K. Strambach, págs. 437–509, especialmente 449,50, D. ISBN 90-277-2112-2​ 
2. Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras , página 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 SEÑOR 2014924 
3. Michel Berthier, Nicoletta Prencipe y Edouardo Provenzi (2023) Cuaterniones divididos para el balance de blancos perceptivo @ HAL
4. James Cockle (1849), Sobre sistemas de álgebra que involucran más de un imaginario, Revista filosófica (serie 3) 35: 434,5, enlace de Biodiversity Heritage Library
5. A. Macfarlane (1904) Bibliografía de cuaterniones y sistemas afines de matemáticas, de monografías de matemáticas históricas de la Universidad de Cornell , entradas de James Cockle, págs.
6. A. Macfarlane (1900) Aplicación del análisis espacial a coordenadas curvilíneas Archivado el 10 de agosto de 2014 en Wayback Machine , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos , París, página 306, de la Unión Matemática Internacional
7. A. Macfarlane (1910) "Unificación y desarrollo de los principios del álgebra del espacio" vía Internet Archive.
8. Hans Beck (1910) Ein Seitenstück zur Mobius'schen Geometrie der Kreisverwandschaften, Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense 11
9. AA Albert (1942), "Formas cuadráticas que permiten la composición", Annals of Mathematics 43:161 a 77
10. Valentine Bargmann (1947), "Representaciones unitarias irreductibles del grupo Lorentz", Annals of Mathematics 48: 568–640
11. Rosenfeld, BA (1988) Una historia de la geometría no euclidiana , página 389, Springer-Verlag ISBN 0-387-96458-4 
12. Isaak Yaglom (1968) Números complejos en geometría , página 24, Academic Press

Otras lecturas

• Brody, Dorje C. y Eva-Maria Graefe . "Sobre mecánica compleja y cocuaterniones". Revista de Física A: Matemática y Teórica 44.7 (2011): 072001. doi :10.1088/1751-8113/44/7/072001
• Ivanov, Stefan; Zamkovoy, Simeon (2005), "Múltiples parahermitianas y paracuaterniónicas", Geometría diferencial y sus aplicaciones 23 , págs. 205–234, arXiv :math.DG/0310415, MR 2158044.
• Mohaupt, Thomas (2006), "Nuevos desarrollos en geometría especial", arXiv :hep-th/0602171.
• Özdemir, M. (2009) "Las raíces de un cuaternión dividido", Applied Mathematics Letters 22:258–63. [1]
• Özdemir, M. y AA Ergin (2006) "Rotaciones con cuaterniones temporales en el espacio tridimensional de Minkowski", Journal of Geometry and Physics 56: 322–36.[2]
• Pogoruy, Anatoliy y Ramon M Rodrigues-Dagnino (2008) Algunas propiedades algebraicas y analíticas del álgebra de cocuaterniones, Avances en las álgebras aplicadas de Clifford .