Anillo (matemáticas)

Estructura algebraica con suma y multiplicación.

En matemáticas , los anillos son estructuras algebraicas que generalizan campos : la multiplicación no tiene por qué ser conmutativa y no es necesario que existan inversos multiplicativos . Informalmente, un anillo es un conjunto equipado con dos operaciones binarias que satisfacen propiedades análogas a las de la suma y multiplicación de números enteros . Los elementos de anillo pueden ser números como números enteros o complejos , pero también pueden ser objetos no numéricos como polinomios , matrices cuadradas , funciones y series de potencias .

Formalmente, un anillo es un conjunto dotado de dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación tales que el anillo es un grupo abeliano con respecto al operador de suma, y ​​el operador de multiplicación es asociativo , es distributivo sobre la operación de suma y tiene una identidad multiplicativa. elemento . (Algunos autores definen anillos sin requerir una identidad multiplicativa y en su lugar llaman a la estructura definida arriba anillo con identidad . Ver § Variaciones sobre la definición ).

El hecho de que un anillo sea conmutativo tiene profundas implicaciones en su comportamiento. El álgebra conmutativa , la teoría de los anillos conmutativos , es una rama importante de la teoría de los anillos . Su desarrollo ha estado muy influenciado por problemas e ideas de la teoría algebraica de números y la geometría algebraica . Los anillos conmutativos más simples son aquellos que admiten división por elementos distintos de cero; Estos anillos se llaman campos .

Ejemplos de anillos conmutativos incluyen el conjunto de números enteros con su suma y multiplicación estándar, el conjunto de polinomios con su suma y multiplicación, el anillo de coordenadas de una variedad algebraica afín y el anillo de números enteros de un cuerpo numérico. Ejemplos de anillos no conmutativos incluyen el anillo de n × n matrices cuadradas reales con n ≥ 2 , anillos de grupo en teoría de representación , álgebras de operadores en análisis funcional , anillos de operadores diferenciales y anillos de cohomología en topología .

La conceptualización de los anillos abarcó desde la década de 1870 hasta la de 1920, con contribuciones clave de Dedekind , Hilbert , Fraenkel y Noether . Los anillos se formalizaron por primera vez como una generalización de los dominios de Dedekind que ocurren en la teoría de números , y de los anillos polinomiales y de invariantes que ocurren en la geometría algebraica y la teoría de invariantes . Posteriormente resultaron útiles en otras ramas de las matemáticas como la geometría y el análisis .

Definición

Un anillo es un conjunto R equipado con dos operaciones binarias ^[a] + (suma) y ⋅ (multiplicación) que satisfacen los siguientes tres conjuntos de axiomas, llamados axiomas del anillo ^{[1] [2] [3]}

1. R es un grupo abeliano bajo suma, lo que significa que:
   • ( a + b ) + c = a + ( b + c ) para todo a , b , c en R (es decir, + es asociativo ).
   • a + b = b + a para todo a , b en R (es decir, + es conmutativo ).
   • Hay un elemento 0 en R tal que a + 0 = a para todo a en R (es decir, 0 es la identidad aditiva ).
   • Para cada a en R existe − a en R tal que a + (− a ) = 0 (es decir, − a es el inverso aditivo de a ).
2. R es un monoide bajo multiplicación, lo que significa que:
   • ( a · b ) · c = a · ( b · c ) para todo a , b , c en R (es decir, ⋅ es asociativo).
   • Hay un elemento 1 en R tal que a · 1 = a y 1 · a = a para todo a en R (es decir, 1 es la identidad multiplicativa ). ^[b]
3. La multiplicación es distributiva con respecto a la suma, lo que significa que:
   • a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) para todo a , b , c en R (distributividad izquierda).
   • ( b + c ) · a = ( b · a ) + ( c · a ) para todos a , b , c en R (distributividad derecha).

En notación, el símbolo de multiplicación · a menudo se omite, en cuyo caso a · b se escribe como ab .

Variaciones sobre la definición.

En la terminología de este artículo, se define que un anillo tiene una identidad multiplicativa, mientras que una estructura con la misma definición axiomática pero sin el requisito de una identidad multiplicativa se denomina " rng " (IPA: / r ʊ ŋ / ) con falta una "i". Por ejemplo, el conjunto de números enteros pares con los habituales + y ⋅ es un rng, pero no un anillo. Como se explica en § Historia a continuación, muchos autores aplican el término "anillo" sin requerir una identidad multiplicativa.

Aunque la suma de anillos es conmutativa , no es necesario que la multiplicación de anillos sea conmutativa: ab no tiene por qué ser necesariamente igual a ba . Los anillos que también satisfacen la conmutatividad para la multiplicación (como el anillo de los números enteros) se denominan anillos conmutativos . Los libros sobre álgebra conmutativa o geometría algebraica suelen adoptar la convención de que anillo significa anillo conmutativo , para simplificar la terminología.

En un anillo, no es necesario que existan inversos multiplicativos. Un anillo conmutativo distinto de cero en el que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo se llama campo .

El grupo aditivo de un anillo es el conjunto subyacente equipado únicamente con la operación de suma. Aunque la definición requiere que el grupo aditivo sea abeliano, esto se puede inferir de los otros axiomas del anillo. ^[4] La prueba hace uso del " 1 " y no funciona en un rng. (Para un rng, omitir el axioma de conmutatividad de la suma lo deja inferible a partir de los supuestos restantes del rng solo para elementos que son productos: ab + cd = cd + ab .)

Hay algunos autores que utilizan el término "anillo" para referirse a estructuras en las que no es necesario que la multiplicación sea asociativa. ^[5] Para estos autores, cada álgebra es un "anillo".

Ilustración

Los números enteros , junto con las dos operaciones de suma y multiplicación , forman el ejemplo prototípico de anillo.

El ejemplo más familiar de anillo es el conjunto de todos los números enteros formado por los números ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle \dots ,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots }$

Los axiomas de un anillo se elaboraron como una generalización de propiedades familiares de la suma y multiplicación de números enteros.

Algunas propiedades

Algunas propiedades básicas de un anillo se derivan inmediatamente de los axiomas:

• La identidad aditiva es única.
• El inverso aditivo de cada elemento es único.
• La identidad multiplicativa es única.
• Para cualquier elemento x en un anillo R , se tiene x 0 = 0 = 0 x (el cero es un elemento absorbente con respecto a la multiplicación) y (–1) x = – x .
• Si 0 = 1 en un anillo R (o más generalmente, 0 es un elemento unitario), entonces R tiene un solo elemento y se llama anillo cero .
• Si un anillo R contiene el anillo cero como subanillo, entonces R mismo es el anillo cero. ^[6]
• La fórmula binomial es válida para cualquier x e y que satisfagan xy = yx .

Ejemplo: enteros módulo 4

Equipar el conjunto con las siguientes operaciones: ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}}$

• La suma es el resto cuando el número entero x + y se divide por 4 (como x + y siempre es menor que 8 , este resto es x + y o x + y − 4 ). Por ejemplo, y ${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}}$ ${\displaystyle {\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}.}$
• El producto in es el resto cuando el número entero xy se divide por 4 . Por ejemplo, y ${\displaystyle {\overline {x}}\cdot {\overline {y}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}}$ ${\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}.}$

Entonces es un anillo: cada axioma se sigue del axioma correspondiente para Si x es un número entero, el resto de x cuando se divide por 4 puede considerarse como un elemento de y este elemento a menudo se denota por " x mod 4 " o que es consistente con la notación para 0, 1, 2, 3 . El inverso aditivo de cualquier in es. Por ejemplo, ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle {\overline {x}},}$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle -{\overline {x}}={\overline {-x}}.}$ ${\displaystyle -{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.}$

Ejemplo: matrices de 2 por 2

El conjunto de matrices cuadradas de 2 por 2 con entradas en un campo F es ^{[7] [8] [9] [10]}

${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d\in F\right\}.}$

Con las operaciones de suma de matrices y multiplicación de matrices , satisface los axiomas del anillo anteriores. El elemento es la identidad multiplicativa del anillo. Si y entonces , mientras este ejemplo muestra que el anillo no es conmutativo. ${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)}$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle B=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),}$ ${\displaystyle AB=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right);}$

De manera más general, para cualquier anillo R , conmutativo o no, y cualquier entero no negativo n , las matrices cuadradas de dimensión n con entradas en R forman un anillo; ver Anillo matricial .

Historia

Richard Dedekind , uno de los fundadores de la teoría de los anillos

Dedekind

El estudio de los anillos se originó a partir de la teoría de los anillos polinomiales y la teoría de los números enteros algebraicos . ^[11] En 1871, Richard Dedekind definió el concepto de anillo de números enteros de un campo numérico. ^[12] En este contexto, introdujo los términos "ideal" (inspirado en la noción de número ideal de Ernst Kummer ) y "módulo" y estudió sus propiedades. Dedekind no utilizó el término "anillo" y no definió el concepto de anillo en un contexto general.

Hilbert

El término "Zahlring" (anillo numérico) fue acuñado por David Hilbert en 1892 y publicado en 1897. ^[13] En el alemán del siglo XIX, la palabra "Ring" podía significar "asociación", que todavía se utiliza hoy en día en inglés de forma limitada. sentido (por ejemplo, anillo de espías), ^{[ cita necesaria ]} , por lo que si esa fuera la etimología, sería similar a la forma en que "grupo" entró en las matemáticas al ser una palabra no técnica para "colección de cosas relacionadas". Según Harvey Cohn, Hilbert usó el término para un anillo que tenía la propiedad de "girar directamente hacia atrás" a un elemento de sí mismo (en el sentido de equivalencia ) . ^[14] Específicamente, en un anillo de enteros algebraicos, todas las potencias altas de un entero algebraico pueden escribirse como una combinación integral de un conjunto fijo de potencias inferiores y, por lo tanto, las potencias "regresan". Por ejemplo, si a ³ − 4 a + 1 = 0 entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{3}&=4a-1,\\a^{4}&=4a^{2}-a,\\a^{5}&=-a^{2}+16a-4,\\a^{6}&=16a^{2}-8a+1,\\a^{7}&=-8a^{2}+65a-16,\\\vdots \ &\qquad \vdots \end{aligned}}}$

etcétera; en general, a ⁿ será una combinación lineal integral de 1 , a y a ² .

Fraenkel y Noether

La primera definición axiomática de anillo fue dada por Adolf Fraenkel en 1915, ^{[15] [16]} pero sus axiomas eran más estrictos que los de la definición moderna. Por ejemplo, exigía que todo divisor distinto de cero tuviera un inverso multiplicativo . ^[17] En 1921, Emmy Noether dio una definición axiomática moderna de anillos conmutativos (con y sin 1) y desarrolló los fundamentos de la teoría de anillos conmutativos en su artículo Idealtheorie en Ringbereichen . ^[18]

Identidad multiplicativa y el término "anillo"

Los axiomas de Fraenkel para un "anillo" incluían el de una identidad multiplicativa, ^[19] mientras que los de Noether no. ^[18]

La mayoría o todos los libros sobre álgebra ^{[20] [21]} hasta alrededor de 1960 siguieron la convención de Noether de no requerir un 1 para un "anillo". A partir de la década de 1960, se hizo cada vez más común ver libros que incluían la existencia de 1 en la definición de "anillo", especialmente en libros avanzados de autores notables como Artin, ^[22] Bourbaki, ^[23] Eisenbud, ^[24] y Lang. ^[3] También hay libros publicados hasta 2022 que utilizan el término sin el requisito de 1 . ^{[25] [26] [27] [28]} Asimismo, la Enciclopedia de Matemáticas no requiere elementos unitarios en anillos. ^[29] En un artículo de investigación, los autores suelen especificar qué definición de anillo utilizan al principio de ese artículo.

Gardner y Wiegandt afirman que, cuando se trabaja con varios objetos en la categoría de anillos (a diferencia de trabajar con un anillo fijo), si se requiere que todos los anillos tengan un 1 , entonces algunas consecuencias incluyen la falta de existencia de infinitas sumas directas de anillos, y que las sumas directas adecuadas de los anillos no son subanillos. Concluyen que "en muchas, tal vez en la mayoría, ramas de la teoría de anillos, el requisito de la existencia de un elemento de unidad no es sensato y, por tanto, inaceptable". ^[30] Poonen contraargumenta que la noción natural de anillos sería el producto directo en lugar de la suma directa. Sin embargo, su principal argumento es que los anillos sin identidad multiplicativa no son totalmente asociativos, en el sentido de que no contienen el producto de ninguna secuencia finita de elementos del anillo, incluida la secuencia vacía. ^{[c] [31]}

Los autores que sigan cualquiera de las convenciones para el uso del término "anillo" podrán utilizar uno de los siguientes términos para referirse a objetos que cumplan la otra convención:

• incluir un requisito para una identidad multiplicativa: "anillo unitario", "anillo unitario", "anillo unitario", "anillo con unidad", "anillo con identidad", "anillo con una unidad", [ ^32] o "anillo con 1". ^[33]
• omitir un requisito de identidad multiplicativa: "rng" ^[34] o "pseudo-ring", ^[35] aunque este último puede resultar confuso porque también tiene otros significados.

Ejemplos básicos

Anillos conmutativos

• El ejemplo prototípico es el anillo de números enteros con las dos operaciones de suma y multiplicación.
• Los números racionales, reales y complejos son anillos conmutativos de un tipo llamado campos .
• Un álgebra asociativa unital sobre un anillo conmutativo R es en sí mismo un anillo y también un módulo R. Algunos ejemplos:
  • El álgebra R [ X ] de polinomios con coeficientes en R .
  • El álgebra de series de potencias formales con coeficientes en R. ${\displaystyle R[[X_{1},\dots ,X_{n}]]}$
  • El conjunto de todas las funciones continuas de valores reales definidas en la recta real forma un álgebra conmutativa. Las operaciones son suma y multiplicación puntuales de funciones. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
  • Sea X un conjunto y R un anillo. Entonces el conjunto de todas las funciones de X a R forma un anillo, que es conmutativo si R es conmutativo.
• El anillo de los enteros cuadráticos , la clausura integral de en una extensión cuadrática de Es un subanillo del anillo de todos los enteros algebraicos . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• El anillo de enteros profinitos es el producto (infinito) de los anillos de p -enteros ádicos sobre todos los números primos p . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• El anillo de Hecke , el anillo generado por los operadores de Hecke.
• Si S es un conjunto, entonces el conjunto potencia de S se convierte en un anillo si definimos la suma como la diferencia simétrica de conjuntos y la multiplicación como la intersección . Este es un ejemplo de anillo booleano .

Anillos no conmutativos

• Para cualquier anillo R y cualquier número natural n , el conjunto de todas las matrices cuadradas n por n con entradas de R forma un anillo con suma y multiplicación de matrices como operaciones. Para n = 1 , este anillo de matriz es isomorfo al propio R. Para n > 1 (y R no es el anillo cero), este anillo de matriz no es conmutativo.
• Si G es un grupo abeliano , entonces los endomorfismos de G forman un anillo, el anillo de endomorfismo End( G ) de  G . Las operaciones en este anillo son suma y composición de endomorfismos. De manera más general, si V es un módulo izquierdo sobre un anillo R , entonces el conjunto de todos los mapas lineales R forma un anillo, también llamado anillo de endomorfismo y denotado por End _R ( V ) .
• El anillo de endomorfismo de una curva elíptica . Es un anillo conmutativo si la curva elíptica se define sobre un campo de característica cero.
• Si G es un grupo y R es un anillo, el anillo de grupo de G sobre R es un módulo libre sobre R que tiene G como base. La multiplicación se define por las reglas de que los elementos de G conmutan con los elementos de R y se multiplican como lo hacen en el grupo G.
• El anillo de operadores diferenciales (según el contexto). De hecho, muchos anillos que aparecen en el análisis no son conmutativos. Por ejemplo, la mayoría de las álgebras de Banach no son conmutativas.

No anillos

• El conjunto de números naturales con las operaciones habituales no es un anillo, ya que ni siquiera es un grupo (no todos los elementos son invertibles con respecto a la suma; por ejemplo, no existe un número natural que pueda sumarse a 3 para obtener 0 como un resultado). Hay una forma natural de ampliarlo a un anillo, incluyendo números negativos para producir el anillo de números enteros. Los números naturales (incluido el 0 ) forman una estructura algebraica conocida como semianillo (que tiene todos los axiomas de un anillo excluyendo el de un inverso aditivo). ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• Sea R el conjunto de todas las funciones continuas en la recta real que desaparecen fuera de un intervalo acotado que depende de la función, con la suma como de costumbre pero con la multiplicación definida como convolución :
  $${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy.}$$
  Entonces R es un rng, pero no un anillo: la función delta de Dirac tiene la propiedad de una identidad multiplicativa, pero no es una función y, por tanto, no es un elemento de  R.

Conceptos básicos

Productos y poderes

Para cada entero no negativo n , dada una secuencia de n elementos de R , se puede definir el producto de forma recursiva: sea P ₀ = 1 y sea P _m = P _{m −1} a _m para 1 ≤ m ≤ n . ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}}$

Como caso especial, se pueden definir potencias enteras no negativas de un elemento a de un anillo: a ⁰ = 1 y a ⁿ = a ^{n −1} a para n ≥ 1 . Entonces a ^{m + n} = a ^m a ⁿ para todo m , n ≥ 0 .

Elementos en un anillo

Un divisor cero izquierdo de un anillo R es un elemento a en el anillo tal que existe un elemento b distinto de cero de R tal que ab = 0 . ^[d] Un divisor de cero derecho se define de manera similar.

Un elemento nilpotente es un elemento a tal que an ⁼ 0 para algunos n > 0 . Un ejemplo de elemento nilpotente es una matriz nilpotente . Un elemento nilpotente en un anillo distinto de cero es necesariamente un divisor de cero.

Un idempotente es un elemento tal que e ² = e . Un ejemplo de elemento idempotente es una proyección en álgebra lineal. ${\displaystyle e}$

Una unidad es un elemento a que tiene inverso multiplicativo ; ^{en este caso ,} el inverso es único y se denota con –1 . El conjunto de unidades de un anillo es un grupo bajo multiplicación de anillos; este grupo se denota por R ^× o R * o U ( R ) . Por ejemplo, si R es el anillo de todas las matrices cuadradas de tamaño n sobre un campo, entonces R ^× consiste en el conjunto de todas las matrices invertibles de tamaño n y se denomina grupo lineal general .

subring

Un subconjunto S de R se denomina subanillo si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

• la suma y multiplicación de R se restringen para dar operaciones S × S → S haciendo de S un anillo con la misma identidad multiplicativa  que R.
• 1 ∈ S ; y para todo x, y en S , los elementos xy , x + y y −x están en  S.
• S puede equiparse con operaciones que lo conviertan en un anillo tal que el mapa de inclusión S → R sea un homomorfismo de anillo.

Por ejemplo, el anillo de los números enteros es un subanillo del cuerpo de los números reales y también un subanillo del anillo de los polinomios (en ambos casos, contiene 1, que es la identidad multiplicativa de los anillos más grandes). Por otro lado, el subconjunto de números enteros pares no contiene el elemento de identidad 1 y , por lo tanto, no califica como un subanillo de lo que  uno podría llamar subrng . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ;}$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$

Una intersección de subanillos es un subanillo. Dado un subconjunto E de R , el subanillo más pequeño de R que contiene E es la intersección de todos los subanillos de R que contienen  E , y se llama subanillo generado por  E.

Para un anillo R , el subanillo más pequeño de R se llama subanillo característico de R. Se puede generar mediante la suma de copias de 1 y  −1 . Es posible que n · 1 = 1 + 1 + ... + 1 ( n veces) pueda ser cero. Si n es el entero positivo más pequeño tal que esto ocurre, entonces n se llama característica de  R. En algunos anillos, n · 1 nunca es cero para ningún entero positivo n , y se dice que esos anillos tienen característica cero .

Dado un anillo R , sea Z( R ) el conjunto de todos los elementos x en R tales que x conmuta con cada elemento en R : xy = yx para cualquier y en  R. Entonces Z( R ) es un subanillo de  R , llamado centro de  R. De manera más general, dado un subconjunto X de  R , sea S el conjunto de todos los elementos de R que conmutan con cada elemento de  X. Entonces S es un subanillo de  R , llamado centralizador (o conmutante) de  X. El centro es el centralizador de todo el  anillo R. Se dice que los elementos o subconjuntos del centro son centrales en  R ; ellos (cada uno individualmente) generan un subanillo del centro.

Ideal

Sea R un anillo. Un ideal izquierdo de R es un subconjunto I no vacío de R tal que para cualquier x , y en I y r en R , los elementos x + y y rx están en I. Si RI denota el R -span de I , es decir, el conjunto de sumas finitas

${\displaystyle r_{1}x_{1}+\cdots +r_{n}x_{n}\quad {\textrm {such}}\;{\textrm {that}}\;r_{i}\in R\;{\textrm {and}}\;x_{i}\in I,}$

entonces I es un ideal de izquierda si RI ⊆ I . De manera similar, un ideal correcto es un subconjunto I tal que IR ⊆ I . Se dice que un subconjunto I es un ideal bilateral o simplemente ideal si es tanto un ideal de izquierda como un ideal de derecha. Un ideal unilateral o bilateral es entonces un subgrupo aditivo de R. Si E es un subconjunto de R , entonces RE es un ideal de izquierda, llamado ideal de izquierda generado por E ; es el ideal izquierdo más pequeño que contiene E . De manera similar, se puede considerar el ideal correcto o el ideal bilateral generado por un subconjunto de R.

Si x está en R , entonces Rx y xR son ideales izquierdos e ideales derechos, respectivamente; se les llama ideales principales de izquierda e ideales de derecha generados por x . El ideal principal RxR se escribe como ( x ) . Por ejemplo, el conjunto de todos los múltiplos positivos y negativos de 2 junto con 0 forman un ideal de los números enteros, y este ideal es generado por el número entero  2 . De hecho, todo ideal del anillo de números enteros es principal.

Como un grupo, se dice que un anillo es simple si es distinto de cero y no tiene ideales bilaterales distintos de cero. Un anillo simple conmutativo es precisamente un campo.

Los anillos a menudo se estudian con condiciones especiales impuestas a sus ideales. Por ejemplo, un anillo en el que no existe una cadena infinita estrictamente creciente de ideales de izquierda se llama anillo noetheriano izquierdo . Un anillo en el que no existe una cadena infinita estrictamente decreciente de ideales de izquierda se llama anillo artiniano izquierdo . Es un hecho algo sorprendente que un anillo artiniano izquierdo sea noetheriano izquierdo (el teorema de Hopkins-Levitzki ). Los números enteros, sin embargo, forman un anillo noetheriano que no es artiniano.

Para los anillos conmutativos, los ideales generalizan la noción clásica de divisibilidad y descomposición de un número entero en números primos en álgebra. Un ideal propio P de R se llama ideal primo si para cualquier elemento que tengamos que implique o. Equivalentemente, P es primo si para cualquier ideal I , J tenemos que IJ ⊆ P implica I ⊆ P o J ⊆ P. Esta última formulación ilustra la idea de los ideales como generalizaciones de elementos. ${\displaystyle x,y\in R}$ ${\displaystyle xy\in P}$ ${\displaystyle x\in P}$ ${\displaystyle y\in P.}$

Homomorfismo

Un homomorfismo de un anillo ( R , +, ⋅ ) a un anillo ( S , ‡, ∗) es una función f de R a  S que conserva las operaciones del anillo; es decir, tal que, para todo a , b en R se mantienen las siguientes identidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(a+b)=f(a)\ddagger f(b)\\&f(a\cdot b)=f(a)*f(b)\\&f(1_{R})=1_{S}\end{aligned}}}$

Si uno está trabajando con rngs, entonces se descarta la tercera condición.

Un homomorfismo de anillo f se dice que es un isomorfismo si existe un homomorfismo inverso a f (es decir, un homomorfismo de anillo que es una función inversa ). Cualquier homomorfismo de anillo biyectivo es un isomorfismo de anillo. Dos anillos R , S se dicen isomorfos si hay un isomorfismo entre ellos y en ese caso se escribe Un homomorfismo de anillo entre el mismo anillo se llama endomorfismo, y un isomorfismo entre el mismo anillo, automorfismo. ${\displaystyle R\simeq S.}$

Ejemplos:

• La función que asigna cada entero x a su resto módulo 4 (un número en {0, 1, 2, 3} ) es un homomorfismo del anillo al anillo cociente ("anillo cociente" se define a continuación). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$
• Si u es un elemento unitario en un anillo R , entonces es un homomorfismo de anillo, llamado automorfismo interno de R. ${\displaystyle R\to R,x\mapsto uxu^{-1}}$
• Sea R un anillo conmutativo de característica prima p . Entonces x ↦ x ^p es un endomorfismo de anillo de R llamado homomorfismo de Frobenius .
• El grupo de Galois de una extensión de campo L / K es el conjunto de todos los automorfismos de L cuyas restricciones a n son la identidad.
• Para cualquier anillo R , hay un homomorfismo de anillo único y un homomorfismo de anillo único R → 0 . ${\displaystyle \mathbb {Z} \mapsto R}$
• Un epimorfismo (es decir, un morfismo cancelable por la derecha) de anillos no tiene por qué ser sobreyectivo. Por ejemplo, el mapa único es un epimorfismo. ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$
• Un homomorfismo de álgebra de un k -álgebra al álgebra de endomorfismo de un espacio vectorial sobre k se llama representación del álgebra .

Dado un homomorfismo de anillo f  : R → S , el conjunto de todos los elementos asignados a 0 por f se llama núcleo de  f . El núcleo es un ideal bilateral de  R. La imagen de  f , por otra parte, no siempre es un ideal, pero siempre es un subanillo de  S.

Dar un homomorfismo de anillo de un anillo conmutativo R a un anillo A con una imagen contenida en el centro de A es lo mismo que dar una estructura de un álgebra sobre R a  A (que en particular da una estructura de un módulo A ) .

anillo cociente

La noción de anillo cociente es análoga a la noción de grupo cociente . Dado un anillo ( R , +, ⋅ ) y un ideal I de dos lados de ( R , +, ⋅ ) , vea I como un subgrupo de ( R , +) ; entonces el anillo cociente R / I es el conjunto de clases laterales de I junto con las operaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\\&(a+I)(b+I)=(ab)+I.\end{aligned}}}$

para todos a , b en R . El anillo R / I también se denomina anillo factorial .

Al igual que con un grupo cociente, existe un homomorfismo canónico p  : R → R / I , dado por x ↦ x + I . Es sobreyectivo y satisface la siguiente propiedad universal:

• Si f  : R → S es un homomorfismo de anillo tal que f ( I ) = 0 , entonces existe un homomorfismo único tal que ${\displaystyle {\overline {f}}:R/I\to S}$ ${\displaystyle f={\overline {f}}\circ p.}$

Para cualquier homomorfismo de anillo f  : R → S , invocar la propiedad universal con I = ker f produce un homomorfismo que da un isomorfismo de R /ker f a la imagen de f . ${\displaystyle {\overline {f}}:R/\ker f\to S}$

Módulo

El concepto de módulo sobre un anillo generaliza el concepto de espacio vectorial (sobre un campo ) al generalizar desde la multiplicación de vectores con elementos de un campo ( multiplicación escalar ) hasta la multiplicación con elementos de un anillo. Más precisamente, dado un anillo R , un R -módulo M es un grupo abeliano equipado con una operación R × M → M (asociando un elemento de M a cada par de un elemento de R y un elemento de M ) que satisface ciertos axiomas . Esta operación comúnmente se denota por yuxtaposición y se llama multiplicación. Los axiomas de los módulos son los siguientes: para todo a , b en R y todo x , y en M ,

M es un grupo abeliano bajo suma.

${\displaystyle {\begin{aligned}&a(x+y)=ax+ay\\&(a+b)x=ax+bx\\&1x=x\\&(ab)x=a(bx)\end{aligned}}}$

Cuando el anillo no es conmutativo, estos axiomas definen módulos izquierdos ; Los módulos de la derecha se definen de manera similar escribiendo xa en lugar de ax . Esto no es solo un cambio de notación, ya que el último axioma de los módulos derechos (es decir, x ( ab ) = ( xa ) b ) se convierte en ( ab ) x = b ( ax ) , si se usa la multiplicación por la izquierda (por elementos del anillo). para un módulo derecho.

Los ejemplos básicos de módulos son ideales, incluido el anillo mismo.

Aunque definida de manera similar, la teoría de los módulos es mucho más complicada que la del espacio vectorial, principalmente porque, a diferencia de los espacios vectoriales, los módulos no se caracterizan (hasta un isomorfismo) por una única invariante (la dimensión de un espacio vectorial ). En particular, no todos los módulos tienen una base .

Los axiomas de módulos implican que (−1) x = − x , donde el primer menos denota el inverso aditivo en el anillo y el segundo menos el inverso aditivo en el módulo. Usar esto y denotar la suma repetida mediante una multiplicación por un número entero positivo permite identificar grupos abelianos con módulos sobre el anillo de números enteros.

Cualquier homomorfismo de anillo induce una estructura de un módulo: si f  : R → S es un homomorfismo de anillo, entonces S es un módulo izquierdo sobre R por la multiplicación: rs = f ( r ) s . Si R es conmutativo o si f ( R ) está contenido en el centro de S , el anillo S se llama R - álgebra . En particular, cada anillo es un álgebra sobre números enteros.

Construcciones

Producto directo

Sean R y S anillos. Entonces el producto R × S puede equiparse con la siguiente estructura de anillo natural:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2})=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})\\&(r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})\end{aligned}}}$

para todos r ₁ , r ₂ en R y s ₁ , s ₂ en  S . El anillo R × S con las operaciones anteriores de suma y multiplicación y la identidad multiplicativa (1, 1) se llama producto directo de R con  S. La misma construcción también funciona para una familia arbitraria de anillos: si Ri son anillos _indexados por un conjunto I , entonces es un anillo con suma y multiplicación por componentes. ${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$

Sea R un anillo conmutativo y sean ideales tales que siempre que i ≠ j . Entonces el teorema chino del resto dice que hay un isomorfismo de anillo canónico: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)}$

$${\displaystyle R/{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\simeq \prod _{i=1}^{n}{R/{\mathfrak {a}}_{i}},\qquad x{\bmod {\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}}}\mapsto (x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{1},\ldots ,x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{n}).}$$

Un producto directo "finito" también puede verse como una suma directa de ideales. ^[36] Es decir, sean anillos, las inclusiones con las imágenes (en particular son anillos, aunque no subanillos). Entonces son ideales de R y ${\displaystyle R_{i},1\leq i\leq n}$ ${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$

$${\displaystyle R={\mathfrak {a}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {a}}_{n},\quad {\mathfrak {a}}_{i}{\mathfrak {a}}_{j}=0,i\neq j,\quad {\mathfrak {a}}_{i}^{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{i}}$$

R. idempotentes centralesR

$${\displaystyle 1=e_{1}+\cdots +e_{n},\quad e_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}.}$$

e _ie _i e _j = 0i ≠ je _i^[e]R ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i},}$

Una aplicación importante de un producto directo infinito es la construcción de un límite proyectivo de anillos (ver más abajo). Otra aplicación es un producto restringido de una familia de anillos (cf. anillo Adele ).

Anillo polinómico

Dado un símbolo t (llamado variable) y un anillo conmutativo  R , el conjunto de polinomios

${\displaystyle R[t]=\left\{a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{1}t+a_{0}\mid n\geq 0,a_{j}\in R\right\}}$

forma un anillo conmutativo con la suma y multiplicación habituales, que contiene a R como subanillo. Se llama anillo polinomial sobre  R . De manera más general, el conjunto de todos los polinomios en variables forma un anillo conmutativo, que contiene subanillos. ${\displaystyle R\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ ${\displaystyle R\left[t_{i}\right]}$

Si R es un dominio integral , entonces R [ t ] también es un dominio integral; su campo de fracciones es el campo de funciones racionales . Si R es un anillo noetheriano, entonces R [ t ] es un anillo noetheriano. Si R es un dominio de factorización único, entonces R [ t ] es un dominio de factorización único. Finalmente, R es un campo si y sólo si R [ t ] es un dominio ideal principal.

Sean anillos conmutativos. Dado un elemento x de  S , se puede considerar el homomorfismo de anillo ${\displaystyle R\subseteq S}$

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto f(x)}$

(es decir, la sustitución ). Si S = R [ t ] y x = t , entonces f ( t ) = f . Debido a esto, el polinomio f a menudo también se denota por f ( t ) . La imagen del mapa se denota por R [ x ] ; es lo mismo que el subanillo de S generado por R y  x . ${\displaystyle f\mapsto f(x)}$

Ejemplo: denota la imagen del homomorfismo. ${\displaystyle k\left[t^{2},t^{3}\right]}$

${\displaystyle k[x,y]\to k[t],\,f\mapsto f\left(t^{2},t^{3}\right).}$

En otras palabras, es la subálgebra de k [ t ] generada por t ² y  t ³ .

Ejemplo: sea f un polinomio en una variable, es decir, un elemento en un anillo polinómico R. Entonces f ( x + h ) es un elemento en R [ h ] y f ( x + h ) – f ( x ) es divisible por h en ese anillo. El resultado de sustituir cero en h en ( f ( x + h ) – f ( x )) / h es f' ( x ) , la derivada de f en  x .

La sustitución es un caso especial de la propiedad universal de un anillo polinómico. La propiedad establece: dado un homomorfismo de anillo y un elemento x en S , existe un homomorfismo de anillo único tal que y se restringe a ϕ . ^[37] Por ejemplo, eligiendo una base, un álgebra simétrica satisface la propiedad universal y también lo es un anillo polinomial. ${\displaystyle \phi :R\to S}$ ${\displaystyle {\overline {\phi }}:R[t]\to S}$ ${\displaystyle {\overline {\phi }}(t)=x}$ ${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

Para dar un ejemplo, sea S el anillo de todas las funciones desde R hasta sí mismo; la suma y la multiplicación son las de funciones. Sea x la función identidad. Cada r en R define una función constante , dando lugar al homomorfismo R → S. La propiedad universal dice que este mapa se extiende únicamente a

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto {\overline {f}}}$

( t se asigna a x ) donde es la función polinómica definida por f . El mapa resultante es inyectivo si y sólo si R es infinito. ${\displaystyle {\overline {f}}}$

Dado un polinomio mónico no constante f en R [ t ] , existe un anillo S que contiene R tal que f es un producto de factores lineales en S [ t ] . ^[38]

Sea k un campo algebraicamente cerrado. El Nullstellensatz (teorema de los ceros) de Hilbert establece que existe una correspondencia natural uno a uno entre el conjunto de todos los ideales primos y el conjunto de subvariedades cerradas de k ⁿ . En particular, muchos problemas locales de geometría algebraica pueden abordarse mediante el estudio de los generadores de un ideal en un anillo polinomial. (cf. base de Gröbner ). ${\displaystyle k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$

Hay algunas otras construcciones relacionadas. Un anillo de series de potencias formales consta de series de potencias formales ${\displaystyle R[\![t]\!]}$

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }a_{i}t^{i},\quad a_{i}\in R}$

junto con multiplicación y suma que imitan las de series convergentes. Contiene R [ t ] como subanillo. Un anillo formal en serie de potencias no tiene la propiedad universal de un anillo polinomial; una serie puede no converger después de una sustitución. La ventaja importante de un anillo formal en serie de potencias sobre un anillo polinomial es que es local (de hecho, completo ).

Anillo de matriz y anillo de endomorfismo.

Sea R un anillo (no necesariamente conmutativo). El conjunto de todas las matrices cuadradas de tamaño n con entradas en R forma un anillo con la suma por entradas y la multiplicación de matrices habitual. Se llama anillo matricial y se denota por M _n ( R ) . Dado un módulo R derecho U , el conjunto de todos los mapas R -lineales desde U hacia sí mismo forma un anillo con suma que es de función y multiplicación que es de composición de funciones ; se llama anillo de endomorfismo de U y se denota por End _R ( U ) .

Como en álgebra lineal, un anillo matricial puede interpretarse canónicamente como un anillo de endomorfismo: Este es un caso especial del siguiente hecho: si es un R -mapeo lineal, entonces f puede escribirse como una matriz con entradas f _ij en S = Fin _R ( U ) , lo que resulta en el isomorfismo del anillo: ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R).}$ ${\displaystyle f:\oplus _{1}^{n}U\to \oplus _{1}^{n}U}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(\oplus _{1}^{n}U)\to \operatorname {M} _{n}(S),\quad f\mapsto (f_{ij}).}$

Cualquier homomorfismo de anillo R → S induce M _n ( R ) → M _n ( S ) . ^[39]

El lema de Schur dice que si U es un módulo R derecho simple , entonces End _R ( U ) es un anillo de división. ^[40] Si es una suma directa de m _i -copias de R -módulos simples entonces ${\displaystyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$ ${\displaystyle U_{i},}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i})).}$

El teorema de Artin-Wedderburn establece que cualquier anillo semisimple (ver más abajo) tiene esta forma.

Un anillo R y el anillo matriz M _n ( R ) sobre él son equivalentes de Morita : la categoría de módulos derechos de R es equivalente a la categoría de módulos derechos sobre M _n ( R ) . ^[39] En particular, los ideales bilaterales en R se corresponden uno a uno con los ideales bilaterales en M _n ( R ) .

Límites y colimites de anillos.

Sea R _i una secuencia de anillos tal que R _i es un subanillo de R _{i + 1} para todo i . Entonces la unión (o colimit filtrado ) de R _i es el anillo definido de la siguiente manera: es la unión disjunta de todos los R _i módulo la relación de equivalencia x ~ y si y solo si x = y en R _i para i suficientemente grande . ${\displaystyle \varinjlim R_{i}}$

Ejemplos de colímites:

• Un anillo polinomial en infinitas variables: ${\displaystyle R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].}$
• La clausura algebraica de cuerpos finitos de la misma característica. ${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.}$
• El campo de la serie formal de Laurent sobre un campo k : (es el campo de fracciones del anillo de la serie formal de potencias ) ${\displaystyle k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]}$ ${\displaystyle k[\![t]\!].}$
• El campo de función de una variedad algebraica sobre un campo k es donde el límite recorre todos los anillos de coordenadas k [ U ] de subconjuntos abiertos no vacíos U (de manera más sucinta, es el tallo de la estructura en el punto genérico ). ${\displaystyle \varinjlim k[U]}$

Cualquier anillo conmutativo es el colimit de subanillos generados finitamente .

Un límite proyectivo (o un límite filtrado ) de anillos se define de la siguiente manera. Supongamos que tenemos una familia de anillos R _i , i que se ejecutan sobre enteros positivos, digamos, y homomorfismos de anillo R _j → R _i , j ≥ i tales que R _i → R _i son todas las identidades y R _k → R _j → R _i es R _k → R _i siempre que k ≥ j ≥ i . Entonces el subanillo de consiste en ( x _n ) tal que x _j se asigna a x _i bajo R _j → R _i , j ≥ i . ${\displaystyle \varprojlim R_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \prod R_{i}}$

Para ver un ejemplo de límite proyectivo, consulte § Finalización .

Localización

La localización generaliza la construcción del campo de fracciones de un dominio integral a un anillo y módulos arbitrarios. Dado un anillo R (no necesariamente conmutativo) y un subconjunto S de R , existe un anillo junto con el homomorfismo de anillo que "invierte" S ; es decir, el homomorfismo asigna elementos en S a elementos unitarios en y, además, cualquier homomorfismo de anillo de R que "invierta" S factorice de manera única a través de ^[41] El anillo se llama localización de R con respecto a S. Por ejemplo, si R es un anillo conmutativo yf un elemento en R , entonces la localización consta de elementos de la forma (para ser precisos, ) ^[42] ${\displaystyle R[S^{-1}]}$ ${\displaystyle R\to R\left[S^{-1}\right]}$ ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right],}$ ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$ ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$ ${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]}$ ${\displaystyle r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0}$ ${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]=R[t]/(tf-1).}$

La localización se aplica frecuentemente a un anillo conmutativo R con respecto al complemento de un ideal primo (o una unión de ideales primos) en  R. En este caso, a menudo se escribe para un anillo local con el ideal máximo. De ahí la terminología "localización". El campo de fracciones de un dominio integral R es la localización de R en el cero ideal primo. Si es un ideal primo de un anillo conmutativo  R , entonces el campo de fracciones de es el mismo que el campo residual del anillo local y se denota por ${\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}},}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {p}}).}$

Si M es un módulo R izquierdo , entonces la localización de M con respecto a S viene dada por un cambio de anillos ${\displaystyle M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M.}$

Las propiedades más importantes de la localización son las siguientes: cuando R es un anillo conmutativo y S un subconjunto multiplicativamente cerrado

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]}$es una biyección entre el conjunto de todos los ideales primos en R disjunto de S y el conjunto de todos los ideales primos en ^[43] ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$
• ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right],}$ f recorriendo elementos en S con ordenamiento parcial dado por la divisibilidad. ^[44]
• La localización es exacta:
  $${\displaystyle 0\to M'\left[S^{-1}\right]\to M\left[S^{-1}\right]\to M''\left[S^{-1}\right]\to 0}$$
  es exacto sobre siempre que es exacto sobre  R . ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$ ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$
• Por el contrario, si es exacto para cualquier ideal máximo, entonces es exacto. ${\displaystyle 0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$ ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$
• Una observación: la localización no ayuda a demostrar una existencia global. Un ejemplo de esto es que si dos módulos son isomorfos en todos los ideales primos, no se sigue que sean isomorfos. (Una forma de explicar esto es que la localización permite ver un módulo como un haz sobre ideales principales y un haz es inherentemente una noción local).

En la teoría de categorías , una localización de una categoría equivale a convertir algunos morfismos en isomorfismos. Un elemento en un anillo conmutativo R puede considerarse como un endomorfismo de cualquier R -módulo. Así, categóricamente, una localización de R con respecto a un subconjunto S de R es un functor de la categoría de R -módulos hacia sí mismo que envía elementos de S vistos como endomorfismos a automorfismos y es universal con respecto a esta propiedad. (Por supuesto, R luego se asigna a y R -módulos se asignan a -módulos). ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$ ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$

Terminación

Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal  de R. La terminación de R en I es el límite proyectivo , es un anillo conmutativo. Los homomorfismos canónicos de R a los cocientes inducen un homomorfismo. Este último homomorfismo es inyectivo si R es un dominio integral noetheriano e I es un ideal propio, o si R es un anillo local noetheriano con ideal máximo I , según el teorema de intersección de Krull . ^[45] La construcción es especialmente útil cuando I es un ideal máximo. ${\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n};}$ ${\displaystyle R/I^{n}}$ ${\displaystyle R\to {\hat {R}}.}$

El ejemplo básico es la realización del ideal principal ( p ) generado por un número primo p ; se llama anillo de enteros p -ádicos y se denota. En este caso, la terminación también se puede construir a partir del valor absoluto p -ádico en El valor absoluto p -ádico en es un mapa de a dado por donde denota el exponente de p en la factorización prima de un entero distinto de cero n en números primos (también ponemos y ). Define una función de distancia y la finalización de como un espacio métrico se denota por. Es nuevamente un campo ya que las operaciones de campo se extienden hasta la finalización. El subanillo de que consta de elementos x con | x | _p ≤ 1 es isomorfo a  ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x\mapsto |x|}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}}$ ${\displaystyle v_{p}(n)}$ ${\displaystyle |0|_{p}=0}$ ${\displaystyle |m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$

De manera similar, el anillo formal de series de potencias R [{[ t ]}] es la compleción de R [ t ] en ( t ) (ver también el lema de Hensel )

Un anillo completo tiene una estructura mucho más simple que un anillo conmutativo. Esto se debe al teorema de la estructura de Cohen , que dice, aproximadamente, que un anillo local completo tiende a parecerse a un anillo formal en serie de potencias o a un cociente del mismo. Por otro lado, la interacción entre la clausura integral y la compleción ha estado entre los aspectos más importantes que distinguen la teoría conmutativa moderna de los anillos de la clásica desarrollada por personas como Noether. Los ejemplos patológicos encontrados por Nagata llevaron a reexaminar las funciones de los anillos noetherianos y motivaron, entre otras cosas, la definición de anillo excelente .

Anillos con generadores y relaciones.

La forma más general de construir un anillo es especificando generadores y relaciones. Sea F un anillo libre (es decir , álgebra libre sobre números enteros) con el conjunto X de símbolos, es decir, F consta de polinomios con coeficientes integrales en variables no conmutantes que son elementos de X. Un anillo libre satisface la propiedad universal: cualquier función del conjunto X a un anillo R se factoriza a través de F de modo que F → R es el homomorfismo de anillo único. Al igual que en el caso del grupo, cada anillo se puede representar como un cociente de un anillo libre. ^[46]

Ahora podemos imponer relaciones entre símbolos en X tomando un cociente. Explícitamente, si E es un subconjunto de F , entonces el anillo cociente de F por el ideal generado por E se llama anillo con generadores X y relaciones E. Si usamos un anillo, digamos, A como anillo base en lugar de entonces el anillo resultante estará sobre A . Por ejemplo, si entonces el anillo resultante será el anillo polinómico habitual con coeficientes en A en variables que son elementos de X (también es lo mismo que el álgebra simétrica sobre A con símbolos X ). ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle E=\{xy-yx\mid x,y\in X\},}$

En términos de teoría de categorías, la formación es el funtor adjunto izquierdo del funtor olvidadizo de la categoría de anillos a Set (y a menudo se le llama funtor de anillo libre). ${\displaystyle S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S}$

Sean A , B álgebras sobre un anillo conmutativo R. Entonces el producto tensorial de R -módulos es un R -álgebra con multiplicación caracterizada por ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv.}$

tipos especiales de anillos

Dominios

Un anillo distinto de cero sin divisores de cero distintos de cero se llama dominio . Un dominio conmutativo se llama dominio integral . Los dominios integrales más importantes son los dominios ideales principales, PID para abreviar y los campos. Un dominio ideal principal es un dominio integral en el que todo ideal es principal. Una clase importante de dominios integrales que contienen un PID es un dominio de factorización único (UFD), un dominio integral en el que cada elemento no unitario es un producto de elementos primos (un elemento es primo si genera un ideal primo ). La teoría algebraica de números analiza hasta qué punto el anillo de números enteros (generalizados) en un campo numérico , donde un "ideal" admite factorización prima, no logra ser un PID.

Entre los teoremas relacionados con un PID, el más importante es el teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal . El teorema puede ilustrarse mediante la siguiente aplicación al álgebra lineal. ^[47] Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo k y f  : V → V un mapa lineal con polinomio mínimo q . Entonces, dado que k [ t ] es un dominio de factorización único, q factoriza potencias de distintos polinomios irreducibles (es decir, elementos primos):

$${\displaystyle q=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{s}^{e_{s}}.}$$

Dejando que hagamos V a k [ t ] -módulo. El teorema de estructura dice entonces que V es una suma directa de módulos cíclicos , cada uno de los cuales es isomorfo al módulo de la forma Ahora, si entonces dicho módulo cíclico (para pi ₎ tiene una base en la que la restricción de f está representada por una matriz de Jordan . Por lo tanto, si, digamos, k es algebraicamente cerrado, entonces todos los p _i son de la forma t – λ _i y la descomposición anterior corresponde a la forma canónica de Jordan de f . ${\displaystyle t\cdot v=f(v),}$ ${\displaystyle k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right).}$ ${\displaystyle p_{i}(t)=t-\lambda _{i},}$

Jerarquía de varias clases de anillos con ejemplos.

En geometría algebraica, las UFD surgen debido a la suavidad. Más precisamente, un punto en una variedad (sobre un campo perfecto) es suave si el anillo local en el punto es un anillo local regular . Un anillo local normal es un UFD. ^[48]

La siguiente es una cadena de inclusiones de clases que describe la relación entre anillos, dominios y campos:

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

anillo de división

Un anillo de división es un anillo tal que cada elemento distinto de cero es una unidad. Un anillo de división conmutativo es un campo . Un ejemplo destacado de anillo de división que no es un campo es el anillo de cuaterniones . Cualquier centralizador en un anillo de división también es un anillo de división. En particular, el centro de un anillo de división es un campo. Resultó que todo dominio finito (en particular el anillo de división finito) es un campo; en particular conmutativo (el pequeño teorema de Wedderburn ).

Cada módulo sobre un anillo de división es un módulo libre (tiene una base); en consecuencia, gran parte del álgebra lineal se puede realizar sobre un anillo de división en lugar de sobre un campo.

El estudio de las clases de conjugación ocupa un lugar destacado en la teoría clásica de los anillos de división; véase, por ejemplo, el teorema de Cartan-Brauer-Hua .

Un álgebra cíclica , introducida por LE Dickson , es una generalización de un álgebra de cuaterniones .

Anillos semisimples

Un módulo semisimple es una suma directa de módulos simples. Un anillo semisimple es un anillo que es semisimple como un módulo izquierdo (o módulo derecho) sobre sí mismo.

Ejemplos

• Un anillo de división es semisimple (y simple ).
• Para cualquier anillo de división D y entero positivo n , el anillo de matriz M _n ( D ) es semisimple (y simple ).
• Para un cuerpo k y un grupo finito G , el anillo del grupo kG es semisimple si y sólo si la característica de k no divide el orden de G ( teorema de Maschke ).
• Las álgebras de Clifford son semisimples.

El álgebra de Weyl sobre un campo es un anillo simple , pero no es semisimple. Lo mismo se aplica a un anillo de operadores diferenciales en muchas variables .

Propiedades

Cualquier módulo sobre un anillo semisimple es semisimple. (Prueba: un módulo libre sobre un anillo semisimple es semisimple y cualquier módulo es un cociente de un módulo libre).

Para un anillo R , los siguientes son equivalentes:

• R es semisimple.
• R es artiniano y semiprimitivo .
• R es un producto directo finito donde cada n _i es un entero positivo y cada _Di es un anillo de división ( teorema de Artin-Wedderburn ). ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$

La semisimplicidad está estrechamente relacionada con la separabilidad. Se dice que un álgebra asociativa unital A sobre un campo k es separable si la extensión de base es semisimple para cada extensión de campo F / k . Si A resulta ser un campo, entonces esto es equivalente a la definición habitual en la teoría de campos (cf. extensión separable ). ${\displaystyle A\otimes _{k}F}$

Álgebra central simple y grupo de Brauer

Para un campo k , una k -álgebra es central si su centro es k y es simple si es un anillo simple . Dado que el centro de una k -álgebra simple es un campo, cualquier k -álgebra simple es un álgebra simple central sobre su centro. En esta sección, se supone que un álgebra simple central tiene dimensión finita. Además, principalmente arreglamos el campo base; por tanto, un álgebra se refiere a una k -álgebra. El anillo de matriz de tamaño n sobre un anillo R se denotará por R _n .

El teorema de Skolem-Noether establece que cualquier automorfismo de un álgebra simple central es interno.

Se dice que dos álgebras simples centrales A y B son similares si hay números enteros n y m tales que ^[49] Dado que la similitud es una relación de equivalencia. Las clases de similitud [ A ] con la multiplicación forman un grupo abeliano llamado grupo de Brauer de k y se denota por Br( k ) . Según el teorema de Artin-Wedderburn , un álgebra simple central es el anillo matricial de un anillo de división; por tanto, cada clase de similitud está representada por un anillo de división único. ${\displaystyle A\otimes _{k}k_{n}\approx B\otimes _{k}k_{m}.}$ ${\displaystyle k_{n}\otimes _{k}k_{m}\simeq k_{nm},}$ ${\displaystyle [A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]}$

Por ejemplo, Br( k ) es trivial si k es un campo finito o un campo algebraicamente cerrado (más generalmente un campo casi algebraicamente cerrado ; cf. teorema de Tsen ). Tiene orden 2 (un caso especial del teorema de Frobenius ). Finalmente, si k es un campo local no arquimediano (por ejemplo, ), entonces a través del mapa invariante . ${\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \operatorname {Br} (k)=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

Ahora, si F es una extensión de campo de k , entonces la extensión de base induce Br( k ) → Br( F ) . Su núcleo se denota por Br( F / k ) . Consiste en [ A ] tal que es un anillo de matriz sobre F (es decir, A está dividido por F ). Si la extensión es finita y Galois, entonces Br( F / k ) es canónicamente isomorfa a ^[50] ${\displaystyle -\otimes _{k}F}$ ${\displaystyle A\otimes _{k}F}$ ${\displaystyle H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right).}$

Las álgebras de Azumaya generalizan la noción de álgebras simples centrales a un anillo local conmutativo.

anillo de valoración

Si K es un campo, una valoración v es un homomorfismo de grupo del grupo multiplicativo K ^∗ a un grupo abeliano G totalmente ordenado tal que, para cualquier f , g en K con f + g distinto de cero, v ( f + g ) ≥ min { v ( f ), v ( g )}. El anillo de valoración de v es el subanillo de K que consta de cero y todos los f distintos de cero tales que v ( f ) ≥ 0 .

Ejemplos:

• El campo de la serie formal de Laurent sobre un campo k viene con la valoración v tal que v ( f ) es el grado mínimo de un término distinto de cero en f ; el anillo de valoración de v es el anillo formal de la serie de potencias ${\displaystyle k(\!(t)\!)}$ ${\displaystyle k[\![t]\!].}$
• De manera más general, dado un campo k y un grupo abeliano G totalmente ordenado , sea el conjunto de todas las funciones desde G hasta k cuyos soportes (los conjuntos de puntos en los que las funciones son distintas de cero) están bien ordenados . Es un campo con la multiplicación dada por convolución : ${\displaystyle k(\!(G)\!)}$
  $${\displaystyle (f*g)(t)=\sum _{s\in G}f(s)g(t-s).}$$
  También viene con la valoración v tal que v ( f ) es el elemento menor en el soporte de f . El subanillo que consta de elementos con soporte finito se llama anillo de grupo de G (lo cual tiene sentido incluso si G no es conmutativo). Si G es el anillo de los números enteros, entonces recuperamos el ejemplo anterior (identificando f con la serie cuyo n -ésimo coeficiente es  f ( n ) ).

Anillos con estructura extra

Un anillo puede verse como un grupo abeliano (mediante la operación de suma), con estructura adicional: es decir, multiplicación de anillos. Del mismo modo, existen otros objetos matemáticos que pueden considerarse como anillos con estructura extra. Por ejemplo:

• Un álgebra asociativa es un anillo que también es un espacio vectorial sobre un campo n tal que la multiplicación escalar es compatible con la multiplicación del anillo. Por ejemplo, el conjunto de n matrices sobre el campo real tiene dimensión n ² como espacio vectorial real. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Un anillo R es un anillo topológico si a su conjunto de elementos R se le da una topología que hace que el mapa de suma ( ) y el mapa de multiplicación ⋅ : R × R → R sean ambos continuos como mapas entre espacios topológicos (donde X × X hereda la topología del producto o cualquier otro producto de la categoría). Por ejemplo, a las matrices n por n sobre los números reales se les podría dar la topología euclidiana o la topología de Zariski , y en cualquier caso se obtendría un anillo topológico. ${\displaystyle +:R\times R\to R}$
• Un anillo λ es un anillo conmutativo R junto con operaciones λ ⁿ : R → R que son como n ésimas potencias exteriores :

  ${\displaystyle \lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y).}$

Por ejemplo, es un anillo λ con coeficientes binomiales . La noción juega una regla central en el enfoque algebraico del teorema de Riemann-Roch . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \lambda ^{n}(x)={\binom {x}{n}},}$

• Un anillo totalmente ordenado es un anillo con un ordenamiento total que es compatible con las operaciones del anillo.

Algunos ejemplos de la ubicuidad de los anillos.

Se pueden analizar fructíferamente muchos tipos diferentes de objetos matemáticos en términos de algún anillo asociado .

Anillo de cohomología de un espacio topológico.

A cualquier espacio topológico X se le puede asociar su anillo de cohomología integral

${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X,\mathbb {Z} ),}$

un anillo graduado . También hay grupos de homología de un espacio, y de hecho estos se definieron primero, como una herramienta útil para distinguir entre ciertos pares de espacios topológicos, como las esferas y los toros , para los cuales los métodos de topología de conjuntos de puntos no son adecuados. Los grupos de cohomología se definieron posteriormente en términos de grupos de homología de una manera aproximadamente análoga al dual de un espacio vectorial . Conocer cada grupo de homología integral individual es esencialmente lo mismo que conocer cada grupo de cohomología integral individual, debido al teorema del coeficiente universal . Sin embargo, la ventaja de los grupos de cohomología es que hay un producto natural , lo cual es análogo a la observación de que se puede multiplicar puntualmente una k -forma multilineal y una l -forma multilineal para obtener una ( k + l ) -forma multilineal. ${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$

La estructura de anillo en cohomología proporciona la base para clases características de haces de fibras , teoría de intersecciones en variedades y variedades algebraicas , cálculo de Schubert y mucho más.

Anillo Burnside de un grupo.

A cualquier grupo se le asocia su anillo Burnside , que utiliza un anillo para describir las diversas formas en que el grupo puede actuar en un conjunto finito. El grupo aditivo del anillo de Burnside es el grupo abeliano libre cuya base es el conjunto de acciones transitivas del grupo y cuya suma es la unión disjunta de la acción. Expresar una acción en términos de la base es descomponer una acción en sus constituyentes transitivos. La multiplicación se expresa fácilmente en términos del anillo de representación : la multiplicación en el anillo de Burnside se forma escribiendo el producto tensorial de dos módulos de permutación como un módulo de permutación. La estructura en anillo permite una forma formal de restar una acción de otra. Dado que el anillo de Burnside está contenido como un subanillo de índice finito del anillo de representación, se puede pasar fácilmente de uno a otro extendiendo los coeficientes de números enteros a números racionales.

Anillo de representación de un anillo de grupo.

A cualquier anillo de grupo o álgebra de Hopf se le asocia su anillo de representación o "Anillo verde". El grupo aditivo del anillo de representación es el grupo abeliano libre cuya base son los módulos indescomponibles y cuya suma corresponde a la suma directa. Expresar un módulo en términos de la base es encontrar una descomposición indescomponible del módulo. La multiplicación es el producto tensorial. Cuando el álgebra es semisimple, el anillo de representación es simplemente el anillo de caracteres de la teoría de caracteres , que es más o menos el grupo de Grothendieck dada una estructura de anillo.

Campo funcional de una variedad algebraica irreducible

A toda variedad algebraica irreductible se le asocia su campo funcional . Los puntos de una variedad algebraica corresponden a anillos de valoración contenidos en el campo de función y que contienen el anillo de coordenadas . El estudio de la geometría algebraica hace un uso intensivo del álgebra conmutativa para estudiar conceptos geométricos en términos de propiedades de la teoría de anillos. La geometría biracional estudia mapas entre los subanillos del campo funcional.

Anillo facial de un complejo simplicial

Cada complejo simplicial tiene un anillo facial asociado, también llamado anillo de Stanley-Reisner . Este anillo refleja muchas de las propiedades combinatorias del complejo simplicial, por lo que es de particular interés en combinatoria algebraica . En particular, se utilizó la geometría algebraica del anillo de Stanley-Reisner para caracterizar el número de caras en cada dimensión de politopos simpliciales .

Descripción teórica de categorías

Cada anillo puede considerarse como un monoide en Ab , la categoría de grupos abelianos (considerado como una categoría monoide bajo el producto tensorial de -módulos ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ). La acción monoide de un anillo R sobre un grupo abeliano es simplemente un módulo R. Esencialmente, un módulo R es una generalización de la noción de espacio vectorial , donde en lugar de un espacio vectorial sobre un campo, se tiene un "espacio vectorial sobre un anillo".

Sea ( A , +) un grupo abeliano y sea End( A ) su anillo de endomorfismo (ver arriba). Tenga en cuenta que, esencialmente, End( A ) es el conjunto de todos los morfismos de A , donde si f está en End( A ) y g está en End( A ) , se pueden usar las siguientes reglas para calcular f + g y f ⋅ gramo :

${\displaystyle {\begin{aligned}&(f+g)(x)=f(x)+g(x)\\&(f\cdot g)(x)=f(g(x)),\end{aligned}}}$

donde + como en f ( x ) + g ( x ) es la suma en A , y la composición de funciones se indica de derecha a izquierda. Por tanto, asociado a cualquier grupo abeliano, hay un anillo. Por el contrario, dado cualquier anillo, ( R , +, ⋅ ) , ( R , +) es un grupo abeliano. Además, para cada r en R , la multiplicación derecha (o izquierda) por r da lugar a un morfismo de ( R , +) , por distributividad derecha (o izquierda). Sea A = ( R , +) . Considere esos endomorfismos de A , que "factorizan" la multiplicación derecha (o izquierda) de R . En otras palabras, sea End _R ( A ) el conjunto de todos los morfismos m de A , teniendo la propiedad de que m ( r ⋅ x ) = r ⋅ m ( x ) . Se vio que cada r en R da lugar a un morfismo de A : multiplicación por la derecha por r . De hecho, es cierto que esta asociación de cualquier elemento de R , a un morfismo de A , en función de R al extremo _R ( A ) , es un isomorfismo de anillos. En este sentido, por lo tanto, cualquier anillo puede verse como el anillo de endomorfismo de algún grupo X abeliano (por grupo X se entiende un grupo en el que X es su conjunto de operadores ). ^[51] En esencia, la forma más general de un anillo es el grupo de endomorfismo de algún grupo X abeliano .

Cualquier anillo puede verse como una categoría preaditiva con un solo objeto. Por tanto, es natural considerar categorías preaditivas arbitrarias como generalizaciones de anillos. Y, de hecho, muchas definiciones y teoremas originalmente dados para los anillos pueden traducirse a este contexto más general. Los funtores aditivos entre categorías preaditivas generalizan el concepto de homomorfismo de anillo, y los ideales en categorías aditivas se pueden definir como conjuntos de morfismos cerrados bajo suma y bajo composición con morfismos arbitrarios.

Generalización

Los algebristas han definido estructuras más generales que los anillos debilitando o eliminando algunos de los axiomas de los anillos.

Rng

Un rng es lo mismo que un anillo, excepto que no se supone la existencia de una identidad multiplicativa. ^[52]

anillo no asociativo

Un anillo no asociativo es una estructura algebraica que satisface todos los axiomas del anillo excepto la propiedad asociativa y la existencia de una identidad multiplicativa. Un ejemplo notable es el álgebra de Lie . Existe alguna teoría estructural para este tipo de álgebras que generaliza resultados análogos para las álgebras de Lie y las álgebras asociativas. ^{[ cita necesaria ]}

semirremolque

Un semianillo (a veces rig ) se obtiene debilitando el supuesto de que ( R , +) es un grupo abeliano al supuesto de que ( R , +) es un monoide conmutativo, y añadiendo el axioma de que 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0 para todo a en R (ya que ya no se sigue de los otros axiomas).

Ejemplos:

• los números enteros no negativos con suma y multiplicación ordinaria; ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$
• el semiring tropical .

Otros objetos parecidos a anillos

Objeto de anillo en una categoría

Sea C una categoría con productos finitos . Sea pt un objeto terminal de C (un producto vacío). Un objeto de anillo en C es un objeto R equipado con morfismos (suma), (multiplicación), (identidad aditiva), (inversa aditiva) e (identidad multiplicativa) que satisfacen los axiomas de anillo habituales. De manera equivalente, un objeto anillo es un objeto R equipado con una factorización de su functor de puntos a través de la categoría de anillos: ${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R}$ ${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {m}{\to }}\,R}$ ${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {0}{\to }}\,R}$ ${\displaystyle R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R}$ ${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}\,R}$ ${\displaystyle h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets} }$ ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets} .}$

Esquema de anillo

En geometría algebraica, un esquema de anillo sobre un esquema base S es un objeto de anillo en la categoría de S -esquemas. Un ejemplo es el esquema de anillo W _n over , que para cualquier anillo conmutativo A devuelve el anillo W _n ( A ) de vectores p -isotípicos de Witt de longitud n sobre A . ^[53] ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$

Espectro de anillo

En topología algebraica , un espectro de anillo es un espectro X junto con una multiplicación y un mapa unitario S → X del espectro de esfera S , de modo que los diagramas de axiomas de anillos conmutan hasta la homotopía. En la práctica, es común definir un espectro en anillo como un objeto monoide en una buena categoría de espectros como la categoría de espectros simétricos . ${\displaystyle \mu :X\wedge X\to X}$

Ver también

• Álgebra sobre un anillo conmutativo
• anillo categórico
• categoría de anillos
• Glosario de teoría de anillos
• Álgebra no asociativa
• Anillo de conjuntos
• semirremolque
• Espectro de un anillo
• Anillo conmutativo simple

Tipos especiales de anillos:

• anillo booleano
• anillo dedekind
• Anillo diferencial
• Anillo exponencial
• anillo finito
• anillo de mentira
• Anillo local
• Anillos noetherianos y artinianos
• Anillo ordenado
• anillo de veneno
• Anillo reducido
• anillo regular
• Anillo de periodos
• anillo OSE
• Anillo de valoración y anillo de valoración discreto

Notas

1. Esto significa que cada operación está definida y produce un resultado único en R para cada par ordenado de elementos de R.
2. Algunos autores no asumen la existencia de 1; aquí, el término rng se utiliza si no se supone la existencia de una identidad multiplicativa. Consulte la siguiente subsección.
3. Poonen afirma que "la extensión natural de la asociatividad exige que los anillos contengan un producto vacío, por lo que es natural exigir que los anillos tengan un  1 ".
4. Algunos otros autores, como Lang, exigen además que un divisor cero sea distinto de cero.
5. Tal idempotente central se llama centralmente primitivo .

Citas

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3. Lang (2002), pág. 83
4. Isaacs (1994), pág. 160
5. "Anillos y álgebras no asociativos". Enciclopedia de Matemáticas .
6. Isaacs (1994), pág. 161
7. Lam (2001), Teorema 3.1
8. Lang (2005), capítulo V, §3.
9. Serre (2006), pág. 3
10. Serre (1979), pág. 158
11. "El desarrollo de la teoría de los anillos".
12. Kleiner (1998), pág. 27
13. Hilbert (1897)
14. Cohn (1980), pág. 49
15. Fraenkel (1915), págs. 143-145
16. Jacobson (2009), pág. 86, nota al pie 1
17. Fraenkel (1915), pág. 144, axioma R ₈₎
18. Noether (1921), pág. 29
19. Fraenkel (1915), pág. 144, axioma R ₇₎
20. van der Waerden (1930)
21. Zariski y Samuel (1958)
22. Artín (2018), pág. 346
23. Bourbaki (1989), pág. 96
24. Eisenbud (1995), pág. 11
25. Galliano (2006), pág. 235
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29. "Anillos asociativos y álgebras". Enciclopedia de Matemáticas .
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33. Rotman (1998), pág. 7
34. Jacobson (2009), pág. 155
35. Bourbaki (1989), pág. 98
36. Cohn (2003), Teorema 4.5.1
37. Jacobson (2009), pág. 122, Teorema 2.10
38. Bourbaki (1964), capítulo 5. §1, Lema 2
39. Cohn (2003), 4.4
40. Lang (2002), cap. XVII. Proposición 1.1
41. Cohn (1995), Proposición 1.3.1
42. Eisenbud (1995), Ejercicio 2.2
43. Milne (2012), Proposición 6.4
44. Milne (2012), final del capítulo 7
45. Atiyah & Macdonald (1969), Teorema 10.17 y sus corolarios
46. Cohn (1995), pág. 242
47. Lang (2002), Capítulo XIV, §2
48. Weibel (2013), pág. 26, capítulo 1, teorema 3.8
49. Milne y CFT, capítulo IV, §2
50. Serre (1950)
51. Jacobson (2009), pág. 162, Teorema 3.2
52. Jacobson (2009)
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