En matemáticas , un campo es un conjunto en el que la suma , resta , multiplicación y división se definen y se comportan como las operaciones correspondientes en números racionales y reales . Por tanto, un campo es una estructura algebraica fundamental que se utiliza ampliamente en álgebra , teoría de números y muchas otras áreas de las matemáticas.
Los campos más conocidos son el campo de los números racionales , el campo de los números reales y el campo de los números complejos . Muchos otros campos, como los campos de funciones racionales , campos de funciones algebraicas , campos de números algebraicos y campos p -ádicos , se utilizan y estudian comúnmente en matemáticas, particularmente en teoría de números y geometría algebraica . La mayoría de los protocolos criptográficos se basan en campos finitos , es decir, campos con un número finito de elementos .
La teoría de campos demuestra que la trisección de ángulos y la cuadratura del círculo no se pueden hacer con un compás y una regla . La teoría de Galois , dedicada a la comprensión de las simetrías de las extensiones de campo , proporciona una elegante prueba del teorema de Abel-Ruffini de que las ecuaciones quínticas generales no pueden resolverse en radicales .
Los campos sirven como nociones fundamentales en varios dominios matemáticos. Esto incluye diferentes ramas del análisis matemático , que se basan en campos con estructura adicional. Los teoremas básicos del análisis dependen de las propiedades estructurales del campo de números reales. Lo más importante para propósitos algebraicos es que cualquier campo puede usarse como escalares para un espacio vectorial , que es el contexto general estándar para el álgebra lineal . Los campos numéricos , los hermanos del campo de los números racionales, se estudian en profundidad en la teoría de números . Los campos de funciones pueden ayudar a describir las propiedades de los objetos geométricos.
Informalmente, un campo es un conjunto, junto con dos operaciones definidas en ese conjunto: una operación de suma escrita como a + b y una operación de multiplicación escrita como a ⋅ b , las cuales se comportan de manera similar a como se comportan para números racionales y números reales. , incluida la existencia de un inverso aditivo − a para todos los elementos a , y de un inverso multiplicativo b −1 para cada elemento b distinto de cero . Esto permite considerar también las llamadas operaciones inversas de resta, a − b , y división, a / b , definiendo:
Formalmente, un campo es un conjunto F junto con dos operaciones binarias sobre F llamadas suma y multiplicación . [1] Una operación binaria sobre F es un mapeo F × F → F , es decir, una correspondencia que asocia con cada par ordenado de elementos de F un elemento de F determinado de forma única . [2] [3] El resultado de la suma de a y b se llama suma de a y b , y se denota a + b . De manera similar, el resultado de la multiplicación de a y b se llama producto de a y b , y se denota ab o a ⋅ b . Estas operaciones son necesarias para satisfacer las siguientes propiedades, denominadas axiomas de campo (en estos axiomas, a , b y c son elementos arbitrarios del campo F ):
Una definición equivalente, y más sucinta, es: un campo tiene dos operaciones conmutativas, llamadas suma y multiplicación; es un grupo bajo adición con 0 como identidad aditiva; los elementos distintos de cero son un grupo bajo multiplicación con 1 como identidad multiplicativa; y la multiplicación se distribuye sobre la suma.
Aún más sucintamente: un campo es un anillo conmutativo donde 0 ≠ 1 y todos los elementos distintos de cero son invertibles mediante la multiplicación.
Los campos también se pueden definir de formas diferentes, pero equivalentes. Alternativamente, se puede definir un campo mediante cuatro operaciones binarias (suma, resta, multiplicación y división) y sus propiedades requeridas. La división por cero está, por definición, excluida. [4] Para evitar cuantificadores existenciales , los campos se pueden definir mediante dos operaciones binarias (suma y multiplicación), dos operaciones unarias (que producen los inversos aditivo y multiplicativo respectivamente) y dos operaciones nulas (las constantes 0 y 1 ). Estas operaciones estarán entonces sujetas a las condiciones anteriores. Evitar los cuantificadores existenciales es importante en matemáticas constructivas y en informática . [5] Se puede definir de manera equivalente un campo mediante las mismas dos operaciones binarias, una operación unaria (la inversa multiplicativa) y dos constantes (no necesariamente distintas) 1 y −1 , ya que 0 = 1 + (−1) y − a = (-1) un . [a]
Los números racionales han sido ampliamente utilizados mucho antes de la elaboración del concepto de campo. Son números que se pueden escribir como fracciones a / b , donde a y b son números enteros , y b ≠ 0 . El inverso aditivo de dicha fracción es − a / b , y el inverso multiplicativo (siempre que a ≠ 0 ) es b / a , lo que se puede ver de la siguiente manera:
Los axiomas de campo requeridos de manera abstracta se reducen a propiedades estándar de los números racionales. Por ejemplo, la ley de distributividad se puede demostrar de la siguiente manera: [6]
Los números reales R , con las operaciones habituales de suma y multiplicación, también forman un cuerpo. Los números complejos C constan de expresiones
donde i es la unidad imaginaria , es decir, un número (no real) que satisface i 2 = −1 . La suma y la multiplicación de números reales se definen de tal manera que las expresiones de este tipo satisfacen todos los axiomas de campo y, por lo tanto, son válidas para C. Por ejemplo, la ley distributiva impone
Es inmediato que se trata nuevamente de una expresión del tipo anterior, por lo que los números complejos forman un campo. Los números complejos se pueden representar geométricamente como puntos en el plano , con coordenadas cartesianas dadas por los números reales de su expresión descriptiva, o como flechas desde el origen hasta estos puntos, especificadas por su longitud y un ángulo encerrado en alguna dirección distinta. La suma corresponde entonces a combinar las flechas en el paralelogramo intuitivo (sumar las coordenadas cartesianas), y la multiplicación es, menos intuitivamente, combinar la rotación y el escalamiento de las flechas (sumar los ángulos y multiplicar las longitudes). Los campos de los números reales y complejos se utilizan en matemáticas, física, ingeniería, estadística y muchas otras disciplinas científicas.
En la antigüedad, varios problemas geométricos se referían a la (in)viabilidad de construir ciertos números con compás y regla . Por ejemplo, los griegos desconocían que, en general, es imposible trisecar un ángulo dado de esta manera. Estos problemas se pueden resolver utilizando el campo de números construibles . [7] Los números reales construibles son, por definición, longitudes de segmentos de línea que se pueden construir a partir de los puntos 0 y 1 en un número finito de pasos usando solo un compás y una regla . Estos números, dotados de las operaciones de campo de los números reales, restringidas a los números construibles, forman un campo que incluye propiamente el campo Q de los números racionales. La ilustración muestra la construcción de raíces cuadradas de números construibles, no necesariamente contenidos en Q. Usando el etiquetado en la ilustración, construya los segmentos AB , BD y un semicírculo sobre AD (centro en el punto medio C ), que corta la línea perpendicular que pasa por B en un punto F , a una distancia de exactamente de B cuando BD tiene longitud uno.
No todos los números reales son construibles. Se puede demostrar que no es un número construible, lo que implica que es imposible construir con compás y regla la longitud del lado de un cubo con volumen 2 , otro problema planteado por los antiguos griegos.
Además de los sistemas numéricos familiares, como los racionales, existen otros ejemplos de campos menos inmediatos. El siguiente ejemplo es un campo que consta de cuatro elementos llamados O , I , A y B. La notación se elige de manera que O desempeñe el papel del elemento de identidad aditivo (denotado 0 en los axiomas anteriores) y I sea la identidad multiplicativa (denotado 1 en los axiomas anteriores). Los axiomas de campo se pueden verificar utilizando algo más de teoría de campo o mediante cálculo directo. Por ejemplo,
Este campo se llama campo finito o campo de Galois con cuatro elementos y se denota como F 4 o GF(4) . [8] El subconjunto formado por O e I (resaltado en rojo en las tablas de la derecha) también es un campo, conocido como campo binario F 2 o GF(2) . En el contexto de la informática y el álgebra booleana , O e I a menudo se denotan respectivamente como falso y verdadero , y la suma se denota entonces como XOR (o exclusivo). En otras palabras, la estructura del campo binario es la estructura básica que permite calcular con bits .
En esta sección, F denota un campo arbitrario y a y b son elementos arbitrarios de F.
Uno tiene a ⋅ 0 = 0 y − a = (−1) ⋅ a . En particular, se puede deducir el inverso aditivo de cada elemento tan pronto como se conoce −1 . [9]
Si ab = 0 entonces a o b debe ser 0 , ya que, si a ≠ 0 , entonces b = ( a −1 a ) b = a −1 ( ab ) = a −1 ⋅ 0 = 0 . Esto significa que cada campo es un dominio integral .
Además, las siguientes propiedades son verdaderas para cualquier elemento a y b :
Los axiomas de un campo F implican que es un grupo abeliano bajo suma. Este grupo se denomina grupo aditivo del campo y, a veces, se denota por ( F , +) cuando se denota simplemente porque F podría resultar confuso.
De manera similar, los elementos distintos de cero de F forman un grupo abeliano bajo la multiplicación, llamado grupo multiplicativo , y denotado por o simplemente , o F × .
Por lo tanto, un campo puede definirse como un conjunto F equipado con dos operaciones denominadas una suma y una multiplicación tales que F es un grupo abeliano bajo la suma, es un grupo abeliano bajo la multiplicación (donde 0 es el elemento identidad de la suma) y la multiplicación es distributivo sobre la suma. [b] Por lo tanto, se pueden obtener algunas afirmaciones elementales sobre campos aplicando hechos generales de grupos . Por ejemplo, los inversos aditivo y multiplicativo − a y a −1 están determinados únicamente por a .
El requisito 1 ≠ 0 se impone por convención para excluir el anillo trivial , que consta de un solo elemento; esto guía cualquier elección de los axiomas que definen los campos.
Cada subgrupo finito del grupo multiplicativo de un campo es cíclico (ver Raíz de la unidad § Grupos cíclicos ).
Además de la multiplicación de dos elementos de F , es posible definir el producto n ⋅ a de un elemento arbitrario a de F por un entero positivo n como la suma n veces
Si no existe ningún número entero positivo tal que
entonces se dice que F tiene la característica 0 . [11] Por ejemplo, el cuerpo de números racionales Q tiene la característica 0 ya que ningún entero positivo n es cero. De lo contrario, si hay un entero positivo n que satisface esta ecuación, se puede demostrar que el entero positivo más pequeño es un número primo . Generalmente se denota por p y entonces se dice que el campo tiene la característica p . Por ejemplo, el campo F 4 tiene la característica 2 ya que (en la notación de la tabla de suma anterior) I + I = O.
Si F tiene la característica p , entonces p ⋅ a = 0 para todo a en F. Esto implica que
ya que todos los demás coeficientes binomiales que aparecen en la fórmula binomial son divisibles por p . Aquí, a p := a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a ( p factores) es la p ésima potencia, es decir, el producto p veces del elemento a . Por tanto, el mapa de Frobenius
es compatible con la suma en F (y también con la multiplicación) y, por tanto, es un homomorfismo de campo. [12] La existencia de este homomorfismo hace que los campos de la característica p sean bastante diferentes de los campos de la característica 0 .
Un subcampo E de un campo F es un subconjunto de F que es un campo con respecto a las operaciones de campo de F. De manera equivalente, E es un subconjunto de F que contiene 1 y está cerrado bajo suma, multiplicación, inverso aditivo e inverso multiplicativo de un elemento distinto de cero. Esto significa que 1 ∊ E , que para todo a , b ∊ E tanto a + b como a ⋅ b están en E , y que para todo a ≠ 0 en E , tanto − a como 1/ a están en E .
Los homomorfismos de campo son aplicaciones φ : E → F entre dos campos tales que φ ( e 1 + e 2 ) = φ ( e 1 ) + φ ( e 2 ) , φ ( e 1 e 2 ) = φ ( e 1 ) φ ( e 2 ) , y φ (1 E ) = 1 F , donde e 1 y e 2 son elementos arbitrarios de E . Todos los homomorfismos de campo son inyectivos . [13] Si φ también es sobreyectivo , se llama isomorfismo (o los campos E y F se llaman isomorfos).
Un campo se llama campo primo si no tiene subcampos adecuados (es decir, estrictamente más pequeños). Cualquier campo F contiene un campo primo. Si la característica de F es p (un número primo), el campo primo es isomorfo al campo finito F p que se presenta a continuación. De lo contrario , el campo primo es isomorfo a Q. [14]
Los campos finitos (también llamados campos de Galois ) son campos con un número finito de elementos, cuyo número también se denomina orden del campo. El ejemplo introductorio anterior F 4 es un campo con cuatro elementos. Su subcampo F 2 es el campo más pequeño, porque por definición un campo tiene al menos dos elementos distintos, 0 y 1 .
Los campos finitos más simples, con orden primo, son más directamente accesibles mediante aritmética modular . Para un entero positivo fijo n , el "módulo n " aritmético significa trabajar con los números
La suma y multiplicación en este conjunto se realizan realizando la operación en cuestión en el conjunto Z de números enteros, dividiendo por n y tomando el resto como resultado. Esta construcción produce un campo precisamente si n es un número primo . Por ejemplo, tomando el número primo n = 2 se obtiene el campo F 2 mencionado anteriormente . Para n = 4 y, de manera más general, para cualquier número compuesto (es decir, cualquier número n que pueda expresarse como un producto n = r ⋅ s de dos números naturales estrictamente más pequeños), Z / n Z no es un cuerpo: el producto de dos elementos distintos de cero es cero ya que r ⋅ s = 0 en Z / n Z , lo que, como se explicó anteriormente, impide que Z / n Z sea un campo. El campo Z / p Z con p elementos ( p siendo primo) construido de esta manera generalmente se denota por F p .
Todo campo finito F tiene q = p n elementos, donde p es primo y n ≥ 1 . Esta afirmación es válida ya que F puede verse como un espacio vectorial sobre su campo principal. La dimensión de este espacio vectorial es necesariamente finita, digamos n , lo que implica la afirmación afirmada. [15]
Un campo con q = p n elementos se puede construir como el campo de división del polinomio
Tal campo de división es una extensión de F p en el que el polinomio f tiene q ceros. Esto significa que f tiene tantos ceros como sea posible ya que el grado de f es q . Para q = 2 2 = 4 , se puede verificar caso por caso usando la tabla de multiplicar anterior que los cuatro elementos de F 4 satisfacen la ecuación x 4 = x , por lo que son ceros de f . Por el contrario, en F 2 , f tiene sólo dos ceros (es decir, 0 y 1 ), por lo que f no se divide en factores lineales en este campo más pequeño. Profundizando en las nociones básicas de la teoría de campos, se puede demostrar que dos campos finitos con el mismo orden son isomórficos. [16] Por tanto, es habitual hablar del campo finito con q elementos, denotados por F q o GF( q ) .
Históricamente, tres disciplinas algebraicas condujeron al concepto de campo: la cuestión de la resolución de ecuaciones polinómicas, la teoría algebraica de números y la geometría algebraica . [17] Un primer paso hacia la noción de campo lo dio Joseph-Louis Lagrange en 1770 , quien observó que permutar los ceros x 1 , x 2 , x 3 de un polinomio cúbico en la expresión
(siendo ω una tercera raíz de la unidad ) solo produce dos valores. De esta manera, Lagrange explicó conceptualmente el método de solución clásico de Scipione del Ferro y François Viète , que procede reduciendo una ecuación cúbica para una incógnita x a una ecuación cuadrática para x 3 . [18] Junto con una observación similar para ecuaciones de grado 4 , Lagrange vinculó lo que eventualmente se convirtió en el concepto de campos y el concepto de grupos. [19] Vandermonde , también en 1770, y en mayor medida, Carl Friedrich Gauss , en sus Disquisitiones Arithmeticae (1801), estudiaron la ecuación
para un p primo y, nuevamente usando lenguaje moderno, el grupo de Galois cíclico resultante . Gauss dedujo que se puede construir un p -gon regular si p = 2 2 k + 1 . Basándose en el trabajo de Lagrange, Paolo Ruffini afirmó (1799) que las ecuaciones quínticas (ecuaciones polinómicas de grado 5 ) no pueden resolverse algebraicamente; sin embargo, sus argumentos eran erróneos. Estos vacíos fueron llenados por Niels Henrik Abel en 1824. [20] Évariste Galois , en 1832, ideó criterios necesarios y suficientes para que una ecuación polinómica tuviera solución algebraica, estableciendo así en efecto lo que hoy se conoce como teoría de Galois . Tanto Abel como Galois trabajaron con lo que hoy se llama un campo numérico algebraico , pero no concibieron ni una noción explícita de campo ni de grupo.
En 1871 Richard Dedekind introdujo, para un conjunto de números reales o complejos cerrados según las cuatro operaciones aritméticas, la palabra alemana Körper , que significa "cuerpo" o "corpus" (para sugerir una entidad orgánicamente cerrada). El término inglés "campo" fue introducido por Moore (1893). [21]
Por cuerpo nos referiremos a todo sistema infinito de números reales o complejos tan cerrado en sí mismo y perfecto que la suma, resta, multiplicación y división de dos de estos números dan nuevamente un número del sistema.
— Richard Dedekind, 1871 [22]
En 1881 Leopold Kronecker definió lo que llamó dominio de racionalidad , que es un campo de fracciones racionales en términos modernos. La noción de Kronecker no cubría el campo de todos los números algebraicos (que es un campo en el sentido de Dedekind), pero por otro lado era más abstracta que la de Dedekind en el sentido de que no hacía ninguna suposición específica sobre la naturaleza de los elementos de un campo. Kronecker interpretó un campo como Q (π) de manera abstracta como el campo de función racional Q ( X ) . Antes de esto, se conocían ejemplos de números trascendentales desde el trabajo de Joseph Liouville en 1844, hasta que Charles Hermite (1873) y Ferdinand von Lindemann (1882) demostraron la trascendencia de e y π , respectivamente. [23]
La primera definición clara de campo abstracto se debe a Weber (1893). [24] En particular, la noción de Heinrich Martin Weber incluía el campo F p . Giuseppe Veronese (1891) estudió el campo de las series de potencias formales, lo que llevó a Hensel (1904) a introducir el campo de los números p -ádicos. Steinitz (1910) sintetizó el conocimiento de la teoría de campos abstractos acumulado hasta el momento. Estudió axiomáticamente las propiedades de los campos y definió muchos conceptos importantes de la teoría de campos. La mayoría de los teoremas mencionados en las secciones Teoría de Galois, Construcción de campos y Nociones elementales se pueden encontrar en el trabajo de Steinitz. Artin y Schreier (1927) vincularon la noción de ordenamiento en un campo , y por tanto el área de análisis, con propiedades puramente algebraicas. [25] Emil Artin volvió a desarrollar la teoría de Galois desde 1928 hasta 1942, eliminando la dependencia del teorema del elemento primitivo .
Un anillo conmutativo es un conjunto que está equipado con una operación de suma y multiplicación y satisface todos los axiomas de un cuerpo, excepto la existencia de inversos multiplicativos a −1 . [26] Por ejemplo, los números enteros Z forman un anillo conmutativo, pero no un campo: el recíproco de un número entero n no es en sí mismo un número entero, a menos que n = ±1 .
En la jerarquía de estructuras algebraicas, los campos se pueden caracterizar como anillos conmutativos R en los que cada elemento distinto de cero es una unidad (lo que significa que cada elemento es invertible). De manera similar, los campos son anillos conmutativos con precisamente dos ideales distintos , (0) y R. Los campos también son precisamente los anillos conmutativos en los que (0) es el único ideal primo .
Dado un anillo conmutativo R , hay dos maneras de construir un campo relacionado con R , es decir, dos maneras de modificar R de modo que todos los elementos distintos de cero se vuelvan invertibles: formando el campo de fracciones y formando campos de residuos. El campo de fracciones de Z es Q , los racionales, mientras que los campos residuales de Z son los campos finitos F p .
Dado un dominio integral R , su campo de fracciones Q ( R ) se construye con las fracciones de dos elementos de R exactamente como Q se construye a partir de los números enteros. Más precisamente, los elementos de Q ( R ) son las fracciones a / b donde a y b están en R , y b ≠ 0 . Dos fracciones a / b y c / d son iguales si y sólo si ad = bc . La operación con fracciones funciona exactamente igual que con los números racionales. Por ejemplo,
Es sencillo demostrar que, si el anillo es un dominio integral, el conjunto de las fracciones forma un campo. [27]
El campo F ( x ) de las fracciones racionales sobre un campo (o un dominio integral) F es el campo de fracciones del anillo polinómico F [ x ] . El campo F (( x )) de la serie Laurent
sobre un campo F es el campo de fracciones del anillo F [[ x ]] de series de potencias formales (en las que k ≥ 0 ). Sin embargo, dado que cualquier serie de Laurent es una fracción de una serie de potencias dividida por una potencia de x (a diferencia de una serie de potencias arbitraria), la representación de fracciones es menos importante en esta situación.
Además del campo de fracciones, que incrusta R inyectivamente en un campo, se puede obtener un campo a partir de un anillo conmutativo R mediante una aplicación sobreyectiva sobre un campo F. Cualquier campo obtenido de esta manera es un cociente R / m , donde m es un ideal máximo de R. Si R tiene solo un ideal máximo m , este campo se llama campo residual de R. [28]
El ideal generado por un solo polinomio f en el anillo polinómico R = E [ X ] (sobre un campo E ) es máximo si y sólo si f es irreducible en E , es decir, si f no puede expresarse como el producto de dos polinomios en E [ X ] de menor grado . Esto produce un campo
Este campo F contiene un elemento x (es decir, la clase de residuo de X ) que satisface la ecuación
Por ejemplo, C se obtiene de R uniendo el símbolo de unidad imaginaria i , que satisface f ( i ) = 0 , donde f ( X ) = X 2 + 1 . Además, f es irreducible sobre R , lo que implica que el mapa que envía un polinomio f ( X ) ∊ R [ X ] a f ( i ) produce un isomorfismo
Los campos se pueden construir dentro de un campo contenedor más grande determinado. Supongamos que se da un campo E y un campo F que contiene E como subcampo. Para cualquier elemento x de F , existe un subcampo más pequeño de F que contiene E y x , llamado subcampo de F generado por x y denotado E ( x ) . [29] Se hace referencia al paso de E a E ( x ) adjuntando un elemento a E . De manera más general, para un subconjunto S ⊂ F , hay un subcampo mínimo de F que contiene E y S , denotado por E ( S ) .
El compositum de dos subcampos E y E ′ de algún campo F es el subcampo más pequeño de F que contiene tanto E como E ′ . El compositum se puede utilizar para construir el subcampo más grande de F que satisfaga una determinada propiedad, por ejemplo , el subcampo más grande de F , que es, en el lenguaje que se presenta a continuación, algebraico sobre E. [C]
La noción de un subcampo E ⊂ F también se puede considerar desde el punto de vista opuesto, haciendo referencia a que F es una extensión de campo (o simplemente una extensión) de E , denotada por
y lea " F sobre E ".
Un dato básico de una extensión de campo es su grado [ F : E ] , es decir, la dimensión de F como un espacio vectorial E. Satisface la fórmula [30]
Las extensiones cuyo grado es finito se denominan extensiones finitas. Las extensiones C / R y F 4 / F 2 son de grado 2 , mientras que R / Q es una extensión infinita.
Una noción fundamental en el estudio de las extensiones de campo F / E son los elementos algebraicos . Un elemento x ∈ F es algebraico sobre E si es raíz de un polinomio con coeficientes en E , es decir, si satisface una ecuación polinómica
con e n , ..., e 0 en E , y e n ≠ 0 . Por ejemplo, la unidad imaginaria i en C es algebraica sobre R , e incluso sobre Q , ya que satisface la ecuación
Una extensión de campo en la que cada elemento de F es algebraico sobre E se llama extensión algebraica . Cualquier extensión finita es necesariamente algebraica, como se puede deducir de la fórmula de multiplicatividad anterior. [31]
El subcampo E ( x ) generado por un elemento x , como arriba, es una extensión algebraica de E si y solo si x es un elemento algebraico. Es decir, si x es algebraico, todos los demás elementos de E ( x ) son necesariamente algebraicos también. Además, el grado de la extensión E ( x ) / E , es decir, la dimensión de E ( x ) como un espacio vectorial E , es igual al grado mínimo n tal que exista una ecuación polinómica que involucre a x , como arriba. Si este grado es n , entonces los elementos de E ( x ) tienen la forma
Por ejemplo, el campo Q ( i ) de los racionales gaussianos es el subcampo de C que consta de todos los números de la forma a + bi , donde tanto a como b son números racionales: los sumandos de la forma i 2 (y de manera similar para exponentes más altos) no No es necesario considerarlo aquí, ya que a + bi + ci 2 se puede simplificar a a − c + bi .
El campo de fracciones racionales E ( X ) mencionado anteriormente , donde X es un indeterminado , no es una extensión algebraica de E ya que no existe una ecuación polinómica con coeficientes en E cuyo cero sea X. Los elementos, como X , que no son algebraicos, se denominan trascendentales . Hablando informalmente, el indeterminado X y sus potencias no interactúan con elementos de E. Se puede realizar una construcción similar con un conjunto de indeterminados, en lugar de uno solo.
Una vez más, la extensión de campo E ( x ) / E discutida anteriormente es un ejemplo clave: si x no es algebraico (es decir, x no es una raíz de un polinomio con coeficientes en E ), entonces E ( x ) es isomorfo a E ( X ) . Este isomorfismo se obtiene sustituyendo x por X en fracciones racionales.
Un subconjunto S de un campo F es una base de trascendencia si es algebraicamente independiente (no satisface ninguna relación polinomial) sobre E y si F es una extensión algebraica de E ( S ) . Cualquier extensión de campo F / E tiene una base de trascendencia. [32] Por lo tanto, las extensiones de campo se pueden dividir en extensiones de la forma E ( S ) / E ( extensiones puramente trascendentales ) y extensiones algebraicas.
Un cuerpo es algebraicamente cerrado si no tiene extensiones algebraicas estrictamente mayores o, de manera equivalente, si alguna ecuación polinómica
tiene una solución x ∊ F . [33] Según el teorema fundamental del álgebra , C es algebraicamente cerrada, es decir, cualquier ecuación polinómica con coeficientes complejos tiene una solución compleja. Los números racionales y reales no son algebraicamente cerrados ya que la ecuación
no tiene ninguna solución racional o real. Un campo que contiene F se llama cierre algebraico de F si es algebraico sobre F (en términos generales, no demasiado grande en comparación con F ) y es algebraicamente cerrado (lo suficientemente grande como para contener soluciones de todas las ecuaciones polinómicas).
Por lo anterior, C es una clausura algebraica de R. La situación de que la clausura algebraica sea una extensión finita del campo F es bastante especial: según el teorema de Artin-Schreier , el grado de esta extensión es necesariamente 2 , y F es elementalmente equivalente a R. Estos campos también se conocen como campos cerrados reales .
Cualquier campo F tiene una clausura algebraica, que además es única hasta el isomorfismo (no único). Se le conoce comúnmente como cierre algebraico y se denota como F. Por ejemplo, la clausura algebraica Q de Q se llama cuerpo de los números algebraicos . El campo F suele ser bastante implícito ya que su construcción requiere el lema del ultrafiltro , un axioma de la teoría de conjuntos que es más débil que el axioma de elección . [34] En este sentido, la clausura algebraica de F q , es excepcionalmente simple. Es la unión de los cuerpos finitos que contienen F q (los de orden q n ). Para cualquier campo algebraicamente cerrado F de característica 0 , el cierre algebraico del campo F (( t )) de la serie de Laurent es el campo de la serie de Puiseux , obtenido mediante raíces contiguas de t . [35]
Dado que los campos son omnipresentes en las matemáticas y más allá, se han adaptado varias mejoras del concepto a las necesidades de áreas matemáticas particulares.
Un campo F se llama campo ordenado si se pueden comparar dos elementos cualesquiera, de modo que x + y ≥ 0 y xy ≥ 0 siempre que x ≥ 0 e y ≥ 0 . Por ejemplo, los números reales forman un campo ordenado, con el orden habitual ≥ . El teorema de Artin-Schreier establece que un campo puede ordenarse si y sólo si es un campo formalmente real , lo que significa que cualquier ecuación cuadrática
solo tiene la solución x 1 = x 2 = ⋯ = x n = 0 . [36] El conjunto de todos los órdenes posibles en un campo fijo F es isomorfo al conjunto de homomorfismos de anillo del anillo de Witt W( F ) de formas cuadráticas sobre F , a Z . [37]
Un campo de Arquímedes es un campo ordenado tal que para cada elemento existe una expresión finita
cuyo valor es mayor que ese elemento, es decir, no hay infinitos elementos. De manera equivalente, el campo no contiene infinitesimales (elementos más pequeños que todos los números racionales); o, aún equivalente, el campo es isomorfo a un subcampo de R .
Un campo ordenado es Dedekind-completo si todos los límites superiores , límites inferiores (ver corte de Dedekind ) y límites, que deberían existir, existen. Más formalmente, se requiere que cada subconjunto acotado de F tenga un límite superior mínimo. Cualquier campo completo es necesariamente arquimediano, [38] ya que en cualquier campo no arquimediano no existe ni un infinitesimal mayor ni un racional mínimo positivo, de ahí la secuencia 1/2, 1/3, 1/4,... , cada elemento del cual es mayor que todo infinitesimal, no tiene límite.
Dado que cada subcampo propio de los reales también contiene tales espacios, R es el único campo ordenado completo, hasta el isomorfismo. [39] Varios resultados fundamentales en cálculo se derivan directamente de esta caracterización de los reales.
Los hiperreales R * forman un campo ordenado que no es de Arquímedes. Es una extensión de los reales obtenida al incluir números infinitos e infinitesimales. Estos son mayores y respectivamente menores que cualquier número real. Los hiperreales forman la base fundamental del análisis no estándar .
Otro refinamiento de la noción de campo es un campo topológico , en el que el conjunto F es un espacio topológico , tal que todas las operaciones del campo (suma, multiplicación, los mapas a ↦ − a y a ↦ a −1 ) son continuas . mapas con respecto a la topología del espacio. [40] La topología de todos los campos que se analizan a continuación se induce a partir de una métrica , es decir, una función
que mide una distancia entre dos elementos cualesquiera de F .
La finalización de F es otro campo en el que, informalmente hablando, se rellenan los "huecos" del campo original F , si los hay. Por ejemplo, cualquier número irracional x , como x = √ 2 , es una "brecha" en los racionales Q en el sentido de que es un número real que puede ser aproximado arbitrariamente por números racionales p / q , en el sentido de que distancia de x y p / q dada por el valor absoluto | x − p / q | Es tan pequeño como se desea. La siguiente tabla enumera algunos ejemplos de esta construcción. La cuarta columna muestra un ejemplo de una secuencia cero , es decir, una secuencia cuyo límite (para n → ∞ ) es cero.
El campo Qp se utiliza en teoría de números y análisis p- ádico . La clausura algebraica Q p lleva una norma única que extiende la de Q p , pero no es completa. La realización de este cierre algebraico, sin embargo, es algebraicamente cerrada. Debido a su analogía aproximada con los números complejos, a veces se le llama campo de números p-ádicos complejos y se denota por C p . [41]
Los siguientes campos topológicos se denominan campos locales : [42] [d]
Estos dos tipos de campos locales comparten algunas similitudes fundamentales. En esta relación, los elementos p ∈ Q p y t ∈ F p (( t )) (denominados uniformizador ) se corresponden entre sí. La primera manifestación de esto es a nivel elemental: los elementos de ambos campos se pueden expresar como series de potencias en el uniformizador, con coeficientes en F p . (Sin embargo, dado que la suma en Q p se realiza mediante transporte , lo cual no es el caso en F p (( t )) , estos campos no son isomorfos.) Los siguientes hechos muestran que esta similitud superficial es mucho más profunda:
Los campos diferenciales son campos dotados de una derivación , es decir, permiten tomar derivadas de elementos del campo. [44] Por ejemplo, el campo R ( X ) , junto con la derivada estándar de polinomios forma un campo diferencial. Estos campos son fundamentales para la teoría diferencial de Galois , una variante de la teoría de Galois que se ocupa de ecuaciones diferenciales lineales .
La teoría de Galois estudia las extensiones algebraicas de un campo estudiando la simetría en las operaciones aritméticas de suma y multiplicación. Una noción importante en este ámbito es la de extensiones finitas de Galois F / E , que son, por definición, aquellas que son separables y normales . El teorema del elemento primitivo muestra que las extensiones finitas separables son necesariamente simples , es decir, de la forma
donde f es un polinomio irreducible (como arriba). [45] Para tal extensión, ser normal y separable significa que todos los ceros de f están contenidos en F y que f tiene solo ceros simples. La última condición siempre se cumple si E tiene la característica 0 .
Para una extensión de Galois finita, el grupo de Galois Gal( F / E ) es el grupo de automorfismos de campo de F que son triviales en E (es decir, las biyecciones σ : F → F que preservan la suma y la multiplicación y que envían elementos de E a ellos mismos). La importancia de este grupo surge del teorema fundamental de la teoría de Galois , que construye una correspondencia uno a uno explícita entre el conjunto de subgrupos de Gal( F / E ) y el conjunto de extensiones intermedias de la extensión F / E . [46] Por medio de esta correspondencia, las propiedades de la teoría de grupos se traducen en hechos sobre los campos. Por ejemplo, si el grupo de Galois de una extensión de Galois como la anterior no tiene solución (no se puede construir a partir de grupos abelianos ), entonces los ceros de f no se pueden expresar en términos de suma, multiplicación y radicales, es decir, expresiones que involucran . Por ejemplo, los grupos simétricos S n no tienen solución para n ≥ 5 . En consecuencia, como se puede demostrar, los ceros de los siguientes polinomios no son expresables mediante sumas, productos y radicales. Para este último polinomio, este hecho se conoce como teorema de Abel-Ruffini :
El producto tensorial de campos no suele ser un campo. Por ejemplo, una extensión finita F / E de grado n es una extensión de Galois si y sólo si existe un isomorfismo de F -álgebras
Este hecho es el comienzo de la teoría de Galois de Grothendieck , una extensión de gran alcance de la teoría de Galois aplicable a objetos álgebro-geométricos. [48]
Los invariantes básicos de un campo F incluyen la característica y el grado de trascendencia de F sobre su campo principal. Este último se define como el número máximo de elementos en F que son algebraicamente independientes del campo primo. Dos campos algebraicamente cerrados E y F son isomorfos precisamente si estos dos datos concuerdan. [49] Esto implica que dos campos cualesquiera incontables algebraicamente cerrados de la misma cardinalidad y la misma característica son isomórficos. Por ejemplo, Q p , C p y C son isomorfos (pero no isomorfos como campos topológicos).
En la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , dos campos E y F se denominan elementalmente equivalentes si cada enunciado matemático que es verdadero para E también lo es para F y viceversa. Se requiere que las declaraciones matemáticas en cuestión sean oraciones de primer orden (que impliquen 0 , 1 , la suma y la multiplicación). Un ejemplo típico, para n > 0 , n es un número entero, es
El conjunto de tales fórmulas para todo n expresa que E es algebraicamente cerrado. El principio de Lefschetz establece que C es elementalmente equivalente a cualquier campo algebraicamente cerrado F de característica cero. Además, cualquier enunciado fijo φ se cumple en C si y sólo si se cumple en cualquier campo algebraicamente cerrado de característica suficientemente alta. [50]
Si U es un ultrafiltro en un conjunto I , y Fi es un campo para cada i en I , el ultraproducto del Fi con respecto a U es un campo. [51] Se denota por
ya que se comporta de varias maneras como un límite de los campos Fi : el teorema de Łoś establece que cualquier enunciado de primer orden que sea válido para todos menos un número finito de Fi , también es válido para el ultraproducto. Aplicado a la oración anterior φ , esto muestra que hay un isomorfismo [e]
De esto también se deriva el teorema de Ax-Kochen mencionado anteriormente y un isomorfismo de los ultraproductos (en ambos casos sobre todos los primos p )
Además, la teoría de modelos también estudia las propiedades lógicas de varios otros tipos de campos, como campos cerrados reales o campos exponenciales (que están equipados con una función exponencial exp: F → F × ). [52]
Para campos que no son algebraicamente cerrados (o no separablemente cerrados), el grupo absoluto de Galois Gal( F ) es fundamentalmente importante: ampliando el caso de extensiones finitas de Galois descritas anteriormente, este grupo gobierna todas las extensiones finitas separables de F . Por medios elementales, se puede demostrar que el grupo Gal( F q ) es el grupo de Prüfer , la terminación finita de Z. Esta afirmación subsume el hecho de que las únicas extensiones algebraicas de Gal( F q ) son los campos Gal( F q n ) para n > 0 , y que los grupos de Galois de estas extensiones finitas están dados por
También se conoce una descripción en términos de generadores y relaciones para los grupos de Galois de p -campos numéricos ádicos (extensiones finitas de Q p ). [53]
Las representaciones de grupos de Galois y de grupos relacionados como el grupo Weil son fundamentales en muchas ramas de la aritmética, como el programa Langlands . El estudio cohomológico de tales representaciones se realiza utilizando la cohomología de Galois . [54] Por ejemplo, el grupo de Brauer , que se define clásicamente como el grupo de F -álgebras centrales simples , puede reinterpretarse como un grupo de cohomología de Galois, a saber
La teoría K de Milnor se define como
El teorema del isomorfismo del residuo de norma , demostrado alrededor del año 2000 por Vladimir Voevodsky , lo relaciona con la cohomología de Galois mediante un isomorfismo.
La teoría K algebraica está relacionada con el grupo de matrices invertibles con coeficientes del campo dado. Por ejemplo, el proceso de tomar el determinante de una matriz invertible conduce a un isomorfismo K 1 ( F ) = F × . El teorema de Matsumoto muestra que K 2 ( F ) concuerda con K 2 M ( F ) . En grados superiores, la teoría K difiere de la teoría K de Milnor y sigue siendo difícil de calcular en general.
Si a ≠ 0 , entonces la ecuación
tiene una solución única x en un campo F , a saber. Esta consecuencia inmediata de la definición de un campo es fundamental en álgebra lineal . Por ejemplo, es un ingrediente esencial de la eliminación gaussiana y de la prueba de que cualquier espacio vectorial tiene una base . [55]
La teoría de los módulos (el análogo de los espacios vectoriales sobre anillos en lugar de campos) es mucho más complicada, porque la ecuación anterior puede tener varias o ninguna solución. En particular, los sistemas de ecuaciones lineales sobre un anillo son mucho más difíciles de resolver que en el caso de campos, incluso en el caso especialmente simple del anillo Z de los números enteros.
Una rutina criptográfica ampliamente aplicada utiliza el hecho de que la exponenciación discreta, es decir, la computación
en un campo finito (grande) F q se puede realizar mucho más eficientemente que el logaritmo discreto , que es la operación inversa, es decir, determinar la solución n de una ecuación
En criptografía de curva elíptica , la multiplicación en un campo finito se reemplaza por la operación de sumar puntos en una curva elíptica , es decir, las soluciones de una ecuación de la forma
Los campos finitos también se utilizan en teoría de codificación y combinatoria .
Las funciones en un espacio topológico adecuado X en un campo F se pueden sumar y multiplicar puntualmente, por ejemplo, el producto de dos funciones se define por el producto de sus valores dentro del dominio:
Esto hace que estas funciones sean un álgebra F - conmutativa .
Para tener un campo de funciones, se deben considerar álgebras de funciones que sean dominios integrales . En este caso las razones de dos funciones, es decir, expresiones de la forma
forman un campo, llamado campo de funciones.
Esto ocurre en dos casos principales. Cuando X es una variedad compleja X . En este caso, se considera el álgebra de funciones holomorfas , es decir, funciones diferenciables complejas. Sus proporciones forman el campo de funciones meromórficas en X.
El campo de funciones de una variedad algebraica X (un objeto geométrico definido como los ceros comunes de las ecuaciones polinómicas) consta de razones de funciones regulares , es decir, razones de funciones polinómicas sobre la variedad. El campo funcional del espacio de n dimensiones sobre un campo F es F ( x 1 , ..., x n ) , es decir, el campo que consta de razones de polinomios en n indeterminados. El campo funcional de X es el mismo que el de cualquier subvariedad densa abierta . En otras palabras, el campo funcional es insensible a reemplazar X por una subvariedad (ligeramente) más pequeña.
El campo de funciones es invariante bajo isomorfismo y equivalencia biracional de variedades. Por tanto, es una herramienta importante para el estudio de variedades algebraicas abstractas y para la clasificación de variedades algebraicas. Por ejemplo, la dimensión , que es igual al grado de trascendencia de F ( X ) , es invariante bajo equivalencia biracional. [56] Para curvas (es decir, la dimensión es uno), el campo de función F ( X ) está muy cerca de X : si X es suave y propio (el análogo de ser compacto ), X puede reconstruirse, hasta el isomorfismo, de su campo de funciones. [f] En una dimensión superior , el campo funcional recuerda menos, pero aún así, información decisiva sobre X. El estudio de los campos funcionales y su significado geométrico en dimensiones superiores se denomina geometría biracional . El programa de modelo mínimo intenta identificar las variedades algebraicas más simples (en cierto sentido preciso) con un campo funcional prescrito.
Los campos globales están en el centro de atención en la teoría algebraica de números y la geometría aritmética . Son, por definición, campos numéricos (extensiones finitas de Q ) o campos de funciones sobre F q (extensiones finitas de F q ( t ) ). En cuanto a los campos locales, estos dos tipos de campos comparten varias características similares, aunque son de característica 0 y característica positiva, respectivamente. Esta analogía de los campos de funciones puede ayudar a dar forma a las expectativas matemáticas, a menudo primero al comprender las preguntas sobre los campos de funciones y luego al tratar el caso del campo numérico. Esto último suele ser más difícil. Por ejemplo, la hipótesis de Riemann sobre los ceros de la función zeta de Riemann (abierta a partir de 2017) puede considerarse paralela a las conjeturas de Weil (probadas en 1974 por Pierre Deligne ).
Los campos ciclotómicos se encuentran entre los campos numéricos más intensamente estudiados. Son de la forma Q ( ζ n ) , donde ζ n es una n- ésima raíz primitiva de la unidad , es decir, un número complejo ζ que satisface ζ n = 1 y ζ m ≠ 1 para todo 0 < m < n . [57] Para que n sea un primo regular , Kummer usó campos ciclotómicos para demostrar el último teorema de Fermat , que afirma la inexistencia de soluciones racionales distintas de cero a la ecuación.
Los campos locales son terminaciones de campos globales. El teorema de Ostrowski afirma que las únicas terminaciones de Q , un campo global, son los campos locales Qp y R. A veces, el estudio de cuestiones aritméticas en campos globales se puede realizar examinando las preguntas correspondientes localmente. Esta técnica se denomina principio local-global . Por ejemplo, el teorema de Hasse-Minkowski reduce el problema de encontrar soluciones racionales de ecuaciones cuadráticas a resolver estas ecuaciones en R y Qp , cuyas soluciones se pueden describir fácilmente. [58]
A diferencia de los campos locales, no se conocen los grupos de Galois de campos globales. La teoría inversa de Galois estudia el problema ( no resuelto) de si algún grupo finito es el grupo de Galois Gal ( F / Q ) para algún campo numérico F. [59] La teoría de campos de clases describe las extensiones abelianas , es decir, aquellas con un grupo Galois abeliano, o equivalentemente los grupos Galois abelianizados de campos globales. Un enunciado clásico, el teorema de Kronecker-Weber , describe la máxima extensión abeliana Q ab de Q : es el campo
se obtiene uniendo todas las raíces primitivas n- ésimas de la unidad. El Jugendtraum de Kronecker pide una descripción igualmente explícita de Fa ab de los campos numéricos generales F . Para campos cuadráticos imaginarios , , d > 0 , la teoría de la multiplicación compleja describe Fa ab usando curvas elípticas . Para los campos numéricos generales, no se conoce ninguna descripción explícita.
Además de la estructura adicional de la que pueden disfrutar los campos, los campos admiten otras nociones relacionadas. Dado que en cualquier campo 0 ≠ 1 , cualquier campo tiene al menos dos elementos. No obstante, existe un concepto de campo con un elemento , que se sugiere como límite de los campos finitos F p , ya que p tiende a 1 . [60] Además de los anillos de división, existen otras estructuras algebraicas más débiles relacionadas con campos como los cuasicampos , los campos cercanos y los semicampos .
También hay clases propias con estructura de campo, que a veces se denominan Campos , con 'F' mayúscula. Los números surrealistas forman un campo que contiene los reales, y serían un campo excepto por el hecho de que son una clase propia, no un conjunto. Los números , un concepto de la teoría de juegos , también forman un campo de este tipo. [61]
Eliminar uno o varios axiomas en la definición de un campo conduce a otras estructuras algebraicas. Como se mencionó anteriormente, los anillos conmutativos satisfacen todos los axiomas de campo excepto la existencia de inversos multiplicativos. En cambio, eliminar la conmutatividad de la multiplicación conduce al concepto de anillo de división o campo sesgado ; [g] a veces la asociatividad también se debilita. Los únicos anillos de división que son espacios vectoriales R de dimensión finita son el propio R , C (que es un campo) y los cuaterniones H (en los que la multiplicación no es conmutativa). Este resultado se conoce como teorema de Frobenius . Los octoniones O , para los cuales la multiplicación no es conmutativa ni asociativa, es un álgebra de división alternativa normada , pero no es un anillo de división. Este hecho fue demostrado utilizando métodos de topología algebraica en 1958 por Michel Kervaire , Raoul Bott y John Milnor . [62] La inexistencia de un álgebra de división de dimensiones impares es más clásica. Se puede deducir del teorema de la bola peluda ilustrado a la derecha. [ cita necesaria ]
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\ \[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac { e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf }{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]= {}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd} }+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a} {b}}\cdot {\frac {e}{f}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb74d800a57e82a5c69ce90ed98ddd3e9ebe3bc)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca071ab504481c2bb76081aacb03f5519930710)
![{\displaystyle \mathbf {R} [X]/\left(X^{2}+1\right)\ {\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\ \mathbf {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0f1bdfcfbc661e9a16477be8972a3bb7c281c5)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{~}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55546dcf148dd64ce5d49717847ae757505e67e6)
