grupo galois

grupo matematico

En matemáticas , en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de Galois , el grupo de Galois de un determinado tipo de extensión de campo es un grupo específico asociado a la extensión de campo. El estudio de las extensiones de campo y su relación con los polinomios que les dan origen a través de grupos de Galois se llama teoría de Galois , llamada así en honor a Évariste Galois , quien las descubrió por primera vez.

Para una discusión más elemental de los grupos de Galois en términos de grupos de permutación , consulte el artículo sobre la teoría de Galois .

Definición

Supongamos que es una extensión del campo (escrito y leído como " E sobre F  "). Un automorfismo de se define como un automorfismo de que se fija puntualmente. En otras palabras, un automorfismo de es un isomorfismo tal que para cada . El conjunto de todos los automorfismos de forma un grupo con la operación de composición de funciones . Este grupo a veces se denota por ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha :E\to E}$ ${\displaystyle \alpha (x)=x}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$

Si es una extensión de Galois , entonces se llama grupo de Galois y generalmente se denota por . ^[1] ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

Si no es una extensión de Galois, entonces el grupo de Galois a veces se define como , donde está la clausura de Galois . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (K/F)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$

Grupo de Galois de un polinomio

Otra definición del grupo de Galois proviene del grupo de Galois de un polinomio . Si existe un campo tal que se factoriza como producto de polinomios lineales ${\displaystyle f\in F[x]}$ ${\displaystyle K/F}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})\in K[x]}$

sobre el campo , entonces el grupo de Galois del polinomio se define como el grupo de Galois de donde es mínimo entre todos esos campos. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K/F}$ ${\displaystyle K}$

Estructura de los grupos de Galois.

Teorema fundamental de la teoría de Galois

Uno de los teoremas estructurales importantes de la teoría de Galois proviene del teorema fundamental de la teoría de Galois . Esto establece que dada una extensión finita de Galois , hay una biyección entre el conjunto de subcampos y los subgrupos. Luego, está dada por el conjunto de invariantes de bajo la acción de , por lo que ${\displaystyle K/k}$ ${\displaystyle k\subset E\subset K}$ ${\displaystyle H\subset G.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle E=K^{H}=\{a\in K:ga=a{\text{ where }}g\in H\}}$

Además, si es un subgrupo normal, entonces . Y a la inversa, si es una extensión de campo normal, entonces el subgrupo asociado es un grupo normal. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H\cong \operatorname {Gal} (E/k)}$ ${\displaystyle E/k}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}$

estructura reticular

Supongamos que son extensiones de Galois con grupos de Galois. El campo con el grupo de Galois tiene una inyección que es un isomorfismo siempre . ^[2] ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G_{1},G_{2}.}$ ${\displaystyle K_{1}K_{2}}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K_{1}K_{2}/k)}$ ${\displaystyle G\to G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle K_{1}\cap K_{2}=k}$

induciendo

Como corolario, esto se puede inducir un número finito de veces. Dadas las extensiones de Galois donde entonces hay un isomorfismo de los grupos de Galois correspondientes: ${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}/k}$ ${\displaystyle K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong \operatorname {Gal} (K_{1}/k)\times \cdots \times \operatorname {Gal} (K_{n}/k).}$

Ejemplos

En los siguientes ejemplos es un campo y son los campos de números complejos , reales y racionales , respectivamente. La notación F ( a ) indica la extensión del campo obtenida al unir un elemento a al campo F . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q} }$

Herramientas computacionales

Cardinalidad del grupo de Galois y grado de extensión del campo.

Una de las proposiciones básicas requeridas para determinar completamente los grupos de Galois ^[3] de una extensión de campo finita es la siguiente: Dado un polinomio , sea su extensión de campo de división. Entonces el orden del grupo de Galois es igual al grado de extensión del campo; eso es, ${\displaystyle f(x)\in F[x]}$ ${\displaystyle E/F}$

${\displaystyle \left|\operatorname {Gal} (E/F)\right|=[E:F]}$

El criterio de Eisenstein.

Una herramienta útil para determinar el grupo de Galois de un polinomio proviene del criterio de Eisenstein . Si un polinomio se factoriza en polinomios irreducibles, el grupo de Galois de se puede determinar utilizando los grupos de Galois de cada uno, ya que el grupo de Galois de contiene cada uno de los grupos de Galois de ${\displaystyle f\in F[x]}$ ${\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}.}$

grupo trivial

${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/F)}$es el grupo trivial que tiene un solo elemento, a saber, el automorfismo de identidad.

Otro ejemplo de grupo de Galois que es trivial es De hecho, se puede demostrar que cualquier automorfismo de debe preservar el orden de los números reales y, por tanto, debe ser la identidad. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} ).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Considere el campo El grupo contiene sólo el automorfismo de identidad. Esto se debe a que no es una extensión normal , ya que las otras dos raíces cúbicas de , ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \exp \left({\tfrac {2\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}}}$y ${\displaystyle \exp \left({\tfrac {4\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}},}$

faltan en la extensión; en otras palabras, K no es un campo de división .

Grupos abelianos finitos

El grupo de Galois tiene dos elementos, el automorfismo de identidad y el automorfismo de conjugación complejo . ^[4] ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$

Extensiones cuadráticas

La extensión de campo de grado dos tiene el grupo de Galois con dos elementos, el automorfismo de identidad y el automorfismo que intercambia y . Este ejemplo generaliza para un número primo. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {N} .}$

Producto de extensiones cuadráticas

Usando la estructura reticular de los grupos de Galois, para números primos no iguales el grupo de Galois es ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}}\right)/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} \right)\times \cdots \times \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{k}}$

Extensiones ciclotómicas

Otra clase útil de ejemplos proviene de la división de campos de polinomios ciclotómicos . Estos son polinomios definidos como ${\displaystyle \Phi _{n}}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\begin{matrix}1\leq k\leq n\\\gcd(k,n)=1\end{matrix}}\left(x-e^{\frac {2ik\pi }{n}}\right)}$

cuyo grado es la función totiente de Euler en . Entonces, el campo de división es y tiene automorfismos que envían a primos relativos a . Dado que el grado del campo es igual al grado del polinomio, estos automorfismos generan el grupo de Galois. ^[5] Si entonces ${\displaystyle \phi (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{a}}$ ${\displaystyle 1\leq a<n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}},}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )\cong \prod _{a_{i}}\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{a_{i}}})/\mathbb {Q} \right)}$

Si es primo , entonces un corolario de esto es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} }$

De hecho, cualquier grupo abeliano finito puede encontrarse como el grupo de Galois de algún subcampo de una extensión de campo ciclotómico según el teorema de Kronecker-Weber .

campos finitos

Otra clase útil de ejemplos de grupos de Galois con grupos abelianos finitos proviene de campos finitos. Si q es una potencia prima, y ​​si y denotan los campos de Galois de orden y respectivamente, entonces es cíclico de orden n y generado por el homomorfismo de Frobenius . ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{q^{n}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

Ejemplos de grado 4

La extensión de campo es un ejemplo de extensión de campo de grado. ^[6] Esto tiene dos automorfismos donde y Dado que estos dos generadores definen un grupo de orden , el grupo de cuatro de Klein , determinan todo el grupo de Galois. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ ${\displaystyle \sigma ({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \tau ({\sqrt {3}})=-{\sqrt {3}}.}$ ${\displaystyle 4}$

Otro ejemplo se da del campo de división del polinomio. ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$

Tenga en cuenta que las raíces de son Hay automorfismos ${\displaystyle (x-1)f(x)=x^{5}-1,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \exp \left({\tfrac {2k\pi i}{5}}\right).}$

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma _{l}:E\to E\\\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\mapsto \left(\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\right)^{l}\end{cases}}}$

generando un grupo de orden . Como genera este grupo, el grupo de Galois es isomorfo a . ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$

Grupos finitos no abelianos

Consideremos ahora dónde está una raíz cúbica primitiva de la unidad . El grupo es isomorfo a S ₃ , el grupo diédrico de orden 6 , y L es de hecho el campo de división de más ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega ),}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle x^{3}-2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

grupo cuaternión

El grupo Quaternion se puede encontrar como el grupo Galois de una extensión de campo de . Por ejemplo, la extensión del campo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {(2+{\sqrt {2}})(3+{\sqrt {3}})}}\right)}$

tiene el grupo de Galois prescrito. ^[7]

Grupo simétrico de orden primo.

Si es un polinomio irreducible de grado primo con coeficientes racionales y exactamente dos raíces no reales, entonces el grupo de Galois es el grupo simétrico completo ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{p}.}$

Por ejemplo, es irreductible del criterio de Eisenstein. Trazar la gráfica con software de gráficos o en papel muestra que tiene tres raíces reales, por lo tanto, dos raíces complejas, lo que muestra que su grupo de Galois es . ${\displaystyle f(x)=x^{5}-4x+2\in \mathbb {Q} [x]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{5}}$

Comparación de grupos de Galois de extensiones de campo de campos globales

Dada una extensión de campo global (como ) y clases de equivalencia de valoraciones en (como la valoración -adic ) y en tales que sus terminaciones den una extensión de campo de Galois ${\displaystyle K/k}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{5}]{3}},\zeta _{5})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle K_{w}/k_{v}}$

de campos locales , hay una acción inducida del grupo de Galois sobre el conjunto de clases de equivalencia de valoraciones tales que las terminaciones de los campos son compatibles. Esto significa que si hay un isomorfismo inducido de campos locales ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K/k)}$ ${\displaystyle s\in G}$

${\displaystyle s_{w}:K_{w}\to K_{sw}}$

Dado que hemos tomado la hipótesis que se encuentra arriba (es decir, hay una extensión de campo de Galois ), el morfismo de campo es de hecho un isomorfismo de -álgebras. Si tomamos el subgrupo de isotropía de para la clase de valoración ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K_{w}/k_{v}}$ ${\displaystyle s_{w}}$ ${\displaystyle k_{v}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle G_{w}=\{s\in G:sw=w\}}$

entonces hay una sobreyección del grupo Galois global al grupo Galois local de modo que hay un isomorfismo entre el grupo Galois local y el subgrupo de isotropía. Diagramáticamente, esto significa

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Gal} (K/v)&\twoheadrightarrow &\operatorname {Gal} (K_{w}/k_{v})\\\downarrow &&\downarrow \\G&\twoheadrightarrow &G_{w}\end{matrix}}}$

donde las flechas verticales son isomorfismos. ^[8] Esto proporciona una técnica para construir grupos de Galois de campos locales utilizando grupos de Galois globales.

Grupos infinitos

Un ejemplo básico de una extensión de campo con un grupo infinito de automorfismos es , ya que contiene todas las extensiones de campo algebraicas . Por ejemplo, las extensiones de campo para un elemento sin cuadrados tienen cada una un automorfismo de grado único , lo que induce un automorfismo en ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} ).}$

Una de las clases más estudiadas de grupo de Galois infinito es el grupo de Galois absoluto , que es un grupo infinito y profinito definido como el límite inverso de todas las extensiones de Galois finitas para un campo fijo. El límite inverso se denota ${\displaystyle E/F}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {F}}/F):=\varprojlim _{E/F{\text{ finite separable}}}{\operatorname {Gal} (E/F)}}$,

¿Dónde está el cierre separable del campo ? Tenga en cuenta que este grupo es un grupo topológico . ^[9] Algunos ejemplos básicos incluyen y ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {F} }}_{q}/\mathbb {F} _{q})\cong {\hat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$. ^{[10] [11]}

Otro ejemplo fácilmente computable proviene de la extensión de campo que contiene la raíz cuadrada de cada primo positivo. Tiene grupo Galois. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} )\cong \prod _{p}\mathbb {Z} /2}$,

que se puede deducir del límite de ganancia

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$

y utilizando el cálculo de los grupos de Galois.

Propiedades

La importancia de que una extensión sea Galois es que obedece al teorema fundamental de la teoría de Galois : los subgrupos cerrados (con respecto a la topología de Krull ) del grupo de Galois corresponden a los campos intermedios de la extensión del campo.

Si es una extensión de Galois, entonces se le puede dar una topología , llamada topología Krull, que la convierte en un grupo finito . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

Ver también

• Teorema fundamental de la teoría de Galois
• Grupo absoluto de Galois
• Representación de Galois
• grupo demushkin
• grupo solucionable

Notas

1. Algunos autores se refieren al grupo Galois para extensiones arbitrarias y utilizan la notación correspondiente, por ejemplo, Jacobson 2009. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}$ ${\displaystyle E/F}$
2. Lang, Serge. Álgebra (Tercera edición revisada). págs.263, 273.
3. "Álgebra abstracta" (PDF) . págs. 372–377. Archivado (PDF) desde el original el 18 de diciembre de 2011.
4. Cooke, Roger L. (2008), Álgebra clásica: su naturaleza, orígenes y usos, John Wiley & Sons, p. 138, ISBN 9780470277973.
5. Tonto; Pie. Álgebra abstracta . págs. 596, 14.5 Extensiones ciclotómicas.
6. Desde como espacio vectorial. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
7. Milne. Teoría del campo. pag. 46.
8. "Comparación de los grupos galois globales y locales de una extensión de campos numéricos". Intercambio de pilas de matemáticas . Consultado el 11 de noviembre de 2020 .
9. "9.22 Teoría del Infinito Galois". El proyecto Pilas .
10. Milne. "Teoría de campo" (PDF) . pag. 98. Archivado (PDF) desde el original el 27 de agosto de 2008.
11. "Teoría del Infinito Galois" (PDF) . pag. 14. Archivado (PDF) desde el original el 6 de abril de 2020.

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009) [1985]. Álgebra básica I (2ª ed.). Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, señor  1878556

enlaces externos

• "Grupo Galois", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Grupo Galois y grupo Quaternion
• "Grupos Galois". MathPages.com .
• Comparación de los grupos galois globales y locales de una extensión de campos numéricos
• Representaciones de Galois - Richard Taylor