Número racional

Cociente de dos números enteros

Un símbolo para el conjunto de los números racionales.

Los números racionales están incluidos en los números reales , que a su vez están incluidos en los números complejos , mientras que los racionales incluyen a los números enteros , que a su vez incluyen a los números naturales . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

En matemáticas , un número racional es un número que se puede expresar como el cociente o fracción de dos números enteros , un numerador p y un denominador q distinto de cero . ^[1] Por ejemplo, es un número racional, como lo es todo número entero (por ejemplo, ). El conjunto de todos los números racionales, también denominados " los racionales ", ^[2] el campo de los racionales ^[3] o el campo de los números racionales generalmente se denota con negrita Q , ^[a] o negrita de pizarra ^[b] ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$ ${\displaystyle -5={\tfrac {-5}{1}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Un número racional es un número real . Los números reales que son racionales son aquellos cuya expansión decimal termina después de un número finito de dígitos (ejemplo: 3/4 = 0,75 ), o eventualmente comienza a repetir la misma secuencia finita de dígitos una y otra vez (ejemplo: 9/44 = 0,20454545... ). ^[4] Esta afirmación es cierta no sólo en base 10 , sino también en cualquier otra base entera , como las binarias y hexadecimales (ver Decimal repetido § Extensión a otras bases ).

Un número real que no es racional se llama irracional . ^[5] Los números irracionales incluyen la raíz cuadrada de 2 ( ), ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ π , e y la proporción áurea ( φ ). Dado que el conjunto de los números racionales es contable y el conjunto de los números reales es incontable , casi todos los números reales son irracionales. ^[1]

Los números racionales se pueden definir formalmente como clases de equivalencia de pares de números enteros ( p, q ) con q ≠ 0 , utilizando la relación de equivalencia definida de la siguiente manera:

${\displaystyle (p_{1},q_{1})\sim (p_{2},q_{2})\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.}$

La fracción entonces denota la clase de equivalencia de ( p, q ) . ^[6] ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$

Los números racionales junto con la suma y la multiplicación forman un campo que contiene los números enteros y está contenido en cualquier campo que contenga los números enteros. En otras palabras, el campo de los números racionales es un campo primo , y un campo tiene característica cero si y sólo si contiene los números racionales como subcampo. Las extensiones finitas de se llaman campos de números algebraicos , y la clausura algebraica de es el campo de números algebraicos . ^[7] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

En análisis matemático , los números racionales forman un subconjunto denso de los números reales. Los números reales se pueden construir a partir de los números racionales por compleción , utilizando secuencias de Cauchy , cortes de Dedekind o decimales infinitos (ver Construcción de los números reales ).

Terminología

El término racional en referencia al conjunto hace referencia a que un número racional representa una razón de dos números enteros. En matemáticas, "racional" se utiliza a menudo como sustantivo para abreviar "número racional". El adjetivo racional a veces significa que los coeficientes son números racionales. Por ejemplo, un punto racional es un punto con coordenadas racionales (es decir, un punto cuyas coordenadas son números racionales); una matriz racional es una matriz de números racionales; un polinomio racional puede ser un polinomio con coeficientes racionales, aunque generalmente se prefiere el término "polinomio sobre los racionales", para evitar confusión entre " expresión racional " y " función racional " (un polinomio es una expresión racional y define una función racional, incluso si sus coeficientes no son números racionales). Sin embargo, una curva racional no es una curva definida sobre los racionales, sino una curva que puede parametrizarse mediante funciones racionales. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Etimología

Aunque hoy en día los números racionales se definen en términos de razones , el término racional no es una derivación de razón . Por el contrario, es ratio que se deriva de racional : el primer uso de ratio con su significado moderno fue atestiguado en inglés alrededor de 1660, ^[8] mientras que el uso de racional para calificar números apareció casi un siglo antes, en 1570. ^{[ 9]} Este significado de racional proviene del significado matemático de irracional , que se usó por primera vez en 1551, y se usó en "traducciones de Euclides (después de su peculiar uso de ἄλογος )". ^{[10] [11]}

Esta historia inusual se originó en el hecho de que los antiguos griegos "evitaron la herejía prohibiéndose pensar en esas longitudes [irracionales] como números". ^[12] Así que tales extensiones eran irracionales , en el sentido de ilógico , es decir, "no se debe hablar de ello" ( ἄλογος en griego). ^[13]

Aritmética

fracción irreducible

Todo número racional se puede expresar de forma única como una fracción irreducible donde a y b son enteros coprimos y b > 0 . A esto se le suele llamar forma canónica del número racional. ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$

A partir de un número racional, su forma canónica se puede obtener dividiendo a y b por su máximo común divisor y, si b < 0 , cambiando el signo del numerador y denominador resultantes. ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$

Incrustación de números enteros

Cualquier número entero n se puede expresar como número racional , que es su forma canónica como número racional. ${\displaystyle {\tfrac {n}{1}},}$

Igualdad

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$si y solo si ${\displaystyle ad=bc}$

Si ambas fracciones están en forma canónica, entonces:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$si y sólo si y ^[6] ${\displaystyle a=c}$ ${\displaystyle b=d}$

Realizar pedidos

Si ambos denominadores son positivos (particularmente si ambas fracciones están en forma canónica):

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$si y solo si ${\displaystyle ad<bc.}$

Por otro lado, si cualquiera de los denominadores es negativo, entonces cada fracción con un denominador negativo debe convertirse primero a una forma equivalente con un denominador positivo, cambiando los signos tanto de su numerador como de su denominador. ^[6]

Suma

Se suman dos fracciones de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

Si ambas fracciones están en forma canónica, el resultado está en forma canónica si y sólo si b, d son números enteros coprimos . ^{[6] [14]}

Sustracción

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.}$

Si ambas fracciones están en forma canónica, el resultado está en forma canónica si y sólo si b, d son números enteros coprimos . ^[14]

Multiplicación

La regla para la multiplicación es:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}$

donde el resultado puede ser una fracción reducible —incluso si ambas fracciones originales están en forma canónica. ^{[6] [14]}

Inverso

Todo número racional tiene un inverso aditivo , a menudo llamado su opuesto , ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}.}$

Si está en forma canónica, lo mismo ocurre con su opuesto. ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$

Un número racional distinto de cero tiene un inverso multiplicativo , también llamado recíproco , ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}.}$

Si está en forma canónica, entonces la forma canónica de su recíproco es o depende del signo de a . ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {-b}{-a}},}$

División

Si b, c, d son distintos de cero, la regla de división es

${\displaystyle {\frac {\,{\dfrac {a}{b}}\,}{\dfrac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}.}$

Por lo tanto, dividir por equivale a multiplicar por el recíproco de ^[14] ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}:}$

${\displaystyle {\frac {ad}{bc}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}.}$

Exponenciación a potencias enteras

Si n es un número entero no negativo, entonces

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}.}$

El resultado está en forma canónica si lo mismo es cierto para En particular, ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}.}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{0}=1.}$

Si a ≠ 0 , entonces

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}.}$

Si está en forma canónica, la forma canónica del resultado es si a > 0 o n es par. De lo contrario, la forma canónica del resultado es ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b^{n}}{a^{n}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {-b^{n}}{-a^{n}}}.}$

Representación de fracción continua

Una fracción continua finita es una expresión como

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},}$

donde an _son números enteros. Todo número racional se puede representar como una fracción continua finita, cuyos _coeficientes an se pueden determinar aplicando el algoritmo euclidiano a ( a, b ) . ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$

Otras representaciones

• fracción común : ${\displaystyle {\tfrac {8}{3}}}$
• número mixto : ${\displaystyle 2{\tfrac {2}{3}}}$
• decimal periódico usando un vinculum : ${\displaystyle 2.{\overline {6}}}$
• decimal periódico usando paréntesis : ${\displaystyle 2.(6)}$
• fracción continua usando tipografía tradicional: ${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}}}}$
• fracción continua en notación abreviada: ${\displaystyle [2;1,2]}$
• fracción egipcia : ${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}}$
• descomposición de potencias primarias : ${\displaystyle 2^{3}\times 3^{-1}}$
• notación de cotización : ${\displaystyle 3'6}$

Hay diferentes formas de representar el mismo valor racional.

Construcción formal

Un diagrama que muestra una representación de las clases equivalentes de pares de números enteros.

Los números racionales pueden construirse como clases de equivalencia de pares ordenados de números enteros . ^{[6] [14]}

Más precisamente, sea el conjunto de los pares ( m, n ) de números enteros tales n ≠ 0 . Una relación de equivalencia se define en este conjunto por ${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\}))}$

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\sim (m_{2},n_{2})\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$^{[6] [14]}

La suma y la multiplicación se pueden definir mediante las siguientes reglas:

${\displaystyle (m_{1},n_{1})+(m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}),}$

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\times (m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}).}$^[6]

Esta relación de equivalencia es una relación de congruencia , lo que significa que es compatible con la suma y multiplicación definidas anteriormente; el conjunto de los números racionales se define como el cociente establecido por esta relación de equivalencia, dotado de la suma y la multiplicación inducidas por las operaciones anteriores. (Esta construcción se puede realizar con cualquier dominio integral y produce su campo de fracciones .) ^[6] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \backslash \{0\}))/\sim ,}$

La clase de equivalencia de un par ( m, n ) se denota. Dos pares ( m ₁ , n ₁ ) y ( m ₂ , n ₂ ) pertenecen a la misma clase de equivalencia (es decir, son equivalentes) si y solo si ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}.}$

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

Esto significa que

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

si y sólo si ^{[6] [14]}

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

Cada clase de equivalencia puede estar representada por infinitos pares, ya que ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$

${\displaystyle \cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .}$

Cada clase de equivalencia contiene un elemento canónico representativo único . El representante canónico es el par único ( m, n ) en la clase de equivalencia tal que myn son coprimos y n > 0 . Se llama representación en términos mínimos del número racional.

Los números enteros pueden considerarse números racionales identificando el número entero n con el número racional. ${\displaystyle {\tfrac {n}{1}}.}$

Se puede definir un orden total sobre los números racionales, que amplía el orden natural de los números enteros. Uno tiene

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

Si

${\displaystyle {\begin{aligned}&(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\\&\qquad {\text{or}}\\&(n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).\end{aligned}}}$

Propiedades

El conjunto de todos los números racionales, junto con las operaciones de suma y multiplicación mostradas arriba, forma un campo . ^[6] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} }$no tiene ningún automorfismo de campo distinto de la identidad. (Un automorfismo de campo debe fijar 0 y 1; como debe fijar la suma y la diferencia de dos elementos fijos, debe fijar cada número entero; como debe fijar el cociente de dos elementos fijos, debe fijar cada número racional, y es de ahí la identidad.)

${\displaystyle \mathbb {Q} }$es un campo primo , que es un campo que no tiene más subcampo que él mismo. ^[15] Los racionales son el campo más pequeño con característica cero. Cada campo de característica cero contiene un subcampo único isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Con el orden definido anteriormente, es un campo ordenado ^[14] que no tiene más subcampo que él mismo, y es el campo ordenado más pequeño, en el sentido de que cada campo ordenado contiene un subcampo único isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

${\displaystyle \mathbb {Q} }$es el campo de fracciones de los números enteros ^[16] La clausura algebraica de es decir, el campo de raíces de polinomios racionales, es el campo de números algebraicos . ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

Los racionales son un conjunto densamente ordenado : entre dos racionales cualesquiera se encuentra otro y, por tanto, infinitos otros. ^[6] Por ejemplo, para dos fracciones cualesquiera tales que

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$

(donde son positivos), tenemos ${\displaystyle b,d}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}.}$

Cualquier conjunto totalmente ordenado que sea contable, denso (en el sentido anterior) y que no tenga ningún elemento menor ni mayor es de orden isomorfo a los números racionales. ^[17]

Contabilidad

Ilustración de la contabilidad de los racionales positivos.

El conjunto de todos los números racionales es contable , como se ilustra en la figura de la derecha. Como un número racional se puede expresar como una proporción de dos números enteros, es posible asignar dos números enteros a cualquier punto de una red cuadrada como en un sistema de coordenadas cartesiano , de modo que cualquier punto de la cuadrícula corresponda a un número racional. Este método, sin embargo, presenta una forma de redundancia, ya que varios puntos diferentes de la cuadrícula corresponderán al mismo número racional; estos están resaltados en rojo en el gráfico proporcionado. Un ejemplo obvio se puede ver en la línea que va en diagonal hacia la parte inferior derecha; tales proporciones siempre serán iguales a 1, ya que cualquier número distinto de cero dividido por sí mismo siempre será igual a uno.

Es posible generar todos los números racionales sin tales redundancias: los ejemplos incluyen el árbol de Calkin-Wilf y el árbol de Stern-Brocot .

Como el conjunto de todos los números racionales es contable, y el conjunto de todos los números reales (así como el conjunto de los números irracionales) es incontable, el conjunto de los números racionales es un conjunto nulo , es decir, casi todos los números reales son irracionales, en el sentido de la medida de Lebesgue .

Números reales y propiedades topológicas.

Los racionales son un subconjunto denso de los números reales ; Todo número real tiene números racionales arbitrariamente cercanos a él. ^[6] Una propiedad relacionada es que los números racionales son los únicos números con expansiones finitas como fracciones continuas regulares . ^[18]

En la topología habitual de los números reales, los racionales no son ni un conjunto abierto ni un conjunto cerrado . ^[19]

En virtud de su orden, los racionales conllevan una topología de orden . Los números racionales, como subespacio de los números reales, también llevan una topología subespacial . Los números racionales forman un espacio métrico usando la métrica de diferencia absoluta y esto produce una tercera topología. Las tres topologías coinciden y convierten a los racionales en un campo topológico . Los números racionales son un ejemplo importante de un espacio que no es localmente compacto . Los racionales se caracterizan topológicamente como el único espacio metrizable contable y sin puntos aislados . El espacio también está totalmente desconectado . Los números racionales no forman un espacio métrico completo , y los números reales son la terminación de la métrica anterior. ^[14] ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

números p -ádicos

Además de la métrica de valor absoluto mencionada anteriormente, existen otras métricas que se convierten en un campo topológico: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Sea p un número primo y para cualquier entero distinto de cero a , sea donde p ⁿ es la potencia más alta de p que divide a . ${\displaystyle |a|_{p}=p_{-n},}$

Conjunto adicional Para cualquier número racional establecemos ${\displaystyle |0|_{p}=0.}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b}},}$

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}.}$

Entonces

${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}$

define una métrica en ^[20] ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

El espacio métrico no está completo y su finalización es el campo de números p -ádico. El teorema de Ostrowski establece que cualquier valor absoluto no trivial en los números racionales es equivalente al valor absoluto real habitual o a un valor absoluto p -ádico . ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,d_{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Ver también

• racional diádico
• Punto flotante
• Círculos de Ford
• racional gaussiano
• Altura ingenua: altura de un número racional en su término más bajo
• teorema de niven
• tipo de datos racionales
• Proporciones divinas: de la trigonometría racional a la geometría universal

Referencias

1. Rosen, Kenneth (2007). Matemáticas discretas y sus aplicaciones (6ª ed.). Nueva York, Nueva York: McGraw-Hill. págs. 105, 158-160. ISBN 978-0-07-288008-3.
2. Muchacha, Harry (2009). Elementos de Matemática Pura y Aplicada (edición ilustrada). Corporación de mensajería. pag. 382.ISBN _ 978-0-486-47186-0.Extracto de la página 382
3. Robinson, Julia (1996). Las obras completas de Julia Robinson. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 104.ISBN _ 978-0-8218-0575-6.Extracto de la página 104
4. "Número racional". Enciclopedia Británica . Consultado el 11 de agosto de 2020 .
5. Weisstein, Eric W. "Número racional". Wolfram MathWorld . Consultado el 11 de agosto de 2020 .
6. Biggs, Norman L. (2002). Matemáticas discretas . India: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 75–78. ISBN 978-0-19-871369-2.
7. Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elementos de álgebra moderna (6ª ed.). Belmont, California: Thomson Brooks/Cole. págs. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.
8. Diccionario de ingles Oxford (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. 1989.Tasa de entrada , n. , sentido 2.a.
9. Diccionario de ingles Oxford (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. 1989.Entrada racional , a. (adv.) y n. ¹ , sentido 5.a.
10. Diccionario de ingles Oxford (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. 1989.Entrada irracional , a. y N. , sentido 3.
11. Corto, Peter (9 de mayo de 2017). "¿Lo racional proviene de la razón o la razón viene de lo racional?". Intercambio de pila . Consultado el 19 de marzo de 2021 .
12. Coolman, Robert (29 de enero de 2016). "Cómo una superstición matemática embruteció el álgebra durante más de mil años" . Consultado el 20 de marzo de 2021 .
13. Kramer, Edna (1983). La naturaleza y el crecimiento de las matemáticas modernas . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 28.
14. "Fracción - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 17 de agosto de 2021 .
15. Sūgakkai, Nihon (1993). Diccionario enciclopédico de matemáticas, volumen 1. Londres, Inglaterra: MIT Press. pag. 578.ISBN _ 0-2625-9020-4.
16. Bourbaki, N. (2003). Álgebra II: Capítulos 4 - 7 . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. A.VII.5.
17. Giese, Martín; Schönegge, Arno (diciembre de 1995). Dos conjuntos contables densamente ordenados sin puntos finales son isomorfos: una prueba formal con KIV (PDF) (informe técnico) . Consultado el 17 de agosto de 2021 .
18. Antonio Vazzana; David Garth (2015). Introducción a la teoría de números (segunda edición revisada). Prensa CRC. pag. 1.ISBN _ 978-1-4987-1752-6.Extracto de la página 1
19. Richard A. Holmgren (2012). Un primer curso en sistemas dinámicos discretos (segunda edición ilustrada). Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 26.ISBN _ 978-1-4419-8732-7.Extracto de la página 26
20. Weisstein, Eric W. "Número p-ádico". Wolfram MathWorld . Consultado el 17 de agosto de 2021 .

Notas

1. Así lo denotó en 1895 Giuseppe Peano después de quoziente , " cociente " en italiano, ^{[ cita necesaria ]}
2. Apareció por primera vez en Algèbre de Bourbaki .

enlaces externos

• "Número racional", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Número racional" de MathWorld: un recurso web de Wolfram