Composición de funciones

En matemáticas , la composición de funciones es una operación $\circ$ que toma dos funciones $f$ y $g$ , y produce una función $h = g \circ f$ tal que $h (x) = g (f (x))$ . En esta operación, la función $g$ se aplica al resultado de aplicar la función $f$ a $x$ . Es decir, las funciones $f : X \to Y$ y $g : Y \to Z$ se componen para producir una función que asigna $x$ en el dominio $X$ a $g (f (x))$ en el codominio $Z$ . Intuitivamente, si $z$ es una función de $y$ y $y$ es una función de $x$ , entonces $z$ es una función de $x$ . La función compuesta resultante se denota $g \circ f : X \to Z$ , definida por $(g \circ f)(x) = g (f (x))$ para todo $x$ en $X$ . ^{[nota 1]}

La notación $g \circ f$ se lee como " $g$ de $f$ ", " $g$ después de $f$ ", " $g$ círculo $f$ ", " $g$ alrededor $de f$ ", " $g$ sobre $f$ ", " $g$ compuesta con $f$ ", " $g$ después de $f$ " , " $f$ luego $g$ ", o " $g$ sobre $f$ ", o "la composición de $g$ y $f$ ". Intuitivamente, componer funciones es un proceso de encadenamiento en el que la salida de la función $f$ alimenta la entrada de la función $g$ .

La composición de funciones es un caso especial de la composición de relaciones , a veces también denotada por . Como resultado, todas las propiedades de composición de relaciones son ciertas para la composición de funciones, ^[1] como la propiedad de asociatividad. $\circ$

La composición de funciones es diferente de la multiplicación de funciones (si es que se define) y tiene algunas propiedades bastante diferentes; en particular, la composición de funciones no es conmutativa . ^[2]

Ejemplos

Composición de funciones en un conjunto finito: Si $f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ y $g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ , luego $g \circ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}$ , como se muestra en la figura.
Composición de funciones en un conjunto infinito : Si $f : R \to R$ (donde $R$ es el conjunto de todos los números reales ) está dado por $f (x) = 2 x + 4$ y $g : R \to R$ está dado por $g (x) = x 3$ , entonces:
$(f \circ g)(x) = f (g (x)) = f (x 3) = 2 x 3 + 4$ , y

$(gramo \circ f)(x) = gramo (f (x)) = gramo (2 x + 4) = (2 x + 4) 3$ .
Si la altitud de un avión en el momento $t$ es $a (t)$ y la presión del aire en la altitud $x$ es $p (x)$ , entonces $(p \circ a)(t)$ es la presión alrededor del avión en el momento $t$ .

Propiedades

La composición de funciones es siempre asociativa , propiedad heredada de la composición de relaciones . ^[1] Es decir, si $f$ , $g$ y $h$ son componibles, entonces $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ . ^[3] Dado que los paréntesis no cambian el resultado, generalmente se omiten.

En sentido estricto, la composición $g \circ f$ sólo es significativa si el codominio de $f$ es igual al dominio de $g$ ; en un sentido más amplio, basta con que el primero sea un subconjunto inadecuado del segundo. ^{[nb 2]} Además, a menudo es conveniente restringir tácitamente el dominio de $f$ , de modo que $f$ produzca solo valores en el dominio de $g$ . Por ejemplo, la composición $g \circ f$ de las funciones $f : R \to (-\infty,+9]$ definida por $f (x) = 9 - x 2$ y $g : [0,+\infty) \to R$ definida por se puede definir en el intervalo $[-3,+3]$ . $g(x)={\sqrt {x}}$

Se dice que las funciones $g$ y $f$ conmutan entre sí si $g \circ f = f \circ g$ . La conmutatividad es una propiedad especial, que se logra sólo mediante funciones particulares y, a menudo, en circunstancias especiales. Por ejemplo, $| x | + 3 = | x + 3 |$ sólo cuando $x \geq 0$ . La imagen muestra otro ejemplo.

La composición de funciones uno a uno (inyectivas) es siempre uno a uno. De manera similar, la composición de funciones on (sobreyectivas) siempre es on. De ello se deduce que la composición de dos biyecciones es también una biyección. La función inversa de una composición (se supone invertible) tiene la propiedad de que $(f \circ g) -1 = g -1 \circ f -1$ . ^[4]

Las derivadas de composiciones que involucran funciones diferenciables se pueden encontrar usando la regla de la cadena . Las derivadas superiores de tales funciones vienen dadas por la fórmula de Faà di Bruno . ^[3]

Monoides de composición

Supongamos que uno tiene dos (o más) funciones $f : X \to X,$ $g : X \to X$ que tienen el mismo dominio y codominio; a menudo se les llama transformaciones . Entonces se pueden formar cadenas de transformaciones compuestas juntas, como $f \circ f \circ g \circ f$ . Tales cadenas tienen la estructura algebraica de un monoide , llamado monoide de transformación o (mucho más raramente) monoide de composición . En general, los monoides de transformación pueden tener una estructura notablemente complicada. Un ejemplo particularmente notable es la curva de De Rham . El conjunto de todas las funciones $f : X \to X$ se denomina semigrupo de transformación completa ^[5] o semigrupo simétrico ^[6] en $X$ . (En realidad, se pueden definir dos semigrupos dependiendo de cómo se defina la operación del semigrupo como la composición de funciones izquierda o derecha. ^[7] )

Si las transformaciones son biyectivas (y por tanto invertibles), entonces el conjunto de todas las combinaciones posibles de estas funciones forma un grupo de transformaciones ; y se dice que el grupo es generado por estas funciones. Un resultado fundamental en la teoría de grupos, el teorema de Cayley , esencialmente dice que cualquier grupo es, de hecho, solo un subgrupo de un grupo de permutación (hasta el isomorfismo ). ^[8]

El conjunto de todas las funciones biyectivas $f : X \to X$ (llamadas permutaciones ) forma un grupo con respecto a la composición de funciones. Este es el grupo simétrico , también llamado a veces grupo de composición .

En el semigrupo simétrico (de todas las transformaciones) también se encuentra una noción de inverso más débil y no única (llamada pseudoinversa) porque el semigrupo simétrico es un semigrupo regular . ^[9]

poderes funcionales

Si $Y \subseteq X$ , entonces $f : X \to Y$ puede componerse consigo mismo; esto a veces se denota como $f 2$ . Eso es:

(f \circ f)(x) = f (f (x)) = f 2 (x)

(f \circ f \circ f)(x) = f (f (f (x))) = f 3 (x)

(f \circ f \circ f \circ f)(x) = f (f (f (f (x)))) = f 4 (x)

De manera más general, para cualquier número natural $n \geq 2$ , la enésima potencia $funcional$ se puede definir inductivamente mediante $f n = f \circ f n -1 = f n -1 \circ f$ , una notación introducida por Hans Heinrich Bürmann ^{[ cita necesaria ]}^{[ 10]}^[11] y John Frederick William Herschel . ^[12]^[10]^[13]^[11] La composición repetida de dicha función consigo misma se llama función iterada .

Por convención, $f 0$ se define como el mapa de identidad en el dominio de $f$ $, id X.$
Si $Y = X$ y $f : X \to X$ admite una función inversa $f -1$ (a veces llamada «menos primera iteración» ^{[ cita necesaria ]} ), las potencias funcionales negativas $f - n$ se definen para $n > 0$ como la potencia negada de la inversa función: $f - n = (f -1) n$ . ^[12]^[10]^[11]

Nota: Si $f$ toma sus valores en un anillo (en particular para $f$ real o de valor complejo ), existe riesgo de confusión, ya que $f n$ también podría representar el producto $n$ veces de $f$ , por ejemplo $f 2 (x) = f (x)\cdot f (x)$ . ^[11] Para funciones trigonométricas, normalmente se entiende lo último, al menos para exponentes positivos. ^[11] Por ejemplo, en trigonometría , esta notación en superíndice representa la exponenciación estándar cuando se usa con funciones trigonométricas : $sin 2 (x) = sin (x) \cdot sin (x)$ . Sin embargo, para exponentes negativos (especialmente −1), generalmente se refiere a la función inversa, por ejemplo, $tan -1 = arctan \neq 1/tan$ .

En algunos casos, cuando, para una función dada $f$ , la ecuación $g \circ g = f$ tiene una solución única $g$ , esa función se puede definir como la raíz cuadrada funcional de $f$ , luego escrita como $g = f 1/2$ .

De manera más general, cuando $g n = f$ tiene una solución única para algún número natural $n > 0$ , entonces $f m / n$ se puede definir como $g m$ .

Bajo restricciones adicionales, esta idea se puede generalizar de modo que el recuento de iteraciones se convierta en un parámetro continuo; en este caso, dicho sistema se denomina flujo , especificado mediante soluciones de la ecuación de Schröder . Las funciones y flujos iterados ocurren naturalmente en el estudio de fractales y sistemas dinámicos .

Para evitar ambigüedades, algunos matemáticos ^{[ cita necesaria ]} optan por usar $\circ$ para denotar el significado compositivo, escribiendo $f \circ n (x)$ para la $enésima$ iteración de la función $f (x)$ , como en, por ejemplo, $f \circ3 (x)$ que significa $f (f (f (x)))$ . Con el mismo propósito, Benjamin Peirce ^[14]^[11] utilizó $f [n] (x)$ , mientras que Alfred Pringsheim y Jules Molk sugirieron $n$ $f$ $($ $x$ $)$ en su lugar. ^[15]^[11]^{[nota 3]}

Notaciones alternativas

Muchos matemáticos, particularmente en teoría de grupos , omiten el símbolo de composición, escribiendo $gf$ para $g \circ f$ . ^[dieciséis]

A mediados del siglo XX, algunos matemáticos decidieron que escribir " $g \circ f$ " para significar "primero aplicar $f$ , luego aplicar $g$ " era demasiado confuso y decidieron cambiar las notaciones. Escriben " $xf$ " para " $f (x)$ " y " $(xf) g$ " para " $g (f (x))$ ". ^[17] Esto puede ser más natural y parecer más simple que escribir funciones a la izquierda en algunas áreas; en álgebra lineal , por ejemplo, cuando $x$ es un vector fila y $f$ y $g$ denotan matrices y la composición es por multiplicación de matrices . Esta notación alternativa se llama notación postfija . El orden es importante porque la composición de funciones no es necesariamente conmutativa (por ejemplo, multiplicación de matrices). Las transformaciones sucesivas que se aplican y componen hacia la derecha concuerdan con la secuencia de lectura de izquierda a derecha.

Los matemáticos que usan notación postfija pueden escribir " $fg$ ", lo que significa primero aplicar $f$ y luego aplicar $g$ , de acuerdo con el orden en que aparecen los símbolos en la notación postfija, lo que hace que la notación " $fg$ " sea ambigua. Los informáticos pueden escribir " $f; g$ " para esto, ^[18] eliminando así la ambigüedad del orden de composición. Para distinguir el operador de composición izquierda de un punto y coma de texto, en la notación Z se utiliza el carácter ⨾ para la composición de la relación izquierda . ^[19] Dado que todas las funciones son relaciones binarias , también es correcto utilizar el punto y coma [gordo] para la composición de funciones (consulte el artículo sobre composición de relaciones para obtener más detalles sobre esta notación).

Operador de composición

Dada una función $g$ , el operador de composición $C g$ se define como aquel operador que asigna funciones a funciones como

C_{g}f=f\circ g.

Los operadores de composición se estudian en el campo de la teoría de operadores .

En lenguajes de programación

La composición de funciones aparece de una forma u otra en numerosos lenguajes de programación .

Funciones multivariadas

La composición parcial es posible para funciones multivariadas . La función resultante cuando algún argumento $x i$ de la función $f$ se reemplaza por la función $g$ se denomina composición de $f$ y $g$ en algunos contextos de ingeniería informática y se denota $f | x yo = g$

f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

Cuando $g$ es una constante simple $b$ , la composición degenera en una valoración (parcial), cuyo resultado también se conoce como restricción o cofactor . ^[20]

f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

En general, la composición de funciones multivariadas puede involucrar varias otras funciones como argumentos, como en la definición de función recursiva primitiva . Dada $f$ , una función $n$ -aria y $n$ funciones $m -arias$ $g 1, ..., g n$ , la composición de $f$ con $g 1, ..., g n$ , es la función $m -aria$

h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m})).

A esto a veces se le llama compuesto generalizado o superposición de f con $g 1, ..., g n$ . ^[21] La composición parcial en un solo argumento mencionada anteriormente se puede instanciar a partir de este esquema más general configurando todas las funciones de argumento, excepto una, como funciones de proyección elegidas adecuadamente . Aquí $g 1, ..., g n$ puede verse como una función con valor de un solo vector/ tupla en este esquema generalizado, en cuyo caso esta es precisamente la definición estándar de composición de funciones. ^[22]

Un conjunto de operaciones finitas sobre algún conjunto base X se denomina clon si contiene todas las proyecciones y está cerrado bajo composición generalizada. Un clon generalmente contiene operaciones de diversas aridades . ^[21] La noción de conmutación también encuentra una generalización interesante en el caso multivariado; se dice que una función f de aridad n conmuta con una función g de aridad m si f es un homomorfismo que preserva g , y viceversa, es decir: ^[21]

f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm})).

Una operación unaria siempre conmuta consigo misma, pero este no es necesariamente el caso de una operación binaria (o de mayor aridad). Una operación binaria (o de mayor aridad) que conmuta consigo misma se llama medial o entrópica . ^[21]

Generalizaciones

La composición se puede generalizar a relaciones binarias arbitrarias . Si $R \subseteq X \times Y$ y $S \subseteq Y \times Z$ son dos relaciones binarias, entonces su composición $R \circ S$ es la relación definida como ${(x, z) \in X \times Z : \exists y \in Y . (x, y) \in R \land (y, z) \in S}$ . Considerando una función como un caso especial de una relación binaria (es decir, relaciones funcionales ), la composición de funciones satisface la definición de composición de relaciones. Se ha utilizado un círculo pequeño $R \circ S$ para la notación infija de composición de relaciones , así como de funciones. Sin embargo, cuando se utiliza para representar la composición de funciones , la secuencia del texto se invierte para ilustrar las diferentes secuencias de operaciones en consecuencia. $(g\circ f)(x)\ =\ g(f(x))$

La composición se define de la misma manera para funciones parciales y el teorema de Cayley tiene su análogo llamado teorema de Wagner-Preston . ^[23]

La categoría de conjuntos con funciones como morfismos es la categoría prototípica . De hecho, los axiomas de una categoría se inspiran en las propiedades (y también en la definición) de la composición de funciones. ^[24] Las estructuras dadas por la composición están axiomatizadas y generalizadas en la teoría de categorías con el concepto de morfismo como reemplazo de funciones en la teoría de categorías. El orden inverso de composición en la fórmula $(f \circ g) -1 = (g -1 \circ f -1)$ se aplica a la composición de relaciones que utilizan relaciones inversas y, por tanto, en la teoría de grupos . Estas estructuras forman categorías de dagas .

La "base" estándar de las matemáticas comienza con los conjuntos y sus elementos . Es posible empezar de otra manera, axiomatizando no elementos de conjuntos sino funciones entre conjuntos. Esto se puede hacer utilizando el lenguaje de categorías y construcciones universales.

. . . la relación de membresía para conjuntos a menudo puede ser reemplazada por la operación de composición para funciones. Esto conduce a una base alternativa para las Matemáticas sobre categorías, específicamente, sobre la categoría de todas las funciones. Ahora bien, gran parte de las Matemáticas es dinámica, en el sentido de que se ocupa de morfismos de un objeto en otro objeto del mismo tipo. Dichos morfismos ( como funciones ) forman categorías, por lo que el enfoque a través de categorías encaja bien con el objetivo de organizar y comprender las Matemáticas. Ése, en verdad, debería ser el objetivo de una adecuada filosofía de las Matemáticas.
- Saunders Mac Lane , Matemáticas: forma y función ^[25]

Tipografía

El símbolo de composición $\circ$ está codificado como U+2218 ∘ OPERADOR DE ANILLO ( ∘, ∘ ); consulte el artículo sobre símbolos de grados para conocer caracteres Unicode de apariencia similar. En TeX , está escrito .\circ

Ver también

Trama de telaraña : una técnica gráfica para la composición funcional
Lógica combinatoria
Anillo de composición , una axiomatización formal de la operación de composición
Flujo (matemáticas)
Composición de funciones (informática)
Función de variable aleatoria , distribución de una función de una variable aleatoria.
Descomposición funcional
raíz cuadrada funcional
Función de orden superior
Composiciones infinitas de funciones analíticas.
función iterada
cálculo lambda

Notas

^ Algunos autores utilizan $f \circ g : X \to Z$ , definido por $(f \circ g)(x) = g (f (x))$ en su lugar. Esto es común cuando se utiliza una notación sufija , especialmente si las funciones se representan mediante exponentes, como, por ejemplo, en el estudio de acciones grupales . Véase Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996). Grupos de permutación. Saltador. pag. 5.ISBN 0-387-94599-7.
^ El sentido estricto se utiliza, por ejemplo , en la teoría de categorías , donde una relación de subconjunto se modela explícitamente mediante una función de inclusión .
↑ La notación $n$ $f$ $($ $x$ $) de$ Alfred Pringsheim y Jules Molk (1907) para denotar composiciones de funciones no debe confundirse con la notación $n$ $x$ de Rudolf von Bitter Rucker (1982) , introducida por Hans Maurer (1901) y Reuben. Louis Goodstein (1947) para la tetración , o con la notación presuperíndice $n$ $x$ de David Patterson Ellerman (1995) para raíces .

Referencias

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enlaces externos

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