relación inversa

Reversal of the order of elements of a binary relation

En matemáticas , lo contrario de una relación binaria es la relación que ocurre cuando se cambia el orden de los elementos en la relación. Por ejemplo, lo inverso de la relación 'hijo de' es la relación 'padre de'. En términos formales, si y son conjuntos y es una relación desde hasta entonces la relación se define de modo que si y sólo si En notación de constructor de conjuntos , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle L^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle yL^{\operatorname {T} }x}$ ${\displaystyle xLy.}$

${\displaystyle L^{\operatorname {T} }=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in L\}.}$

Dado que una relación puede representarse mediante una matriz lógica , y la matriz lógica de la relación inversa es la transpuesta del original, la relación inversa ^{[1] [2] [3] [4]} también se llama relación de transposición . ^[5] También se le ha llamado opuesto o dual de la relación original, ^[6] o inverso de la relación original, ^{[7] [8] [9] [10]} o recíproco de la relación ^[11] ${\displaystyle L^{\circ }}$ ${\displaystyle L.}$

Otras notaciones para la relación inversa incluyen o ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },}$ ${\displaystyle L^{\vee }.}$

La notación es análoga a la de una función inversa . Aunque muchas funciones no tienen una inversa, cada relación tiene una inversa única. La operación unaria que asigna una relación a la relación inversa es una involución , por lo que induce la estructura de un semigrupo con involución en las relaciones binarias de un conjunto o, más generalmente, induce una categoría de daga en la categoría de relaciones como se detalla a continuación. . Como operación unaria , tomar lo contrario (a veces llamado conversión o transposición ) ^{[ cita necesaria ]} conmuta con las operaciones relacionadas con el orden del cálculo de relaciones, es decir, conmuta con unión, intersección y complemento.

Ejemplos

Para las relaciones de orden habituales (quizás estrictas o parciales) , lo contrario es el orden "opuesto" ingenuamente esperado, por ejemplo, ${\displaystyle {\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.}$

Una relación puede representarse mediante una matriz lógica como

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Entonces la relación inversa está representada por su matriz transpuesta :

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Las inversas de las relaciones de parentesco se denominan: " es hijo de " tiene conversa " es padre de ". " es sobrino o sobrina de " ha conversado " es tío o tía de ". La relación " es hermano de " es su propia inversa, ya que es una relación simétrica. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Propiedades

En el monoide de endorrelaciones binarias en un conjunto (siendo la operación binaria sobre relaciones la composición de relaciones ), la relación inversa no satisface la definición de inversa de la teoría de grupos, es decir, si es una relación arbitraria entonces no igual a la relación de identidad en general. La relación inversa satisface los axiomas (más débiles) de un semigrupo con involución : y ^[12] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L\circ L^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(L^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=L}$ ${\displaystyle (L\circ R)^{\operatorname {T} }=R^{\operatorname {T} }\circ L^{\operatorname {T} }.}$

Dado que generalmente se pueden considerar relaciones entre diferentes conjuntos (que forman una categoría en lugar de un monoide, es decir, la categoría de relaciones Rel ), en este contexto la relación inversa se ajusta a los axiomas de una categoría de daga (también conocida como categoría con involución). ^[12] Una relación igual a su inversa es una relación simétrica ; en el lenguaje de las categorías daga, es autoadjunto .

Además, el semigrupo de endorelaciones en un conjunto es también una estructura parcialmente ordenada (con inclusión de relaciones como conjuntos) y, en realidad, un cuantal involutivo . De manera similar, la categoría de relaciones heterogéneas , Rel , también es una categoría ordenada. ^[12]

En el cálculo de relaciones , la conversión (la operación unaria de tomar la relación inversa) conmuta con otras operaciones binarias de unión e intersección. La conversión conmuta también con la operación unaria de complementación así como con la toma de suprema e ínfima. La conversión también es compatible con el ordenamiento de las relaciones por inclusión. ^[5]

Si una relación es reflexiva , irreflexiva , simétrica , antisimétrica , asimétrica , transitiva , conexa , tricotómica , de orden parcial , de orden total , de orden débil estricto , de preorden total (orden débil) o de una relación de equivalencia , su recíproca también lo es.

Inversos

Si representa la relación de identidad, entonces una relación puede tener una inversa como sigue: se llama ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

reversible a la derecha

si existe una relación llamada ${\displaystyle X,}$inverso derecho deeso satisface ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle R\circ X=I.}$

invertible a la izquierda

si existe una relación llamada ${\displaystyle Y,}$inverso izquierdo deeso satisface ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle Y\circ R=I.}$

reversible

si es invertible a la derecha e invertible a la izquierda.

Para una relación homogénea invertible, todas las inversas derecha e izquierda coinciden; este conjunto único se llama su ${\displaystyle R,}$inversa y se denota porEn este caso,se cumple. ^{[5] : 79} ${\displaystyle R^{-1}.}$ ${\displaystyle R^{-1}=R^{\operatorname {T} }}$

Relación inversa de una función.

Una función es invertible si y sólo si su relación inversa es una función, en cuyo caso la relación inversa es la función inversa.

La relación inversa de una función es la relación definida por la ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}\subseteq Y\times X}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X:y=f(x)\}.}$

Esto no es necesariamente una función: una condición necesaria es que sea inyectiva , ya que else tiene varios valores . Esta condición es suficiente para ser una función parcial , y está claro que entonces es una función (total) si y sólo si es sobreyectiva . En ese caso, es decir, si es biyectiva , puede denominarse función inversa de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f.}$

Por ejemplo, la función tiene la función inversa. ${\displaystyle f(x)=2x+2}$ ${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}-1.}$

Sin embargo, la función tiene la relación inversa que no es una función, siendo multivaluada. ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},}$

Composición con relación

Usando la composición de relaciones , lo inverso se puede componer con la relación original. Por ejemplo, la relación de subconjunto compuesta con su inverso es siempre la relación universal:

∀A ∀B ∅ ⊂ A ∩B ⇔ A ⊃ ∅ ⊂ B ⇔ A ⊃ ⊂ B. De manera similar,

Para U = universo , A ∪ B ⊂ U ⇔ A ⊂ U ⊃ B ⇔ A ⊂ ⊃ B.

Consideremos ahora la relación de membresía del conjunto y su recíproca.

${\displaystyle A\ni z\in B\Leftrightarrow z\in A\cap B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .}$

Así, la composición opuesta es la relación universal. ${\displaystyle A\ni \in B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .}$ ${\displaystyle \in \ni }$

Las composiciones se utilizan para clasificar las relaciones según el tipo: para una relación Q , cuando la relación de identidad en el rango de Q contiene Q ^T Q , entonces Q se llama univalente . Cuando la relación de identidad en el dominio de Q está contenida en QQ ^T , entonces Q se llama total . Cuando Q es univalente y total, entonces es una función . Cuando Q ^T es univalente, entonces Q se denomina inyectivo . Cuando Q ^T es total, Q se denomina sobreyectivo . ^[13]

Si Q es univalente, entonces QQ ^T es una relación de equivalencia en el dominio de Q , consulte Relación transitiva#Propiedades relacionadas .

Ver también

• Dualidad (teoría del orden)  : término en el área matemática de la teoría del orden.
• Gráfico de transposición  : gráfico dirigido con bordes invertidos

Referencias

1. Ernst Schröder , (1895), Algebra der Logik (Exakte Logik) Dritter Band, Algebra und Logik der Relative , Leibzig: BG Teubner vía Internet Archive Página 3 Konversion
2. Bertrand Russell (1903) Principios de las matemáticas, página 97 a través de Internet Archive
3. CI Lewis (1918) Un estudio de la lógica simbólica, página 273 a través de Internet Archive
4. Schmidt, Gunther (2010). Matemática relacional. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 39.ISBN​ 978-0-521-76268-7.
5. Gunther Schmidt; Thomas Ströhlein (1993). Relaciones y gráficos: matemáticas discretas para informáticos . Springer Berlín Heidelberg. págs. 9-10. ISBN 978-3-642-77970-1.
6. Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Nearrings: algunos desarrollos vinculados a semigrupos y grupos . Editores académicos de Kluwer. pag. 3.ISBN​ 978-1-4613-0267-4.
7. Daniel J. Velleman (2006). Cómo demostrarlo: un enfoque estructurado. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 173.ISBN​ 978-1-139-45097-3.
8. Shlomo Sternberg; Lynn Loomis (2014). Cálculo avanzado . Compañía editorial científica mundial. pag. 9.ISBN​ 978-9814583930.
9. Rosen, Kenneth H. (2017). Manual de matemáticas discretas y combinatorias. Rosen, Kenneth H., Shier, Douglas R., Goddard, Wayne. (Segunda ed.). Boca Ratón, Florida. pag. 43.ISBN​ 978-1-315-15648-4. OCLC  994604351.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
10. Gerard O'Regan (2016): Guía de matemáticas discretas: una introducción accesible a la historia, la teoría, la lógica y las aplicaciones ISBN 9783319445618 
11. Peter J. Freyd y Andre Scedrov (1990) Categorías, Alegorías, página 79, Holanda Septentrional ISBN 0-444-70368-3 
12. Joachim Lambek (2001). "Relaciones antiguas y nuevas". En Ewa Orłowska ; Andrzej Szalas (eds.). Métodos relacionales para aplicaciones informáticas . Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 135-146. ISBN 978-3-7908-1365-4.
13. Gunther Schmidt y Michael Winter (2018) Topología relacional , Springer Lecture Notes in Mathematics #2208, página 8, ISBN 978-3-319-74450-6 

• Halmos, Paul R. (1974), Teoría ingenua de conjuntos , Springer, p. 40, ISBN 978-0-387-90092-6