En el campo matemático de la teoría de categorías , la categoría de conjuntos , denotada como Conjunto , es la categoría cuyos objetos son conjuntos . Las flechas o morfismos entre los conjuntos A y B son las funciones totales de A a B , y la composición de morfismos es la composición de funciones .
Muchas otras categorías (como la categoría de grupos , con homomorfismos de grupo como flechas) añaden estructura a los objetos de la categoría de conjuntos y/o restringen las flechas a funciones de un tipo particular.
Set satisface los axiomas de una categoría porque la composición de funciones es asociativa y porque cada conjunto X tiene una función de identidad id X : X → X que sirve como elemento de identidad para la composición de funciones.
Los epimorfismos en Set son los mapas sobreyectivos , los monomorfismos son los mapas inyectivos y los isomorfismos son los mapas biyectivos .
El conjunto vacío sirve como objeto inicial en Set con funciones vacías como morfismos. Cada singleton es un objeto terminal , y las funciones asignan todos los elementos de los conjuntos de origen al elemento de destino único como morfismos. Por tanto, no hay objetos cero en Set .
La categoría Conjunto es completa y co-completa . El producto de esta categoría viene dado por el producto cartesiano de conjuntos. El coproducto viene dado por la unión disjunta : dados conjuntos Ai donde i varía sobre algún conjunto de índices I , construimos el coproducto como la unión de Ai × { i } (el producto cartesiano con i sirve para asegurar que todos los componentes permanezcan desarticular).
Set es el prototipo de una categoría concreta ; otras categorías son concretas si están "construidas sobre" un conjunto de alguna manera bien definida.
Cada conjunto de dos elementos sirve como clasificador de subobjetos en Set . El objeto potencia de un conjunto A está dado por su conjunto potencia , y el objeto exponencial de los conjuntos A y B está dado por el conjunto de todas las funciones de A a B. El conjunto es pues un topos (y en particular cartesiano cerrado y exacto en el sentido de Barr ).
El conjunto no es abeliano , aditivo ni preaditivo .
Todo conjunto no vacío es un objeto inyectivo en Set . Todo conjunto es un objeto proyectivo en Conjunto (suponiendo el axioma de elección ).
Los objetos finitamente presentables en Set son los conjuntos finitos. Dado que cada conjunto es un límite directo de sus subconjuntos finitos, la categoría Conjunto es una categoría localmente presentable .
Si C es una categoría arbitraria, los functores contravariantes de C a Set suelen ser un importante objeto de estudio. Si A es un objeto de C , entonces el funtor de C a Set que envía X a Hom C ( X , A ) (el conjunto de morfismos en C de X a A ) es un ejemplo de dicho funtor. Si C es una categoría pequeña (es decir, la colección de sus objetos forma un conjunto), entonces los functores contravariantes de C a Set , junto con las transformaciones naturales como morfismos, forman una nueva categoría, una categoría de functor conocida como categoría de presheaves en C. .
En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, el conjunto de todos los conjuntos no es un conjunto; esto se sigue del axioma de fundación . Uno se refiere a las colecciones que no son conjuntos como clases propias . No se pueden manejar clases adecuadas como se manejan conjuntos; en particular, no se puede escribir que esas clases propias pertenecen a una colección (ya sea un conjunto o una clase propia). Esto es un problema porque significa que la categoría de conjuntos no puede formalizarse directamente en este contexto. Las categorías como Conjunto , cuya colección de objetos forma una clase adecuada, se conocen como categorías grandes , para distinguirlas de las categorías pequeñas cuyos objetos forman un conjunto.
Una forma de resolver el problema es trabajar en un sistema que dé estatus formal a las clases adecuadas, como la teoría de conjuntos NBG . En este contexto, se dice que las categorías formadas a partir de conjuntos son pequeñas y aquellas (como Set ) que se forman a partir de clases adecuadas se dicen que son grandes .
Otra solución es asumir la existencia de universos de Grothendieck . En términos generales, un universo de Grothendieck es un conjunto que es en sí mismo un modelo de ZF(C) (por ejemplo, si un conjunto pertenece a un universo, sus elementos y su conjunto de poderes pertenecerán al universo). La existencia de universos de Grothendieck (aparte del conjunto vacío y el conjunto de todos los conjuntos hereditariamente finitos ) no está implícita en los axiomas habituales de ZF; es un axioma adicional e independiente, aproximadamente equivalente a la existencia de cardenales fuertemente inaccesibles . Asumiendo este axioma adicional, se pueden limitar los objetos de Set a los elementos de un universo particular. (No existe un "conjunto de todos los conjuntos" dentro del modelo, pero aún se puede razonar sobre la clase U de todos los conjuntos internos, es decir, elementos de U ).
En una variación de este esquema, la clase de conjuntos es la unión de toda la torre de universos de Grothendieck. (Esta es necesariamente una clase adecuada , pero cada universo de Grothendieck es un conjunto porque es un elemento de algún universo de Grothendieck más grande). Sin embargo, no se trabaja directamente con la "categoría de todos los conjuntos". En cambio, los teoremas se expresan en términos de la categoría Conjunto U cuyos objetos son los elementos de un universo de Grothendieck U suficientemente grande , y luego se demuestra que no dependen de la elección particular de U. Como base para la teoría de categorías , este enfoque se adapta bien a un sistema como la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck en el que no se puede razonar directamente sobre las clases adecuadas; su principal desventaja es que un teorema puede ser cierto para todo el conjunto U pero no para el conjunto .
Se han propuesto varias otras soluciones y variaciones de las anteriores. [1] [2] [3]
Los mismos problemas surgen con otras categorías concretas, como la categoría de grupos o la categoría de espacios topológicos .
