epimorfismo

Homomorfismo sobreyectivo

En teoría de categorías , un epimorfismo (también llamado morfismo épico o, coloquialmente, epi ) es un morfismo f  : X → Y que es cancelativo por la derecha en el sentido de que, para todos los objetos Z y todos los morfismos g ₁ , g ₂ : Y → Z ,

${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\implies g_{1}=g_{2}.}$

Los epimorfismos son análogos categóricos de funciones sobreyectivas o sobreyectivas (y en la categoría de conjuntos el concepto corresponde exactamente a las funciones sobreyectivas), pero es posible que no coincidan exactamente en todos los contextos; por ejemplo, la inclusión es un epimorfismo de anillo. El dual de un epimorfismo es un monomorfismo (es decir, un epimorfismo en una categoría C es un monomorfismo en la categoría dual C ^op ). ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$

Muchos autores de álgebra abstracta y álgebra universal definen un epimorfismo simplemente como un homomorfismo onto o sobreyectivo . Todo epimorfismo en este sentido algebraico es un epimorfismo en el sentido de la teoría de categorías, pero lo contrario no es cierto en todas las categorías. En este artículo, el término "epimorfismo" se utilizará en el sentido de teoría de categorías indicado anteriormente. Para obtener más información sobre esto, consulte § Terminología a continuación.

Ejemplos

Todo morfismo en una categoría concreta cuya función subyacente es sobreyectiva es un epimorfismo. En muchas categorías concretas de interés también ocurre lo contrario. Por ejemplo, en las siguientes categorías, los epimorfismos son exactamente aquellos morfismos que son sobreyectivos en los conjuntos subyacentes:

• Conjunto : conjuntos y funciones. Para demostrar que todo epimorfismo f : X → Y en Set es sobreyectivo, lo componemos tanto con la función característica g ₁ : Y → {0,1} de la imagen f ( X ) como con el mapa g ₂ : Y → {0 ,1} que es constante 1.
• Rel : conjuntos con relaciones binarias y funciones que preservan las relaciones. Aquí podemos usar la misma prueba que para Set , equipando {0,1} con la relación completa {0,1}×{0,1}.
• Pos : conjuntos parcialmente ordenados y funciones monótonas . Si f  : ( X , ≤) → ( Y , ≤) no es sobreyectiva, elija y ₀ en Y \ f ( X ) y sea g ₁  : Y → {0,1} la función característica de { y | y ₀ ≤ y } y g ₂  : Y → {0,1} la función característica de { y | y ₀ < y }. Estos mapas son monótonos si a {0,1} se le da el orden estándar 0 < 1.
• Grp : grupos y homomorfismos de grupo . El resultado de que cada epimorfismo en Grp es sobreyectivo se debe a Otto Schreier (en realidad demostró más, mostrando que cada subgrupo es un ecualizador utilizando el producto libre con un subgrupo amalgamado); se puede encontrar una prueba elemental en (Linderholm 1970).
• FinGrp : grupos finitos y homomorfismos de grupo. También gracias a Schreier; la prueba dada en (Linderholm 1970) establece este caso también.
• Ab : grupos abelianos y homomorfismos de grupo.
• K -Vect :espacios vectorialessobre uncampo Ky K -transformaciones lineales.
• Mod - R : módulos derechos sobre un anillo R y homomorfismos de módulos . Esto generaliza los dos ejemplos anteriores; Para demostrar que cada epimorfismo f : X → Y en Mod - R es sobreyectivo, lo componemos tanto con el mapa de cociente canónico g ₁ : Y → Y / f ( X ) como con el mapa cero g ₂ : Y → Y / f ( X ).
• Arriba : espacios topológicos y funciones continuas . Para demostrar que cada epimorfismo en Top es sobreyectivo, procedemos exactamente como en Set , dando {0,1} la topología indiscreta , que asegura que todos los mapas considerados sean continuos.
• HComp : espacios compactos de Hausdorff y funciones continuas. Si f : X → Y no es sobreyectiva, sea y  ∈  Y  −  fX . Dado que fX es cerrado, según el lema de Urysohn existe una función continua g ₁ : Y → [0,1] tal que g ₁ es 0 en fX y 1 en y . Componemos f tanto con g ₁ como con la función cero g ₂ : Y → [0,1].

Sin embargo, también hay muchas categorías concretas de interés en las que los epimorfismos no logran ser sobreyectivos. Algunos ejemplos son:

• En la categoría de monoides , Mon , el mapa de inclusión N → Z es un epimorfismo no sobreyectivo. Para ver esto, supongamos que g ₁ y g ₂ son dos aplicaciones distintas de Z a algún monoide M. Entonces, para algún n en Z , g ₁ ( n ) ≠ g ₂ ( n ), entonces g ₁ (− n ) ≠ g ₂ (− n ). Ya sea n o − n está en N , por lo que las restricciones de g ₁ y g ₂ a N son desiguales.
• En la categoría de álgebras sobre anillo conmutativo R , tome R [ N ] → R [ Z ], donde R [ G ] es el anillo grupal del grupo G y el morfismo es inducido por la inclusión N → Z como en el ejemplo anterior . Esto se desprende de la observación de que 1 genera el álgebra R [ Z ] (tenga en cuenta que la unidad en R [ Z ] está dada por 0 de Z ), y el inverso del elemento representado por n en Z es solo el elemento representado por - n . Por tanto, cualquier homomorfismo de R [ Z ] está determinado únicamente por su valor en el elemento representado por 1 de Z .
• En la categoría de anillos , Ring , el mapa de inclusión Z → Q es un epimorfismo no sobreyectivo; Para ver esto, tenga en cuenta que cualquier homomorfismo de anillo en Q está determinado completamente por su acción sobre Z , similar al ejemplo anterior. Un argumento similar muestra que el homomorfismo de anillo natural de cualquier anillo conmutativo R a cualquiera de sus localizaciones es un epimorfismo.
• En la categoría de anillos conmutativos , un homomorfismo de anillos f  : R → S generado finitamente es un epimorfismo si y sólo si para todos los ideales primos P de R , el ideal Q generado por f ( P ) es S o es primo, y si Q no es S , el mapa inducido Frac ( R / P ) → Frac( S / Q ) ​​es un isomorfismo ( EGA IV 17.2.6).
• En la categoría de espacios de Hausdorff, Haus , los epimorfismos son precisamente las funciones continuas con imágenes densas . Por ejemplo, el mapa de inclusión Q → R , es un epimorfismo no sobreyectivo.

Lo anterior difiere del caso de los monomorfismos donde con mayor frecuencia es cierto que los monomorfismos son precisamente aquellos cuyas funciones subyacentes son inyectivas .

En cuanto a ejemplos de epimorfismos en categorías no concretas:

• Si se considera un monoide o un anillo como una categoría con un solo objeto (composición de morfismos dada por multiplicación), entonces los epimorfismos son precisamente los elementos cancelables por la derecha.
• Si un grafo dirigido se considera una categoría (los objetos son los vértices, los morfismos son los caminos, la composición de los morfismos es la concatenación de caminos), entonces cada morfismo es un epimorfismo.

Propiedades

Todo isomorfismo es un epimorfismo; de hecho, sólo se necesita una inversa del lado derecho: si existe un morfismo j  : Y → X tal que fj = id _Y , entonces f : X → Y se ve fácilmente como un epimorfismo. Un mapa con una inversa del lado derecho se llama epi dividido . En un topos , un mapa que es a la vez un morfismo mónico y un epimorfismo es un isomorfismo.

La composición de dos epimorfismos es nuevamente un epimorfismo. Si la composición fg de dos morfismos es un epimorfismo, entonces f debe ser un epimorfismo.

Como muestran algunos de los ejemplos anteriores, la propiedad de ser un epimorfismo no está determinada únicamente por el morfismo, sino también por la categoría de contexto. Si D es una subcategoría de C , entonces cada morfismo en D que es un epimorfismo cuando se considera un morfismo en C también es un epimorfismo en D. Sin embargo, no es necesario que ocurra lo contrario; la categoría más pequeña puede (y a menudo tendrá) más epimorfismos.

Como ocurre con la mayoría de los conceptos en la teoría de categorías, los epimorfismos se conservan bajo equivalencias de categorías : dada una equivalencia F  : C → D , un morfismo f es un epimorfismo en la categoría C si y solo si F ( f ) es un epimorfismo en D . Una dualidad entre dos categorías convierte los epimorfismos en monomorfismos y viceversa.

La definición de epimorfismo puede reformularse para afirmar que f  : X → Y es un epimorfismo si y sólo si los mapas inducidos

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gf\end{matrix}}}$

son inyectivos para cada elección de Z . Esto a su vez es equivalente a la transformación natural inducida.

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,-)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,-)\end{matrix}}}$

siendo un monomorfismo en la categoría de functores Conjunto ^C.

Cada coecualizador es un epimorfismo, una consecuencia del requisito de unicidad en la definición de coecualizadores. En particular, se deduce que cada cokernel es un epimorfismo. Lo contrario, es decir, que todo epimorfismo sea un coecualizador, no es cierto en todas las categorías.

En muchas categorías es posible escribir cada morfismo como la composición de un epimorfismo seguido de un monomorfismo. Por ejemplo, dado un homomorfismo de grupo f  : G → H , podemos definir el grupo K = im( f ) y luego escribir f como la composición del homomorfismo sobreyectivo G → K que se define como f , seguido del homomorfismo inyectivo K → H que envía cada elemento a sí mismo. Tal factorización de un morfismo arbitrario en un epimorfismo seguido de un monomorfismo se puede llevar a cabo en todas las categorías abelianas y también en todas las categorías concretas mencionadas anteriormente en los § Ejemplos (aunque no en todas las categorías concretas).

Conceptos relacionados

Entre otros conceptos útiles se encuentran el epimorfismo regular , el epimorfismo extremo , el epimorfismo inmediato , el epimorfismo fuerte y el epimorfismo dividido .

• Se dice que un epimorfismo es regular si es un coecualizador de algún par de morfismos paralelos.
• Un epimorfismo se dice que es extremo ^[1] si en cada representación , donde hay un monomorfismo , el morfismo es automáticamente un isomorfismo . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varphi }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$
• Un epimorfismo se dice que es inmediato si en cada representación , donde hay un monomorfismo y hay un epimorfismo, el morfismo es automáticamente un isomorfismo . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varepsilon '}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon '}$ ${\displaystyle \mu }$

• Se dice que un epimorfismo es fuerte ^{[1] [2]} si para cualquier monomorfismo y cualquier morfismo y tal que , existe un morfismo tal que y . ${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$ ${\displaystyle \mu :C\to D}$ ${\displaystyle \alpha :A\to C}$ ${\displaystyle \beta :B\to D}$ ${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$ ${\displaystyle \delta :B\to C}$ ${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$ ${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$
• Se dice que un epimorfismo está dividido si existe un morfismo tal que (en este caso se llama inverso del lado derecho de ). ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

También existe la noción de epimorfismo homológico en la teoría de anillos. Un morfismo f : A → B de anillos es un epimorfismo homológico si es un epimorfismo e induce un funtor completo y fiel en categorías derivadas : D( f ) : D( B ) → D( A ).

Un morfismo que es a la vez monomorfismo y epimorfismo se llama bimorfismo . Todo isomorfismo es un bimorfismo, pero lo contrario no es cierto en general. Por ejemplo, el mapa del intervalo semiabierto [0,1) al círculo unitario S ¹ (considerado como un subespacio del plano complejo ) que envía x a exp(2πi x ) (ver la fórmula de Euler ) es continuo y biyectivo pero no homeomorfismo ya que el mapa inverso no es continuo en 1, por lo que es un ejemplo de bimorfismo que no es un isomorfismo en la categoría Top . Otro ejemplo es la incorporación de Q  → R en la categoría Haus ; como se señaló anteriormente, es un bimorfismo, pero no es biyectivo y, por lo tanto, no es un isomorfismo. De manera similar, en la categoría de anillos , el mapa Z  → Q es un bimorfismo pero no un isomorfismo.

Los epimorfismos se utilizan para definir objetos cocientes abstractos en categorías generales: se dice que dos epimorfismos f ₁  : X → Y ₁ y f ₂  : X → Y ₂ son equivalentes si existe un isomorfismo j  : Y ₁ → Y ₂ con j  f ₁ = f ₂ . Esta es una relación de equivalencia y las clases de equivalencia se definen como los objetos cocientes de X.

Terminología

Los términos acompañantes epimorfismo y monomorfismo fueron introducidos por primera vez por Bourbaki . Bourbaki utiliza el epimorfismo como abreviatura de una función sobreyectiva . Los primeros teóricos de categorías creían que los epimorfismos eran el análogo correcto de las sobrejecciones en una categoría arbitraria, de manera similar a cómo los monomorfismos son casi un análogo exacto de las inyecciones. Lamentablemente esto es incorrecto; Los epimorfismos fuertes o regulares se comportan mucho más estrechamente con las sobrejecciones que los epimorfismos ordinarios. Saunders Mac Lane intentó crear una distinción entre epimorfismos , que eran mapas en una categoría concreta cuyos mapas subyacentes eran sobreyectivos, y morfismos épicos , que son epimorfismos en el sentido moderno. Sin embargo, esta distinción nunca tuvo éxito.

Es un error común creer que los epimorfismos son idénticos a las sobrejecciones o que son un concepto mejor. Por desgracia, esto no suele ser el caso; Los epimorfismos pueden ser muy misteriosos y tener un comportamiento inesperado. Es muy difícil, por ejemplo, clasificar todos los epimorfismos de los anillos. En general, los epimorfismos son un concepto único, relacionado con las sobrejecciones pero fundamentalmente diferentes.

Ver también

• Lista de temas de teoría de categorías
• monomorfismo

Notas

1. Borceux 1994.
2. Tsalenko y Shulgeifer 1974.

Referencias

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.
• Bergman, George (2015). Una invitación al álgebra general y las construcciones universales. Saltador. ISBN 978-3-319-11478-1.
• Borceux, Francisco (1994). Manual de álgebra categórica. Volumen 1: Teoría básica de categorías . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521061193.
• Riehl, Emily (2016). Teoría de categorías en contexto. Publicaciones de Dover, Inc Mineola, Nueva York. ISBN 9780486809038.
• Tsalenko, MS; Shulgeifer, EG (1974). Fundamentos de la teoría de categorías . Nauka. ISBN 5-02-014427-4.
• "Epimorfismo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2015). Conjuntos para Matemáticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-80444-8.
• Linderholm, Carl (1970). "Un epimorfismo de grupo es sobreyectivo". Mensual Matemático Estadounidense . 77 (2): 176–177. doi :10.1080/00029890.1970.11992448.

enlaces externos

• epimorfismo en el n Lab
• Fuerte epimorfismo en el n Lab.