Espacio vectorial

Estructura algebraica en álgebra lineal.

Suma de vectores y multiplicación escalar: un vector v (azul) se suma a otro vector w (rojo, ilustración superior). A continuación, w se amplía por un factor de 2, lo que produce la suma v + 2 w .

En matemáticas y física , un espacio vectorial (también llamado espacio lineal ) es un conjunto cuyos elementos, a menudo llamados vectores , pueden sumarse y multiplicarse ("escalarse") por números llamados escalares . Los escalares suelen ser números reales , pero pueden ser números complejos o, más generalmente, elementos de cualquier campo . Las operaciones de suma de vectores y multiplicación escalar deben satisfacer ciertos requisitos, llamados axiomas vectoriales . El espacio vectorial real y el espacio vectorial complejo son tipos de espacios vectoriales basados ​​en diferentes tipos de escalares: espacio de coordenadas real o espacio de coordenadas complejo .

Los espacios vectoriales generalizan los vectores euclidianos , que permiten modelar cantidades físicas , como fuerzas y velocidades , que no sólo tienen una magnitud , sino también una dirección . El concepto de espacios vectoriales es fundamental para el álgebra lineal , junto con el concepto de matrices , que permite calcular en espacios vectoriales. Esto proporciona una forma concisa y sintética de manipular y estudiar sistemas de ecuaciones lineales .

Los espacios vectoriales se caracterizan por su dimensión , que, en términos generales, especifica el número de direcciones independientes en el espacio. Esto significa que, para dos espacios vectoriales sobre un campo dado y con la misma dimensión, las propiedades que dependen sólo de la estructura del espacio vectorial son exactamente las mismas (técnicamente los espacios vectoriales son isomorfos ). Un espacio vectorial es de dimensión finita si su dimensión es un número natural . De lo contrario, es de dimensión infinita y su dimensión es un cardinal infinito . Los espacios vectoriales de dimensión finita ocurren naturalmente en geometría y áreas relacionadas. Los espacios vectoriales de dimensión infinita ocurren en muchas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, los anillos polinomiales son espacios vectoriales contablemente de dimensión infinita, y muchos espacios funcionales tienen la cardinalidad del continuo como dimensión.

Muchos espacios vectoriales que se consideran en matemáticas también están dotados de otras estructuras . Es el caso de las álgebras , que incluyen extensiones de campo , anillos polinómicos, álgebras asociativas y álgebras de Lie . Este es también el caso de los espacios vectoriales topológicos , que incluyen espacios funcionales, espacios de productos internos , espacios normados , espacios de Hilbert y espacios de Banach .

Definición y propiedades básicas.

En este artículo, los vectores se representan en negrita para distinguirlos de los escalares. ^{[nota 1] [1]}

Un espacio vectorial sobre un campo F es un conjunto  V no vacío junto con una operación binaria y una función binaria que satisfacen los ocho axiomas que se enumeran a continuación. En este contexto, a los elementos de V se les llama comúnmente vectores , y a los elementos de  F se les llama escalares . ^[2]

• La operación binaria, llamada suma de vectores o simplemente suma , asigna a dos vectores cualesquiera  v y w en V un tercer vector en V que comúnmente se escribe como v + w y se llama suma de estos dos vectores.

• La función binaria, llamada multiplicación escalar , asigna a cualquier escalar  a en F y a cualquier vector  v en V otro vector en V , que se denota  como v . ^{[nota 2]}

Para tener un espacio vectorial, se deben satisfacer los ocho axiomas siguientes para cada u , v y w en V , y a y b en F. ^[3]

Cuando el campo escalar son los números reales , el espacio vectorial se llama espacio vectorial real , y cuando el campo escalar son los números complejos , el espacio vectorial se llama espacio vectorial complejo . ^[4] Estos dos casos son los más comunes, pero también se consideran comúnmente espacios vectoriales con escalares en un campo arbitrario F. Tal espacio vectorial se llama espacio vectorial F o espacio vectorial sobre F . ^[5]

Se puede dar una definición equivalente de espacio vectorial, que es mucho más concisa pero menos elemental: los primeros cuatro axiomas (relacionados con la suma de vectores) dicen que un espacio vectorial es un grupo abeliano bajo suma, y ​​los cuatro axiomas restantes (relacionados con la multiplicación escalar) dicen que esta operación define un homomorfismo de anillo del campo F al anillo de endomorfismo de este grupo. ^[6]

La resta de dos vectores se puede definir como

$${\displaystyle \mathbf {v} -\mathbf {w} =\mathbf {v} +(-\mathbf {w} ).}$$

Las consecuencias directas de los axiomas incluyen que, para todos y cada uno de nosotros ${\displaystyle s\in F}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V,}$

• ${\displaystyle 0\mathbf {v} =\mathbf {0} ,}$
• ${\displaystyle s\mathbf {0} =\mathbf {0} ,}$
• ${\displaystyle (-1)\mathbf {v} =-\mathbf {v} ,}$
• ${\displaystyle s\mathbf {v} =\mathbf {0} }$implica o ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} .}$

De manera aún más concisa, un espacio vectorial es un módulo sobre un campo . ^[7]

Bases, coordenadas vectoriales y subespacios.

Un vector v en R ² (azul) expresado en términos de diferentes bases: usando la base estándar de R ² : v = x e ₁ + y e ₂ (negro), y usando una base diferente, no ortogonal : v = f ₁ + f ₂ (rojo).

Combinación lineal

Dado un conjunto G de elementos de un espacio vectorial F V , una combinación lineal de elementos de G es un elemento de V de la forma

$${\displaystyle a_{1}\mathbf {g} _{1}+a_{2}\mathbf {g} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {g} _{k},}$$

donde y Los escalares se denominan coeficientes de la combinación lineal. ^[8] ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}\in F}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{1},\ldots ,\mathbf {g} _{k}\in G.}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$

Independencia lineal

Se dice que los elementos de un subconjunto G de un espacio vectorial F V son linealmente independientes si ningún elemento de G puede escribirse como una combinación lineal de los otros elementos de G. De manera equivalente, son linealmente independientes si dos combinaciones lineales de elementos de G definen el mismo elemento de V si y sólo si tienen los mismos coeficientes. También de manera equivalente, son linealmente independientes si una combinación lineal da como resultado el vector cero si y solo si todos sus coeficientes son cero. ^[9]

Subespacio lineal

Un subespacio lineal o subespacio vectorial W de un espacio vectorial V es un subconjunto no vacío de V que está cerrado bajo suma de vectores y multiplicación escalar; es decir, la suma de dos elementos de W y el producto de un elemento de W por un escalar pertenecen a W. ^[10] Esto implica que toda combinación lineal de elementos de W pertenece a W. Un subespacio lineal es un espacio vectorial para la suma inducida y la multiplicación escalar; esto significa que la propiedad de cierre implica que se satisfacen los axiomas de un espacio vectorial. ^[11]
La propiedad de cierre también implica que cada intersección de subespacios lineales es un subespacio lineal. ^[11]

tramo lineal

Dado un subconjunto G de un espacio vectorial V , el tramo lineal o simplemente el tramo de G es el subespacio lineal más pequeño de V que contiene a G , en el sentido de que es la intersección de todos los subespacios lineales que contienen a G. El lapso de G es también el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de G.
Si W es el tramo de G , se dice que G abarca o genera W , y que G es un conjunto generador o generador de W. ^[12]

Base y dimensión

Un subconjunto de un espacio vectorial es una base si sus elementos son linealmente independientes y abarcan el espacio vectorial. ^[13] Todo espacio vectorial tiene al menos una base, o muchas en general (ver Bases (álgebra lineal) § Demostración de que todo espacio vectorial tiene una base ). ^[14] Además, todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad , que se denomina dimensión del espacio vectorial (ver Teorema de dimensión para espacios vectoriales ). ^[15] Esta es una propiedad fundamental de los espacios vectoriales, que se detalla en el resto de la sección.

Las bases son una herramienta fundamental para el estudio de espacios vectoriales, especialmente cuando la dimensión es finita. En el caso de dimensión infinita, la existencia de bases infinitas, a menudo llamadas bases de Hamel , depende del axioma de elección . De ello se deduce que, en general, ninguna base puede describirse explícitamente. ^[16] Por ejemplo, los números reales forman un espacio vectorial de dimensión infinita sobre los números racionales , para el cual no se conoce ninguna base específica.

Considere una base de un espacio vectorial V de dimensión n sobre un campo F. La definición de base implica que cada una puede escribirse. ${\displaystyle (\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {b} _{n},}$$

Fcoordenadasvcoeficientesvnvector de coordenadasvnFla suma de componentesn ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle F^{n}}$

La correspondencia uno a uno entre los vectores y sus vectores de coordenadas asigna la suma de vectores a la suma de vectores y la multiplicación escalar a la multiplicación escalar. Se trata, pues, de un isomorfismo del espacio vectorial , que permite traducir razonamientos y cálculos sobre vectores en razonamientos y cálculos sobre sus coordenadas. ^[17]

Un subespacio lineal o subespacio vectorial W de un espacio vectorial V es un subconjunto no vacío de V que está cerrado bajo suma de vectores y multiplicación escalar; es decir, la suma de dos elementos de W y el producto de un elemento de W por un escalar pertenecen a W. ^[10] Esto implica que toda combinación lineal de elementos de W pertenece a W. Un subespacio lineal es un espacio vectorial para la suma inducida y la multiplicación escalar; esto significa que la propiedad de cierre implica que se satisfacen los axiomas de un espacio vectorial. La propiedad de cierre también implica que cada intersección de subespacios lineales es un subespacio lineal. ^[11]

Historia

Los espacios vectoriales surgen de la geometría afín , mediante la introducción de coordenadas en el plano o espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses René Descartes y Pierre de Fermat fundaron la geometría analítica identificando soluciones a una ecuación de dos variables con puntos en una curva plana . ^[18] Para lograr soluciones geométricas sin utilizar coordenadas, Bolzano introdujo, en 1804, ciertas operaciones sobre puntos, rectas y planos, que son predecesores de los vectores. ^[19] Möbius (1827) introdujo la noción de coordenadas baricéntricas . ^[20] Bellavitis (1833) introdujo una relación de equivalencia en segmentos de línea dirigidos que comparten la misma longitud y dirección a la que llamó equipolencia . ^[21] Un vector euclidiano es entonces una clase de equivalencia de esa relación. ^[22]

Los vectores fueron reconsiderados con la presentación de los números complejos por parte de Argand y Hamilton y la aparición de los cuaterniones por parte de este último. ^[23] Son elementos en R ² y R ⁴ ; su tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió sistemas de ecuaciones lineales .

En 1857, Cayley introdujo la notación matricial que permite la armonización y simplificación de mapas lineales . Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Imaginó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones. ^[24] En su obra están presentes los conceptos de independencia lineal y dimensión , así como productos escalares . El trabajo de Grassmann de 1844 también excede el marco de los espacios vectoriales, ya que su consideración de la multiplicación lo llevó a lo que hoy se llama álgebras . El matemático italiano Peano fue el primero en dar la definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888, ^[25] aunque los llamó "sistemas lineales". ^[26] La axiomatización de Peano permitía espacios vectoriales con dimensión infinita, pero Peano no desarrolló más esa teoría. En 1897, Salvatore Pincherle adoptó los axiomas de Peano e hizo sus primeros avances en la teoría de los espacios vectoriales de dimensión infinita. ^[27]

Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de espacios funcionales por parte de Henri Lebesgue . Esto fue formalizado más tarde por Banach y Hilbert , alrededor de 1920. ^[28] En ese momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional comenzaron a interactuar, notablemente con conceptos clave como espacios de funciones p -integrables y espacios de Hilbert . ^[29]

Ejemplos

Flechas en el avión

El primer ejemplo de un espacio vectorial consta de flechas en un plano fijo , comenzando en un punto fijo. Esto se utiliza en física para describir fuerzas o velocidades . ^[30] Dadas dos de estas flechas, v y w , el paralelogramo abarcado por estas dos flechas contiene una flecha diagonal que también comienza en el origen. Esta nueva flecha se llama suma de las dos flechas y se denota v + w . En el caso especial de dos flechas en la misma recta, su suma es la flecha de esta recta cuya longitud es la suma o la diferencia de las longitudes, dependiendo de si las flechas tienen la misma dirección. Otra operación que se puede hacer con flechas es el escalado: dado cualquier número real positivo a , la flecha que tiene la misma dirección que v , pero se dilata o encoge al multiplicar su longitud por a , se llama multiplicación de v por a . Se denota como v . Cuando a es negativo, a v se define como la flecha que apunta en la dirección opuesta. ^[31]

A continuación se muestran algunos ejemplos: si a = 2 , el vector resultante a w tiene la misma dirección que w , pero se estira hasta el doble de longitud de w (la segunda imagen). De manera equivalente, 2 w es la suma w + w . Además, (−1) v = − v tiene la dirección opuesta y la misma longitud que v (vector azul apuntando hacia abajo en la segunda imagen).

pares ordenados de números

Un segundo ejemplo clave de un espacio vectorial lo proporcionan los pares de números reales x e y . El orden de los componentes xey es significativo , por lo que dicho par también se denomina par ordenado . Tal par se escribe como ( x , y ) . La suma de dos de estos pares y la multiplicación de un par por un número se define de la siguiente manera: ^[32]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})&=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),\\a(x,y)&=(ax,ay).\end{aligned}}}$$

El primer ejemplo anterior se reduce a este ejemplo si una flecha está representada por un par de coordenadas cartesianas de su punto final.

Espacio de coordenadas

El ejemplo más simple de un espacio vectorial sobre un campo F es el propio campo F (ya que es un grupo abeliano para la suma, parte de los requisitos para ser un campo ), equipado con su suma (se convierte en suma vectorial) y multiplicación. (Se convierte en multiplicación escalar). De manera más general, todas las n -tuplas (secuencias de longitud n )

$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$$

a _iFF ⁿespacio de coordenadas^[33]n = 1FF = Rn = 2R ²

Números complejos y otras extensiones de campo.

El conjunto de números complejos C , números que se pueden escribir en la forma x + iy para los números reales x e y donde i es la unidad imaginaria , forman un espacio vectorial sobre los reales con la suma y multiplicación habitual: ( x + iy ) + ( a + ib ) = ( x + a ) + i ( y + b ) y c ⋅ ( x + iy ) = ( c ⋅ x ) + i ( c ⋅ y ) para números reales x , y , a , b y C . Los diversos axiomas de un espacio vectorial se derivan del hecho de que las mismas reglas se aplican a la aritmética de números complejos. El ejemplo de números complejos es esencialmente el mismo (es decir, es isomorfo ) al espacio vectorial de pares ordenados de números reales mencionado anteriormente: si pensamos que el número complejo x + i y representa el par ordenado ( x , y ) en el plano complejo entonces vemos que las reglas para la suma y la multiplicación escalar corresponden exactamente a las del ejemplo anterior.

De manera más general, las extensiones de campo proporcionan otra clase de ejemplos de espacios vectoriales, particularmente en álgebra y teoría algebraica de números : un campo F que contiene un campo más pequeño E es un E -espacio vectorial, según las operaciones de multiplicación y suma dadas de F. [ ^34] Por ejemplo, los números complejos son un espacio vectorial sobre R , y la extensión del campo es un espacio vectorial sobre Q. ${\displaystyle \mathbf {Q} (i{\sqrt {5}})}$

Espacios funcionales

Suma de funciones: la suma del seno y la función exponencial es con . ${\displaystyle \sin +\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)}$

Las funciones de cualquier conjunto fijo Ω a un campo F también forman espacios vectoriales, realizando la suma y la multiplicación escalar puntualmente. Es decir, la suma de dos funciones f y g es la función dada por ${\displaystyle (f+g)}$

$${\displaystyle (f+g)(w)=f(w)+g(w),}$$

eslínea realintervalosubconjuntosR. continuidadintegrabilidaddiferenciabilidad,^[35]análisis funcional

Ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneas están estrechamente ligados a los espacios vectoriales. ^[36] Por ejemplo, las soluciones de

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}&&a\,&&+\,3b\,&\,+&\,&c&\,=0\\4&&a\,&&+\,2b\,&\,+&\,2&c&\,=0\\\end{alignedat}}}$$

Las matrices ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b=a/2,}$ ${\displaystyle c=-5a/2.}$

$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} ,}$$

donde es la matriz que contiene los coeficientes de las ecuaciones dadas, es el vector que denota el producto matricial y es el vector cero. De manera similar, las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas forman espacios vectoriales. Por ejemplo, ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle (a,b,c),}$ ${\displaystyle A\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0)}$

$${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)+2f^{\prime }(x)+f(x)=0}$$

produce donde y son constantes arbitrarias, y es la función exponencial natural . ${\displaystyle f(x)=ae^{-x}+bxe^{-x},}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle e^{x}}$

Mapas lineales y matrices.

La relación de dos espacios vectoriales se puede expresar mediante aplicación lineal o transformación lineal . Son funciones que reflejan la estructura del espacio vectorial, es decir, conservan sumas y multiplicaciones escalares:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} ),\\f(a\cdot \mathbf {v} )&=a\cdot f(\mathbf {v} )\end{aligned}}}$$

^[37] ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F.}$

Un isomorfismo es una aplicación lineal f  : V → W tal que existe una aplicación inversa g  : W → V , que es una aplicación tal que las dos posibles composiciones f ∘ g  : W → W y g ∘ f  : V → V son mapas de identidad . De manera equivalente, f es tanto uno a uno ( inyectivo ) como sobre ( sobreyectivo ). ^[38] Si existe un isomorfismo entre V y W , se dice que los dos espacios son isomorfos ; entonces son esencialmente idénticos a los espacios vectoriales, ya que todas las identidades que se mantienen en V son, vía f , transportadas a otras similares en W , y viceversa vía g .

Describir un vector de flecha v por sus coordenadas xey produce un isomorfismo de espacios vectoriales.

Por ejemplo, las flechas en el plano y los pares ordenados de espacios vectoriales de números en la introducción anterior (ver § Ejemplos) son isomórficos: una flecha plana v que parte del origen de algún sistema de coordenadas (fijo) se puede expresar como un par ordenado. considerando las componentes x e y de la flecha, como se muestra en la imagen de la derecha. Por el contrario, dado un par ( x , y ) , la flecha que pasa por x hacia la derecha (o hacia la izquierda, si x es negativa) y y hacia arriba (hacia abajo, si y es negativa) hace retroceder la flecha v . ^[39]

Los mapas lineales V → W entre dos espacios vectoriales forman un espacio vectorial Hom _F ( V , W ) , también denotado L ( V , W ) o 𝓛 ( V , W ) . ^[40] El espacio de aplicaciones lineales de V a F se llama espacio vectorial dual , denotado V ^∗ . ^[41] A través del mapa natural inyectivo V → V ^∗∗ , cualquier espacio vectorial puede incrustarse en su bidual ; el mapa es un isomorfismo si y sólo si el espacio es de dimensión finita. ^[42]

Una vez que se elige una base de V , los mapas lineales f  : V → W se determinan completamente especificando las imágenes de los vectores base, porque cualquier elemento de V se expresa únicamente como una combinación lineal de ellos. ^[43] Si tenue V = tenue W , una correspondencia 1 a 1 entre bases fijas de V y W da lugar a un mapa lineal que asigna cualquier elemento base de V al elemento base correspondiente de W. Es un isomorfismo, por su propia definición. ^[44] Por lo tanto, dos espacios vectoriales sobre un campo dado son isomorfos si sus dimensiones coinciden y viceversa. Otra forma de expresar esto es que cualquier espacio vectorial sobre un campo dado está completamente clasificado ( hasta el isomorfismo) por su dimensión, un solo número. En particular, cualquier espacio vectorial F n -dimensional V es isomorfo a F ⁿ . Sin embargo, no existe un isomorfismo "canónico" o preferido; un isomorfismo φ  : F ⁿ → V es equivalente a la elección de una base de V , mapeando la base estándar de F ⁿ a V , vía φ .

matrices

Una matriz típica

Las matrices son una noción útil para codificar mapas lineales. ^[45] Están escritos como una matriz rectangular de escalares como en la imagen de la derecha. Cualquier matriz m por n da lugar a un mapa lineal de F ⁿ a F ^m , por la siguiente ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\ldots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right),}$$

sumatoriamultiplicación matricial ${\textstyle \sum }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x} .}$$

Además, después de elegir las bases de V y W , cualquier aplicación lineal f  : V → W se representa de forma única mediante una matriz mediante esta asignación. ^[46]

El volumen de este paralelepípedo es el valor absoluto del determinante de la matriz de 3 por 3 formada por los vectores r ₁ , r ₂ y r ₃ .

El determinante det ( A ) de una matriz cuadrada A es un escalar que indica si la aplicación asociada es un isomorfismo o no: para serlo es suficiente y necesario que el determinante sea distinto de cero. ^[47] La ​​transformación lineal de R ⁿ correspondiente a una matriz real n por n conserva la orientación si y sólo si su determinante es positivo.

Valores propios y vectores propios

Los endomorfismos , aplicaciones lineales f  : V → V , son particularmente importantes ya que en este caso los vectores v se pueden comparar con su imagen bajo f , f ( v ) . Cualquier vector v distinto de cero que satisfaga λ v = f ( v ) , donde λ es un escalar, se denomina vector propio de f con valor propio λ . ^[48] ​​De manera equivalente, v es un elemento del núcleo de la diferencia f − λ · Id (donde Id es el mapa de identidad V → V ) . Si V es de dimensión finita, esto se puede reformular usando determinantes: f que tiene un valor propio λ es equivalente a

$${\displaystyle \det(f-\lambda \cdot \operatorname {Id} )=0.}$$

λpolinomio característicof^[49]FF algebraicamente cerradoF = CVbase propiaJordania . ^[50]fespacio propiof

Construcciones basicas

Además de los ejemplos concretos anteriores, hay una serie de construcciones algebraicas lineales estándar que producen espacios vectoriales relacionados con los dados.

Subespacios y espacios cocientes

Una recta que pasa por el origen (azul, gruesa) en R 3 es un subespacio lineal. Es la intersección de dos planos (verde y amarillo).

Un subconjunto no vacío de un espacio vectorial que está cerrado bajo suma y multiplicación escalar (y por lo tanto contiene el vector de ) se llama subespacio lineal de , o simplemente subespacio de , cuando el espacio ambiental es inequívocamente un espacio vectorial. ^{[51] [nb 4]} Los subespacios de son espacios vectoriales (sobre el mismo campo) por derecho propio. La intersección de todos los subespacios que contienen un conjunto dado de vectores se llama tramo y es el subespacio más pequeño que contiene el conjunto . Expresado en términos de elementos, el lapso es el subespacio que consta de todas las combinaciones lineales de elementos de . ^[52] ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

El subespacio lineal de dimensión 1 y 2 se denomina línea y plano respectivamente. Si W es un espacio vectorial de n dimensiones, cualquier subespacio de dimensión 1 menor, es decir, de dimensión, se llama hiperplano . ^[53] ${\displaystyle n-1}$

La contraparte de los subespacios son los espacios vectoriales cocientes . ^[54] Dado cualquier subespacio , el espacio cociente (" módulo ") se define de la siguiente manera: como conjunto, consta de ${\displaystyle W\subseteq V}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

$${\displaystyle \mathbf {v} +W=\{\mathbf {v} +\mathbf {w} :\mathbf {w} \in W\},}$$

si y sólo si^{[nb 5]} ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}+W}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}\right)+W}$ ${\displaystyle a\cdot (\mathbf {v} +W)=(a\cdot \mathbf {v} )+W}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W=\mathbf {v} _{2}+W}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

El núcleo de un mapa lineal consta de vectores que se asignan en . ^[55] El núcleo y la imagen son subespacios de y , respectivamente. ^[56] ${\displaystyle \ker(f)}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f)=\{f(\mathbf {v} ):\mathbf {v} \in V\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Un ejemplo importante es el núcleo de una aplicación lineal para alguna matriz fija . El núcleo de este mapa es el subespacio de vectores tales que , que es precisamente el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneas pertenecientes a . Este concepto también se extiende a las ecuaciones diferenciales lineales. ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle a_{0}f+a_{1}{\frac {df}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=0,}$$

${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle x,}$

$${\displaystyle f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}},}$$

derivadasoperador diferencial linealRC^[57] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)^{2}}$ ${\displaystyle (f+g)^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }}$ ${\displaystyle (c\cdot f)^{\prime }=c\cdot f^{\prime }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle D(f)=0}$

La existencia de núcleos e imágenes es parte de la afirmación de que la categoría de espacios vectoriales (sobre un campo fijo ) es una categoría abeliana , es decir, un corpus de objetos matemáticos y mapas que preservan la estructura entre ellos (una categoría ) que se comporta mucho. como la categoría de grupos abelianos . ^[58] Debido a esto, muchas afirmaciones como el primer teorema de isomorfismo (también llamado teorema de rango-nulidad en términos relacionados con matrices) ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle V/\ker(f)\;\equiv \;\operatorname {im} (f)}$$

grupos

Producto directo y suma directa

El producto directo de espacios vectoriales y la suma directa de espacios vectoriales son dos formas de combinar una familia indexada de espacios vectoriales en un nuevo espacio vectorial.

El producto directo de una familia de espacios vectoriales consiste en el conjunto de todas las tuplas , que especifican para cada índice en algún conjunto de índices un elemento de . ^[59] La suma y la multiplicación escalar se realizan por componentes. Una variante de esta construcción es la suma directa (también llamada coproducto y denotada ), donde solo se permiten tuplas con un número finito de vectores distintos de cero. Si el conjunto de índices es finito, las dos construcciones concuerdan, pero en general son diferentes. ${\displaystyle \textstyle {\prod _{i\in I}V_{i}}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$ ${\textstyle \coprod _{i\in I}V_{i}}$ ${\displaystyle I}$

Producto tensorial

El producto tensorial o simplemente de dos espacios vectoriales es una de las nociones centrales del álgebra multilineal que se ocupa de extender nociones como aplicaciones lineales a varias variables. Una aplicación del producto cartesiano se llama bilineal si es lineal en ambas variables y es decir, para fija la aplicación es lineal en el sentido anterior y de igual manera para fija ${\displaystyle V\otimes _{F}W,}$ ${\displaystyle V\otimes W,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle g:V\times W\to X}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} .}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} .}$

Diagrama conmutativo que representa la propiedad universal del producto tensorial.

El producto tensorial es un espacio vectorial particular que es un receptor universal de mapas bilineales como se muestra a continuación. Se define como el espacio vectorial que consta de sumas finitas (formales) de símbolos llamados tensores. ${\displaystyle g,}$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} _{2}+\cdots +\mathbf {v} _{n}\otimes \mathbf {w} _{n},}$$

^[60]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}a\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )~&=~(a\cdot \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} ~=~\mathbf {v} \otimes (a\cdot \mathbf {w} ),&&~~{\text{ where }}a{\text{ is a scalar}}\\(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\otimes \mathbf {w} ~&=~\mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} +\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} &&\\\mathbf {v} \otimes (\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})~&=~\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{2}.&&\\\end{alignedat}}}$$

tuplacualquiercualquiercomposición^[61]propiedad universal ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g:V\times W\to X,}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g:}$ ${\displaystyle u(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).}$

Espacios vectoriales con estructura adicional

Desde el punto de vista del álgebra lineal, los espacios vectoriales se entienden completamente en la medida en que cualquier espacio vectorial sobre un campo dado se caracteriza, hasta el isomorfismo, por su dimensión. Sin embargo, los espacios vectoriales per se no ofrecen un marco para abordar la cuestión, crucial para el análisis, de si una secuencia de funciones converge en otra función. Asimismo, el álgebra lineal no está adaptada para tratar con series infinitas , ya que la operación de suma sólo permite sumar un número finito de términos. Por tanto, las necesidades del análisis funcional requieren considerar estructuras adicionales. ^[62]

A un espacio vectorial se le puede dar un orden parcial bajo el cual se pueden comparar algunos vectores. ^[63] Por ejemplo, el espacio real -dimensional se puede ordenar comparando sus vectores por componentes. Los espacios vectoriales ordenados , por ejemplo los espacios de Riesz , son fundamentales para la integración de Lebesgue , que se basa en la capacidad de expresar una función como una diferencia de dos funciones positivas. ${\displaystyle \,\leq ,\,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

$${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}.}$$

^[64] ${\displaystyle f^{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-}}$

Espacios vectoriales normados y espacios de producto internos

La "medición" de vectores se realiza especificando una norma , un dato que mide las longitudes de los vectores, o mediante un producto interno , que mide los ángulos entre vectores. Las normas y los productos internos se denotan y respectivamente. El dato de un producto interno implica que las longitudes de los vectores también se pueden definir, definiendo la norma asociada. Los espacios vectoriales dotados de tales datos se conocen como espacios vectoriales normados y espacios de producto interno , respectivamente. ^{[sesenta y cinco]} ${\displaystyle |\mathbf {v} |}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle ,}$ ${\textstyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}.}$

El espacio de coordenadas se puede equipar con el producto escalar estándar : ${\displaystyle F^{n}}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$$

ley de los cosenos ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} ,}$

$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\cos \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |.}$$

ortogonalesEn el espacio de Minkowski^[66] ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}.}$$

definido positivocorrespondiente al tiemposituaciones especiales. relatividad ${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(0,0,0,1).}$

Espacios vectoriales topológicos

Las cuestiones de convergencia se tratan considerando espacios vectoriales que llevan una topología compatible , una estructura que permite hablar de elementos que están cerca unos de otros . ^[67] Compatible aquí significa que la suma y la multiplicación escalar tienen que ser mapas continuos . Aproximadamente, si y in , y in varían en una cantidad acotada, entonces también lo hacen y ^{[nb 6]} Para que tenga sentido especificar la cantidad que cambia un escalar, el campo también debe tener una topología en este contexto; una elección común son los números reales o los complejos. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} }$ ${\displaystyle a\mathbf {x} .}$ ${\displaystyle F}$

En tales espacios vectoriales topológicos se pueden considerar series de vectores. la suma infinita

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }f_{i}~=~\lim _{n\to \infty }f_{1}+\cdots +f_{n}}$$

límiteespacio funcional,serie funcionalmodo de convergenciala convergencia puntualla convergencia uniforme^[68] ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle V,}$

Las "esferas" unitarias consisten en vectores planos de norma 1. Se representan las esferas unitarias en diferentes normas , para y El diamante más grande representa puntos de 1 norma iguales a 2. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=1,2,}$ ${\displaystyle \infty .}$

Una forma de asegurar la existencia de límites de ciertas series infinitas es restringir la atención a espacios donde cualquier secuencia de Cauchy tiene un límite; dicho espacio vectorial se llama completo . Aproximadamente, un espacio vectorial es completo siempre que contenga todos los límites necesarios. Por ejemplo, el espacio vectorial de polinomios en el intervalo unitario equipado con la topología de convergencia uniforme no está completo porque cualquier función continua puede aproximarse uniformemente mediante una secuencia de polinomios, según el teorema de aproximación de Weierstrass . ^[69] Por el contrario, el espacio de todas las funciones continuas con la misma topología es completo. ^[70] Una norma da lugar a una topología al definir que una secuencia de vectores converge si y sólo si ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\mathbf {v} _{n}-\mathbf {v} |=0.}$$

análisis funcional^[71] ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}:}$

Desde un punto de vista conceptual, todas las nociones relacionadas con espacios vectoriales topológicos deben coincidir con la topología. Por ejemplo, en lugar de considerar todos los mapas lineales (también llamados funcionales ), se requiere que los mapas entre espacios vectoriales topológicos sean continuos. ^[72] En particular, el espacio dual (topológico) consta de funcionales continuos (o to ). El teorema fundamental de Hahn-Banach se ocupa de separar subespacios de espacios vectoriales topológicos apropiados mediante funcionales continuos. ^[73] ${\displaystyle V\to W,}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

espacios de banach

Los espacios de Banach , introducidos por Stefan Banach , son espacios vectoriales normados completos. ^[74]

Un primer ejemplo es el espacio vectorial ${\displaystyle \ell ^{p}}$ que consta de infinitos vectores con entradas reales cuya norma está dada por ${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots \right)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (1\leq p\leq \infty )}$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\sup _{i}|x_{i}|\qquad {\text{ for }}p=\infty ,{\text{ and }}}$$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:=\left(\sum _{i}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\qquad {\text{ for }}p<\infty .}$$

Las topologías en el espacio de dimensión infinita no son equivalentes para diferentes Por ejemplo, la secuencia de vectores en la que están los primeros componentes y los siguientes converge al vector cero para pero no para ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\left(2^{-n},2^{-n},\ldots ,2^{-n},0,0,\ldots \right),}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle p=\infty ,}$ ${\displaystyle p=1:}$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}\|_{\infty }=\sup(2^{-n},0)=2^{-n}\to 0,}$$

$${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}\|_{1}=\sum _{i=1}^{2^{n}}2^{-n}=2^{n}\cdot 2^{-n}=1.}$$

De manera más general que las secuencias de números reales, las funciones están dotadas de una norma que reemplaza la suma anterior por la integral de Lebesgue. ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \|f\|_{p}:=\left(\int _{\Omega }|f(x)|^{p}\,{d\mu (x)}\right)^{\frac {1}{p}}.}$$

El espacio de funciones integrables en un dominio dado (por ejemplo, un intervalo) que satisface y está equipado con esta norma se llama espacios de Lebesgue , denotado ^{[nb 7]} ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \|f\|_{p}<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{\;\!p}(\Omega ).}$

Estos espacios están completos. ^[75] (Si en su lugar se utiliza la integral de Riemann , el espacio no está completo, lo que puede verse como una justificación de la teoría de la integración de Lebesgue. ^{[nb 8]} ) Concretamente, esto significa que para cualquier secuencia de funciones integrables de Lebesgue que satisfagan la condición ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n},\ldots }$ ${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}<\infty ,}$

$${\displaystyle \lim _{k,\ n\to \infty }\int _{\Omega }\left|f_{k}(x)-f_{n}(x)\right|^{p}\,{d\mu (x)}=0}$$

${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L^{\;\!p}(\Omega )}$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{\Omega }\left|f(x)-f_{k}(x)\right|^{p}\,{d\mu (x)}=0.}$$

Imponer condiciones de acotación no sólo a la función, sino también a sus derivadas conduce a espacios de Sobolev . ^[76]

Espacios de Hilbert

Las instantáneas siguientes muestran la suma de 1 a 5 términos al aproximar una función periódica (azul) mediante una suma finita de funciones seno (rojo).

Los espacios de producto internos completos se conocen como espacios de Hilbert , en honor a David Hilbert . ^[77] El espacio de Hilbert con producto interior dado por ${\displaystyle L^{2}(\Omega ),}$

$${\displaystyle \langle f\ ,\ g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx,}$$

conjugado complejo^{[78] [nb 9]} ${\displaystyle {\overline {g(x)}}}$ ${\displaystyle g(x),}$

Por definición, en un espacio de Hilbert, cualquier secuencia de Cauchy converge hacia un límite. Por el contrario, encontrar una secuencia de funciones con propiedades deseables que se aproximen a una función límite dada es igualmente crucial. Los primeros análisis, bajo la forma de la aproximación de Taylor , establecieron una aproximación de funciones diferenciables por polinomios. ^[79] Según el teorema de Stone-Weierstrass , cada función continua puede aproximarse tanto como se desee mediante un polinomio. ^[80] Una técnica de aproximación similar mediante funciones trigonométricas se denomina comúnmente expansión de Fourier y se aplica mucho en ingeniería. De manera más general y conceptual, el teorema produce una descripción simple de qué "funciones básicas" o, en espacios abstractos de Hilbert, qué vectores básicos son suficientes para generar un espacio de Hilbert en el sentido de que el cierre de su intervalo (es decir, finito combinaciones lineales y límites de ellas) es todo el espacio. Este conjunto de funciones se denomina base y su cardinalidad se conoce como dimensión del espacio de Hilbert . ^{[nb 10]} El teorema no solo exhibe funciones de base adecuadas como suficientes para propósitos de aproximación, sino que también, junto con el proceso de Gram-Schmidt , permite construir una base de vectores ortogonales . ^{[81] Tales bases ortogonales son la generalización del espacio de Hilbert de los ejes de coordenadas en el} espacio euclidiano de dimensión finita . ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H,}$

Las soluciones de varias ecuaciones diferenciales se pueden interpretar en términos de espacios de Hilbert. Por ejemplo, muchos campos de la física y la ingeniería conducen a este tipo de ecuaciones y, con frecuencia, se utilizan soluciones con propiedades físicas particulares como funciones base, a menudo ortogonales. ^[82] Como ejemplo de la física, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en mecánica cuántica describe el cambio de las propiedades físicas en el tiempo mediante una ecuación diferencial parcial , cuyas soluciones se denominan funciones de onda . ^[83] Los valores definidos de propiedades físicas como la energía o el momento corresponden a valores propios de un determinado operador diferencial (lineal) y las funciones de onda asociadas se denominan estados propios . El teorema espectral descompone un operador compacto lineal que actúa sobre funciones en términos de estas funciones propias y sus valores propios. ^[84]

Álgebras sobre campos

Una hipérbola , dada por la ecuación El anillo de coordenadas de funciones en esta hipérbola está dado por un espacio vectorial de dimensión infinita sobre ${\displaystyle x\cdot y=1.}$ ${\displaystyle \mathbf {R} [x,y]/(x\cdot y-1),}$ ${\displaystyle \mathbf {R} .}$

Los espacios vectoriales generales no poseen multiplicación entre vectores. Un espacio vectorial equipado con un operador bilineal adicional que define la multiplicación de dos vectores es un álgebra sobre un campo (o F -álgebra si se especifica el campo F ). ^[85]

Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios forma un álgebra conocida como anillo polinomial : al usar que la suma de dos polinomios es un polinomio, forman un espacio vectorial; forman un álgebra ya que el producto de dos polinomios es nuevamente un polinomio. Los anillos de polinomios (en varias variables) y sus cocientes forman la base de la geometría algebraica , porque son anillos de funciones de objetos geométricos algebraicos . ^[86] ${\displaystyle p(t)}$

Otro ejemplo crucial son las álgebras de Lie , que no son conmutativas ni asociativas, pero el hecho de no serlo está limitado por las restricciones ( denota el producto de y ): ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

• ${\displaystyle [x,y]=-[y,x]}$( anticonmutatividad ), y
• ${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$( Identidad Jacobi ). ^[87]

Los ejemplos incluyen el espacio vectorial de matrices -por- , con el conmutador de dos matrices y dotado del producto cruzado . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [x,y]=xy-yx,}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3},}$

El álgebra tensorial es una forma formal de sumar productos a cualquier espacio vectorial para obtener un álgebra. ^[88] Como espacio vectorial, está abarcado por símbolos, llamados tensores simples. ${\displaystyle \operatorname {T} (V)}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {v} _{n},}$$

gradoley distributivaálgebra simétricaálgebra exterior^[89] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}.}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}}$

Estructuras relacionadas

Paquetes de vectores

Una tira de Moebius. Localmente , parece U × R.

Un paquete de vectores es una familia de espacios vectoriales parametrizados continuamente por un espacio topológico X. ^[90] Más precisamente, un paquete de vectores sobre X es un espacio topológico E equipado con un mapa continuo

$${\displaystyle \pi :E\to X}$$

xXfibra⁻¹xV = 1paquete de líneasVX × V → XX × Vpaquete vectorial "trivial"XlocalmenteXVxXvecindad Ux⁻¹U^{[nb 11]}U × V → UXX × Vfranja de MöbiusS ¹identificando intervalos abiertos con la línea realcilindro S ¹ × Rorientable^[91]

Las propiedades de ciertos paquetes de vectores proporcionan información sobre el espacio topológico subyacente. Por ejemplo, el paquete tangente consiste en la colección de espacios tangentes parametrizados por los puntos de una variedad diferenciable. El paquete tangente del círculo S ¹ es globalmente isomorfo a S ¹ × R , ya que hay un campo vectorial global distinto de cero en S ¹ . ^{[nb 12]} Por el contrario, según el teorema de la bola peluda , no existe un campo vectorial (tangente) en la 2 esfera S ² que sea distinto de cero en todas partes. ^[92] La teoría K estudia las clases de isomorfismo de todos los paquetes de vectores en algún espacio topológico. ^[93] Además de profundizar el conocimiento topológico y geométrico, tiene consecuencias puramente algebraicas, como la clasificación de álgebras de división real de dimensión finita : R , C , los cuaterniones H y los octoniones O.

El fibrado cotangente de una variedad diferenciable consiste, en cada punto de la variedad, en el dual del espacio tangente, el espacio cotangente . Las secciones de ese paquete se conocen como formas unitarias diferenciales .

Módulos

Los módulos son a los anillos lo que los espacios vectoriales son a los campos: los mismos axiomas, aplicados a un anillo R en lugar de a un campo F , producen módulos. ^[94] La teoría de los módulos, en comparación con la de los espacios vectoriales, se complica por la presencia de elementos anulares que no tienen inversos multiplicativos . Por ejemplo, los módulos no necesitan tener bases, como lo muestra el módulo Z (es decir, el grupo abeliano ) Z /2 Z ; aquellos módulos que lo hacen (incluidos todos los espacios vectoriales) se conocen como módulos libres . Sin embargo, un espacio vectorial se puede definir de forma compacta como un módulo sobre un anillo que es un campo , y los elementos se denominan vectores. Algunos autores utilizan el término espacio vectorial para referirse a módulos sobre un anillo de división . ^[95] La interpretación álgebro-geométrica de anillos conmutativos a través de su espectro permite el desarrollo de conceptos tales como módulos localmente libres , la contraparte algebraica de los haces de vectores.

Espacios afines y proyectivos

Un plano afín (azul claro) en R ³ . Es un subespacio bidimensional desplazado por un vector x (rojo).

En términos generales, los espacios afines son espacios vectoriales cuyos orígenes no están especificados. ^[96] Más precisamente, un espacio afín es un conjunto con una acción espacial vectorial transitiva libre . En particular, un espacio vectorial es un espacio afín sobre sí mismo, según el mapa

$${\displaystyle V\times V\to W,\;(\mathbf {v} ,\mathbf {a} )\mapsto \mathbf {a} +\mathbf {v} .}$$

WWVx ∈ Wx + Vclase lateralVW )x + vv ∈ V.

$${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {b} }$$

^[97]x + VxVespacio nuloA ${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} }$

El conjunto de subespacios unidimensionales de un espacio vectorial fijo de dimensión finita V se conoce como espacio proyectivo ; puede usarse para formalizar la idea de líneas paralelas que se cruzan en el infinito. ^[98] Los Grassmannianos y las variedades de banderas generalizan esto parametrizando subespacios lineales de dimensión fija k y banderas de subespacios, respectivamente.

Notas

1. También es común, especialmente en física, indicar vectores con una flecha en la parte superior: también es común, especialmente en matemáticas superiores, no utilizar ningún método tipográfico para distinguir vectores de otros objetos matemáticos. ${\displaystyle {\vec {v}}.}$
2. La multiplicación escalar no debe confundirse con el producto escalar , que es una operación adicional en algunos espacios vectoriales específicos, llamados espacios de producto internos . La multiplicación escalar es la multiplicación de un vector por un escalar que produce un vector, mientras que el producto escalar es una multiplicación de dos vectores que produce un escalar.
3. Este axioma no es una propiedad asociativa , ya que se refiere a dos operaciones diferentes, la multiplicación escalar y la multiplicación de campos. Por tanto, es independiente de la asociatividad de la multiplicación de campos, que se asume en los axiomas de campos.
4. Este suele ser el caso cuando un espacio vectorial también se considera un espacio afín . En este caso, un subespacio lineal contiene el vector cero , mientras que un subespacio afín no necesariamente lo contiene.
5. Algunos autores, como Roman (2005), optan por comenzar con esta relación de equivalencia y derivar la forma concreta de de ella. ${\displaystyle V/W}$
6. Este requisito implica que la topología da lugar a una estructura uniforme , Bourbaki (1989), loc = ch. II.
7. La desigualdad del triángulo la proporciona la desigualdad de Minkowski . Por razones técnicas, en el contexto de las funciones hay que identificar funciones que coincidan en casi todas partes para obtener una norma, y ​​no sólo una seminorma . ${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$
8. "Muchas funciones de la medida de Lebesgue, al ser ilimitadas, no se pueden integrar con la integral de Riemann clásica. Por lo tanto, los espacios de funciones integrables de Riemann no estarían completos en la norma y la descomposición ortogonal no se aplicaría a ellos. Esto muestra una de las ventajas de la integración de Lebesgue.", Dudley (1989), §5.3, p. 125. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$
9. Porque no es un espacio de Hilbert. ${\displaystyle p\neq 2,}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$
10. Una base de un espacio de Hilbert no es lo mismo que una base de un álgebra lineal. Para distinguirlo, una base de álgebra lineal para un espacio de Hilbert se llama base de Hamel .
11. Es decir, existe un homeomorfismo de π ⁻¹ ( U ) a V × U que se restringe a isomorfismos lineales entre fibras.
12. Un paquete de líneas, como el paquete tangente de S ¹ es trivial si y sólo si hay una sección que no desaparece en ninguna parte, ver Husemoller (1994), Corolario 8.3. Las secciones del paquete tangente son solo campos vectoriales .

Citas

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enlaces externos

• "Espacio vectorial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]