biyección

Correspondencia uno a uno

Una función biyectiva, f : X → Y , donde el conjunto X es {1, 2, 3, 4} y el conjunto Y es {A, B, C, D}. Por ejemplo, f (1) = D.

Una biyección , función biyectiva o correspondencia uno a uno entre dos conjuntos matemáticos es una función tal que cada elemento del segundo conjunto (el codominio ) se asigna exactamente a un elemento del primer conjunto (el dominio ). De manera equivalente, una biyección es una relación entre dos conjuntos tal que cada elemento de cualquiera de los conjuntos está emparejado exactamente con un elemento del otro conjunto.

Una función es biyectiva si y sólo si es invertible ; es decir, una función es biyectiva si y sólo si existe una función inversa de f , tal que cada una de las dos formas de componer las dos funciones produce una función identidad : para cada in y para cada in ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to X,}$ ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$

Por ejemplo, la multiplicación por dos define una biyección de los números enteros a los pares , que tiene como función inversa la división por dos .

Una función es biyectiva si y sólo si es inyectiva (o uno a uno ), lo que significa que cada elemento del codominio se asigna como máximo a un elemento del dominio, y sobreyectiva (o sobre ), lo que significa que cada elemento del codominio se asigna desde al menos un elemento del dominio. El término correspondencia uno a uno no debe confundirse con función uno a uno .

La operación elemental de contar establece una biyección desde algún conjunto finito hasta los primeros números naturales (1, 2, 3,...) , hasta el número de elementos del conjunto contado. Resulta que dos conjuntos finitos tienen el mismo número de elementos si y sólo si existe una biyección entre ellos. De manera más general, se dice que dos conjuntos tienen el mismo número cardinal si existe una biyección entre ellos.

Una función biyectiva de un conjunto respecto de sí mismo también se llama permutación , ^[1] y el conjunto de todas las permutaciones de un conjunto forma su grupo simétrico .

Algunas biyecciones con propiedades adicionales han recibido nombres específicos, que incluyen automorfismos , isomorfismos , homeomorfismos , difeomorfismos , grupos de permutación y la mayoría de las transformaciones geométricas . Las correspondencias de Galois son biyecciones entre conjuntos de objetos matemáticos de naturaleza aparentemente muy diferente.

Definición

Para que una relación binaria que empareja elementos del conjunto X con elementos del conjunto Y sea una biyección, deben cumplirse cuatro propiedades:

1. cada elemento de X debe estar emparejado con al menos un elemento de Y ,
2. ningún elemento de X puede emparejarse con más de un elemento de Y ,
3. cada elemento de Y debe estar emparejado con al menos un elemento de X , y
4. ningún elemento de Y puede emparejarse con más de un elemento de X.

Satisfacer las propiedades (1) y (2) significa que un emparejamiento es una función con dominio X. Es más común ver las propiedades (1) y (2) escritas como una sola declaración: cada elemento de X está emparejado con exactamente un elemento de Y. Se dice que las funciones que satisfacen la propiedad (3) están " sobre Y " y se denominan sobrejecciones (o funciones sobreyectivas ). Las funciones que satisfacen la propiedad (4) se denominan " funciones uno a uno " y se denominan inyecciones (o funciones inyectivas ). ^[2] Con esta terminología, una biyección es una función que es a la vez una sobreyección y una inyección, o usando otras palabras, una biyección es una función que es a la vez "uno a uno" y "sobre". ^[3]

Ejemplos

Alineación de bateo de un equipo de béisbol o cricket

Considere la alineación de bateo de un equipo de béisbol o de cricket (o cualquier lista de todos los jugadores de cualquier equipo deportivo donde cada jugador ocupa un lugar específico en una alineación). El conjunto X serán los jugadores del equipo (de talla nueve en el caso del béisbol) y el conjunto Y serán las posiciones en el orden al bate (1°, 2°, 3°, etc.) El “emparejamiento” viene dado por el cual jugador está en qué posición en este orden. La propiedad (1) se cumple ya que cada jugador está en algún lugar de la lista. La propiedad (2) se cumple ya que ningún jugador batea en dos (o más) posiciones en el orden. La propiedad (3) dice que para cada posición en el orden, hay algún jugador bateando en esa posición y la propiedad (4) establece que dos o más jugadores nunca batean en la misma posición en la lista.

Asientos y alumnos de un aula.

En un aula hay un número determinado de asientos. Un grupo de estudiantes entran al salón y el instructor les pide que se sienten. Después de una rápida mirada alrededor del salón, el instructor declara que existe una biyección entre el conjunto de estudiantes y el conjunto de asientos, donde cada estudiante está emparejado con el asiento en el que está sentado. Lo que el instructor observó para llegar a esta conclusión. era que:

1. Cada estudiante estaba en un asiento (no había nadie de pie),
2. Ningún estudiante estaba en más de un asiento,
3. En cada asiento había alguien sentado (no había asientos vacíos), y
4. Ningún asiento tenía más de un estudiante en él.

El instructor pudo concluir que había tantos asientos como estudiantes, sin tener que contar ninguno de los dos.

Más ejemplos matemáticos

Una biyección de los números naturales a los enteros , que asigna 2 n a − n y 2 n − 1 a n , para n ≥ 0.

• Para cualquier conjunto X , la función identidad 1 _X : X → X , 1 _X ( x ) = x es biyectiva.
• La función f : R → R , f ( x ) = 2 x + 1 es biyectiva, ya que para cada y existe un único x = ( y − 1)/2 tal que f ( x ) = y . De manera más general, cualquier función lineal sobre los reales, f : R → R , f ( x ) = ax + b (donde a no es cero) es una biyección. Cada número real y se obtiene a partir de (o se combina con) el número real x = ( y − b )/ a .
• La función f : R → (−π/2, π/2), dada por f ( x ) = arctan( x ) es biyectiva, ya que cada número real x está emparejado con exactamente un ángulo y en el intervalo (−π/ 2, π/2) de modo que tan( y ) = x (es decir, y = arctan( x )). Si el codominio (−π/2, π/2) se hiciera más grande para incluir un múltiplo entero de π/2, entonces esta función ya no sería sobre (sobreyectiva), ya que no hay ningún número real que pueda emparejarse con el múltiplo de π/2 por esta función arctan.
• La función exponencial , g : R → R , g ( x ) = e ^x , no es biyectiva: por ejemplo, no hay x en R tal que g ( x ) = −1, lo que demuestra que g no es sobre (sobreyectiva) . Sin embargo, si el codominio se restringe a los números reales positivos , entonces g sería biyectivo; su inversa (ver más abajo) es la función logaritmo natural ln. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\equiv \left(0,\infty \right)}$
• La función h : R → R ⁺ , h ( x ) = x ² no es biyectiva: por ejemplo, h (−1) = h (1) = 1, lo que demuestra que h no es uno a uno (inyectiva). Sin embargo, si el dominio está restringido a , entonces h sería biyectivo; su inversa es la función de raíz cuadrada positiva. ${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}\equiv \left[0,\infty \right)}$
• Según el teorema de Schröder-Bernstein , dados dos conjuntos cualesquiera X e Y , y dos funciones inyectivas f : X → Y y g : Y → X , existe una función biyectiva h : X → Y.

Inversos

Una biyección f con dominio X (indicada por f : X → Y en notación funcional ) también define una relación inversa que comienza en Y y va a X (girando las flechas). El proceso de "girar las flechas" para una función arbitraria, en general , no produce una función, pero las propiedades (3) y (4) de una biyección dicen que esta relación inversa es una función con dominio Y. Además, las propiedades (1) y (2) dicen entonces que esta función inversa es una sobreyección y una inyección, es decir, la función inversa existe y también es una biyección. Las funciones que tienen funciones inversas se dicen invertibles . Una función es invertible si y sólo si es una biyección.

Expresada en notación matemática concisa, una función f : X → Y es biyectiva si y sólo si satisface la condición

para cada y en Y hay un único x en X con y = f ( x ).

Continuando con el ejemplo de la alineación de bateo de béisbol, la función que se está definiendo toma como entrada el nombre de uno de los jugadores y genera la posición de ese jugador en el orden de bateo. Dado que esta función es una biyección, tiene una función inversa que toma como entrada una posición en el orden de bateo y genera el jugador que bateará en esa posición.

Composición

Una biyección compuesta por una inyección (X → Y) y una sobreyección (Y → Z).

La composición de dos biyecciones f : X → Y y g : Y → Z es una biyección, cuya inversa viene dada por es . ${\displaystyle g\,\circ \,f}$ ${\displaystyle g\,\circ \,f}$ ${\displaystyle (g\,\circ \,f)^{-1}\;=\;(f^{-1})\,\circ \,(g^{-1})}$

Por el contrario, si la composición de dos funciones es biyectiva, sólo se sigue que f es inyectiva y g es sobreyectiva . ${\displaystyle g\,\circ \,f}$

Cardinalidad

Si X e Y son conjuntos finitos , entonces existe una biyección entre los dos conjuntos X e Y si y sólo si X e Y tienen el mismo número de elementos. De hecho, en la teoría axiomática de conjuntos , esto se toma como la definición de "mismo número de elementos" ( equinumerosidad ), y generalizar esta definición a conjuntos infinitos conduce al concepto de número cardinal , una forma de distinguir los distintos tamaños de conjuntos infinitos.

Propiedades

• Una función f : R → R es biyectiva si y sólo si su gráfica corta cada línea horizontal y vertical exactamente una vez.
• Si X es un conjunto, entonces las funciones biyectivas de X hacia sí misma, junto con la operación de composición funcional (∘), forman un grupo , el grupo simétrico de X , que se denota indistintamente por S( X ), SX _o X ! ( X factorial ).
• Las biyecciones preservan las cardinalidades de los conjuntos: para un subconjunto A del dominio con cardinalidad | Un | y subconjunto B del codominio con cardinalidad | B |, se tienen las siguientes igualdades:

  | f ( A )| = | Un | y | f ⁻¹ ( segundo )| = | B |.

• Si X e Y son conjuntos finitos con la misma cardinalidad, y f : X → Y , entonces lo siguiente es equivalente:
  1. f es una biyección.
  2. f es una sobreyección .
  3. f es una inyección .
• Para un conjunto finito S , existe una biyección entre el conjunto de posibles ordenamientos totales de los elementos y el conjunto de biyecciones de S a S. Es decir, el número de permutaciones de elementos de S es el mismo que el número de ordenamientos totales de ese conjunto, es decir, n !.

Teoría de categorías

Las biyecciones son precisamente los isomorfismos en la categoría Conjunto de conjuntos y funciones de conjuntos. Sin embargo, las biyecciones no siempre son isomorfismos para categorías más complejas. Por ejemplo, en la categoría Grp de grupos , los morfismos deben ser homomorfismos ya que deben preservar la estructura del grupo, por lo que los isomorfismos son isomorfismos de grupo que son homomorfismos biyectivos.

Generalización a funciones parciales.

La noción de correspondencia uno a uno se generaliza a funciones parciales , donde se denominan biyecciones parciales , aunque solo se requiere que las biyecciones parciales sean inyectivas. La razón de esta relajación es que una función parcial (adecuada) ya no está definida para una parte de su dominio; por lo tanto, no hay ninguna razón convincente para limitar su inversa a ser una función total , es decir, definida en todas partes de su dominio. El conjunto de todas las biyecciones parciales sobre un conjunto de bases dado se denomina semigrupo inverso simétrico . ^[4]

Otra forma de definir la misma noción es decir que una biyección parcial de A a B es cualquier relación R (que resulta ser una función parcial) con la propiedad de que R es la gráfica de una biyección f : A′ → B′ , donde A′ es un subconjunto de A y B′ es un subconjunto de B . ^[5]

Cuando la biyección parcial está en el mismo conjunto, a veces se le llama transformación parcial uno a uno . ^[6] Un ejemplo es la transformación de Möbius definida simplemente en el plano complejo, en lugar de su finalización en el plano complejo extendido. ^[7]

Galería

• 
  Una función inyectiva no sobreyectiva (inyección, no biyección)
• 
  Una función sobreyectiva inyectiva ( biyección )
• 
  Una función sobreyectiva no inyectiva (sobreyección, no biyección)
• 
  Una función no inyectiva, no sobreyectiva (tampoco una biyección)

Ver también

• Portal de matemáticas

• Teorema de Ax-Grothendieck
• Biyección, inyección y sobreyección.
• numeración biyectiva
• prueba biyectiva
• Teoría de categorías
• Función multivalor

Notas

1. Salón 1959, pag. 3
2. También hay nombres asociados a las propiedades (1) y (2). Una relación que satisface la propiedad (1) se llama relación total y una relación que satisface (2) es una relación de valor único .
3. "Biyección, inyección y sobreyección | Wiki brillante de matemáticas y ciencias". brillante.org . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
4. Christopher Hollings (16 de julio de 2014). Matemáticas al otro lado del Telón de Acero: una historia de la teoría algebraica de semigrupos. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 251.ISBN​ 978-1-4704-1493-1.
5. Francisco Borceux (1994). Manual de álgebra categórica: volumen 2, categorías y estructuras. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 289.ISBN​ 978-0-521-44179-7.
6. Pierre A. Grillet (1995). Semigrupos: una introducción a la teoría de la estructura. Prensa CRC. pag. 228.ISBN​ 978-0-8247-9662-4.
7. John Meakin (2007). "Grupos y semigrupos: conexiones y contrastes". En CM Campbell; Señor Rápido; EF Robertson; GC Smith (eds.). Grupos St Andrews 2005 Volumen 2 . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 367.ISBN​ 978-0-521-69470-4.preimpresión citando a Lawson, MV (1998). "El monoide inverso de Möbius". Revista de Álgebra . 200 (2): 428–438. doi : 10.1006/jabr.1997.7242 .

Referencias

Este tema es un concepto básico en la teoría de conjuntos y se puede encontrar en cualquier texto que incluya una introducción a la teoría de conjuntos. Casi todos los textos que tratan de una introducción a la redacción de pruebas incluirán una sección sobre teoría de conjuntos, por lo que el tema se puede encontrar en cualquiera de estos:

• Hall, Marshall Jr. (1959). La teoría de los grupos . MacMillan.
• Lobo (1998). Prueba, lógica y conjetura: la caja de herramientas de un matemático . Hombre libre.
• Sundstrom (2003). Razonamiento matemático: redacción y demostración . Prentice Hall.
• Herrero; huevo; San Andrés (2006). Una transición a las matemáticas avanzadas (6ª ed.) . Thomson (Brooks/Cole).
• Schumacher (1996). Capítulo Cero: Nociones Fundamentales de la Matemática Abstracta . Addison-Wesley.
• O'Leary (2003). La estructura de la prueba: con lógica y teoría de conjuntos . Prentice Hall.
• Morash. Puente a las Matemáticas Abstractas . Casa al azar.
• Maddox (2002). Pensamiento y escritura matemáticos . Harcourt/Prensa académica.
• Laico (2001). Análisis con introducción a la prueba . Prentice Hall.
• Gilberto; Vanstone (2005). Una introducción al pensamiento matemático . Pearson Prentice-Hall.
• Fletcher; Empanada. Fundamentos de la Matemática Superior . PWS-Kent.
• Iglewicz; Estoyle. Una introducción al razonamiento matemático . MacMillan.
• Devlin, Keith (2004). Conjuntos, funciones y lógica: una introducción a las matemáticas abstractas . Chapman & Hall/Prensa CRC.
• D'Angelo; Oeste (2000). Pensamiento matemático: resolución de problemas y pruebas . Prentice Hall.
• Cupillari (1989). Los aspectos prácticos de las pruebas . Wadsworth. ISBN 9780534103200.
• Vínculo. Introducción a la Matemática Abstracta . Brooks/Cole.
• barnier; Feldman (2000). Introducción a la Matemática Avanzada . Prentice Hall.
• Ceniza. Introducción a las matemáticas abstractas . MAA.

enlaces externos

• "Biyección", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Biyección". MundoMatemático .
• Usos más tempranos de algunas de las palabras de Matemáticas: la entrada sobre Inyección, Suryección y Biyección tiene la historia de la Inyección y términos relacionados.