Grupo (matemáticas)

Conjunto con operación asociativa invertible.

Las manipulaciones del Cubo de Rubik forman el grupo del Cubo de Rubik .

En matemáticas , un grupo es un conjunto con una operación que satisface las siguientes restricciones: la operación es asociativa y tiene un elemento identidad , y cada elemento del conjunto tiene un elemento inverso .

Muchas estructuras matemáticas son grupos dotados de otras propiedades. Por ejemplo, los números enteros con la operación de suma forman un grupo infinito , que es generado por un solo elemento llamado 1 (estas propiedades caracterizan a los números enteros de forma única).

El concepto de grupo fue elaborado para manejar, de manera unificada, muchas estructuras matemáticas como números, formas geométricas y raíces polinómicas . Debido a que el concepto de grupos es omnipresente en numerosas áreas tanto dentro como fuera de las matemáticas, algunos autores lo consideran un principio organizador central de las matemáticas contemporáneas. ^{[1] [2]}

En geometría , los grupos surgen naturalmente en el estudio de las simetrías y transformaciones geométricas : Las simetrías de un objeto forman un grupo, llamado grupo de simetría del objeto, y las transformaciones de un tipo determinado forman un grupo general. Los grupos de mentira aparecen en grupos de simetría en geometría y también en el modelo estándar de física de partículas . El grupo de Poincaré es un grupo de Lie que consta de las simetrías del espacio-tiempo en la relatividad especial . Los grupos de puntos describen la simetría en la química molecular .

El concepto de grupo surgió en el estudio de las ecuaciones polinómicas , a partir de Évariste Galois en la década de 1830, quien introdujo el término grupo (en francés: groupe ) para el grupo de simetría de las raíces de una ecuación, ahora llamado grupo de Galois . Después de contribuciones de otros campos como la teoría de números y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente alrededor de 1870. La teoría de grupos moderna , una disciplina matemática activa, estudia los grupos por derecho propio. Para explorar grupos, los matemáticos han ideado varias nociones para dividir los grupos en partes más pequeñas y mejor comprensibles, como subgrupos , grupos de cocientes y grupos simples . Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de grupos también estudian las diferentes formas en que un grupo puede expresarse concretamente, tanto desde el punto de vista de la teoría de la representación (es decir, a través de las representaciones del grupo ) como de la teoría computacional de grupos . Se ha desarrollado una teoría para grupos finitos , que culminó con la clasificación de grupos finitos simples , completada en 2004. Desde mediados de la década de 1980, la teoría geométrica de grupos , que estudia grupos generados finitamente como objetos geométricos, se ha convertido en un área activa en la teoría de grupos. .

Definición e ilustración

Primer ejemplo: los números enteros

Uno de los grupos más familiares es el conjunto de números enteros .

$${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$$

la suma^[3]sumade cierrebinaria ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Para todos los números enteros , y  , se tiene . Expresado en palabras, sumar primero y luego sumar el resultado da el mismo resultado final que sumar a la suma de y  . Esta propiedad se conoce como asociatividad . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$
• Si es cualquier número entero, entonces y . El cero se denomina elemento identidad de la suma porque al sumarlo a cualquier número entero se obtiene el mismo número entero. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0+a=a}$ ${\displaystyle a+0=a}$
• Para cada número entero , hay un número entero tal que y . El número entero se llama elemento inverso del número entero y se denota  . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b=0}$ ${\displaystyle b+a=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

Los números enteros, junto con la operación , forman un objeto matemático que pertenece a una clase amplia que comparte aspectos estructurales similares. Para comprender adecuadamente estas estructuras como un colectivo, se desarrolla la siguiente definición. ${\displaystyle +}$

Definición

Los axiomas de un grupo son breves y naturales... Sin embargo, de alguna manera escondido detrás de estos axiomas se encuentra el monstruoso grupo simple , un objeto matemático enorme y extraordinario, que parece depender de numerosas coincidencias extrañas para existir. Los axiomas para grupos no dan ningún indicio obvio de que exista algo parecido.

Richard Borcherds , Matemáticos: una visión exterior del mundo interior ^[4]

Un grupo es un conjunto no vacío junto con una operación binaria en , aquí denominada " ", que combina dos elementos cualesquiera y de para formar un elemento de , denominado , de modo que se cumplan los siguientes tres requisitos, conocidos como axiomas de grupo : ^{[5] [6] [7] [un]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot b}$

asociatividad

Por todo , en , uno tiene . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

Elemento de identidad

Existe un elemento en tal que, para cada en , uno tiene y . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e\cdot a=a}$ ${\displaystyle a\cdot e=a}$

Este elemento es único (ver más abajo). Se le llama elemento de identidad (o a veces elemento neutral ) del grupo.

elemento inverso

Para cada in , existe un elemento tal que y , donde es el elemento de identidad. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot b=e}$ ${\displaystyle b\cdot a=e}$ ${\displaystyle e}$

Para cada uno , el elemento es único (ver más abajo); se llama la inversa de y se denota comúnmente . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}}$

Notación y terminología

Formalmente, el grupo es el par ordenado de un conjunto y una operación binaria sobre este conjunto que satisface los axiomas del grupo . El conjunto se denomina conjunto subyacente del grupo y la operación se denomina operación de grupo o ley de grupo .

Un grupo y su conjunto subyacente son, por tanto, dos objetos matemáticos diferentes . Para evitar una notación engorrosa, es común abusar de la notación utilizando el mismo símbolo para indicar ambos. Esto refleja también una forma informal de pensar: que el grupo es igual al conjunto excepto que se ha enriquecido con una estructura adicional proporcionada por la operación.

Por ejemplo, consideremos el conjunto de los números reales , que tiene las operaciones de suma y multiplicación . Formalmente es un conjunto, es un grupo y es un campo . Pero es común escribir para denotar cualquiera de estos tres objetos. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El grupo aditivo del campo es el grupo cuyo conjunto subyacente es y cuya operación es la suma. El grupo multiplicativo del campo es el grupo cuyo conjunto subyacente es el conjunto de números reales distintos de cero y cuya operación es la multiplicación. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$

De manera más general, se habla de un grupo aditivo siempre que la operación del grupo se indique como suma; en este caso, la identidad normalmente se denota y el inverso de un elemento se denota . De manera similar, se habla de un grupo multiplicativo siempre que la operación del grupo se anota como multiplicación; en este caso, la identidad normalmente se denota y el inverso de un elemento se denota . En un grupo multiplicativo, el símbolo de operación generalmente se omite por completo, de modo que la operación se indica por yuxtaposición, en lugar de . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a\cdot b}$

La definición de un grupo no requiere eso para todos los elementos y en . Si se cumple esta condición adicional, entonces se dice que la operación es conmutativa y el grupo se llama grupo abeliano . Es una convención común que para un grupo abeliano se puede utilizar la notación aditiva o multiplicativa, pero para un grupo no abeliano sólo se utiliza la notación multiplicativa. ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$

Generalmente se utilizan otras notaciones para grupos cuyos elementos no son números. Para un grupo cuyos elementos son funciones , la operación suele ser una composición de funciones ; entonces la identidad puede denotarse como id. En los casos más específicos de grupos de transformación geométrica , grupos de simetría , grupos de permutación y grupos de automorfismo , el símbolo suele omitirse, al igual que para los grupos multiplicativos. Se pueden encontrar muchas otras variantes de notación. ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle \circ }$

Segundo ejemplo: un grupo de simetría

Dos figuras en el plano son congruentes si una puede transformarse en la otra usando una combinación de rotaciones , reflexiones y traslaciones . Cualquier figura es congruente consigo misma. Sin embargo, algunas figuras son congruentes consigo mismas en más de un sentido, y estas congruencias extra se denominan simetrías . Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estos son:

• la operación de identidad deja todo sin cambios, denotada id;
• rotaciones del cuadrado alrededor de su centro en 90°, 180° y 270° en el sentido de las agujas del reloj, denotadas por , y , respectivamente; ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$
• reflexiones sobre la línea media horizontal y vertical ( y ), o a través de las dos diagonales ( y ). ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$

Estas simetrías son funciones. Cada uno envía un punto del cuadrado al punto correspondiente bajo la simetría. Por ejemplo, envía un punto a su rotación de 90° en el sentido de las agujas del reloj alrededor del centro del cuadrado y envía un punto a su reflejo a través de la línea media vertical del cuadrado. Componer dos de estas simetrías da otra simetría. Estas simetrías determinan un grupo llamado grupo diédrico de grado cuatro, denotado . El conjunto subyacente del grupo es el conjunto de simetrías anterior, y la operación del grupo es la composición de funciones. ^[8] Dos simetrías se combinan componiéndolas como funciones, es decir, aplicando la primera al cuadrado, y la segunda al resultado de la primera aplicación. El resultado de realizar primero y luego se escribe simbólicamente de derecha a izquierda como ("aplicar la simetría después de realizar la simetría "). Ésta es la notación habitual para la composición de funciones. ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b\circ a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

La tabla de grupos enumera los resultados de todas las composiciones posibles. Por ejemplo, girar 270° en el sentido de las agujas del reloj ( ) y luego reflejar horizontalmente ( ) es lo mismo que realizar una reflexión a lo largo de la diagonal ( ). Usando los símbolos anteriores, resaltados en azul en la tabla de grupos: ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$

$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.}$$

Dado este conjunto de simetrías y la operación descrita, los axiomas de grupo pueden entenderse de la siguiente manera.

Operación binaria : la composición es una operación binaria. Es decir, es una simetría para dos simetrías cualesquiera y . Por ejemplo, ${\displaystyle a\circ b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} },}$$

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$

Asociatividad : El axioma de asociatividad trata de componer más de dos simetrías: comenzando con tres elementos , y de , hay dos formas posibles de usar estas tres simetrías en este orden para determinar una simetría del cuadrado. Una de estas formas es componer primero y en una sola simetría y luego componer esa simetría con . La otra forma es componer primero y , luego componer la simetría resultante con . Estas dos formas deben dar siempre el mismo resultado, es decir, ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),}$$

${\displaystyle (f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}}$$

Elemento de identidad : El elemento de identidad es , ya que no cambia ninguna simetría cuando se compone con él ni por la izquierda ni por la derecha. ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ${\displaystyle a}$

Elemento inverso : Cada simetría tiene una inversa: , las reflexiones , , y la rotación de 180° son su propia inversa, porque realizarlas dos veces devuelve el cuadrado a su orientación original. Las rotaciones y son inversas entre sí, porque al girar 90° y luego girar 270° (o viceversa) se produce una rotación de más de 360° que deja el cuadrado sin cambios. Esto se verifica fácilmente sobre la mesa. ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle r_{1}}$

A diferencia del grupo de números enteros anterior, donde el orden de la operación es irrelevante, sí importa en , como, por ejemplo, pero . En otras palabras, no es abeliano. ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

Historia

El concepto moderno de grupo abstracto se desarrolló a partir de varios campos de las matemáticas. ^{[9] [10] [11]} La motivación original de la teoría de grupos fue la búsqueda de soluciones de ecuaciones polinómicas de grado superior a 4. El matemático francés del siglo XIX Évariste Galois , ampliando el trabajo anterior de Paolo Ruffini y Joseph-Louis Lagrange , dio un criterio para la solubilidad de una ecuación polinómica particular en términos del grupo de simetría de sus raíces (soluciones). Los elementos de tal grupo de Galois corresponden a ciertas permutaciones de las raíces. Al principio, las ideas de Galois fueron rechazadas por sus contemporáneos y publicadas sólo de forma póstuma. ^{[12] [13]} Los grupos de permutación más generales fueron investigados en particular por Augustin Louis Cauchy . Sobre la teoría de los grupos, de Arthur Cayley , según la ecuación simbólica ${\displaystyle \theta ^{n}=1}$ (1854), se da la primera definición abstracta de un grupo finito . ^[14]

La geometría fue un segundo campo en el que se utilizaron grupos sistemáticamente, especialmente grupos de simetría como parte del programa Erlangen de 1872 de Felix Klein . ^[15] Después de que surgieron geometrías novedosas como la geometría hiperbólica y proyectiva , Klein utilizó la teoría de grupos para organizarlas de una manera más coherente. Avanzando aún más en estas ideas, Sophus Lie fundó el estudio de los grupos de Lie en 1884. ^[16]

El tercer campo que contribuyó a la teoría de grupos fue la teoría de números . Ciertas estructuras de grupos abelianos se habían utilizado implícitamente en la obra de teoría de números Disquisitiones Arithmeticae (1798) de Carl Friedrich Gauss , y más explícitamente por Leopold Kronecker . ^[17] En 1847, Ernst Kummer hizo los primeros intentos de demostrar el último teorema de Fermat desarrollando grupos que describían la factorización en números primos . ^[18]

La convergencia de estas diversas fuentes en una teoría uniforme de grupos comenzó con el Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan . ^[19] Walther von Dyck (1882) introdujo la idea de especificar un grupo mediante generadores y relaciones, y también fue el primero en dar una definición axiomática de "grupo abstracto", en la terminología de la época. ^[20] A partir del siglo XX, los grupos obtuvieron un amplio reconocimiento gracias al trabajo pionero de Ferdinand Georg Frobenius y William Burnside , quienes trabajaron en la teoría de la representación de grupos finitos, la teoría de la representación modular de Richard Brauer y los artículos de Issai Schur . ^[21] La teoría de los grupos de Lie y, más generalmente, de los grupos localmente compactos, fue estudiada por Hermann Weyl , Élie Cartan y muchos otros. ^[22] Su contraparte algebraica , la teoría de grupos algebraicos , fue moldeada por primera vez por Claude Chevalley (desde finales de la década de 1930) y más tarde por el trabajo de Armand Borel y Jacques Tits . ^[23]

El Año de Teoría de Grupos 1960-1961 de la Universidad de Chicago reunió a teóricos de grupos como Daniel Gorenstein , John G. Thompson y Walter Feit , sentando las bases de una colaboración que, con el aporte de muchos otros matemáticos, condujo a la clasificación de los objetos finitos. grupos simples , con el paso final dado por Aschbacher y Smith en 2004. Este proyecto superó los esfuerzos matemáticos anteriores por su gran tamaño, tanto en la duración de la prueba como en el número de investigadores. La investigación sobre esta prueba de clasificación está en curso. ^[24] La teoría de grupos sigue siendo una rama matemática muy activa, ^[b] que afecta a muchos otros campos, como lo ilustran los ejemplos siguientes.

Consecuencias elementales de los axiomas de grupo.

Los datos básicos sobre todos los grupos que pueden obtenerse directamente de los axiomas de grupo suelen incluirse en la teoría elemental de grupos . ^[25] Por ejemplo, las aplicaciones repetidas del axioma de asociatividad muestran que la falta de ambigüedad de

$${\displaystyle a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$$

paréntesis^[26]

Unicidad del elemento de identidad.

Los axiomas de grupo implican que el elemento de identidad es único; es decir, existe sólo un elemento de identidad: dos elementos de identidad cualesquiera y de un grupo son iguales, porque los axiomas del grupo implican . Se suele hablar entonces del elemento identitario del grupo. ^[27] ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle e=e\cdot f=f}$

Unicidad de las inversas

Los axiomas de grupo también implican que la inversa de cada elemento es única: supongamos que un elemento de grupo tenga ambas y como inversas. ( y son distintos.) Entonces ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=b\cdot e&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\\&=b\cdot (a\cdot c)&&{\text{(}}c{\text{ is an inverse)}}\\&=(b\cdot a)\cdot c&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot c&&{\text{(}}b{\text{ is an inverse)}}\\&=c&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\end{aligned}}}$

Por tanto, se acostumbra hablar de la inversa de un elemento. ^[27]

División

Dados los elementos y de un grupo , existe una solución única en la ecuación , a saber . ^{[c] [28]} De ello se deduce que para cada in , la función que asigna a cada uno es una biyección ; se llama multiplicación a la izquierda por o traducción a la izquierda por ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot x=b}$ ${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a\cdot x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a.}$

De manera similar, dado y , la solución única es . Para cada uno , la función que asigna cada uno es una biyección llamada multiplicación por la derecha por o traducción por la derecha por ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x\cdot a=b}$ ${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cdot a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a.}$

Definición equivalente con axiomas relajados

Los axiomas de grupo para la identidad y las inversas pueden "debilitarse" para afirmar sólo la existencia de una identidad izquierda y unas inversas izquierdas . A partir de estos axiomas unilaterales , se puede demostrar que la identidad izquierda también es una identidad derecha y una inversa izquierda también es una inversa derecha para el mismo elemento. Dado que definen exactamente las mismas estructuras que los grupos, colectivamente los axiomas no son más débiles. ^[29]

En particular, suponiendo asociatividad y la existencia de una identidad izquierda (es decir, ) y una inversa izquierda para cada elemento (es decir, ), se puede demostrar que cada inversa izquierda es también una inversa derecha del mismo elemento de la siguiente manera. ^[29] De hecho, uno tiene ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e\cdot f=f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}\cdot f=e}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left identity)}}\\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&&{\text{(associativity)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&&{\text{(left identity)}}\\&=e&&{\text{(left inverse)}}\end{aligned}}}$

De manera similar, la identidad de izquierda es también una identidad de derecha: ^[29]

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot f&&{\text{(right inverse)}}\\&=f&&{\text{(left identity)}}\end{aligned}}}$

Estas pruebas requieren los tres axiomas (asociatividad, existencia de identidad izquierda y existencia de inversa izquierda). Para una estructura con una definición más vaga (como un semigrupo ), se puede tener, por ejemplo, que una identidad de izquierda no es necesariamente una identidad de derecha.

Se puede obtener el mismo resultado suponiendo únicamente la existencia de una identidad correcta y una inversa derecha.

Sin embargo, asumir únicamente la existencia de una identidad izquierda y una inversa derecha (o viceversa) no es suficiente para definir un grupo. Por ejemplo, considere el conjunto con el operador que satisface y . Esta estructura tiene una identidad izquierda (es decir, ) y cada elemento tiene una inversa derecha (que es para ambos elementos). Además, esta operación es asociativa (ya que el producto de cualquier número de elementos siempre es igual al elemento más a la derecha de ese producto, independientemente del orden en que se realicen estas operaciones). Sin embargo, no es un grupo, ya que carece de una identidad propia. ${\displaystyle G=\{e,f\}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle e\cdot e=f\cdot e=e}$ ${\displaystyle e\cdot f=f\cdot f=f}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle (G,\cdot )}$

Conceptos básicos

Al estudiar conjuntos, se utilizan conceptos como subconjunto , función y cociente por una relación de equivalencia . Al estudiar grupos, se utilizan en su lugar subgrupos , homomorfismos y grupos de cocientes . Estos son los análogos que tienen en cuenta la estructura del grupo. ^[d]

Homomorfismos de grupo

Los homomorfismos de grupo ^[e] son ​​funciones que respetan la estructura del grupo; se pueden utilizar para relacionar dos grupos. Un homomorfismo de un grupo a un grupo es una función tal que ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle (H,*)}$ ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$

${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$para todos los elementos y en . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$

Sería natural exigir también que se respeten las identidades, y las inversas, para todos en . Sin embargo, estos requisitos adicionales no necesitan incluirse en la definición de homomorfismos, porque ya están implícitos en el requisito de respetar la operación del grupo. ^[30] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (1_{G})=1_{H}}$ ${\displaystyle \varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$

El homomorfismo de identidad de un grupo es el homomorfismo que asigna cada elemento a sí mismo. Un homomorfismo inverso de un homomorfismo es un homomorfismo tal que y , es decir, tal que para todos en y tal que para todos en . Un isomorfismo es un homomorfismo que tiene un homomorfismo inverso; de manera equivalente, es un homomorfismo biyectivo . Los grupos y se llaman isomorfos si existe un isomorfismo . En este caso, se puede obtener simplemente cambiando el nombre de sus elementos según la función ; entonces cualquier declaración verdadera para es verdadera para , siempre que también se cambie el nombre de cualquier elemento específico mencionado en la declaración. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \iota _{G}\colon G\to G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ ${\displaystyle \psi \colon H\to G}$ ${\displaystyle \psi \circ \varphi =\iota _{G}}$ ${\displaystyle \varphi \circ \psi =\iota _{H}}$ ${\displaystyle \psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

La colección de todos los grupos, junto con los homomorfismos entre ellos, forman una categoría , la categoría de grupos . ^[31]

Un homomorfismo inyectivo factoriza canónicamente como un isomorfismo seguido de una inclusión, para algún subgrupo H de G. Los homomorfismos inyectivos son los monomorfismos en la categoría de grupos. ${\displaystyle \phi \colon G'\to G}$ ${\displaystyle G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G}$

Subgrupos

Informalmente, un subgrupo es un grupo contenido dentro de otro mayor : tiene un subconjunto de los elementos de , con la misma operación. ^[32] Concretamente, esto significa que el elemento de identidad de debe estar contenido en , y siempre que y estén ambos en , entonces también lo están y , por lo que los elementos de , equipados con la operación de grupo en restringido a , de hecho forman un grupo. En este caso, el mapa de inclusión es un homomorfismo. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1}\cdot h_{2}}$ ${\displaystyle h_{1}^{-1}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\to G}$

En el ejemplo de simetrías de un cuadrado, la identidad y las rotaciones constituyen un subgrupo , resaltado en rojo en la tabla de grupos del ejemplo: dos rotaciones cualesquiera compuestas siguen siendo una rotación, y una rotación se puede deshacer (es decir, es inversa a) las rotaciones complementarias 270° por 90°, 180° por 180° y 90° por 270°. La prueba de subgrupo proporciona una condición necesaria y suficiente para que un subconjunto H no vacío de un grupo G sea un subgrupo: es suficiente verificar eso para todos los elementos y en . Conocer los subgrupos de un grupo es importante para comprender el grupo como un todo. ^[F] ${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$ ${\displaystyle g^{-1}\cdot h\in H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$

Dado cualquier subconjunto de un grupo , el subgrupo generado por consta de todos los productos de los elementos de y sus inversos. Es el subgrupo más pequeño de contener . ^[33] En el ejemplo de simetrías de un cuadrado, el subgrupo generado por y consta de estos dos elementos, el elemento identidad y el elemento . Nuevamente, este es un subgrupo, porque al combinar dos de estos cuatro elementos o sus inversos (que son, en este caso particular, estos mismos elementos) se obtiene un elemento de este subgrupo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {v} }\cdot r_{2}}$

cositas

En muchas situaciones es deseable considerar iguales dos elementos de un grupo si difieren en un elemento de un subgrupo determinado. Por ejemplo, en el grupo de simetría de un cuadrado, una vez que se realiza cualquier reflexión, las rotaciones por sí solas no pueden devolver el cuadrado a su posición original, por lo que se puede pensar que las posiciones reflejadas del cuadrado son todas equivalentes entre sí y no equivalentes. a las posiciones irreflexivas; las operaciones de rotación son irrelevantes para la cuestión de si se ha realizado una reflexión. Las clases laterales se utilizan para formalizar esta idea: un subgrupo determina las clases laterales izquierda y derecha, que pueden considerarse como traducciones de un elemento de grupo arbitrario . En términos simbólicos, las clases laterales izquierda y derecha de , que contienen un elemento , son ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}}$y , respectivamente. ^[34] ${\displaystyle Hg=\{h\cdot g\mid h\in H\}}$

Las clases laterales izquierdas de cualquier subgrupo forman una partición de ; es decir, la unión de todas las clases laterales izquierdas es igual a y dos clases laterales izquierdas son iguales o tienen una intersección vacía . ^[35] El primer caso ocurre precisamente cuando , es decir, cuando los dos elementos difieren en un elemento de . Se aplican consideraciones similares a las clases laterales correctas de . Las clases laterales izquierdas de pueden ser o no las mismas que las clases laterales derechas. Si lo son (es decir, si todos satisfacen ), entonces se dice que es un subgrupo normal . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{1}H=g_{2}H}$ ${\displaystyle g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gH=Hg}$ ${\displaystyle H}$

En , el grupo de simetrías de un cuadrado, con su subgrupo de rotaciones, las clases laterales izquierdas son iguales a , si es un elemento de sí mismo, o en caso contrario iguales a (resaltadas en verde en la tabla de grupos de ). El subgrupo es normal porque y de manera similar para los demás elementos del grupo. (De hecho, en el caso de , las clases laterales generadas por las reflexiones son todas iguales: .) ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle gR}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h} }\}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R}$

Grupos de cocientes

Supongamos que es un subgrupo normal de un grupo , y ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle G/N=\{gN\mid g\in G\}}$$

^[36]grupo cocientegrupo factorpropiedad universal ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G\to G/N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle hN}$ ${\displaystyle (gh)N}$ ${\displaystyle eN=N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle (gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$

Los elementos del grupo cociente son y . La operación grupal sobre el cociente se muestra en la tabla. Por ejemplo, . Tanto el subgrupo como el cociente son abelianos, pero no lo son. A veces, un grupo puede reconstruirse a partir de un subgrupo y un cociente (más algunos datos adicionales) mediante la construcción del producto semidirecto ; es un ejemplo. ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U=f_{\mathrm {v} }R}$ ${\displaystyle U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} })R=R}$ ${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

El primer teorema del isomorfismo implica que cualquier homomorfismo sobreyectivo se factoriza canónicamente como un homomorfismo cociente seguido de un isomorfismo: . Los homomorfismos sobreyectivos son los epimorfismos en la categoría de grupos. ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$ ${\displaystyle G\to G/\ker \phi \;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H}$

Presentaciones

Todo grupo es isomorfo a un cociente de un grupo libre , en muchos sentidos.

Por ejemplo, el grupo diédrico se genera por la rotación derecha y la reflexión en una línea vertical (cada elemento de es un producto finito de copias de estos y sus inversas). Por tanto, existe un homomorfismo sobreyectivo φ del grupo libre en dos generadores para enviar a y a . Los elementos en se llaman relaciones ; Ejemplos incluyen . De hecho, resulta que es el subgrupo normal más pequeño que contiene estos tres elementos; en otras palabras, todas las relaciones son consecuencias de estos tres. Se denota el cociente del grupo libre por este subgrupo normal . Esto se llama presentación de por generadores y relaciones, porque el primer teorema de isomorfismo para φ produce un isomorfismo . ^[37] ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \langle r,f\rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle \ker \phi }$ ${\displaystyle r^{4},f^{2},(r\cdot f)^{2}}$ ${\displaystyle \ker \phi }$ ${\displaystyle \langle r,f\rangle }$ ${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle \to \mathrm {D} _{4}}$

Se puede utilizar una presentación de un grupo para construir el gráfico de Cayley , una representación gráfica de un grupo discreto . ^[38]

Ejemplos y aplicaciones

Un patrón de papel tapiz periódico da origen a un grupo de papel tapiz .

Abundan los ejemplos y aplicaciones de grupos. Un punto de partida es el grupo de números enteros con la suma como operación de grupo, presentado anteriormente. Si en lugar de la suma se considera la multiplicación, se obtienen grupos multiplicativos . Estos grupos son predecesores de construcciones importantes en álgebra abstracta . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los grupos también se aplican en muchas otras áreas matemáticas. Los objetos matemáticos a menudo se examinan asociándoles grupos y estudiando las propiedades de los grupos correspondientes. Por ejemplo, Henri Poincaré fundó lo que ahora se llama topología algebraica al introducir el grupo fundamental . ^[39] Por medio de esta conexión, propiedades topológicas como la proximidad y la continuidad se traducen en propiedades de grupos. ^[gramo]

El grupo fundamental de un plano menos un punto (negrita) consta de bucles alrededor del punto faltante. Este grupo es isomorfo a los números enteros bajo la suma.

Los elementos del grupo fundamental de un espacio topológico son clases de equivalencia de bucles, donde los bucles se consideran equivalentes si uno puede deformarse suavemente en otro, y la operación del grupo es "concatenación" (trazar un bucle y luego el otro). Por ejemplo, como se muestra en la figura, si el espacio topológico es el plano al que se le ha quitado un punto, entonces los bucles que no se enrollan alrededor del punto faltante (azul) se pueden contraer suavemente hasta un solo punto y son el elemento de identidad del punto fundamental. grupo. Un bucle que se enrolla alrededor del punto faltante no se puede deformar en un bucle que se enrolla veces (con ), porque el bucle no se puede deformar suavemente a través del agujero, por lo que cada clase de bucles se caracteriza por su número de vueltas alrededor del punto faltante. El grupo resultante es isomorfo a los números enteros bajo la suma. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\neq k}$

En aplicaciones más recientes, la influencia también se ha revertido para motivar construcciones geométricas mediante un trasfondo teórico de grupos. ^[h] En una línea similar, la teoría de grupos geométricos emplea conceptos geométricos, por ejemplo en el estudio de grupos hiperbólicos . ^[40] Otras ramas que aplican grupos de manera crucial incluyen la geometría algebraica y la teoría de números. ^[41]

Además de las aplicaciones teóricas anteriores, existen muchas aplicaciones prácticas de grupos. La criptografía se basa en la combinación del enfoque de la teoría abstracta de grupos junto con el conocimiento algorítmico obtenido en la teoría computacional de grupos , en particular cuando se implementa para grupos finitos. ^[42] Las aplicaciones de la teoría de grupos no se limitan a las matemáticas; Ciencias como la física , la química y la informática se benefician del concepto.

Números

Muchos sistemas numéricos, como los números enteros y los racionales , disfrutan de una estructura de grupo dada de forma natural. En algunos casos, como en el caso de los racionales, tanto las operaciones de suma como de multiplicación dan lugar a estructuras de grupo. Estos sistemas numéricos son predecesores de estructuras algebraicas más generales conocidas como anillos y campos. Otros conceptos algebraicos abstractos, como módulos , espacios vectoriales y álgebras, también forman grupos.

Enteros

El grupo de números enteros bajo la suma, denotado como , se ha descrito anteriormente. Los números enteros, con la operación de multiplicación en lugar de suma, no forman un grupo. Se satisfacen los axiomas de asociatividad e identidad, pero no existen los inversos: por ejemplo, es un número entero, pero la única solución de la ecuación en este caso es , que es un número racional, pero no un número entero. Por tanto, no todos los elementos de tienen un inverso (multiplicativo). ^[i] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,\cdot \right)}$ ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle a\cdot b=1}$ ${\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

racionales

El deseo de la existencia de inversos multiplicativos sugiere considerar fracciones.

$${\displaystyle {\frac {a}{b}}.}$$

Las fracciones de números enteros (con distinto de cero) se conocen como números racionales . ^[j] El conjunto de todas esas fracciones irreducibles se denota comúnmente . Todavía hay un obstáculo menor para que , los racionales con multiplicación, sean un grupo: debido a que cero no tiene un inverso multiplicativo (es decir, no existe tal que ), todavía no es un grupo. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cdot 0=1}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$

Sin embargo, el conjunto de todos los números racionales distintos de cero forma un grupo abeliano bajo la multiplicación, también denotado . ^[k] Los axiomas de asociatividad y de elementos de identidad se derivan de las propiedades de los números enteros. El requisito de cierre sigue siendo válido después de eliminar cero, porque el producto de dos racionales distintos de cero nunca es cero. Finalmente, el inverso de es , por lo tanto se satisface el axioma del elemento inverso. ${\displaystyle \mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\}=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle b/a}$

Los números racionales (incluido el cero) también forman un grupo en la suma. Al entrelazar operaciones de suma y multiplicación se obtienen estructuras más complicadas llamadas anillos y, si es posible la división por valores distintos de cero, como en , campos, que ocupan una posición central en el álgebra abstracta. Por lo tanto, los argumentos de la teoría de grupos subyacen a partes de la teoría de esas entidades. ^[l] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Aritmética modular

Las horas de un reloj forman un grupo que utiliza la suma módulo  12. Aquí, 9 + 4 ≡ 1 .

La aritmética modular para un módulo define dos elementos cualesquiera y que difieren en un múltiplo de para ser equivalentes, denotados por . Cada número entero es equivalente a uno de los números enteros desde hasta , y las operaciones de la aritmética modular modifican la aritmética normal reemplazando el resultado de cualquier operación por su representante equivalente . La suma modular, definida de esta manera para los números enteros de a , forma un grupo, denotado como o , con como elemento identidad y como elemento inverso de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n-a}$ ${\displaystyle a}$

Un ejemplo familiar es la suma de horas en la esfera de un reloj , donde se elige 12 en lugar de 0 como representante de la identidad. Si la manecilla de la hora está encendida y está adelantada , terminará en , como se muestra en la ilustración. Esto se expresa diciendo que es congruente con "módulo " o, en símbolos, ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 9+4}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 12}$

$${\displaystyle 9+4\equiv 1{\pmod {12}}.}$$

Para cualquier número primo , también existe el grupo multiplicativo de números enteros módulo . ^[43] Sus elementos pueden representarse mediante a . La operación de grupo, módulo de multiplicación , reemplaza el producto habitual por su representante, el resto de la división por . Por ejemplo, para , los cuatro elementos del grupo se pueden representar mediante . En este grupo, , porque el producto habitual es equivalente a : cuando se divide por da un resto de . La primalidad de garantiza que el producto habitual de dos representantes no sea divisible por y, por tanto, que el producto modular sea distinto de cero. ^[m] El elemento identidad está representado por , y la asociatividad se deriva de la propiedad correspondiente de los números enteros. Finalmente, el axioma del elemento inverso requiere que dado un número entero no divisible por , exista un número entero tal que ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 1,2,3,4}$ ${\displaystyle 4\cdot 4\equiv 1{\bmod {5}}}$ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle a\cdot b\equiv 1{\pmod {p}},}$$

la identidad de Bézoutmáximo común divisor es igual a . ^[44]por^[45]la criptografía de clave pública^[norte] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a\cdot b-1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \gcd(a,p)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3\cdot 2=6\equiv 1{\bmod {5}}}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\},\cdot \right)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$

Grupos cíclicos

Las raíces del sexto complejo de la unidad forman un grupo cíclico. es un elemento primitivo, pero no lo es, porque los poderes impares de no son un poder de . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{2}}$

Un grupo cíclico es un grupo cuyos elementos son potencias de un elemento particular . ^[46] En notación multiplicativa, los elementos del grupo son ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \dots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},a^{0},a,a^{2},a^{3},\dots ,}$$

^[o]elemento primitivo ${\displaystyle a^{2}}$ ${\displaystyle a\cdot a}$ ${\displaystyle a^{-3}}$ ${\displaystyle a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1}}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \dots ,(-a)+(-a),-a,0,a,a+a,\dots .}$$

En los grupos presentados anteriormente, el elemento es primitivo, por lo que estos grupos son cíclicos. De hecho, cada elemento es expresable como una suma cuyos términos son . Cualquier grupo cíclico con elementos es isomorfo a este grupo. Un segundo ejemplo de grupos cíclicos es el grupo de raíces complejas de la unidad , dado por números complejos que satisfacen . Estos números se pueden visualizar como los vértices de un -gon regular , como se muestra en azul en la imagen de . La operación grupal es la multiplicación de números complejos. En la imagen, multiplicar por corresponde a una rotación de 60° en el sentido contrario a las agujas del reloj . ^[47] Desde la teoría de campos , el grupo es cíclico para primos : por ejemplo, si , es un generador desde ,,, y . ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{n}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=6}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3^{1}=3}$ ${\displaystyle 3^{2}=9\equiv 4}$ ${\displaystyle 3^{3}\equiv 2}$ ${\displaystyle 3^{4}\equiv 1}$

Algunos grupos cíclicos tienen un número infinito de elementos. En estos grupos, para cada elemento distinto de cero , todas las potencias de son distintas; A pesar del nombre "grupo cíclico", los poderes de los elementos no cambian. Un grupo cíclico infinito es isomorfo al grupo de números enteros bajo la suma presentado anteriormente. ^[48] ​​Como estos dos prototipos son abelianos, también lo son todos los grupos cíclicos. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$

El estudio de los grupos abelianos generados finitamente es bastante maduro, incluido el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente ; y reflejando este estado de cosas, muchas nociones relacionadas con grupos, como centro y conmutador , describen hasta qué punto un grupo determinado no es abeliano. ^[49]

Grupos de simetría

El grupo de triángulos (2,3,7), un grupo de reflexión hiperbólico, actúa sobre este mosaico del plano hiperbólico ^[50]

Los grupos de simetría son grupos que consisten en simetrías de objetos matemáticos dados, principalmente entidades geométricas, como el grupo de simetría del cuadrado dado como ejemplo introductorio anteriormente, aunque también surgen en álgebra, como las simetrías entre las raíces de ecuaciones polinómicas tratadas en Teoría de Galois (ver más abajo). ^[51] Conceptualmente, la teoría de grupos puede considerarse como el estudio de la simetría. ^[p] Las simetrías en matemáticas simplifican enormemente el estudio de objetos geométricos o analíticos . Se dice que un grupo actúa sobre otro objeto matemático X si cada elemento del grupo puede asociarse a alguna operación sobre X y la composición de estas operaciones sigue la ley del grupo. Por ejemplo, un elemento del grupo de triángulos (2,3,7) actúa sobre un mosaico triangular del plano hiperbólico permutando los triángulos. ^[50] Mediante una acción grupal, el patrón grupal está conectado a la estructura del objeto sobre el que se actúa.

En química, los grupos puntuales describen simetrías moleculares , mientras que los grupos espaciales describen simetrías cristalinas en cristalografía . Estas simetrías subyacen al comportamiento químico y físico de estos sistemas, y la teoría de grupos permite la simplificación del análisis mecánico cuántico de estas propiedades. ^[52] Por ejemplo, la teoría de grupos se utiliza para mostrar que las transiciones ópticas entre ciertos niveles cuánticos no pueden ocurrir simplemente debido a la simetría de los estados involucrados. ^[53]

La teoría de grupos ayuda a predecir los cambios en las propiedades físicas que ocurren cuando un material sufre una transición de fase , por ejemplo, de una forma cristalina cúbica a una tetraédrica. Un ejemplo son los materiales ferroeléctricos , donde el cambio de un estado paraeléctrico a un estado ferroeléctrico ocurre a la temperatura de Curie y está relacionado con un cambio del estado paraeléctrico de alta simetría al estado ferroeléctrico de menor simetría, acompañado por el llamado modo de fonón suave. , un modo de red vibratoria que llega a la frecuencia cero en la transición. ^[54]

Esta ruptura espontánea de simetría ha encontrado una mayor aplicación en la física de partículas elementales, donde su aparición está relacionada con la aparición de los bosones de Goldstone . ^[55]

Los grupos de simetría finitos, como los grupos de Mathieu , se utilizan en la teoría de la codificación , que a su vez se aplica en la corrección de errores de los datos transmitidos, y en los reproductores de CD . ^[59] Otra aplicación es la teoría diferencial de Galois , que caracteriza funciones que tienen antiderivadas de una forma prescrita, dando criterios de teoría de grupos para determinar cuándo las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales se comportan bien. ^[q] Las propiedades geométricas que permanecen estables bajo acciones grupales se investigan en la teoría invariante (geométrica) . ^[60]

Teoría general de grupos lineales y representación.

Dos vectores (la ilustración de la izquierda) multiplicados por matrices (las ilustraciones del medio y la derecha). La ilustración del medio representa una rotación de 90° en el sentido de las agujas del reloj, mientras que la de más a la derecha alarga la coordenada en un factor 2. ${\displaystyle x}$

Los grupos de matrices constan de matrices junto con la multiplicación de matrices . El grupo lineal general consta de todas las matrices invertibles -por- con entradas reales. ^[61] Sus subgrupos se denominan grupos matriciales o grupos lineales . El ejemplo del grupo diédrico mencionado anteriormente puede verse como un grupo matricial (muy pequeño). Otro grupo matricial importante es el grupo ortogonal especial . Describe todas las rotaciones posibles en dimensiones. Las matrices de rotación de este grupo se utilizan en gráficos por computadora . ^[62] ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle n}$

La teoría de la representación es a la vez una aplicación del concepto de grupo y es importante para una comprensión más profunda de los grupos. ^{[63] [64]} Estudia al grupo por sus acciones grupales en otros espacios. Una clase amplia de representaciones de grupos son las representaciones lineales en las que el grupo actúa sobre un espacio vectorial, como el espacio euclidiano tridimensional . Una representación de un grupo en un espacio vectorial real andimensional es simplemente un homomorfismo de grupo del grupo al grupo lineal general. De esta manera, la operación de grupo, que puede darse de manera abstracta, se traduce en la multiplicación de matrices, haciéndola accesible a cálculos explícitos. ^[r] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

Una acción grupal proporciona más medios para estudiar el objeto sobre el que se actúa. ^[s] Por otro lado, también arroja información sobre el grupo. Las representaciones de grupos son un principio organizador en la teoría de grupos finitos, grupos de Lie, grupos algebraicos y grupos topológicos , especialmente grupos compactos (localmente) . ^{[63] [65]}

Grupos de Galois

Los grupos de Galois se desarrollaron para ayudar a resolver ecuaciones polinómicas capturando sus características de simetría. ^{[66] [67]} Por ejemplo, las soluciones de la ecuación cuadrática vienen dadas por ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

cúbicascuárticasnoel grado 5^[68]solubilidadraíces^[69] ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$

La teoría moderna de Galois generaliza el tipo anterior de grupos de Galois cambiando a la teoría de campos y considerando las extensiones de campo formadas como el campo de división de un polinomio. Esta teoría establece –a través del teorema fundamental de la teoría de Galois– una relación precisa entre campos y grupos, subrayando una vez más la ubicuidad de los grupos en matemáticas. ^[70]

grupos finitos

Un grupo se llama finito si tiene un número finito de elementos . El número de elementos se llama orden del grupo. ^[71] Una clase importante son los grupos simétricos , los grupos de permutaciones de objetos. Por ejemplo, el grupo simétrico de 3 letras es el grupo de todas las posibles reordenaciones de los objetos. Las tres letras ABC se pueden reordenar en ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, formando en total 6 ( factorial de 3) elementos. La operación de grupo es la composición de estos reordenamientos, y el elemento de identidad es la operación de reordenamiento que deja el orden sin cambios. Esta clase es fundamental en la medida en que cualquier grupo finito puede expresarse como un subgrupo de un grupo simétrico para un entero adecuado , según el teorema de Cayley . Paralelo al grupo de simetrías del cuadrado anterior, también se puede interpretar como el grupo de simetrías de un triángulo equilátero . ${\displaystyle \mathrm {S} _{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$

El orden de un elemento en un grupo es el número entero menos positivo tal que , donde representa ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a^{n}=e}$ ${\displaystyle a^{n}}$

$${\displaystyle \underbrace {a\cdots a} _{n{\text{ factors}}},}$$

${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$

Técnicas de conteo más sofisticadas, por ejemplo, contar clases laterales, producen afirmaciones más precisas sobre grupos finitos: el teorema de Lagrange establece que para un grupo finito el orden de cualquier subgrupo finito divide el orden de . Los teoremas de Sylow dan un recíproco parcial. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

El grupo diédrico de simetrías de un cuadrado es un grupo finito de orden 8. En este grupo, el orden de es 4, al igual que el orden del subgrupo que genera este elemento. El orden de los elementos de reflexión, etc., es 2. Ambos órdenes dividen a 8, como lo predice el teorema de Lagrange. Los grupos de multiplicación módulo a primo tienen orden . ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p-1}$

Grupos abelianos finitos

Cualquier grupo abeliano finito es isomorfo a un producto de grupos cíclicos finitos; esta afirmación es parte del teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente .

Cualquier grupo de orden primo es isomorfo al grupo cíclico (una consecuencia del teorema de Lagrange ). Cualquier grupo de orden es abeliano, isomorfo a o . Pero existen grupos de orden no abelianos ; el grupo diédrico de orden anterior es un ejemplo. ^[72] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{p}\times \mathrm {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p^{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle 2^{3}}$

Grupos simples

Cuando un grupo tiene un subgrupo normal distinto de y , las preguntas sobre a veces pueden reducirse a preguntas sobre y . Un grupo no trivial se llama simple si no tiene ningún subgrupo normal. Los grupos finitos simples son para grupos finitos lo que los números primos son para enteros positivos: sirven como bloques de construcción, en un sentido preciso en el teorema de Jordan-Hölder . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

Clasificación de grupos finitos simples.

Se han utilizado sistemas de álgebra informática para enumerar todos los grupos de orden hasta 2000 . ^[t] Pero clasificar todos los grupos finitos es un problema que se considera demasiado difícil de resolver.

La clasificación de todos los grupos finitos simples fue un logro importante en la teoría de grupos contemporánea. Hay varias familias infinitas de tales grupos, así como 26 " grupos esporádicos " que no pertenecen a ninguna de las familias. El grupo esporádico más grande se llama grupo de monstruos . Las monstruosas conjeturas del alcohol ilegal, demostradas por Richard Borcherds , relacionan el grupo de monstruos con determinadas funciones modulares . ^[73]

La brecha entre la clasificación de grupos simples y la clasificación de todos los grupos radica en el problema de la extensión . ^[74]

Grupos con estructura adicional

Una definición equivalente de grupo consiste en sustituir la parte "existe" de los axiomas del grupo por operaciones cuyo resultado es el elemento que debe existir. Entonces, un grupo es un conjunto equipado con una operación binaria (la operación de grupo), una operación unaria (que proporciona la inversa) y una operación nula , que no tiene operando y da como resultado el elemento identidad. Por lo demás, los axiomas del grupo son exactamente iguales. Esta variante de la definición evita cuantificadores existenciales y se utiliza en computación con grupos y para pruebas asistidas por computadora . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times G\rightarrow G}$ ${\displaystyle G\rightarrow G}$

Esta forma de definir grupos se presta a generalizaciones como la noción de objeto grupal en una categoría. Brevemente, este es un objeto con morfismos que imitan los axiomas del grupo. ^[75]

Grupos topológicos

El círculo unitario en el plano complejo bajo multiplicación compleja es un grupo de Lie y, por tanto, un grupo topológico. Es topológico ya que la multiplicación y división complejas son continuas. Es una variedad y, por lo tanto, un grupo de Lie, porque cada pequeña pieza , como el arco rojo en la figura, parece parte de la línea real (que se muestra en la parte inferior).

Algunos espacios topológicos pueden estar dotados de una ley de grupo. Para que la ley del grupo y la topología se entrelacen bien, las operaciones del grupo deben ser funciones continuas; informalmente, y no debe variar mucho si varía sólo un poco. Estos grupos se denominan grupos topológicos y son los objetos de grupo en la categoría de espacios topológicos . ^[76] Los ejemplos más básicos son el grupo de números reales bajo suma y el grupo de números reales distintos de cero bajo multiplicación. Se pueden formar ejemplos similares a partir de cualquier otro campo topológico , como el campo de números complejos o el campo de números p -ádicos . Estos ejemplos son localmente compactos , por lo que tienen medidas de Haar y pueden estudiarse mediante análisis armónico . Otros grupos topológicos localmente compactos incluyen el grupo de puntos de un grupo algebraico sobre un campo local o anillo de Adele ; estos son básicos para la teoría de números ^[77] Los grupos de Galois de infinitas extensiones de campo algebraico están equipados con la topología de Krull , que desempeña un papel en la teoría de Galois infinita . ^[78] Una generalización utilizada en geometría algebraica es el grupo fundamental étale . ^[79] ${\displaystyle g\cdot h}$ ${\displaystyle g^{-1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

grupos de mentiras

Un grupo de Lie es un grupo que también tiene la estructura de una variedad diferenciable ; Informalmente, esto significa que localmente parece un espacio euclidiano de alguna dimensión fija. ^[80] Nuevamente, la definición requiere que la estructura adicional, aquí la estructura múltiple, sea compatible: se requiere que las aplicaciones de multiplicación e inversa sean suaves .

Un ejemplo estándar es el grupo lineal general presentado anteriormente: es un subconjunto abierto del espacio de todas las matrices -por- , porque está dado por la desigualdad ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \det(A)\neq 0,}$$

^[81] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Los grupos de mentiras tienen una importancia fundamental en la física moderna: el teorema de Noether vincula simetrías continuas con cantidades conservadas . ^[82] La rotación , así como las traslaciones en el espacio y el tiempo , son simetrías básicas de las leyes de la mecánica . Pueden usarse, por ejemplo, para construir modelos simples; imponer, por ejemplo, simetría axial a una situación generalmente conducirá a una simplificación significativa de las ecuaciones que uno necesita resolver para proporcionar una descripción física. ^[u] Otro ejemplo es el grupo de transformaciones de Lorentz , que relacionan medidas de tiempo y velocidad de dos observadores en movimiento entre sí. Se pueden deducir de forma puramente teórica de grupos, expresando las transformaciones como una simetría rotacional del espacio de Minkowski . Este último sirve, en ausencia de una gravitación significativa , como modelo del espacio-tiempo en la relatividad especial . ^[83] El grupo de simetría completo del espacio de Minkowski, es decir, incluidas las traslaciones, se conoce como grupo de Poincaré . Por lo anterior, juega un papel fundamental en la relatividad especial y, por implicación, en las teorías cuánticas de campos . ^[84] Las simetrías que varían con la ubicación son fundamentales para la descripción moderna de las interacciones físicas con la ayuda de la teoría del calibre . Un ejemplo importante de teoría de calibre es el modelo estándar , que describe tres de las cuatro fuerzas fundamentales conocidas y clasifica todas las partículas elementales conocidas . ^[85]

Generalizaciones

Se pueden definir estructuras más generales relajando algunos de los axiomas que definen un grupo. ^{[31] [86] [87]} La ​​tabla proporciona una lista de varias estructuras que generalizan grupos.

Por ejemplo, si se elimina el requisito de que todo elemento tenga una inversa, la estructura algebraica resultante se llama monoide . Los números naturales (incluido el cero) en la suma forman un monoide, al igual que los números enteros distintos de cero en la multiplicación . Los inversos contiguos de todos los elementos del monoide producen un grupo , y del mismo modo los inversos contiguos de cualquier monoide (abeliano) M producen un grupo conocido como grupo de Grothendieck de M. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$

Se puede considerar un grupo como una categoría pequeña con un objeto x en la que cada morfismo es un isomorfismo: dada tal categoría, el conjunto es un grupo; por el contrario, dado un grupo G , se puede construir una pequeña categoría con un objeto x en el que . De manera más general, un grupoide es cualquier categoría pequeña en la que cada morfismo es un isomorfismo. En un grupoide, el conjunto de todos los morfismos en la categoría generalmente no es un grupo, porque la composición solo está parcialmente definida: fg se define solo cuando la fuente de f coincide con el objetivo de g . Los grupoides surgen en topología (por ejemplo, el grupoide fundamental ) y en la teoría de pilas . ${\displaystyle \operatorname {Hom} (x,x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (x,x)\simeq G}$

Finalmente, es posible generalizar cualquiera de estos conceptos reemplazando la operación binaria con una operación n -aria (es decir, una operación que toma n argumentos, para algún entero no negativo n ). Con la generalización adecuada de los axiomas de grupo, esto da una noción de grupo n -ario . ^[88]

Ver también

• Portal de matemáticas

• Lista de temas de teoría de grupos

Notas

1. Algunos autores incluyen un axioma adicional denominado cierre bajo la operación " ", lo que significa que es un elemento de para todos y en . Esta condición se incluye al requerir que " " sea una operación binaria en . Véase Lang 2002. ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle G}$
2. La base de datos MathSciNet de publicaciones matemáticas enumera 1779 artículos de investigación sobre teoría de grupos y sus generalizaciones escritos solo en 2020. Consulte MathSciNet 2021.
3. Por lo general, se evita el uso de notación fraccionaria a menos que sea abeliana, debido a la ambigüedad de si significa o ). ${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$ ${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$
4. Véase, por ejemplo, Lang 2002, Lang 2005, Herstein 1996 y Herstein 1975.
5. La palabra homomorfismo deriva del griego ὁμός—lo mismo y μορφή—estructura. Véase Schwartzman 1994, pág. 108.
6. Sin embargo, un grupo no está determinado por su red de subgrupos. Ver Suzuki 1951.
7. Consulte el teorema de Seifert-Van Kampen como ejemplo.
8. Un ejemplo es la cohomología de grupo de un grupo que es igual a la cohomología singular de su espacio de clasificación , ver Weibel 1994, §8.2.
9. Los elementos que tienen inversos multiplicativos se denominan unidades , consulte Lang 2002, p. 84, §II.1.
10. La transición de los números enteros a los racionales mediante la inclusión de fracciones se generaliza mediante el campo de las fracciones .
11. Lo mismo ocurre con cualquier campo F en lugar de . Véase Lang 2005, pág. 86, §III.1. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
12. Por ejemplo, un subgrupo finito del grupo multiplicativo de un campo es necesariamente cíclico. Véase Lang 2002, Teorema IV.1.9. Las nociones de torsión de un módulo y las álgebras simples son otros ejemplos de este principio.
13. La propiedad indicada es una posible definición de números primos. Ver elemento primo .
14. Por ejemplo, el protocolo Diffie-Hellman utiliza el logaritmo discreto . Véase Gollmann 2011, §15.3.2.
15. La notación aditiva para elementos de un grupo cíclico sería , donde está en . ${\displaystyle t\cdot a}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
16. Más rigurosamente, cada grupo es el grupo de simetría de algún gráfico ; ver teorema de Frucht , Frucht 1939.
17. Más precisamente, se considera la acción monodromía sobre el espacio vectorial de soluciones de ecuaciones diferenciales. Véase Kuga 1993, págs. 105-113.
18. Esto fue crucial para la clasificación de grupos finitos simples, por ejemplo. Véase Aschbacher 2004.
19. Véase, por ejemplo, el lema de Schur sobre el impacto de una acción grupal en módulos simples . Un ejemplo más complicado es la acción de un grupo absoluto de Galois en la cohomología étale .
20. Hasta el isomorfismo, hay alrededor de 49 mil millones de grupos de orden hasta el año 2000. Véase Besche, Eick y O'Brien 2001.
21. Consulte la métrica de Schwarzschild para ver un ejemplo en el que la simetría reduce en gran medida la complejidad de los sistemas físicos.

Citas

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41. Por ejemplo, grupos de clases y grupos Picard ; véase Neukirch 1999, en particular §§I.12 y I.13
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Referencias

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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Grupo", MathWorld