función parcial

En matemáticas , una función parcial $f$ de un conjunto $X$ a un conjunto $Y$ es una función de un subconjunto $S$ de $X$ (posiblemente todo el $X$ mismo) a $Y.$ El subconjunto $S$ , es decir, el dominio de $f$ visto como una función, se llama dominio de definición o dominio natural de $f$ . Si $S$ es igual a $X$ , es decir, si $f$ está definida en cada elemento de $X$ , entonces se dice que $f es una$ función total .

Más técnicamente, una función parcial es una relación binaria entre dos conjuntos que asocia cada elemento del primer conjunto a como máximo un elemento del segundo conjunto; es por tanto una relación univalente . Esto generaliza el concepto de función (total) al no requerir que cada elemento del primer conjunto esté asociado a un elemento del segundo conjunto.

Una función parcial se utiliza a menudo cuando su dominio exacto de definición no se conoce o es difícil de especificar. Este es el caso del cálculo , donde, por ejemplo, el cociente de dos funciones es una función parcial cuyo dominio de definición no puede contener los ceros del denominador. Por esta razón, en cálculo, y más generalmente en análisis matemático , una función parcial generalmente se denomina simplemente función . En teoría de la computabilidad , una función recursiva general es una función parcial de los números enteros a los números enteros; no puede existir ningún algoritmo para decidir si una función arbitraria de este tipo es de hecho total.

Cuando se usa la notación de flechas para funciones, una función parcial de a a veces se escribe como o. Sin embargo, no existe una convención general y la última notación se usa más comúnmente para mapas de inclusión o incrustaciones . ^[^{cita necesaria}^] $f$ $X$ $Y$ $f:X\rightharpoonup Y,$ $f:X\nrightarrow Y,$ $f:X\hookrightarrow Y.$

Específicamente, para una función parcial y cualquiera tiene: $f:X\rightharpoonup Y,$ $x\en X,$

$f(x)=y\en Y$ (es un solo elemento en $Y$ ), o
$f(x)$ es indefinido.

Por ejemplo, si la función de raíz cuadrada está restringida a los números enteros $f$

f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N},

definido por:

f(n)=m

si y solo si,

m^{2}=n,

m\in \mathbb {N},n\in \mathbb {Z},

entonces sólo se define si es un cuadrado perfecto (es decir, ). Entonces, pero no está definido. $f(n)$ $n$ $0,1,4,9,16,\ldots$ $f(25)=5$ $f(26)$

Conceptos básicos

Una función parcial surge de la consideración de aplicaciones entre dos conjuntos $X$ e $Y$ que pueden no estar definidas en el conjunto $X$ completo . Un ejemplo común es la operación de raíz cuadrada de los números reales : debido a que los números reales negativos no tienen raíces cuadradas reales, la operación puede verse como una función parcial desde hasta El dominio de definición de una función parcial es el subconjunto $S$ de $X$ en donde se define la función parcial; en este caso , la función parcial también puede verse como una función de $S$ a $Y.$ En el ejemplo de la operación de raíz cuadrada, el conjunto $S$ consta de números reales no negativos $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}.$ $[0,+\infty ).$

La noción de función parcial es particularmente conveniente cuando el dominio exacto de la definición es desconocido o incluso incognoscible. Para ver un ejemplo informático de este último, consulte Problema de detención .

En caso de que el dominio de definición $S$ sea igual al conjunto completo $X$ , se dice que la función parcial es total . Así, las funciones parciales totales de $X$ a $Y$ coinciden con funciones de $X$ a $Y.$

Muchas propiedades de funciones se pueden ampliar en el sentido apropiado de funciones parciales. Una función parcial se dice que es inyectiva , sobreyectiva o biyectiva cuando la función dada por la restricción de la función parcial a su dominio de definición es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva respectivamente.

Debido a que una función es trivialmente sobreyectiva cuando se restringe a su imagen, el término biyección parcial denota una función parcial que es inyectiva. ^[1]

Una función parcial inyectiva se puede invertir en una función parcial inyectiva, y una función parcial que es tanto inyectiva como sobreyectiva tiene una función inyectiva como inversa. Además, una función que es inyectiva puede invertirse en una función parcial biyectiva.

La noción de transformación también se puede generalizar a funciones parciales. Una transformación parcial es una función donde ambos y son subconjuntos de algún conjunto ^[1] $f:A\rightharpoonup B,$ $A$ $B$ $X.$

Espacios funcionales

Por conveniencia, denotamos el conjunto de todas las funciones parciales de un conjunto a otro por. Este conjunto es la unión de los conjuntos de funciones definidas en subconjuntos de con el mismo codominio : $f:X\rightharpoonup Y$ $X$ $Y$ $[X\rightharpoonup Y].$ $X$ $Y$

[X\rightharpoonup Y]=\bigcup _{D\subseteq X}[D\to Y],

este último también escrito como En caso finito, su cardinalidad es ${\textstyle \bigcup _{D\subseteq {X}}Y^{D}.}$

|[X\rightharpoonup Y]|=(|Y|+1)^{|X|},

porque cualquier función parcial puede extenderse a una función mediante cualquier valor fijo no contenido en ella, de modo que el codominio es una operación inyectiva (única e invertible por restricción). $c$ $Y,$ $Y\cup \{c\},$

Discusión y ejemplos

El primer diagrama en la parte superior del artículo representa una función parcial que no es una función ya que el elemento 1 en el conjunto de la izquierda no está asociado con nada en el conjunto de la derecha. Mientras que el segundo diagrama representa una función, ya que cada elemento del conjunto de la izquierda está asociado con exactamente un elemento del conjunto de la derecha.

Logaritmo natural

Considere la función de logaritmo natural que relaciona los números reales entre sí. El logaritmo de un real no positivo no es un número real, por lo que la función de logaritmo natural no asocia ningún número real en el codominio con ningún número real no positivo en el dominio. Por lo tanto, la función logaritmo natural no es una función cuando se la ve como una función de los reales respecto de sí mismos, sino que es una función parcial. Si el dominio se restringe para incluir solo los reales positivos (es decir, si la función del logaritmo natural se considera una función de los reales positivos a los reales), entonces el logaritmo natural es una función.

Resta de números naturales

La resta de números naturales (en la que están los enteros no negativos ) es una función parcial: $\mathbb {N}$

f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightharpoonup \mathbb {N}

f(x,y)=x-y.

Se define sólo cuando $x\geq y.$

Elemento inferior

En semántica denotacional se considera que una función parcial devuelve el elemento inferior cuando no está definido.

En informática, una función parcial corresponde a una subrutina que genera una excepción o se repite para siempre. El estándar de punto flotante IEEE define un valor que no es un número que se devuelve cuando una operación de punto flotante no está definida y se suprimen las excepciones, por ejemplo, cuando se solicita la raíz cuadrada de un número negativo.

En un lenguaje de programación donde los parámetros de función se escriben estáticamente , una función puede definirse como una función parcial porque el sistema de tipos del lenguaje no puede expresar el dominio exacto de la función, por lo que el programador le asigna el dominio más pequeño que se puede expresar como un tipo y contiene el dominio de definición de la función.

En la teoría de categorías

En teoría de categorías , al considerar la operación de composición de morfismos en categorías concretas , la operación de composición es una función si y solo si tiene un elemento. La razón de esto es que dos morfismos y solo se pueden componer, ya que si es así, el codominio de debe ser igual al dominio de $\circ \;:\;\hom(C)\times \hom(C)\to \hom(C)$ $\operatorname {ob} (C)$ $f:X\to Y$ $g:U\to V$ $g\circ f$ $Y=U,$ $f$ $g.$

La categoría de conjuntos y funciones parciales es equivalente , pero no isomorfa, a la categoría de conjuntos puntiagudos y mapas que preservan puntos. ^[2] Un libro de texto señala que "Esta finalización formal de conjuntos y mapas parciales mediante la adición de elementos “impropios”, “infinitos” se reinventó muchas veces, en particular, en topología ( compactación de un punto ) y en informática teórica ". ^[3]

La categoría de conjuntos y biyecciones parciales es equivalente a su dual . ^[4] Es la categoría inversa prototípica . ^[5]

En álgebra abstracta

El álgebra parcial generaliza la noción de álgebra universal a operaciones parciales . Un ejemplo sería un campo , en el que la inversión multiplicativa es la única operación parcial adecuada (porque la división por cero no está definida). ^[6]

El conjunto de todas las funciones parciales ( transformaciones parciales ) en un conjunto base dado, forma un semigrupo regular llamado semigrupo de todas las transformaciones parciales (o semigrupo de transformaciones parciales en ), normalmente denotado por ^[7]^[8]^[9] El conjunto de todas las biyecciones parciales en forma el semigrupo inverso simétrico . ^[7]^[8] $X,$ $X$ ${\mathcal {PT}}_{X}.$ $X$

Cartas y atlas de colectores y haces de fibras.

Los gráficos de los atlas que especifican la estructura de variedades y haces de fibras son funciones parciales. En el caso de variedades, el dominio es el conjunto de puntos de la variedad. En el caso de haces de fibras, el dominio es el espacio del haz de fibras. En estas aplicaciones, la construcción más importante es el mapa de transición , que es la combinación de un gráfico con el inverso de otro. La clasificación inicial de variedades y haces de fibras se expresa en gran medida en términos de restricciones en estos mapas de transición.

La razón para el uso de funciones parciales en lugar de funciones es permitir que las topologías globales generales se representen uniendo parches locales para describir la estructura global. Los "parches" son los dominios donde se definen los gráficos.

Ver también

Continuación analítica – Ampliación del dominio de una función analítica (matemáticas)
Función multivalor – Función matemática generalizada
Operador densamente definido : función que se define en casi todas partes (matemáticas)

Referencias

^ ab Christopher Hollings (2014). Matemáticas al otro lado del Telón de Acero: una historia de la teoría algebraica de semigrupos. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 251.ISBN 978-1-4704-1493-1.
^ Lutz Schröder (2001). "Categorías: un recorrido gratuito". En Jürgen Koslowski y Austin Melton (ed.). Perspectivas categóricas . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 10.ISBN 978-0-8176-4186-3.
^ Neal Koblitz; B. Zilber; Yu. I. Manin (2009). Un curso de lógica matemática para matemáticos . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 290.ISBN 978-1-4419-0615-1.
^ Francisco Borceux (1994). Manual de álgebra categórica: volumen 2, categorías y estructuras. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 289.ISBN 978-0-521-44179-7.
^ Marco Grandis (2012). Álgebra homológica: la interacción de la homología con redes distributivas y semigrupos ortodoxos. Científico mundial. pag. 55.ISBN 978-981-4407-06-9.
^ Peter Burmeister (1993). "Álgebras parciales: un estudio introductorio". En Ivo G. Rosenberg; Gert Sabidussi (eds.). Álgebras y Órdenes . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-7923-2143-9.
^ ab Alfred Hoblitzelle Clifford; GB Preston (1967). La teoría algebraica de los semigrupos. Volumen II. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. xii. ISBN 978-0-8218-0272-4.
^ ab Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Prensa de la Universidad de Oxford, incorporada. pag. 4.ISBN 978-0-19-853577-5.
^ Oleksandr Ganyushkin; Volodymyr Mazorchuk (2008). Semigrupos clásicos de transformación finita: una introducción . Medios de ciencia y negocios de Springer. págs.16 y 24. ISBN 978-1-84800-281-4.

Martin Davis (1958), Computabilidad e insolubilidad , McGraw-Hill Book Company, Inc, Nueva York. Republicado por Dover en 1982. ISBN 0-486-61471-9 .
Stephen Kleene (1952), Introducción a las metamatemáticas , North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Países Bajos, décima impresión con correcciones agregadas en la séptima impresión (1974). ISBN 0-7204-2103-9 .
Harold S. Stone (1972), Introducción a la organización informática y las estructuras de datos , McGraw-Hill Book Company, Nueva York.