Subconjunto

Conjunto cuyos elementos pertenecen todos a otro conjunto

Diagrama de Euler que muestra que
A es un subconjunto de B (denotado ) y, a la inversa, B es un superconjunto de A (denotado ). ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B\supseteq A}$

En matemáticas, un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si todos los elementos de A son también elementos de B ; B es entonces un superconjunto de A . Es posible que A y B sean iguales; si son desiguales, entonces A es un subconjunto propio de B. La relación de un conjunto con un subconjunto de otro se llama inclusión (o, a veces, contención ). A es un subconjunto de B también puede expresarse como B incluye (o contiene) A o A está incluido (o contenido) en B. Un k -subconjunto es un subconjunto con k elementos.

La relación de subconjunto define un orden parcial en conjuntos. De hecho, los subconjuntos de un conjunto dado forman un álgebra booleana bajo la relación de subconjunto, en la que la unión y el encuentro están dados por intersección y unión , y la relación de subconjunto en sí es la relación de inclusión booleana .

Definición

Si A y B son conjuntos y todo elemento de A es también elemento de B , entonces:

• A es un subconjunto de B , denotado por , o equivalentemente, ${\displaystyle A\subseteq B}$
• B es un superconjunto de A , denotado por ${\displaystyle B\supseteq A.}$

Si A es un subconjunto de B , pero A no es igual a B (es decir, existe al menos un elemento de B que no es un elemento de A ), entonces:

• A es un subconjunto propio (o estricto ) de B , denotado por , o equivalentemente, ${\displaystyle A\subsetneq B}$
• B es un superconjunto propio (o estricto ) de A , denotado por . ${\displaystyle B\supsetneq A}$

El conjunto vacío , escrito o es un subconjunto de cualquier conjunto X y un subconjunto propio de cualquier conjunto excepto él mismo, la relación de inclusión es un orden parcial en el conjunto (el conjunto potencia de S —el conjunto de todos los subconjuntos de S ^[1] ) definido por . También podemos ordenar parcialmente mediante inclusión de conjunto inverso definiendo ${\displaystyle \{\}}$ ${\displaystyle \varnothing ,}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle A\leq B\iff A\subseteq B}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle A\leq B{\text{ if and only if }}B\subseteq A.}$

Cuando se cuantifica, se representa como ^[2] ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \forall x\left(x\in A\implies x\in B\right).}$

Podemos probar la afirmación aplicando una técnica de prueba conocida como argumento de elemento ^[3] : ${\displaystyle A\subseteq B}$

Sean dados los conjuntos A y B. para probar que ${\displaystyle A\subseteq B,}$

1. supongamos que a es un elemento particular pero elegido arbitrariamente de A
2. Demuestre que a es un elemento de B.

La validez de esta técnica puede verse como una consecuencia de la generalización universal : la técnica muestra para un elemento elegido arbitrariamente c . La generalización universal implica entonces lo que es equivalente a lo dicho anteriormente. ${\displaystyle c\in A\implies c\in B}$ ${\displaystyle \forall x\left(x\in A\implies x\in B\right),}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$

El conjunto de todos los subconjuntos de se llama conjunto potencia y se denota por . El conjunto de todos los subconjuntos de se denota por , de forma análoga a la notación de coeficientes binomiales , que cuenta el número de subconjuntos de un conjunto de elementos. En la teoría de conjuntos , la notación también es común, especialmente cuando se trata de un número cardinal transfinito . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tbinom {A}{k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [A]^{k}}$ ${\displaystyle k}$

Propiedades

• Un conjunto A es un subconjunto de B si y sólo si su intersección es igual a A.

Formalmente:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cap B=A.}$

• Un conjunto A es subconjunto de B si y sólo si su unión es igual a B.

Formalmente:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cup B=B.}$

• Un conjunto finito A es un subconjunto de B , si y sólo si la cardinalidad de su intersección es igual a la cardinalidad de A.

Formalmente:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|=|A|.}$

Símbolos ⊂ y ⊃

Algunos autores utilizan los símbolos y para indicar subconjunto y superconjunto respectivamente; es decir, con el mismo significado que y en lugar de los símbolos y ^[4] Por ejemplo, para estos autores, es cierto para todo conjunto A que (una relación reflexiva ). ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \supseteq .}$ ${\displaystyle A\subset A.}$

Otros autores prefieren utilizar los símbolos e indicar el subconjunto propio (también llamado estricto) y el superconjunto propio respectivamente; es decir, con el mismo significado que y en lugar de los símbolos y ^[5] Este uso es análogo a los símbolos de desigualdad y. Por ejemplo, si entonces x puede o no ser igual a y , pero si entonces x definitivamente no es igual a y , y es menor que y (una relación irreflexiva ). De manera similar , usando la convención de subconjunto propio, si entonces A puede o no ser igual a B , pero si entonces A definitivamente no es igual a B. ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \subsetneq }$ ${\displaystyle \supsetneq .}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle <.}$ ${\displaystyle x\leq y,}$ ${\displaystyle x<y,}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A\subset B,}$

Ejemplos de subconjuntos

Los polígonos regulares forman un subconjunto de los polígonos.

• El conjunto A = {1, 2} es un subconjunto propio de B = {1, 2, 3}, por lo tanto ambas expresiones y son verdaderas. ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle A\subsetneq B}$
• El conjunto D = {1, 2, 3} es un subconjunto (pero no un subconjunto propio) de E = {1, 2, 3}, por lo tanto es verdadero y no es verdadero (falso). ${\displaystyle D\subseteq E}$ ${\displaystyle D\subsetneq E}$
• Cualquier conjunto es un subconjunto de sí mismo, pero no un subconjunto propiamente dicho. ( es verdadero y falso para cualquier conjunto X). ${\displaystyle X\subseteq X}$ ${\displaystyle X\subsetneq X}$
• El conjunto { x : x es un número primo mayor que 10} es un subconjunto propio de { x : x es un número impar mayor que 10}
• El conjunto de los números naturales es un subconjunto propio del conjunto de los números racionales ; Asimismo, el conjunto de puntos de un segmento de recta es un subconjunto propio del conjunto de puntos de una recta . Son dos ejemplos en los que tanto el subconjunto como el conjunto total son infinitos, y el subconjunto tiene la misma cardinalidad (el concepto que corresponde al tamaño, es decir, el número de elementos, de un conjunto finito) que el todo; tales casos pueden ir en contra de la intuición inicial.
• El conjunto de los números racionales es un subconjunto propio del conjunto de los números reales . En este ejemplo, ambos conjuntos son infinitos, pero el último conjunto tiene una cardinalidad (o potencia ) mayor que el primero.

Otro ejemplo en un diagrama de Euler :

• 
  A es un subconjunto propio de B.
• 
  C es un subconjunto pero no un subconjunto propio de B.

Otras propiedades de inclusión

${\displaystyle A\subseteq B}$e implica ${\displaystyle B\subseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C.}$

La inclusión es el orden parcial canónico , en el sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado es isomorfo a alguna colección de conjuntos ordenados por inclusión. Los números ordinales son un ejemplo sencillo: si cada ordinal n se identifica con el conjunto de todos los ordinales menores o iguales que n , entonces si y sólo si ${\displaystyle (X,\preceq )}$ ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle [a]\subseteq [b].}$

Para el conjunto potencia de un conjunto S , el orden parcial de inclusión es, hasta un isomorfismo de orden , el producto cartesiano de (la cardinalidad de S ) copias del orden parcial para las cuales Esto se puede ilustrar enumerando y asociando con cada subconjunto ( es decir, cada elemento de ) la k -tupla cuya i- ésima coordenada es 1 si y sólo si es miembro de T. ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {P}} (S)}$ ${\displaystyle k=|S|}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle 0<1.}$ ${\displaystyle S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},}$ ${\displaystyle T\subseteq S}$ ${\displaystyle 2^{S}}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{k},}$ ${\displaystyle s_{i}}$

Ver también

• Subconjunto convexo  : en geometría, conjunto cuya intersección con cada línea es un solo segmento de línea.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Orden de inclusión  : orden parcial que surge como la relación de inclusión de subconjunto en alguna colección de objetos.
• Región  : subconjunto abierto conectado de un espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Problema de suma de subconjuntos  : problema de decisión en informática
• Contención subsuntiva  – Sistema de elementos que están subordinados entre sí.
• Subconjunto total  : subconjunto T de un espacio vectorial topológico X donde el tramo lineal de T es un subconjunto denso de X
• Mereología  – Estudio de las partes y los todos que forman.

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Subconjunto". mathworld.wolfram.com . Consultado el 23 de agosto de 2020 .
2. Rosen, Kenneth H. (2012). Matemáticas discretas y sus aplicaciones (7ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 119.ISBN _ 978-0-07-338309-5.
3. Epp, Susanna S. (2011). Matemáticas discretas con aplicaciones (Cuarta ed.). pag. 337.ISBN _ 978-0-495-39132-6.
4. Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill , p. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, señor  0924157
5. Subconjuntos y subconjuntos adecuados (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 23 de enero de 2013 , consultado el 7 de septiembre de 2012

Bibliografía

• Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

enlaces externos

• Medios relacionados con subconjuntos en Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "Subconjunto". MundoMatemático .