Conjunto vacio

Conjunto matemático que no contiene elementos.

El conjunto vacío es el conjunto que no contiene elementos.

En matemáticas , el conjunto vacío es el conjunto único que no tiene elementos ; su tamaño o cardinalidad (recuento de elementos de un conjunto) es cero . ^[1] Algunas teorías de conjuntos axiomáticos aseguran que el conjunto vacío existe al incluir un axioma de conjunto vacío , mientras que en otras teorías se puede deducir su existencia. Muchas propiedades posibles de los conjuntos son vagamente verdaderas para el conjunto vacío.

Cualquier conjunto distinto del conjunto vacío se denomina no vacío.

En algunos libros de texto y divulgaciones, el conjunto vacío se denomina "conjunto nulo". ^[1] Sin embargo, conjunto nulo es una noción distinta dentro del contexto de la teoría de la medida , en el que describe un conjunto de medida cero (que no es necesariamente vacío).

Notación

Un símbolo para el conjunto vacío.

Las notaciones comunes para el conjunto vacío incluyen "{ }", " " y "∅". Estos dos últimos símbolos fueron introducidos por el grupo Bourbaki (concretamente André Weil ) en 1939, inspirados en la letra Ø de los alfabetos danés y noruego . ^[2] En el pasado, "0" (el número cero ) se usaba ocasionalmente como símbolo para el conjunto vacío, pero ahora se considera un uso inadecuado de la notación. ^[3] ${\displaystyle \emptyset }$

El símbolo ∅ está disponible en el punto Unicode U+2205. ^[4] Se puede codificar en HTML como ∅y como ∅. Se puede codificar en LaTeX como \varnothing. El símbolo está codificado en LaTeX como . ${\displaystyle \emptyset }$\emptyset

Al escribir en idiomas como el danés y el noruego, donde el carácter del conjunto vacío puede confundirse con la letra alfabética Ø (como cuando se usa el símbolo en lingüística), se puede usar el carácter Unicode U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰ en su lugar. ^[5]

Propiedades

En la teoría axiomática de conjuntos estándar , por el principio de extensionalidad , dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos (es decir, ninguno de ellos tiene un elemento que no esté en el otro). Como resultado, sólo puede haber un conjunto sin elementos, de ahí el uso de "el conjunto vacío" en lugar de "un conjunto vacío".

El único subconjunto del conjunto vacío es el propio conjunto vacío; de manera equivalente, el conjunto potencia del conjunto vacío es el conjunto que contiene solo el conjunto vacío. El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su cardinalidad ) es cero. El conjunto vacío es el único conjunto con cualquiera de estas propiedades.

Para cualquier conjunto A :

• El conjunto vacío es un subconjunto de A.
• La unión de A con el conjunto vacío es A
• La intersección de A con el conjunto vacío es el conjunto vacío.
• El producto cartesiano de A y el conjunto vacío es el conjunto vacío

Para cualquier propiedad P :

• Para cada elemento de , se cumple la propiedad P ( verdad vacía ). ${\displaystyle \varnothing }$
• No hay ningún elemento de para el cual se cumpla la propiedad P. ${\displaystyle \varnothing }$

Por el contrario, si para alguna propiedad P y algún conjunto V , se cumplen las dos afirmaciones siguientes:

• Para cada elemento de V se cumple la propiedad P.
• No existe ningún elemento de V para el cual se cumpla la propiedad P.

entonces ${\displaystyle V=\varnothing .}$

Según la definición de subconjunto , el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto A. Es decir, todo elemento x de pertenece a A . De hecho, si no fuera cierto que cada elemento de está en A , entonces habría al menos un elemento de que no está presente en A. Como no hay ningún elemento de , no hay ningún elemento de que no esté en A. Cualquier declaración que comience con "para cada elemento de " no constituye ninguna afirmación sustantiva; es una verdad vacía . Esto a menudo se parafrasea como "todo es cierto para los elementos del conjunto vacío". ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$

En la definición habitual de números naturales de la teoría de conjuntos , el cero se modela mediante el conjunto vacío.

Operaciones sobre el conjunto vacío.

Cuando se habla de la suma de los elementos de un conjunto finito, uno inevitablemente llega a la convención de que la suma de los elementos del conjunto vacío es cero. La razón de esto es que el cero es el elemento de identidad para la suma. De manera similar, el producto de los elementos del conjunto vacío debe considerarse uno (ver producto vacío ), ya que uno es el elemento identidad para la multiplicación. ^{[ cita necesaria ]}

Un trastorno es una permutación de un conjunto sin puntos fijos . El conjunto vacío puede considerarse un trastorno en sí mismo, porque tiene sólo una permutación ( ), y es vacuamente cierto que no se puede encontrar ningún elemento (del conjunto vacío) que conserve su posición original. ${\displaystyle 0!=1}$

En otras áreas de las matemáticas

números reales extendidos

Dado que el conjunto vacío no tiene miembros cuando se considera un subconjunto de cualquier conjunto ordenado , cada miembro de ese conjunto será un límite superior y un límite inferior para el conjunto vacío. Por ejemplo, cuando se considera como un subconjunto de los números reales, con su orden habitual, representado por la recta numérica real , cada número real es a la vez un límite superior e inferior para el conjunto vacío. ^[6] Cuando se considera como un subconjunto de los reales extendidos formado al agregar dos "números" o "puntos" a los números reales (es decir, infinito negativo , denotado que se define como menor que cualquier otro número real extendido, e infinito positivo , denotado que se define como mayor que cualquier otro número real extendido), tenemos que: ${\displaystyle -\infty \!\,,}$ ${\displaystyle +\infty \!\,,}$

$${\displaystyle \sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,}$$

$${\displaystyle \inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .}$$

Es decir, el límite superior mínimo (sup o supremum ) del conjunto vacío es infinito negativo, mientras que el límite inferior mayor (inf o infimum ) es infinito positivo. Por analogía con lo anterior, en el dominio de los reales extendidos, el infinito negativo es el elemento de identidad para los operadores máximo y supremo, mientras que el infinito positivo es el elemento de identidad para los operadores mínimo e mínimo.

Topología

En cualquier espacio topológico X , el conjunto vacío es abierto por definición, al igual que X. Dado que el complemento de un conjunto abierto es cerrado y el conjunto vacío y X son complementos entre sí, el conjunto vacío también es cerrado, convirtiéndolo en un conjunto cerrado . Además, el conjunto vacío es compacto por el hecho de que todo conjunto finito es compacto.

El cierre del conjunto vacío está vacío. Esto se conoce como "preservación de uniones nulas ".

Teoría de categorías

Si es un conjunto, entonces existe precisamente una función desde hasta la función vacía . Como resultado, el conjunto vacío es el único objeto inicial de la categoría de conjuntos y funciones. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle A,}$

El conjunto vacío se puede convertir en un espacio topológico , llamado espacio vacío, de una sola manera: definiendo el conjunto vacío como abierto . Este espacio topológico vacío es el único objeto inicial en la categoría de espacios topológicos con mapas continuos . De hecho, es un objeto inicial estricto : sólo el conjunto vacío tiene una función para el conjunto vacío.

Teoría de conjuntos

En la construcción de los ordinales de von Neumann , 0 se define como el conjunto vacío y el sucesor de un ordinal se define como . Por lo tanto, tenemos , , , y así sucesivamente. La construcción de von Neumann, junto con el axioma del infinito , que garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito, puede utilizarse para construir el conjunto de los números naturales, de manera que se satisfagan los axiomas aritméticos de Peano . ${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}$ ${\displaystyle 0=\varnothing }$ ${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}}$ ${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

Existencia cuestionada

Cuestiones históricas

En el contexto de conjuntos de números reales, Cantor solía denotar " no contiene ningún punto único". Esta notación se utilizó en las definiciones; por ejemplo, Cantor definió dos conjuntos como disjuntos si su intersección tiene una ausencia de puntos; sin embargo, es discutible si Cantor lo vio como un conjunto existente por sí solo o si Cantor simplemente lo usó como un predicado de vacío. Zermelo se aceptó como un conjunto, pero lo consideró un "conjunto inadecuado". ^[7] ${\displaystyle P\equiv O}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \equiv O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \equiv O}$ ${\displaystyle O}$

Teoría de conjuntos axiomáticos

En la teoría de conjuntos de Zermelo , la existencia del conjunto vacío está asegurada por el axioma de conjunto vacío , y su unicidad se deriva del axioma de extensionalidad . Sin embargo, el axioma del conjunto vacío puede demostrarse redundante al menos de dos maneras:

• La lógica estándar de primer orden implica, simplemente a partir de los axiomas lógicos , que algo existe y, en el lenguaje de la teoría de conjuntos, esa cosa debe ser un conjunto. Ahora bien, la existencia del conjunto vacío se deduce fácilmente del axioma de separación .
• Incluso usando lógica libre (que no implica lógicamente que algo exista), ya existe un axioma que implica la existencia de al menos un conjunto, a saber, el axioma del infinito .

Cuestiones filosóficas

Si bien el conjunto vacío es un concepto matemático estándar y ampliamente aceptado, sigue siendo una curiosidad ontológica , cuyo significado y utilidad son debatidos por filósofos y lógicos.

El conjunto vacío no es lo mismo que nada ; más bien, es un conjunto sin nada dentro y un conjunto es siempre algo . Este problema se puede superar viendo un conjunto como una bolsa; sin duda, todavía existe una bolsa vacía. Darling (2004) explica que el conjunto vacío no es nada, sino más bien "el conjunto de todos los triángulos de cuatro lados, el conjunto de todos los números mayores que nueve pero menores que ocho, y el conjunto de todos los movimientos iniciales en ajedrez que involucrar a un rey ." ^[8]

El silogismo popular

Nada es mejor que la felicidad eterna; un bocadillo de jamón es mejor que nada; por eso, un bocadillo de jamón es mejor que la felicidad eterna

Se utiliza a menudo para demostrar la relación filosófica entre el concepto de nada y el conjunto vacío. Darling escribe que el contraste se puede ver reescribiendo las afirmaciones "Nada es mejor que la felicidad eterna" y "[Un] sándwich de jamón es mejor que nada" en un tono matemático. Según Darling, el primero equivale a "El conjunto de todas las cosas que son mejores que la felicidad eterna es " y el segundo a "El conjunto {sándwich de jamón} es mejor que el conjunto ". El primero compara elementos de conjuntos, mientras que el segundo compara los propios conjuntos. ^[8] ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$

Jonathan Lowe sostiene que si bien el conjunto vacío

fue sin duda un hito importante en la historia de las matemáticas... no debemos suponer que su utilidad en el cálculo depende de que realmente denote algún objeto.

también se da el caso de que:

"Lo único que se nos informa sobre el conjunto vacío es que (1) es un conjunto, (2) no tiene miembros y (3) es único entre los conjuntos por no tener miembros. Sin embargo, hay muchas cosas que ' "no tienen miembros", en el sentido teórico de conjuntos, es decir, todos los no conjuntos. Está perfectamente claro por qué estas cosas no tienen miembros, ya que no son conjuntos. Lo que no está claro es cómo puede haber, únicamente entre conjuntos, un conjunto que no tiene miembros. No podemos crear tal entidad mediante una mera estipulación." ^[9]

George Boolos argumentó que mucho de lo que se ha obtenido hasta ahora mediante la teoría de conjuntos puede obtenerse con la misma facilidad mediante cuantificación plural de individuos, sin cosificar conjuntos como entidades singulares que tengan otras entidades como miembros. ^[10]

Ver también

•  – NúmeroPages displaying short descriptions with no spaces
• Conjunto habitado  : propiedad de los conjuntos utilizados en matemáticas constructivas.
• Nada  – Ausencia total de cualquier cosa; lo contrario de todo
• Conjunto de potencia  : conjunto matemático que contiene todos los subconjuntos de un conjunto dado

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Conjunto vacío". mathworld.wolfram.com . Consultado el 11 de agosto de 2020 .
2. "Primeros usos de los símbolos de la teoría y la lógica de conjuntos".
3. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático (3ª ed.). McGraw-Hill. pag. 300.ISBN _ 007054235X.
4. "Estándar Unicode 5.2" (PDF) .
5. por ejemplo, Nina Grønnum (2005, 2013) Fonetik og Fonologi: Almen og dansk. Akademisk forlag, Copenhague.
6. Bruckner, AN, Bruckner, JB y Thomson, BS (2008). Análisis Real Elemental , 2.ª edición, p. 9.
7. A. Kanamori, "El conjunto vacío, el singleton y el par ordenado", p.275. Boletín de Lógica Simbólica vol. 9, núm. 3, (2003). Consultado el 21 de agosto de 2023.
8. DJ Darling (2004). El Libro Universal de las Matemáticas . John Wiley e hijos . pag. 106.ISBN _ 0-471-27047-4.
9. EJ Lowe (2005). Locke . Rutledge . pag. 87.
10. George Boolos (1984), "Ser es ser el valor de una variable", The Journal of Philosophy 91: 430–49. Reimpreso en 1998, Logic, Logic and Logic ( Richard Jeffrey y Burgess, J., eds.) Harvard University Press , 54–72.

Otras lecturas

• Halmos, Paul , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag). Reimpreso por Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (edición de bolsillo).  
• Jech, Thomas (2002), Teoría de conjuntos , Monografías de Springer en Matemáticas (edición del tercer milenio), Springer, ISBN 3-540-44085-2
• Graham, Malcolm (1975), Matemáticas elementales modernas (2ª ed.), Harcourt Brace Jovanovich , ISBN 0155610392

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Conjunto vacío". MundoMatemático .