Número natural

En matemáticas , los números naturales son los números 1, 2, 3, etc., posiblemente incluyendo también al 0. ^{[ en discusión ]} Algunas definiciones, incluida la norma ISO 80000-2 , ^[1] comienzan los números naturales con $0$ , correspondientes a los enteros no negativos $0, 1, 2, 3, ...$ , mientras que otras comienzan con $1$ , correspondiente a los números enteros positivos $1, 2, 3, ...$ ^[2]^[a] Los textos que excluyen el cero de los números naturales a veces se refieren a los números naturales junto con el cero como números enteros , mientras que en otros escritos, ese término es utilizado en su lugar para los números enteros (incluidos los enteros negativos). ^[4] En el lenguaje común, particularmente en la educación primaria, los números naturales pueden denominarse números de conteo ^[5] para excluir intuitivamente los números enteros negativos y el cero, y también para contrastar la discreción del conteo con la continuidad de la medición , una característica distintiva de numeros reales .

Los números naturales se pueden utilizar para contar (como en "hay seis monedas sobre la mesa"), en cuyo caso sirven como números cardinales . También se pueden utilizar para realizar pedidos (como en "esta es la tercera ciudad más grande del país"), en cuyo caso sirven como números ordinales . Los números naturales se utilizan a veces como etiquetas, también conocidos como números nominales (por ejemplo, números de camiseta en los deportes), que no tienen las propiedades de los números en un sentido matemático. ^[3]^[6]

Los números naturales forman un conjunto , frecuentemente simbolizado como . Muchos otros conjuntos de números se construyen extendiendo sucesivamente el conjunto de números naturales: los números enteros , incluyendo una identidad aditiva 0 (si aún no está en ella) y un inverso aditivo $-$ $n$ para cada número natural $n$ distinto de cero ; los números racionales , al incluir un inverso multiplicativo para cada entero $n$ distinto de cero (y también el producto de estos inversos por números enteros); los números reales incluyendo los límites de las secuencias de Cauchy ^[b] de racionales; los números complejos , añadiendo a los números reales una raíz cuadrada de −1 (y también las sumas y productos de los mismos); etcétera. ^[c]^[d] Esta cadena de extensiones incorpora canónicamente los números naturales en los otros sistemas numéricos. ${\textstyle \mathbb {N}}$ $1/n$

Las propiedades de los números naturales, como la divisibilidad y la distribución de los números primos , se estudian en la teoría de números . Los problemas relacionados con contar y ordenar, como la partición y las enumeraciones , se estudian en combinatoria .

Historia

Raíces antiguas

El método más primitivo de representar un número natural es utilizar los dedos, como cuando se cuenta con los dedos . Poner una marca de conteo para cada objeto es otro método primitivo. Más tarde, se podría comprobar la igualdad, el exceso o la escasez de un conjunto de objetos, tachando una marca y eliminando un objeto del conjunto.

El primer avance importante en la abstracción fue el uso de números para representar números. Esto permitió desarrollar sistemas para registrar grandes cantidades. Los antiguos egipcios desarrollaron un poderoso sistema de numeración con jeroglíficos distintos para 1, 10 y todas las potencias de 10 hasta más de 1 millón. Una talla de piedra de Karnak , que data aproximadamente del 1500 a. C. y ahora se encuentra en el Louvre de París, representa 276 como 2 centenas, 7 decenas y 6 unidades; y lo mismo para el número 4.622. Los babilonios tenían un sistema de valor posicional basado esencialmente en los números 1 y 10, usando la base sesenta, de modo que el símbolo de sesenta era el mismo que el símbolo de uno; su valor se determinaba a partir del contexto. ^[10]

Un avance mucho posterior fue el desarrollo de la idea de que el 0 puede considerarse como un número, con su propia cifra. El uso de un dígito 0 en la notación de valor posicional (dentro de otros números) se remonta al año 700 a. C. por parte de los babilonios, quienes omitieron dicho dígito cuando habría sido el último símbolo del número. ^[e] Las civilizaciones olmeca y maya utilizaron el 0 como número separado ya en el siglo I a. C. , pero este uso no se extendió más allá de Mesoamérica . ^[12]^[13] El uso de un número 0 en los tiempos modernos se originó con el matemático indio Brahmagupta en 628 EC. Sin embargo, el 0 se había utilizado como número en el computus medieval (el cálculo de la fecha de Pascua), comenzando con Dionysius Exiguus en 525 EC, sin ser indicado por un número. Los números romanos estándar no tienen símbolo para 0; en cambio, se empleó nulla (o la forma genitiva nullae ) de nullus , la palabra latina para "ninguno", para denotar un valor 0. ^[14]

El primer estudio sistemático de los números como abstracciones suele atribuirse a los filósofos griegos Pitágoras y Arquímedes . Algunos matemáticos griegos trataban el número 1 de manera diferente a los números más grandes, a veces incluso ni siquiera como un número. ^[f] Euclides , por ejemplo, definió primero una unidad y luego un número como una multitud de unidades, por lo que, según su definición, una unidad no es un número y no hay números únicos (por ejemplo, dos unidades cualesquiera de un número indefinido de unidades son un 2). ^[16] Sin embargo, en la definición de número perfecto que aparece poco después, Euclides trata el 1 como un número como cualquier otro. ^[17]

Aproximadamente al mismo tiempo también se realizaron estudios independientes sobre cifras en India , China y Mesoamérica . ^[18]

Definiciones modernas

En la Europa del siglo XIX hubo una discusión matemática y filosófica sobre la naturaleza exacta de los números naturales. Henri Poincaré afirmó que los axiomas sólo pueden demostrarse en su aplicación finita, y concluyó que es "el poder de la mente" el que permite concebir la repetición indefinida de un mismo acto. ^[19] Leopold Kronecker resumió su creencia como "Dios hizo los números enteros, todo lo demás es obra del hombre". ^[gramo]

Los constructivistas vieron la necesidad de mejorar el rigor lógico en los fundamentos de las matemáticas . ^[h] En la década de 1860, Hermann Grassmann sugirió una definición recursiva para los números naturales, afirmando así que no eran realmente naturales, sino una consecuencia de definiciones. Posteriormente, se construyeron dos clases de definiciones formales; Más tarde aún, se demostró que eran equivalentes en la mayoría de las aplicaciones prácticas.

Frege inició las definiciones teóricas de conjuntos de los números naturales . Inicialmente definió un número natural como la clase de todos los conjuntos que están en correspondencia uno a uno con un conjunto particular. Sin embargo, esta definición resultó conducir a paradojas, incluida la paradoja de Russell . Para evitar tales paradojas, se modificó el formalismo de modo que un número natural se define como un conjunto particular, y se dice que cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia uno a uno con ese conjunto tiene ese número de elementos. ^[22]

La segunda clase de definiciones fue introducida por Charles Sanders Peirce , refinada por Richard Dedekind y explorada más a fondo por Giuseppe Peano ; este enfoque ahora se llama aritmética de Peano . Se basa en una axiomatización de las propiedades de los números ordinales : cada número natural tiene un sucesor y cada número natural distinto de cero tiene un predecesor único. La aritmética de Peano es equiconsistente con varios sistemas débiles de teoría de conjuntos . Uno de esos sistemas es ZFC con el axioma del infinito reemplazado por su negación. ^{[ cita necesaria ]} Los teoremas que se pueden demostrar en ZFC pero que no se pueden demostrar utilizando los axiomas de Peano incluyen el teorema de Goodstein . ^[23]

Con todas estas definiciones, conviene incluir el 0 (correspondiente al conjunto vacío ) como número natural. Incluir 0 es ahora la convención común entre los teóricos de conjuntos ^[24] y los lógicos. ^[25] Otros matemáticos también incluyen 0, ^[i] y los lenguajes informáticos a menudo comienzan desde cero cuando enumeran elementos como contadores de bucles y elementos de cadena o matriz . ^[26]^[27] Por otro lado, muchos matemáticos han mantenido la antigua tradición de considerar 1 como el primer número natural. ^[28]

Notación

El conjunto de todos los números naturales se denomina estándar $N$ o ^[3]^[29] Los textos más antiguos han empleado ocasionalmente $J$ como símbolo para este conjunto. ^[30] $\mathbb {N}.$

Dado que los números naturales pueden contener $0$ o no, puede ser importante saber a qué versión se hace referencia. Esto suele especificarse mediante el contexto, pero también se puede hacer utilizando un subíndice o un superíndice en la notación, como por ejemplo: ^[1]^[31]

Naturales sin cero: $\{1,2,...\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\ }=\mathbb {N} _ {1}$
Naturales con cero: $\;\{0,1,2,...\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

Alternativamente, dado que los números naturales forman naturalmente un subconjunto de los números enteros (a menudo denominados ), $\mathbb {Z}$ pueden denominarse enteros positivos o no negativos, respectivamente. ^[32] Para no tener ambigüedades acerca de si 0 está incluido o no, a veces se agrega un superíndice " " o "+" en el primer caso, y un subíndice (o superíndice) "0" en el último caso: ^[1] $*$

\{1,2,3,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x>0\}=\mathbb {Z} ^{+}=\mathbb {Z} _ >0}

\{0,1,2,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x\geq 0\}=\mathbb {Z} _{0}^{+}=\mathbb {Z} _{\geq 0}

Propiedades

Esta sección utiliza la convención . $\mathbb {N} =\mathbb {N} _ {0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

Suma

Dado el conjunto de números naturales y la función sucesora que envía cada número natural al siguiente, se puede definir la suma de números naturales de forma recursiva estableciendo $a$ $+ 0 =$ $a$ y $a$ $+$ $S$ $($ $b$ $) =$ $S$ $($ $a$ $+$ $b$ $)$ para todos $a$ , $b$ . Por lo tanto, $a$ $+ 1 =$ $a$ $+ S(0) = S($ $a$ $+0) = S($ $a$ $)$ , $a$ $+ 2 =$ $a$ $+ S(1) = S($ $a$ $+1) = S(S($ $a$ $))$ , etcétera. La estructura algebraica es un monoide conmutativo con elemento de identidad 0. Es un monoide libre en un generador. Este monoide conmutativo satisface la propiedad de cancelación , por lo que puede integrarse en un grupo . El grupo más pequeño que contiene los números naturales son los números enteros . $\mathbb {N}$ $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $(\mathbb {N} ,+)$

Si 1 se define como $S (0)$ , entonces $b + 1 = b + S (0) = S (b + 0) = S (b)$ . Es decir, $b + 1$ es simplemente el sucesor de $b$ .

Multiplicación

De manera análoga, dado que se ha definido la suma, un operador de multiplicación se puede definir mediante $a$ $\times 0 = 0$ y $a$ $\times S($ $b$ $) = ($ $a$ $\times$ $b$ $) +$ $a$ . Esto se convierte en un monoide conmutativo libre con elemento de identidad 1; un conjunto generador para este monoide es el conjunto de los números primos . $\times$ $(\mathbb {N} ^{*},\times )$

Relación entre suma y multiplicación

La suma y la multiplicación son compatibles, lo cual se expresa en la ley de distribución : $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ . Estas propiedades de la suma y la multiplicación hacen de los números naturales un ejemplo de semirreno conmutativo . Los semirings son una generalización algebraica de los números naturales donde la multiplicación no es necesariamente conmutativa. La falta de inversos aditivos, lo que equivale a que no es cerrado en la resta (es decir, restar un natural a otro no siempre da como resultado otro natural), significa que no es un anillo ; en cambio, es un semianillo (también conocido como aparejo ). $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$

Si los números naturales se consideran "excluyendo 0" y "comenzando en 1", las definiciones de + y × son las anteriores, excepto que comienzan con $a + 1 = S (a)$ y $a \times 1 = a$ . Además, no tiene ningún elemento de identidad. $(\mathbb {N^{*}} ,+)$

Orden

En esta sección, variables yuxtapuestas como $ab$ indican el producto $a \times b$ , ^[33] y se supone el orden estándar de operaciones .

Un orden total en los números naturales se define dejando $a \leq b$ si y sólo si existe otro número natural $c$ donde $a + c = b$ . Este orden es compatible con las operaciones aritméticas en el siguiente sentido: si $a$ , $b$ y $c$ son números naturales y $a \leq b$ , entonces $a + c \leq b + c$ y $ac \leq bc$ .

Una propiedad importante de los números naturales es que están bien ordenados : todo conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mínimo. El rango entre conjuntos bien ordenados se expresa mediante un número ordinal ; para los números naturales, esto se denota como $ω$ (omega).

División

En esta sección, variables yuxtapuestas como $ab$ indican el producto $a \times b$ y se supone el orden estándar de operaciones .

Si bien en general no es posible dividir un número natural por otro y obtener como resultado un número natural, el procedimiento de división con resto o división euclidiana está disponible como sustituto: para dos números naturales cualesquiera $a$ y $b$ con $b \neq 0$ hay son números naturales $q$ y $r$ tales que

a=bq+r{\text{ and }}r<b.

Al número $q$ se le llama cociente y $a r$ se le llama resto de la división de $a$ por $b$ . Los números $q$ y $r$ están determinados únicamente por $a$ y $b$ . Esta división euclidiana es clave para otras propiedades ( divisibilidad ), algoritmos (como el algoritmo euclidiano ) e ideas de la teoría de números.

Propiedades algebraicas satisfechas por los números naturales.

Las operaciones de suma (+) y multiplicación (×) en números naturales definidas anteriormente tienen varias propiedades algebraicas:

Cierre bajo suma y multiplicación: para todos los números naturales $a$ y $b$ , tanto $a + b$ como $a \times b$ son números naturales. ^[34]
Asociatividad : para todos los números naturales $a$ , $b$ y $c$ , $a + (b + c) = (a + b) + c$ y $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$ . ^[35]
Conmutatividad : para todos los números naturales $a$ y $b$ , $a + b = b + a$ y $a \times b = b \times a$ . ^[36]
Existencia de elementos identidad : para todo número natural a , a + 0 = a y a × 1 = a .
- Si los números naturales se consideran "excluyendo 0" y "comenzando en 1", entonces, para cada número natural $a$ , $a \times 1 = a$ . Sin embargo, la propiedad de "existencia de elemento de identidad aditivo" no se cumple
Distributividad de la multiplicación sobre la suma para todos los números naturales $a$ , $b$ y $c$ , $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ .
Sin divisores de cero distintos de cero : si a y b son números naturales tales que a × b = 0 , entonces a = 0 o b = 0 (o ambos).
- Si los números naturales se toman como "excluyendo 0" y "comenzando en 1", la propiedad "sin divisores de cero distintos de cero" no se cumple.

Generalizaciones

Dos generalizaciones importantes de los números naturales surgen de los dos usos de contar y ordenar: los números cardinales y los números ordinales .

Se puede utilizar un número natural para expresar el tamaño de un conjunto finito; más precisamente, un número cardinal es una medida del tamaño de un conjunto, que es adecuada incluso para conjuntos infinitos. La numeración de los cardinales suele comenzar en cero, para dar cabida al conjunto vacío . Este concepto de "tamaño" se basa en mapas entre conjuntos, de modo que dos conjuntos tienen el mismo tamaño , exactamente si existe una biyección entre ellos. Se dice que el conjunto de números naturales en sí, y cualquier imagen biyectiva del mismo, es contablemente infinito y tiene cardinalidad aleph-null ( $ℵ$ $0$ ). $\emptyset$
Los números naturales también se utilizan como números ordinales lingüísticos : "primero", "segundo", "tercero", etc. La numeración de ordinales suele comenzar en cero, para adaptarse al tipo de orden del conjunto vacío . De esta manera se pueden asignar a los elementos de un conjunto finito totalmente ordenado, y también a los elementos de cualquier conjunto infinito numerable y bien ordenado sin puntos límite . Esta asignación se puede generalizar a ordenamientos generales con una cardinalidad más allá de la contabilización, para producir los números ordinales. También se puede utilizar un número ordinal para describir la noción de "tamaño" de un conjunto bien ordenado, en un sentido diferente al de cardinalidad: si hay un isomorfismo de orden (más que una biyección) entre dos conjuntos bien ordenados, tienen el mismo número ordinal. El primer número ordinal que no es un número natural se expresa como $ω$ ; este es también el número ordinal del propio conjunto de números naturales. $\emptyset$

El menor ordinal de cardinalidad $ℵ 0$ (es decir, el ordinal inicial de $ℵ 0$ ) es $ω$ pero muchos conjuntos bien ordenados con número cardinal $ℵ 0$ tienen un número ordinal mayor que $ω$ .

Para conjuntos finitos bien ordenados, existe una correspondencia uno a uno entre los números ordinales y cardinales; por tanto, ambos pueden expresarse mediante el mismo número natural, el número de elementos del conjunto. Este número también se puede utilizar para describir la posición de un elemento en una secuencia finita o infinita más grande .

Skolem desarrolló un modelo de aritmética contable no estándar que satisface la aritmética de Peano (es decir, los axiomas de Peano de primer orden) en 1933. Los números hipernaturales son un modelo incontable que se puede construir a partir de los números naturales ordinarios mediante la construcción de ultrapotencia. . Otras generalizaciones se analizan en Número § Extensiones del concepto .

Georges Reeb solía afirmar provocativamente que "los números enteros ingenuos no se llenan ". ^[37] $\mathbb {N}$

Definiciones formales

Existen dos métodos estándar para definir formalmente los números naturales. El primero, llamado así por Giuseppe Peano , consiste en una teoría axiomática autónoma llamada aritmética de Peano , basada en unos pocos axiomas llamados axiomas de Peano .

La segunda definición se basa en la teoría de conjuntos . Define los números naturales como conjuntos específicos . Más precisamente, cada número natural $n$ se define como un conjunto explícitamente definido, cuyos elementos permiten contar los elementos de otros conjuntos, en el sentido de que la frase "un conjunto $S$ tiene $n$ elementos" significa que existe una correspondencia uno a uno entre los dos conjuntos $n$ y $S$ .

Los conjuntos utilizados para definir números naturales satisfacen los axiomas de Peano. De ello se deduce que todo teorema que puede enunciarse y demostrarse en la aritmética de Peano también puede demostrarse en la teoría de conjuntos. Sin embargo, las dos definiciones no son equivalentes, ya que hay teoremas que pueden enunciarse en términos de la aritmética de Peano y demostrarse en la teoría de conjuntos, que no son demostrables dentro de la aritmética de Peano. Un ejemplo probable es el último teorema de Fermat .

La definición de los números enteros como conjuntos que satisfacen los axiomas de Peano proporciona un modelo de aritmética de Peano dentro de la teoría de conjuntos. Una consecuencia importante es que, si la teoría de conjuntos es consistente (como suele suponerse), entonces la aritmética de Peano es consistente. En otras palabras, si se pudiera demostrar una contradicción en la aritmética de Peano, entonces la teoría de conjuntos sería contradictoria y cada teorema de la teoría de conjuntos sería a la vez verdadero y erróneo.

Axiomas de Peano

Los cinco axiomas de Peano son los siguientes: ^[38]^[j]

0 es un número natural.
Todo número natural tiene un sucesor que también es un número natural.
El 0 no es sucesor de ningún número natural.
Si el sucesor de es igual al sucesor de , entonces es igual a . $x$ $y$ $x$ $y$
El axioma de inducción : si un enunciado es verdadero para 0, y si la verdad de ese enunciado para un número implica su verdad para el sucesor de ese número, entonces el enunciado es verdadero para todo número natural.

Estos no son los axiomas originales publicados por Peano, pero reciben su nombre en su honor. Algunas formas de los axiomas de Peano tienen 1 en lugar de 0. En aritmética ordinaria, el sucesor de es . $x$ $x+1$

Definición de teoría de conjuntos

Intuitivamente, el número natural $n$ es propiedad común de todos los conjuntos que tienen $n$ elementos. Por lo tanto, parece natural definir $n$ como una clase de equivalencia bajo la relación "puede realizarse en correspondencia uno a uno ". Esto no funciona en la teoría de conjuntos , ya que tal clase de equivalencia no sería un conjunto (debido a la paradoja de Russell ). La solución estándar es definir un conjunto particular con $n$ elementos que se llamará número natural $n$ .

La siguiente definición fue publicada por primera vez por John von Neumann , ^[39] aunque Levy atribuye la idea a un trabajo inédito de Zermelo en 1916. ^[40] Como esta definición se extiende al conjunto infinito como definición de número ordinal , los conjuntos considerados a continuación a veces son llamados ordinales de von Neumann .

La definición procede de la siguiente manera:

Llame a $0 = { }$ , el conjunto vacío .
Defina el sucesor $S (a)$ de cualquier conjunto $a$ por $S (a) = a \cup {a}$ .
Según el axioma del infinito , existen conjuntos que contienen 0 y están cerrados bajo la función sucesora. Se dice que estos conjuntos son inductivos . La intersección de todos los conjuntos inductivos sigue siendo un conjunto inductivo.
Esta intersección es el conjunto de los números naturales .

De ello se deduce que los números naturales se definen iterativamente de la siguiente manera:

$0 = { }$ ,
$1 = 0 \cup {0} = {0} = {{ }}$ ,
$2 = 1 \cup {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}}$ ,
$3 = 2 \cup {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}$ ,
$norte = norte -1 \cup {norte -1} = {0, 1, ..., norte -1} = {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, .. .}}$ ,
etc.

Se puede comprobar que los números naturales satisfacen los axiomas de Peano .

Con esta definición, dado un número natural $n$ , la oración "un conjunto $S$ tiene $n$ elementos" se puede definir formalmente como "existe una biyección de $n$ a $S.$ Esto formaliza la operación de contar los elementos de $S.$ Además, $n \leq m$ si y sólo si $n$ es un subconjunto de $m$ . En otras palabras, la inclusión de conjuntos define el orden total habitual de los números naturales. Este orden es un buen orden .

De la definición se deduce que cada número natural es igual al conjunto de todos los números naturales menores que él. Esta definición se puede extender a la definición de ordinales de von Neumann para definir todos los números ordinales , incluidos los infinitos: "cada ordinal es el conjunto bien ordenado de todos los ordinales más pequeños".

Si no se acepta el axioma del infinito , es posible que los números naturales no formen un conjunto. Sin embargo, los números naturales todavía se pueden definir individualmente como se indicó anteriormente y aún satisfacen los axiomas de Peano.

Hay otras construcciones teóricas establecidas. En particular, Ernst Zermelo realizó una construcción que hoy en día sólo tiene interés histórico y a la que a veces se hace referencia comoOrdinales de Zermelo . ^[40]Consiste en definir $0$ como el conjunto vacío, y $S (a) = {a}$ .

Con esta definición cada número natural es un conjunto singleton . Así, la propiedad de los números naturales de representar cardinalidades no es directamente accesible; sólo la propiedad ordinal (ser el $enésimo$ elemento de una secuencia) es inmediata. A diferencia de la construcción de von Neumann, los ordinales de Zermelo no se extienden a infinitos ordinales.

Ver también

Representación canónica de un número entero positivo – Representación de un número como producto de números primos
Conjunto contable : conjunto matemático que se puede enumerar.
Secuencia – Función de los números naturales en otro conjunto
Número ordinal : generalización de "n-ésimo" a infinitos casos
Número cardinal : tamaño de un conjunto posiblemente infinito
Definición teórica de conjuntos de números naturales - Axioma(s) de la teoría de conjuntos

Notas

^ Carothers (2000, p. 3) dice: " es el conjunto de números naturales (enteros positivos)". Ambas definiciones se reconocen siempre que es conveniente y no existe un consenso general sobre si el cero debe incluirse en los números naturales. ^[3] $\mathbb {N}$
^ Cualquier secuencia de Cauchy en los Reales converge,
^ Mendelson (2008, p. x) dice: "Toda la fantástica jerarquía de los sistemas numéricos se construye por medios puramente teóricos de conjuntos a partir de unas pocas suposiciones simples sobre los números naturales".
^ Bluman (2010, p. 1): "Los números constituyen la base de las matemáticas".
^ Una tablilla encontrada en Kish ... que se cree que data alrededor del 700 a. C., utiliza tres ganchos para indicar un lugar vacío en la notación posicional. Otras tablillas que datan aproximadamente de la misma época utilizan un solo gancho para un lugar vacío. ^[11]
^ Esta convención se utiliza, por ejemplo, en los Elementos de Euclides , consulte la edición web de D. Joyce del Libro VII. ^[15]
^ La traducción al inglés es de Gray. En una nota a pie de página, Gray atribuye la cita alemana a: "Weber 1891–1892, 19, citando una conferencia de Kronecker de 1886". ^[20]^[21]
^ "Gran parte del trabajo matemático del siglo XX se ha dedicado a examinar los fundamentos lógicos y la estructura del tema". (Eves 1990, pág. 606)
^ Mac Lane y Birkhoff (1999, p. 15) incluyen el cero en los números naturales: 'Intuitivamente, el conjunto de todos los números naturales puede describirse de la siguiente manera: contiene un número "inicial" $0$ ; ...'. Siguen esto con su versión de los axiomas de Peano . $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ $\mathbb {N}$
↑ Hamilton (1988, págs. 117 y siguientes) los llama "postulados de Peano" y comienza con "1. 0 es un número natural".
Halmos (1960, p. 46) utiliza el lenguaje de la teoría de conjuntos en lugar del lenguaje de la aritmética para sus cinco axiomas. Comienza con "(I) $0 \in ω$ (donde, por supuesto, $0 = \emptyset$ " ( $ω$ es el conjunto de todos los números naturales). Morash (1991) da "un axioma de dos partes" en el que los números naturales comienzan con 1. (Sección 10.1: Una axiomatización del sistema de números enteros positivos )

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enlaces externos

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"Número natural", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
"Axiomas y construcción de números naturales". delantalus.com .