John von Neumann ( / v ɒ n ˈ n ɔɪ m ən / von NOY -mən ; húngaro : Neumann János Lajos [ˈnɒjmɒn ˈjaːnoʃ ˈlɒjoʃ] ; 28 de diciembre de 1903 - 8 de febrero de 1957) fue un matemático , físico e informático húngaro-estadounidense Científico , ingeniero y erudito . Tuvo quizás la cobertura más amplia de cualquier matemático de su tiempo, [9] integrando ciencias puras y aplicadas y haciendo importantes contribuciones en muchos campos, incluidas las matemáticas , la física , la economía , la informática y la estadística . Fue pionero en la construcción del marco matemático de la física cuántica , en el desarrollo del análisis funcional y en la teoría de juegos , introduciendo o codificando conceptos como los autómatas celulares , el constructor universal y la computadora digital . Su análisis de la estructura de la autorreplicación precedió al descubrimiento de la estructura del ADN .
Durante la Segunda Guerra Mundial , von Neumann trabajó en el Proyecto Manhattan . Desarrolló los modelos matemáticos detrás de las lentes explosivas utilizadas en el arma nuclear de tipo implosión . [10] Antes y después de la guerra, fue consultor de muchas organizaciones, incluida la Oficina de Investigación y Desarrollo Científico , el Laboratorio de Investigación Balística del Ejército , el Proyecto de Armas Especiales de las Fuerzas Armadas y el Laboratorio Nacional Oak Ridge . [11] En el apogeo de su influencia en la década de 1950, presidió varios comités del Departamento de Defensa , incluido el Comité de Evaluación de Misiles Estratégicos y el Comité Asesor Científico de misiles balísticos intercontinentales . También fue miembro de la influyente Comisión de Energía Atómica encargada de todo el desarrollo de la energía atómica en el país. Desempeñó un papel clave junto a Bernard Schriever y Trevor Gardner en el diseño y desarrollo de los primeros programas de misiles balísticos intercontinentales de Estados Unidos . [12] En ese momento era considerado el principal experto del país en armamento nuclear y el principal científico de defensa en el Pentágono .
Las contribuciones y la capacidad intelectual de Von Neumann generaron elogios de colegas en física, matemáticas y más. Los elogios que recibió van desde la Medalla de la Libertad hasta un cráter en la Luna que lleva su nombre.
Von Neumann nació en Budapest , Reino de Hungría (entonces parte del Imperio austro-húngaro ), [13] [14] [15] el 28 de diciembre de 1903, en una familia judía rica y no observante . Su nombre de nacimiento era Neumann János Lajos. En húngaro, el apellido va primero y sus nombres de pila equivalen a John Louis en inglés. [dieciséis]
Era el mayor de tres hermanos; sus dos hermanos menores eran Mihály (Michael) y Miklós (Nicholas). [17] Su padre Neumann Miksa (Max von Neumann) era banquero y tenía un doctorado en derecho . A finales de los años 1880 se mudó a Budapest procedente de Pécs . [18] El padre y el abuelo de Miksa nacieron en Ond (ahora parte de Szerencs ), condado de Zemplén , al norte de Hungría. La madre de John era Kann Margit (inglés: Margaret Kann); [19] sus padres eran Jakab Kann y Katalin Meisels de la familia Meisels . [20] Tres generaciones de la familia Kann vivieron en amplios apartamentos encima de las oficinas de Kann-Heller en Budapest; La familia von Neumann ocupaba un apartamento de 18 habitaciones en el último piso. [21]
El 20 de febrero de 1913, el emperador Francisco José elevó al padre de Juan a la nobleza húngara por sus servicios al Imperio austrohúngaro. [22] La familia Neumann adquirió así la denominación hereditaria Margittai , que significa "de Margitta" (hoy Marghita , Rumania). La familia no tenía ninguna conexión con el pueblo; la denominación fue elegida en referencia a Margaret, al igual que el escudo de armas elegido que representa tres margaritas . Neumann János se convirtió en margittai Neumann János (John Neumann de Margitta), que luego cambió por el alemán Johann von Neumann. [23]
Von Neumann fue un niño prodigio que a los seis años podía dividir mentalmente dos números de ocho cifras [24] [25] y conversar en griego antiguo . [26] Él, sus hermanos y sus primos fueron instruidos por institutrices. El padre de Von Neumann creía que el conocimiento de otros idiomas además del húngaro nativo era esencial, por lo que los niños recibieron tutoría en inglés , francés , alemán e italiano . [27] A los ocho años, von Neumann estaba familiarizado con el cálculo diferencial e integral , y a los doce había leído La Théorie des Fonctions de Borel . [28] También estaba interesado en la historia, leyendo la serie de historia mundial de 46 volúmenes de Wilhelm Oncken Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen ( Historia general en monografías ). [29] Una de las habitaciones del apartamento se convirtió en biblioteca y sala de lectura. [30]
Von Neumann ingresó al luterano Fasori Evangélikus Gimnázium en 1914. [31] Eugene Wigner estaba un año por delante de von Neumann en la escuela y pronto se convirtió en su amigo. [32]
Aunque el padre de von Neumann insistió en que asistiera a la escuela en el nivel de grado apropiado para su edad, aceptó contratar tutores privados para darle instrucción avanzada a von Neumann. A los 15 años comenzó a estudiar cálculo avanzado con el analista Gábor Szegő . [32] A los 19 años, von Neumann había publicado dos artículos matemáticos importantes, el segundo de los cuales daba la definición moderna de números ordinales , que reemplazó la definición de Georg Cantor . [33] Al concluir su educación en el gimnasio, solicitó y ganó el Premio Eötvös, un premio nacional de matemáticas. [34]
Según su amigo Theodore von Kármán , el padre de von Neumann quería que John lo siguiera en la industria y le pidió a von Kármán que persuadiera a su hijo de que no estudiara matemáticas. [35] Von Neumann y su padre decidieron que la mejor carrera profesional era la ingeniería química . Esto no era algo de lo que von Neumann tuviera mucho conocimiento, por lo que se le organizó un curso de dos años sin título en química en la Universidad de Berlín , después de lo cual se presentó al examen de ingreso a ETH Zurich , [ 36] que aprobó en septiembre de 1923. [37] Simultáneamente, von Neumann ingresó a la Universidad Pázmány Péter en Budapest, [38] como doctorado. candidato en matemáticas . Para su tesis, realizó una axiomatización de la teoría de conjuntos de Cantor . [39] [40] Se graduó como ingeniero químico en la ETH Zurich en 1926 y, simultáneamente, aprobó sus exámenes finales summa cum laude para su doctorado. en matemáticas (con especialización en física experimental y química). [41] [42] Luego fue a la Universidad de Göttingen con una beca de la Fundación Rockefeller para estudiar matemáticas con David Hilbert . [43] Hermann Weyl recuerda cómo en el invierno de 1926-1927 von Neumann, Emmy Noether y él caminaban por "las calles frías, húmedas y mojadas por la lluvia de Göttingen" después de clase discutiendo sistemas numéricos hipercomplejos y sus representaciones . [44]
La habilitación de Von Neumann se completó el 13 de diciembre de 1927 y comenzó a dar conferencias como Privatdozent en la Universidad de Berlín en 1928. [45] Fue la persona más joven elegida Privatdozent en la historia de la universidad. [46] Comenzó a escribir casi un trabajo importante de matemáticas por mes. [47] En 1929, se convirtió brevemente en Privatdozent en la Universidad de Hamburgo , donde las perspectivas de convertirse en profesor titular eran mejores, [48] luego, en octubre de ese año, se trasladó a la Universidad de Princeton como profesor visitante de física matemática . [49]
Von Neumann fue bautizado católico en 1930. [50] Poco después, se casó con Marietta Kövesi, que había estudiado economía en la Universidad de Budapest. [49] Von Neumann y Marietta tuvieron una hija, Marina , nacida en 1935; ella se convertiría en profesora. [51] La pareja se divorció el 2 de noviembre de 1937. [52] El 17 de noviembre de 1938, von Neumann se casó con Klara Dan . [53] [54]
En 1933, Von Neumann aceptó una cátedra titular en el Instituto de Estudios Avanzados de Nueva Jersey, cuando el plan de esa institución de nombrar a Hermann Weyl parecía haber fracasado. [55] Su madre, hermanos y suegros siguieron a von Neumann a los Estados Unidos en 1939. [56] Von Neumann cambió su nombre a John, manteniendo el apellido aristocrático alemán von Neumann. [23] Von Neumann se naturalizó como ciudadano estadounidense en 1937 e inmediatamente intentó convertirse en teniente en el Cuerpo de Oficiales de Reserva del Ejército de los EE. UU . Aprobó los exámenes pero fue rechazado por su edad. [57]
Klara y John von Neumann eran socialmente activos dentro de la comunidad académica local. [58] Su casa de tablillas blancas en Westcott Road era una de las residencias privadas más grandes de Princeton. [59] Siempre vestía trajes formales. [60] Le gustaba el humor yiddish y "subido de tono" . [28] En Princeton, recibió quejas por tocar música de marcha alemana a un volumen extremadamente alto ; [61] Von Neumann hizo algunos de sus mejores trabajos en ambientes ruidosos y caóticos. [62] Según Churchill Eisenhart , von Neumann podía asistir a fiestas hasta las primeras horas de la mañana y luego dar una conferencia a las 8:30. [63]
Era conocido por estar siempre feliz de brindar asesoramiento científico y matemático a otras personas de todos los niveles. [4] [64] [65] Wigner escribió que quizás supervisó más trabajo (en un sentido casual) que cualquier otro matemático moderno. [66] Su hija escribió que estaba muy preocupado por su legado en dos aspectos: su vida y la durabilidad de sus contribuciones intelectuales al mundo. [67]
Muchos lo consideraban un excelente presidente de comités, que cedía con bastante facilidad en asuntos personales u organizativos pero insistía en los técnicos. Herbert York describió los numerosos "Comités Von Neumann" en los que participó como "notable tanto en estilo como en producción". La forma en que los comités que presidía von Neumann trabajaron directa e íntimamente con las entidades militares o corporativas necesarias se convirtió en un modelo para todos los programas de misiles de largo alcance de la Fuerza Aérea . [68] Muchas personas que habían conocido a von Neumann estaban desconcertadas por su relación con el ejército y las estructuras de poder en general. [69] Stanisław Ulam sospechaba que tenía una admiración oculta por las personas u organizaciones que podían influir en los pensamientos y la toma de decisiones de los demás. [70]
También mantuvo su conocimiento de los idiomas aprendidos en su juventud. Sabía húngaro, francés, alemán e inglés con fluidez y mantenía un nivel conversacional de italiano, yiddish, latín y griego antiguo. Su español era menos perfecto. [71] Tenía pasión y conocimiento enciclopédico de la historia antigua, [72] [73] y disfrutaba leyendo a historiadores griegos antiguos en el griego original. Ulam sospechaba que podrían haber moldeado sus puntos de vista sobre cómo podrían desarrollarse los acontecimientos futuros y cómo funcionaban la naturaleza humana y la sociedad en general. [74]
El amigo más cercano de Von Neumann en Estados Unidos fue el matemático Stanisław Ulam . [75] Von Neumann creía que gran parte de su pensamiento matemático se produjo de forma intuitiva; a menudo se iba a dormir con un problema sin resolver y sabía la respuesta al despertar. [62] Ulam señaló que la forma de pensar de von Neumann podría no ser visual, sino más auditiva. [76] Ulam recordó: "Independientemente de su gusto por el ingenio abstracto, apreciaba mucho (se podría decir casi hambre) el tipo más terrenal de comedia y humor". [77]
En 1955 se encontró una masa cerca de la clavícula de von Neumann, que resultó ser un cáncer con origen en el esqueleto , el páncreas o la próstata . (Si bien existe un acuerdo general de que el tumor había hecho metástasis , las fuentes difieren sobre la ubicación del cáncer primario). [78] [79] La malignidad puede haber sido causada por la exposición a la radiación en el Laboratorio Nacional de Los Álamos . [80] El padre Strittmatter recordó que incluso después de recibir la extremaunción , von Neumann no recibió mucha paz ni consuelo, ya que seguía aterrorizado por la muerte e incapaz de aceptar sus circunstancias. [81] [82] [83] [84] De sus puntos de vista religiosos, Von Neumann supuestamente dijo: "Mientras exista la posibilidad de condenación eterna para los no creyentes, es más lógico ser un creyente al final", refiriéndose a La apuesta de Pascal . Le confió a su madre: "Probablemente tiene que haber un Dios. Muchas cosas son más fáciles de explicar si lo hay que si no lo hay". [85] [86]
Murió el 8 de febrero de 1957 en el Hospital Médico del Ejército Walter Reed y fue enterrado en el cementerio de Princeton . [87] [88]
A principios del siglo XX, los esfuerzos por basar las matemáticas en la ingenua teoría de conjuntos sufrieron un revés debido a la paradoja de Russell (sobre el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos). [89] El problema de una axiomatización adecuada de la teoría de conjuntos fue resuelto implícitamente unos veinte años después por Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel . La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel proporcionó una serie de principios que permitieron la construcción de los conjuntos utilizados en la práctica cotidiana de las matemáticas, pero no excluyeron explícitamente la posibilidad de la existencia de un conjunto que se pertenece a sí mismo. En su tesis doctoral de 1925, von Neumann demostró dos técnicas para excluir tales conjuntos: el axioma de fundamento y la noción de clase . [90]
El axioma de fundación propuso que todo conjunto puede construirse de abajo hacia arriba en una sucesión ordenada de pasos mediante los principios de Zermelo-Fraenkel. Si un conjunto pertenece a otro, entonces el primero necesariamente debe preceder al segundo en la sucesión. Esto excluye la posibilidad de que un conjunto se pertenezca a sí mismo. Para demostrar que la adición de este nuevo axioma a los demás no producía contradicciones, von Neumann introdujo el método de los modelos internos , que se convirtió en un instrumento de demostración esencial en la teoría de conjuntos. [90]
La segunda aproximación al problema de los conjuntos que se pertenecen a sí mismos tomó como base la noción de clase , y define un conjunto como una clase que pertenece a otras clases, mientras que una clase propia se define como una clase que no pertenece a otras clases. En el enfoque de Zermelo-Fraenkel, los axiomas impiden la construcción de un conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Por el contrario, según el enfoque de von Neumann, se puede construir la clase de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, pero es una clase propiamente dicha , no un conjunto. [90]
En general, el mayor logro de von Neumann en la teoría de conjuntos fue una "axiomatización de la teoría de conjuntos y (relacionada con ella) la elegante teoría de los números ordinales y cardinales , así como la primera formulación estricta de principios de definiciones mediante la inducción transfinita ". [91]
Basándose en la paradoja de Hausdorff de Felix Hausdorff (1914), Stefan Banach y Alfred Tarski demostraron en 1924 cómo subdividir una bola tridimensional en conjuntos disjuntos , y luego trasladar y rotar estos conjuntos para formar dos copias idénticas de la misma bola; ésta es la paradoja de Banach-Tarski . También demostraron que un disco bidimensional no presenta una descomposición tan paradójica. Pero en 1929, [92] von Neumann subdividió el disco en un número finito de piezas y las reorganizó en dos discos, utilizando transformaciones afines que preservan el área en lugar de traslaciones y rotaciones. El resultado dependía de encontrar grupos libres de transformaciones afines, una técnica importante ampliada más tarde por von Neumann en su trabajo sobre la teoría de la medida. [93]
Con las contribuciones de von Neumann a los conjuntos, el sistema axiomático de la teoría de conjuntos evitó las contradicciones de sistemas anteriores y se volvió utilizable como base para las matemáticas, a pesar de la falta de una prueba de su consistencia . La siguiente pregunta era si proporcionaba respuestas definitivas a todas las cuestiones matemáticas que podían plantearse en él, o si podría mejorarse añadiendo axiomas más sólidos que pudieran usarse para demostrar una clase más amplia de teoremas. [94]
En 1927, von Neumann estaba involucrado en discusiones en Gotinga sobre si la aritmética elemental se derivaba de los axiomas de Peano . [95] Basándose en el trabajo de Ackermann , comenzó a intentar demostrar (utilizando los métodos finistas de la escuela de Hilbert ) la consistencia de la aritmética de primer orden . Logró demostrar la coherencia de un fragmento de aritmética de números naturales (mediante el uso de restricciones de inducción ). [96] Continuó buscando una prueba más general de la consistencia de las matemáticas clásicas utilizando métodos de la teoría de la prueba . [97]
Una respuesta fuertemente negativa sobre si era definitivo llegó en septiembre de 1930 en la Segunda Conferencia sobre Epistemología de las Ciencias Exactas , en la que Kurt Gödel anunció su primer teorema de incompletitud : los sistemas axiomáticos habituales son incompletos, en el sentido de que no pueden probar cada verdad expresable en su lenguaje. Además, toda ampliación coherente de estos sistemas sigue siendo necesariamente incompleta. [98] En la conferencia, von Neumann sugirió a Gödel que debería intentar transformar sus resultados para proposiciones indecidibles sobre números enteros. [99]
Menos de un mes después, von Neumann comunicó a Gödel una consecuencia interesante de su teorema: los sistemas axiomáticos habituales son incapaces de demostrar su propia coherencia. [98] Gödel respondió que ya había descubierto esta consecuencia, ahora conocida como su segundo teorema de incompletitud , y que enviaría una preimpresión de su artículo que contenía ambos resultados, que nunca aparecieron. [100] [101] [102] Von Neumann reconoció la prioridad de Gödel en su siguiente carta. [103] Sin embargo, el método de prueba de von Neumann difería del de Gödel, y también opinaba que el segundo teorema de incompletitud había asestado un golpe mucho más fuerte al programa de Hilbert de lo que Gödel pensaba. [104] [105] Con este descubrimiento, que cambió drásticamente sus puntos de vista sobre el rigor matemático, von Neumann dejó de investigar los fundamentos de las matemáticas y las metamatemáticas y, en cambio, dedicó tiempo a problemas relacionados con sus aplicaciones. [106]
En una serie de artículos publicados en 1932, von Neumann hizo contribuciones fundamentales a la teoría ergódica , una rama de las matemáticas que involucra los estados de sistemas dinámicos con una medida invariante . [107] De los artículos de 1932 sobre teoría ergódica, Paul Halmos escribió que incluso "si von Neumann nunca hubiera hecho nada más, habrían sido suficientes para garantizarle la inmortalidad matemática". [108] Para entonces von Neumann ya había escrito sus artículos sobre la teoría del operador , y la aplicación de este trabajo fue fundamental en su teorema ergódico medio . [109]
El teorema trata sobre grupos unitarios arbitrarios de un parámetro y establece que para cada vector en el espacio de Hilbert , existe en el sentido de la métrica definida por la norma de Hilbert y es un vector tal que para todos . Esto quedó demostrado en el primer artículo. En el segundo artículo, von Neumann argumentó que sus resultados aquí eran suficientes para aplicaciones físicas relacionadas con la hipótesis ergódica de Boltzmann . También señaló que aún no se había logrado la ergodicidad y lo aisló para trabajos futuros. [110]
Más tarde ese mismo año publicó otro artículo influyente que inició el estudio sistemático de la ergodicidad. Dio y demostró un teorema de descomposición que muestra que las medidas ergódicas que preservan las acciones de la línea real son los componentes fundamentales a partir de los cuales se pueden construir todas las medidas que preservan las acciones. Se dan y demuestran varios otros teoremas clave. Los resultados de este artículo y de otro realizado en colaboración con Paul Halmos tienen aplicaciones importantes en otras áreas de las matemáticas. [110] [111]
En teoría de la medida , el "problema de la medida" para un espacio euclidiano de n dimensiones R n puede plantearse como: "¿existe una función de conjunto positiva, normalizada, invariante y aditiva en la clase de todos los subconjuntos de R n ?" [112] El trabajo de Felix Hausdorff y Stefan Banach había implicado que el problema de la medida tiene una solución positiva si n = 1 o n = 2 y una solución negativa (debido a la paradoja de Banach-Tarski ) en todos los demás casos. El trabajo de Von Neumann argumentó que "el problema es esencialmente de carácter teórico de grupos": la existencia de una medida podría determinarse observando las propiedades del grupo de transformación del espacio dado. La solución positiva para espacios de dimensión como máximo dos, y la solución negativa para dimensiones superiores, proviene del hecho de que el grupo euclidiano es un grupo resoluble para dimensión como máximo dos, y no tiene solución para dimensiones superiores. "Por tanto, según von Neumann, lo que marca la diferencia es el cambio de grupo, no el cambio de espacio". [113] Alrededor de 1942 le dijo a Dorothy Maharam cómo demostrar que todo espacio completo de medida finita σ tiene una elevación multiplicativa; él no publicó esta prueba y luego a ella se le ocurrió una nueva. [114]
En varios artículos de von Neumann, los métodos de argumentación que empleó se consideran incluso más significativos que los resultados. Anticipándose a su estudio posterior de la teoría de dimensiones en álgebras de operadores, von Neumann utilizó resultados de equivalencia por descomposición finita y reformuló el problema de la medida en términos de funciones. [115] Una contribución importante que von Neumann hizo a la teoría de la medida fue el resultado de un artículo escrito para responder a una pregunta de Haar sobre si existía un álgebra de todas las funciones acotadas en la recta de números reales de modo que formen "un sistema completo de representantes". de las clases de funciones acotadas mensurables, casi en todas partes, iguales". [116] Demostró esto de manera positiva, y en artículos posteriores con Stone discutió varias generalizaciones y aspectos algebraicos de este problema. [117] También demostró mediante nuevos métodos la existencia de desintegraciones para varios tipos generales de medidas. Von Neumann también dio una nueva prueba de la unicidad de las medidas de Haar utilizando los valores medios de funciones, aunque este método sólo funcionó para grupos compactos . [116] Tuvo que crear técnicas completamente nuevas para aplicar esto a grupos localmente compactos . [118] También dio una prueba nueva e ingeniosa del teorema de Radón-Nikodym . [119] Sus notas de conferencias sobre teoría de la medida en el Instituto de Estudios Avanzados fueron una fuente importante de conocimiento sobre el tema en Estados Unidos en ese momento y se publicaron posteriormente. [120] [121] [122]
Utilizando su trabajo anterior sobre teoría de la medida, von Neumann hizo varias contribuciones a la teoría de grupos topológicos , comenzando con un artículo sobre funciones casi periódicas en grupos, donde von Neumann extendió la teoría de funciones casi periódicas de Bohr a grupos arbitrarios . [123] Continuó este trabajo con otro artículo en conjunto con Bochner que mejoró la teoría de la casi periodicidad para incluir funciones que asumieron elementos de espacios lineales como valores en lugar de números. [124] En 1938, recibió el Premio Bôcher Memorial por su trabajo de análisis en relación con estos artículos. [125] [126]
En un artículo de 1933, utilizó la recién descubierta medida de Haar en la solución del quinto problema de Hilbert para el caso de grupos compactos . [127] La idea básica detrás de esto se descubrió varios años antes, cuando von Neumann publicó un artículo sobre las propiedades analíticas de grupos de transformaciones lineales y descubrió que los subgrupos cerrados de un grupo lineal general son grupos de Lie . [128] Cartan amplió esto más tarde a grupos de Lie arbitrarios en la forma del teorema del subgrupo cerrado . [129] [116]
Von Neumann fue el primero en definir axiomáticamente un espacio de Hilbert abstracto . Lo definió como un espacio vectorial complejo con un producto escalar hermitiano , siendo la norma correspondiente separable y completa. En los mismos artículos también demostró la forma general de la desigualdad de Cauchy-Schwarz que anteriormente sólo se conocía en ejemplos específicos. [130] Continuó con el desarrollo de la teoría espectral de los operadores en el espacio de Hilbert en tres artículos fundamentales entre 1929 y 1932. [131] Este trabajo se acumuló en sus Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , que junto con otros dos libros de Stone y Banach en el El mismo año se publicaron las primeras monografías sobre la teoría espacial de Hilbert. [132] Trabajos anteriores de otros mostraron que no se podía obtener una teoría de topologías débiles mediante el uso de secuencias . Von Neumann fue el primero en esbozar un programa sobre cómo superar las dificultades, lo que le llevó a definir por primera vez espacios localmente convexos y espacios vectoriales topológicos . Además, varias otras propiedades topológicas que definió en ese momento (fue uno de los primeros matemáticos en aplicar nuevas ideas topológicas de Hausdorff desde los espacios euclidianos hasta los de Hilbert) [133] , como la acotación y la acotación total, todavía se utilizan hoy en día. [134] Durante veinte años von Neumann fue considerado el "maestro indiscutible" de esta área. [116] Estos desarrollos fueron impulsados principalmente por necesidades en la mecánica cuántica , donde von Neumann se dio cuenta de la necesidad de extender la teoría espectral de los operadores hermitianos del caso acotado al ilimitado . [135] Otros logros importantes en estos artículos incluyen una elucidación completa de la teoría espectral para operadores normales , la primera presentación abstracta de la traza de un operador positivo , [136] [137] una generalización de la presentación de Riesz de la teoría espectral de Hilbert . teoremas en ese momento, y el descubrimiento de operadores hermitianos en un espacio de Hilbert, a diferencia de los operadores autoadjuntos , lo que le permitió dar una descripción de todos los operadores hermitianos que extienden un operador hermitiano determinado. Escribió un artículo que detalla cómo el uso deLas matrices infinitas , comunes en ese momento en la teoría espectral, eran inadecuadas como representación para los operadores hermitianos. Su trabajo sobre la teoría de operadores condujo a su invención más profunda en matemáticas puras, el estudio de las álgebras de von Neumann y, en general, de las álgebras de operadores . [138]
Su trabajo posterior sobre anillos de operadores lo llevó a revisar su trabajo sobre teoría espectral y a proporcionar una nueva forma de trabajar con el contenido geométrico mediante el uso de integrales directas de espacios de Hilbert. [135] Al igual que en su trabajo sobre teoría de la medida, demostró varios teoremas que no encontró tiempo para publicar. Le dijo a Nachman Aronszajn y KT Smith que a principios de la década de 1930 demostró la existencia de subespacios invariantes adecuados para operadores completamente continuos en un espacio de Hilbert mientras trabajaba en el problema del subespacio invariante . [139]
Con IJ Schoenberg , escribió varios artículos que investigaban la traducción de métricas hilbertianas invariantes en la recta numérica real , lo que resultó en su clasificación completa. Su motivación radica en varias cuestiones relacionadas con la incorporación de espacios métricos en espacios de Hilbert. [140] [141]
Con Pascual Jordán escribió un breve artículo dando la primera derivación de una norma dada a partir de un producto interno mediante la identidad del paralelogramo . [142] Su traza de desigualdad es un resultado clave de la teoría de matrices utilizada en problemas de aproximación de matrices. [143] También presentó por primera vez la idea de que el dual de una prenorma es una norma en el primer artículo importante que analiza la teoría de normas unitariamente invariantes y funciones de calibre simétricas (ahora conocidas como normas absolutas simétricas). [144] [145] [146] Este artículo conduce naturalmente al estudio de los ideales de operadores simétricos y es el punto de partida para los estudios modernos de espacios de operadores simétricos . [147]
Más tarde, con Robert Schatten, inició el estudio de los operadores nucleares en los espacios de Hilbert, [148] [149] productos tensoriales de los espacios de Banach , [150] introdujo y estudió los operadores de clases de trazas , [151] sus ideales y su dualidad con los operadores compactos . y predualidad con operadores acotados . [152] La generalización de este tema al estudio de los operadores nucleares en los espacios de Banach fue uno de los primeros logros de Alexander Grothendieck . [153] [154] Anteriormente, en 1937, von Neumann publicó varios resultados en esta área, por ejemplo, dando una escala de 1 parámetro de diferentes normas cruzadas y demostrando varios otros resultados sobre lo que ahora se conoce como ideales de Schatten-von Neumann. [155]
Von Neumann fundó el estudio de anillos de operadores, a través de las álgebras de von Neumann (originalmente llamadas W*-álgebras). Si bien sus ideas originales para los anillos de operadores ya existían en 1930, no comenzó a estudiarlas en profundidad hasta que conoció a FJ Murray varios años después. [156] [157] Un álgebra de von Neumann es un álgebra * de operadores acotados en un espacio de Hilbert que está cerrado en la topología del operador débil y contiene el operador de identidad . [158] El teorema del bicommutante de von Neumann muestra que la definición analítica es equivalente a una definición puramente algebraica por ser igual al bicommutante . [159] Después de dilucidar el estudio del caso del álgebra conmutativa , von Neumann se embarcó en 1936, con la colaboración parcial de Murray, en el caso no conmutativo , el estudio general de la clasificación de factores de las álgebras de von Neumann. Los seis artículos principales en los que desarrolló esa teoría entre 1936 y 1940 "se encuentran entre las obras maestras del análisis del siglo XX"; [160] recopilaron muchos resultados fundamentales e iniciaron varios programas en teoría del álgebra de operadores en los que los matemáticos trabajaron durante décadas después. Un ejemplo es la clasificación de factores . [161] Además, en 1938 demostró que cada álgebra de von Neumann en un espacio de Hilbert separable es una integral directa de factores; no encontró tiempo para publicar este resultado hasta 1949. [162] [163] Las álgebras de Von Neumann se relacionan estrechamente con una teoría de integración no conmutativa, algo que von Neumann insinuó en su trabajo pero no escribió explícitamente. [164] [165] Otro resultado importante sobre la descomposición polar se publicó en 1932. [166]
Entre 1935 y 1937, von Neumann trabajó en la teoría de la red , la teoría de conjuntos parcialmente ordenados en los que cada dos elementos tienen un límite inferior máximo y un límite superior mínimo. Como escribió Garrett Birkhoff , "la brillante mente de John von Neumann ardió sobre la teoría de la red como un meteoro". [167] Von Neumann combinó la geometría proyectiva tradicional con el álgebra moderna ( álgebra lineal , teoría de anillos , teoría de celosías). Muchos resultados previamente geométricos podrían interpretarse en el caso de módulos generales sobre anillos. Su trabajo sentó las bases para algunos de los trabajos modernos en geometría proyectiva. [168]
Su mayor contribución fue la fundación del campo de la geometría continua . [169] Siguió su trabajo innovador sobre anillos de operadores. En matemáticas, la geometría continua es un sustituto de la geometría proyectiva compleja , donde en lugar de que la dimensión de un subespacio esté en un conjunto discreto puede ser un elemento del intervalo unitario . Anteriormente, Menger y Birkhoff habían axiomatizado la geometría proyectiva compleja en términos de las propiedades de su red de subespacios lineales . Von Neumann, siguiendo su trabajo sobre anillos de operadores, debilitó esos axiomas para describir una clase más amplia de redes, las geometrías continuas.
Si bien las dimensiones de los subespacios de las geometrías proyectivas son un conjunto discreto (los números enteros no negativos ), las dimensiones de los elementos de una geometría continua pueden variar continuamente a lo largo del intervalo unitario . Von Neumann fue motivado por su descubrimiento de las álgebras de von Neumann con una función de dimensión que toma un rango continuo de dimensiones, y el primer ejemplo de una geometría continua distinta del espacio proyectivo fueron las proyecciones del factor hiperfinito de tipo II . [170] [171]
En un trabajo teórico de celosía más puro, resolvió el difícil problema de caracterizar la clase de (geometría proyectiva de dimensión continua sobre un anillo de división arbitrario ) en el lenguaje abstracto de la teoría de celosías. [172] Von Neumann proporcionó una exploración abstracta de la dimensión en redes topológicas modulares complementadas completas (propiedades que surgen en las redes de subespacios de espacios de productos internos ):
La dimensión está determinada, hasta una transformación lineal positiva, por las dos propiedades siguientes. Se conserva mediante asignaciones de perspectivas ("perspectividades") y se ordena por inclusión. La parte más profunda de la prueba se refiere a la equivalencia de la perspectiva con la "proyectividad por descomposición", cuyo corolario es la transitividad de la perspectiva.
Para cualquier número entero, toda geometría proyectiva abstracta -dimensional es isomorfa a la red subespacial de un espacio vectorial -dimensional sobre un anillo de división correspondiente (único) . Esto se conoce como teorema de Veblen-Young . Von Neumann extendió este resultado fundamental en geometría proyectiva al caso dimensional continuo. [173] Este teorema de coordinatización estimuló un trabajo considerable en geometría proyectiva abstracta y teoría de redes, muchos de los cuales continuaron utilizando las técnicas de von Neumann. [168] [174] Birkhoff describió este teorema de la siguiente manera:
Cualquier red modular complementada L que tenga una "base" de n ≥ 4 elementos de perspectiva por pares, es isomorfa con la red ℛ ( R ) de todos los ideales rectos principales de un anillo regular adecuado R. Esta conclusión es la culminación de 140 páginas de álgebra brillante e incisiva que involucra axiomas completamente nuevos. Cualquiera que desee tener una impresión inolvidable del filo de la mente de von Neumann, simplemente necesita intentar seguir esta cadena de razonamiento exacto por sí mismo, dándose cuenta de que a menudo cinco páginas fueron escritas antes del desayuno, sentado en el escritorio de una sala de estar. en bata de baño. [175]
Este trabajo requirió la creación de anillos regulares . [176] Un anillo regular de von Neumann es un anillo donde para cada , existe un elemento tal que . [175] Estos anillos provienen y tienen conexiones con su trabajo sobre álgebras de von Neumann, así como también con álgebras AW* y varios tipos de álgebras C* . [177]
Se probaron muchos resultados técnicos más pequeños durante la creación y prueba de los teoremas anteriores, particularmente con respecto a la distributividad (como la distributividad infinita), y von Neumann los desarrolló según fue necesario. También desarrolló una teoría de valoraciones en redes y participó en el desarrollo de la teoría general de las redes métricas . [178]
Birkhoff señaló en su artículo póstumo sobre von Neumann que la mayoría de estos resultados se desarrollaron en un intenso período de trabajo de dos años, y que si bien sus intereses continuaron en la teoría de redes después de 1937, se volvieron periféricos y aparecieron principalmente en cartas a otros matemáticos. Una contribución final en 1940 fue para un seminario conjunto que dirigió con Birkhoff en el Instituto de Estudios Avanzados sobre el tema donde desarrolló una teoría de anillos ordenados de red σ-completos. Nunca redactó el trabajo para su publicación. [179]
Von Neumann hizo contribuciones fundamentales a la estadística matemática . En 1941, derivó la distribución exacta de la relación entre el cuadrado medio de diferencias sucesivas y la varianza muestral para variables independientes e idénticamente distribuidas normalmente . [180] Esta relación se aplicó a los residuos de los modelos de regresión y se conoce comúnmente como estadístico de Durbin-Watson [181] para probar la hipótesis nula de que los errores son serialmente independientes frente a la alternativa de que siguen una autorregresión estacionaria de primer orden . [181]
Posteriormente, Denis Sargan y Alok Bhargava ampliaron los resultados para probar si los errores en un modelo de regresión siguen un paseo aleatorio gaussiano ( es decir , poseen una raíz unitaria ) frente a la alternativa de que sean una autorregresión estacionaria de primer orden. [182]
En sus primeros años, von Neumann publicó varios artículos relacionados con el análisis real de la teoría de conjuntos y la teoría de números. [183] En un artículo de 1925, demostró que para cualquier secuencia densa de puntos en , existía una reordenación de esos puntos que se distribuye uniformemente . [184] [185] [186] En 1926 su única publicación fue sobre la teoría de Prüfer de los números algebraicos ideales , donde encontró una nueva forma de construirlos, extendiendo así la teoría de Prüfer al campo de todos los números algebraicos y aclaró su relación con p. -números ádicos . [187] [188] [189] [190] [191] En 1928 publicó dos artículos adicionales continuando con estos temas. El primero trataba de dividir un intervalo en un número contable de subconjuntos congruentes . Resolvió un problema de Hugo Steinhaus que preguntaba si un intervalo es divisible. Von Neumann demostró que, efectivamente, todos los intervalos, semiabiertos, abiertos o cerrados, son divisibles por traslación (es decir, que estos intervalos se pueden descomponer en subconjuntos que son congruentes por traslación). [192] [193] [194] [195] Su siguiente artículo trató de dar una prueba constructiva sin el axioma de elección de que existen reales algebraicamente independientes . Demostró que son algebraicamente independientes para . En consecuencia, existe un conjunto de reales algebraicamente independientes perfectos del tamaño del continuo . [196] [197] [198] [199] Otros resultados menores de su carrera temprana incluyen una prueba de un principio máximo para el gradiente de una función minimizadora en el campo del cálculo de variaciones , [200] [201] [202] [203] y una pequeña simplificación del teorema de Hermann Minkowski para formas lineales en la teoría de números geométricos . [204] [205] [206] Más adelante en su carrera, junto con Pascual Jordan y Eugene Wigner, escribió un artículo fundamental clasificando todas las álgebras de Jordan formalmente reales de dimensión finita y descubriendo las álgebras de Albert mientras intentaba buscar una mejor Formalismo matemático para la teoría cuántica . [207] [208] En 1936 intentó avanzar en el programa de reemplazar los axiomas de su anterior programa espacial Hilbert con los de las álgebras de Jordan [209] en un artículo que investigaba el caso de dimensión infinita; Planeaba escribir al menos un artículo más sobre el tema, pero nunca lo hizo. [210] Sin embargo, estos axiomas formaron la base para futuras investigaciones de la mecánica cuántica algebraica iniciadas por Irving Segal . [211] [212]
Von Neumann fue el primero en establecer un marco matemático riguroso para la mecánica cuántica , conocido como los axiomas de Dirac-von Neumann , en su influyente obra de 1932 Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica . [213] Después de haber completado la axiomatización de la teoría de conjuntos, comenzó a afrontar la axiomatización de la mecánica cuántica. En 1926 se dio cuenta de que el estado de un sistema cuántico podía representarse mediante un punto en un espacio de Hilbert (complejo) que, en general, podía ser de dimensión infinita incluso para una sola partícula. En este formalismo de la mecánica cuántica, cantidades observables como la posición o el momento se representan como operadores lineales que actúan sobre el espacio de Hilbert asociado con el sistema cuántico. [214]
De este modo, la física de la mecánica cuántica quedó reducida a las matemáticas de los espacios de Hilbert y los operadores lineales que actúan sobre ellos. Por ejemplo, el principio de incertidumbre , según el cual la determinación de la posición de una partícula impide la determinación de su momento y viceversa, se traduce en la no conmutatividad de los dos operadores correspondientes. Esta nueva formulación matemática incluía como casos especiales las formulaciones tanto de Heisenberg como de Schrödinger. [214]
El tratamiento abstracto de Von Neumann le permitió confrontar la cuestión fundamental del determinismo versus el no determinismo, y en el libro presentó una prueba de que los resultados estadísticos de la mecánica cuántica no podían ser promedios de un conjunto subyacente de determinadas "variables ocultas", como en mecánica estadística clásica. En 1935, Grete Hermann publicó un artículo argumentando que la prueba contenía un error conceptual y, por tanto, no era válida. [215] El trabajo de Hermann fue ignorado en gran medida hasta que John S. Bell presentó esencialmente el mismo argumento en 1966. [216] En 2010, Jeffrey Bub argumentó que Bell había malinterpretado la prueba de von Neumann y señaló que la prueba, aunque no era válida para todas las teorías de variables ocultas , descarta un subconjunto importante y bien definido. Bub también sugiere que von Neumann era consciente de esta limitación y no afirmó que su prueba descartara por completo las teorías de variables ocultas. [217] La validez del argumento de Bub, a su vez, está en duda. El teorema de Gleason de 1957 proporcionó un argumento contra las variables ocultas similar al de von Neumann, pero basado en suposiciones consideradas mejor motivadas y más significativas físicamente. [218] [219]
La prueba de Von Neumann inauguró una línea de investigación que finalmente condujo, a través del teorema de Bell y los experimentos de Alain Aspect en 1982, a la demostración de que la física cuántica requiere una noción de la realidad sustancialmente diferente a la de la física clásica, o debe incluir la no localidad en aspectos aparentes. violación de la relatividad especial. [220]
En un capítulo de Los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , von Neumann analizó en profundidad el llamado problema de la medición . Concluyó que todo el universo físico podría quedar sujeto a la función de onda universal . Dado que se necesitaba algo "fuera del cálculo" para colapsar la función de onda, von Neumann concluyó que el colapso fue causado por la conciencia del experimentador. Sostuvo que las matemáticas de la mecánica cuántica permiten ubicar el colapso de la función de onda en cualquier posición de la cadena causal desde el dispositivo de medición hasta la "conciencia subjetiva" del observador humano. En otras palabras, si bien la línea entre observador y observado podría trazarse en diferentes lugares, la teoría sólo tiene sentido si existe un observador en algún lugar. [221] Aunque Eugene Wigner aceptó la idea de que la conciencia causaba el colapso, [222] la interpretación de Von Neumann-Wigner nunca ganó aceptación entre la mayoría de los físicos. [223]
Aunque las teorías de la mecánica cuántica continúan evolucionando, un marco básico para el formalismo matemático de los problemas de la mecánica cuántica que subyace a la mayoría de los enfoques se remonta a los formalismos y técnicas matemáticos utilizados por primera vez por von Neumann. Las discusiones sobre la interpretación de la teoría y sus extensiones ahora se llevan a cabo principalmente sobre la base de suposiciones compartidas sobre los fundamentos matemáticos. [213]
Al considerar el trabajo de von Neumann sobre mecánica cuántica como parte del cumplimiento del sexto problema de Hilbert , el físico matemático Arthur Wightman dijo en 1974 que su axiomización de la teoría cuántica era quizás la axiomización más importante de una teoría física hasta la fecha. Con su libro de 1932, la mecánica cuántica se convirtió en una teoría madura en el sentido de que tenía una forma matemática precisa, que permitía respuestas claras a problemas conceptuales. [224] Sin embargo, von Neumann en sus últimos años sintió que había fracasado en este aspecto de su trabajo científico ya que, a pesar de todas las matemáticas que desarrolló, no encontró un marco matemático satisfactorio para la teoría cuántica en su conjunto. [225] [226]
La entropía de von Neumann se utiliza ampliamente en diferentes formas ( entropía condicional , entropía relativa , etc.) en el marco de la teoría de la información cuántica . [227] Las medidas de entrelazamiento se basan en alguna cantidad directamente relacionada con la entropía de von Neumann. Dado un conjunto estadístico de sistemas mecánicos cuánticos con la matriz de densidad , está dado por Muchas de las mismas medidas de entropía en la teoría de la información clásica también se pueden generalizar al caso cuántico, como la entropía de Holevo [228] y la entropía cuántica condicional . La teoría de la información cuántica se ocupa en gran medida de la interpretación y los usos de la entropía de von Neumann, una piedra angular en el desarrollo de la primera; La entropía de Shannon se aplica a la teoría de la información clásica. [229]
El formalismo de los operadores de densidad y las matrices fue introducido por von Neumann [230] en 1927 e independientemente, pero menos sistemáticamente, por Lev Landau [231] y Felix Bloch [232] en 1927 y 1946 respectivamente. La matriz de densidad es una forma alternativa de representar el estado de un sistema cuántico, incluidas probabilidades estadísticas, que no se representan fácilmente mediante funciones de onda. [ cita necesaria ]
El esquema de medición de von Neumann , antepasado de la teoría de la decoherencia cuántica , representa las mediciones de forma proyectiva teniendo en cuenta el aparato de medición, que también se trata como un objeto cuántico. El esquema de "medición proyectiva" introducido por von Neumann condujo al desarrollo de teorías de decoherencia cuántica. [233] [234]
Von Neumann propuso por primera vez una lógica cuántica en su tratado de 1932 Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , donde señaló que las proyecciones en un espacio de Hilbert pueden verse como proposiciones sobre observables físicos. El campo de la lógica cuántica fue inaugurado posteriormente en un artículo de 1936 de von Neumann y Garrett Birkhoff, los primeros en introducir la lógica cuántica, [235] en el que von Neumann y Birkhoff demostraron por primera vez que la mecánica cuántica requiere un cálculo proposicional sustancialmente diferente de toda la lógica clásica y aisló rigurosamente una nueva estructura algebraica para la lógica cuántica. El concepto de crear un cálculo proposicional para la lógica cuántica se describió por primera vez en una breve sección del trabajo de von Neumann de 1932, pero en 1936, la necesidad del nuevo cálculo proposicional se demostró a través de varias pruebas. Por ejemplo, los fotones no pueden pasar a través de dos filtros sucesivos que estén polarizados perpendicularmente (p. ej., horizontal y verticalmente), y por tanto, a fortiori , no pueden pasar si a los otros dos se les añade un tercer filtro polarizado diagonalmente, ya sea antes o después de ellos en la sucesión, pero si se añade el tercer filtro entre los otros dos, los fotones sí pasarán. Este hecho experimental es traducible a la lógica como la no conmutatividad de la conjunción . También se demostró que las leyes de distribución de la lógica clásica, y , no son válidas para la teoría cuántica. [236]
La razón de esto es que una disyunción cuántica, a diferencia del caso de la disyunción clásica, puede ser verdadera incluso cuando ambas disyunciones son falsas y esto a su vez es atribuible al hecho de que en mecánica cuántica frecuentemente ocurre que un par de disyunciones las alternativas son semánticamente determinadas, mientras que cada uno de sus miembros es necesariamente indeterminado. En consecuencia, la ley distributiva de la lógica clásica debe ser reemplazada por una condición más débil. [236] En lugar de una red distributiva, las proposiciones sobre un sistema cuántico forman una red ortomodular isomorfa a la red de subespacios del espacio de Hilbert asociado con ese sistema. [237]
Sin embargo, nunca estuvo satisfecho con su trabajo sobre lógica cuántica. Su intención era que fuera una síntesis conjunta de la lógica formal y la teoría de la probabilidad y cuando intentó escribir un artículo para la Conferencia Henry Joseph que dio en la Sociedad Filosófica de Washington en 1945 descubrió que no podía, especialmente porque estaba ocupado. con el trabajo de guerra en ese momento. Durante su discurso en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1954 , mencionó esta cuestión como uno de los problemas no resueltos en los que los futuros matemáticos podrían trabajar. [238] [239]
Von Neumann hizo contribuciones fundamentales en el campo de la dinámica de fluidos , incluida la solución de flujo clásica para las ondas explosivas , [240] y el co-descubrimiento (de forma independiente por Yakov Borisovich Zel'dovich y Werner Döring ) del modelo de detonación de explosivos ZND . [241] Durante la década de 1930, von Neumann se convirtió en una autoridad en las matemáticas de cargas conformadas . [242]
Más tarde, con Robert D. Richtmyer , von Neumann desarrolló un algoritmo que definía la viscosidad artificial y mejoró la comprensión de las ondas de choque . Cuando las computadoras resolvieron problemas hidrodinámicos o aerodinámicos, colocaron demasiados puntos de la cuadrícula computacional en regiones de marcada discontinuidad (ondas de choque). Las matemáticas de la viscosidad artificial suavizaron la transición del choque sin sacrificar la física básica. [243]
Von Neumann pronto aplicó el modelado por computadora al campo y desarrolló software para su investigación balística. Durante la Segunda Guerra Mundial, se acercó a RH Kent, director del Laboratorio de Investigación Balística del Ejército de EE. UU ., con un programa de computadora para calcular un modelo unidimensional de 100 moléculas para simular una onda de choque. Von Neumann impartió un seminario sobre su programa ante un público en el que se encontraba su amigo Theodore von Kármán . Después de que von Neumann hubo terminado, von Kármán dijo: "Por supuesto, te das cuenta de que Lagrange también usó modelos digitales para simular la mecánica continua ". Von Neumann desconocía la Mécanique analytique de Lagrange . [244]
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Si bien no fue tan prolífico en física como lo fue en matemáticas, hizo otras contribuciones notables. Sus artículos pioneros con Subrahmanyan Chandrasekhar sobre las estadísticas de un campo gravitacional fluctuante generado por estrellas distribuidas aleatoriamente fueron considerados un tour de force . [245] En este artículo desarrollaron una teoría de relajación de dos cuerpos [246] y utilizaron la distribución de Holtsmark para modelar [247] la dinámica de los sistemas estelares . [248] Escribió varios otros manuscritos inéditos sobre temas de estructura estelar , algunos de los cuales se incluyeron en otras obras de Chandrasekhar. [249] [250] En trabajos anteriores dirigidos por Oswald Veblen von Neumann ayudó a desarrollar ideas básicas relacionadas con los espinores que conducirían a la teoría del tornado de Roger Penrose . [251] [252] Gran parte de esto se hizo en seminarios realizados en la IAS durante la década de 1930. [253] A partir de este trabajo, escribió un artículo con AH Taub y Veblen extendiendo la ecuación de Dirac a la relatividad proyectiva , con un enfoque clave en mantener la invariancia con respecto a las transformaciones de coordenadas, espín y calibre , como parte de las primeras investigaciones sobre teorías potenciales. de la gravedad cuántica en la década de 1930. [254] En el mismo período de tiempo, hizo varias propuestas a sus colegas para abordar los problemas de la recién creada teoría cuántica de campos y para cuantificar el espacio-tiempo; sin embargo, tanto sus colegas como él no consideraron que las ideas fueran fructíferas y no las llevaron a cabo. [255] [256] [257] Sin embargo, mantuvo al menos cierto interés y en 1940 escribió un manuscrito sobre la ecuación de Dirac en el espacio de Sitter . [258]
Von Neumann fundó el campo de la teoría de juegos como disciplina matemática. [259] Demostró su teorema minimax en 1928. Establece que en juegos de suma cero con información perfecta (es decir, en los que los jugadores conocen en cada momento todos los movimientos que han tenido lugar hasta el momento), existe un par de estrategias para ambos. jugadores que permita a cada uno minimizar sus pérdidas máximas. [260] Estas estrategias se denominan óptimas . Von Neumann demostró que sus minimax son iguales (en valor absoluto) y contrarios (en signo). Mejoró y amplió el teorema minimax para incluir juegos que involucran información imperfecta y juegos con más de dos jugadores, publicando este resultado en su Teoría de los juegos y el comportamiento económico de 1944 , escrita con Oskar Morgenstern . El interés público por este trabajo fue tal que The New York Times publicó un artículo en primera plana. [261] En este libro, von Neumann declaró que la teoría económica necesitaba utilizar el análisis funcional , especialmente conjuntos convexos y el teorema topológico del punto fijo , en lugar del cálculo diferencial tradicional, porque el operador máximo no preservaba las funciones diferenciables. [259]
Las técnicas de análisis funcional de Von Neumann (el uso de pares de dualidad de espacios vectoriales reales para representar precios y cantidades, el uso de hiperplanos y conjuntos convexos de soporte y separación , y la teoría del punto fijo) han sido herramientas primarias de la economía matemática desde entonces. [262]
Von Neumann elevó el nivel matemático de la economía en varias publicaciones influyentes. Para su modelo de una economía en expansión, demostró la existencia y unicidad de un equilibrio utilizando su generalización del teorema del punto fijo de Brouwer . [259] El modelo de von Neumann de una economía en expansión consideraba la matriz lápiz A − λ B con matrices no negativas A y B ; von Neumann buscó vectores de probabilidad p y q y un número positivo λ que resolvería la ecuación de complementariedad junto con dos sistemas de desigualdad que expresaran la eficiencia económica. En este modelo, el vector de probabilidad ( transpuesto ) p representa los precios de los bienes, mientras que el vector de probabilidad q representa la "intensidad" a la que se ejecutaría el proceso de producción. La solución única λ representa el factor de crecimiento que es 1 más la tasa de crecimiento de la economía; la tasa de crecimiento es igual a la tasa de interés . [263] [264]
Los resultados de Von Neumann han sido vistos como un caso especial de programación lineal , donde su modelo utiliza sólo matrices no negativas. El estudio de su modelo de una economía en expansión sigue interesando a los economistas matemáticos. [265] [266] Este artículo ha sido llamado el mejor artículo en economía matemática por varios autores, quienes reconocieron su introducción de teoremas de punto fijo, desigualdades lineales , holgura complementaria y dualidad de punto de silla . [267] En las actas de una conferencia sobre el modelo de crecimiento de von Neumann, Paul Samuelson dijo que muchos matemáticos habían desarrollado métodos útiles para los economistas, pero que von Neumann era único en haber hecho contribuciones significativas a la teoría económica misma. [268] La importancia duradera del trabajo sobre equilibrios generales y la metodología de los teoremas del punto fijo queda subrayada por la concesión de premios Nobel en 1972 a Kenneth Arrow , en 1983 a Gérard Debreu y en 1994 a John Nash , que utilizó teoremas del punto fijo. establecer equilibrios para juegos no cooperativos y para problemas de negociación en su doctorado. tesis. Arrow y Debreu también utilizaron programación lineal, al igual que los premios Nobel Tjalling Koopmans , Leonid Kantorovich , Wassily Leontief , Paul Samuelson , Robert Dorfman , Robert Solow y Leonid Hurwicz . [269]
El interés de Von Neumann por el tema comenzó mientras daba conferencias en Berlín en 1928 y 1929. Pasaba sus veranos en Budapest, al igual que el economista Nicholas Kaldor ; Kaldor recomendó que von Neumann leyera un libro del economista matemático Léon Walras . Von Neumann notó que la teoría del equilibrio general de Walras y la ley de Walras , que conducían a sistemas de ecuaciones lineales simultáneas, podían producir el resultado absurdo de que se podían maximizar las ganancias produciendo y vendiendo una cantidad negativa de un producto. Reemplazó las ecuaciones por desigualdades, introdujo equilibrios dinámicos, entre otras cosas, y finalmente redactó su artículo. [270]
Basándose en sus resultados sobre los juegos matriciales y en su modelo de una economía en expansión, von Neumann inventó la teoría de la dualidad en la programación lineal cuando George Dantzig describió su trabajo en unos minutos, y un impaciente von Neumann le pidió que fuera al grano. Luego, Dantzig escuchó estupefacto mientras von Neumann daba una conferencia de una hora sobre conjuntos convexos, teoría del punto fijo y dualidad, conjeturando la equivalencia entre juegos matriciales y programación lineal. [271]
Posteriormente, von Neumann sugirió un nuevo método de programación lineal , utilizando el sistema lineal homogéneo de Paul Gordan (1873), que luego fue popularizado por el algoritmo de Karmarkar . El método de Von Neumann utilizó un algoritmo de pivote entre simples , con la decisión de pivote determinada por un subproblema de mínimos cuadrados no negativos con una restricción de convexidad ( proyectando el vector cero sobre el casco convexo del simplex activo). El algoritmo de Von Neumann fue el primer método de programación lineal de puntos interiores . [272]
Von Neumann fue una figura fundadora de la informática , [273] con importantes contribuciones al diseño de hardware informático, a la informática teórica , a la informática científica y a la filosofía de la informática .
Von Neumann fue consultor del Laboratorio de Investigación Balística del Ejército , sobre todo en el proyecto ENIAC , [274] como miembro de su Comité Asesor Científico. [275] Aunque la arquitectura de programa almacenado de memoria única se llama comúnmente arquitectura von Neumann , la arquitectura se basó en el trabajo de J. Presper Eckert y John Mauchly , inventores de ENIAC y su sucesor, EDVAC . Mientras asesoraba para el proyecto EDVAC en la Universidad de Pensilvania , von Neumann escribió un primer borrador incompleto de un informe sobre el EDVAC . El artículo, cuya distribución prematura anuló las reclamaciones de patente de Eckert y Mauchly, describía una computadora que almacenaba tanto sus datos como su programa en el mismo espacio de direcciones, a diferencia de las primeras computadoras que almacenaban sus programas por separado en cintas de papel o tableros de enchufe . Esta arquitectura se convirtió en la base de la mayoría de los diseños de computadoras modernos. [276]
A continuación, von Neumann diseñó la máquina IAS en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey. Organizó su financiación y los componentes fueron diseñados y construidos en el cercano Laboratorio de Investigación RCA . Von Neumann recomendó que el IBM 701 , apodado el ordenador de defensa , incluyera un tambor magnético. Era una versión más rápida de la máquina IAS y formó la base del IBM 704, de éxito comercial . [277] [278]
Von Neumann fue el inventor, en 1945, del algoritmo de clasificación por fusión , en el que la primera y la segunda mitad de una matriz se clasifican de forma recursiva y luego se fusionan. [279] [280]
Como parte del trabajo de Von Neumann con la bomba de hidrógeno, él y Stanisław Ulam desarrollaron simulaciones para cálculos hidrodinámicos. También contribuyó al desarrollo del método de Monte Carlo , que utilizaba números aleatorios para aproximar las soluciones a problemas complicados. [281]
El algoritmo de Von Neumann para simular una moneda justa con una moneda sesgada se utiliza en la etapa de "blanqueo de software" de algunos generadores de números aleatorios de hardware . [282] Debido a que obtener números "verdaderamente" aleatorios no era práctico, von Neumann desarrolló una forma de pseudoaleatoriedad , utilizando el método del cuadrado medio . Justificó este método tosco como más rápido que cualquier otro método a su disposición, escribiendo que "Cualquiera que considere métodos aritméticos para producir dígitos aleatorios está, por supuesto, en un estado de pecado". [282] También señaló que cuando este método fallaba, lo hacía de manera obvia, a diferencia de otros métodos que podían ser sutilmente incorrectos. [282]
La computación estocástica fue introducida por von Neumann en 1953, [283] pero no pudo implementarse hasta los avances en computación de la década de 1960. [284] [285] Alrededor de 1950 también fue uno de los primeros en hablar sobre la complejidad temporal de los cálculos , que eventualmente evolucionó hacia el campo de la teoría de la complejidad computacional . [286]
El análisis matemático de von Neumann de la estructura de la autorreplicación precedió al descubrimiento de la estructura del ADN. [288] A Ulam y von Neumann también se les atribuye generalmente la creación del campo de los autómatas celulares , a partir de la década de 1940, como un modelo matemático simplificado de sistemas biológicos. [289]
En conferencias de 1948 y 1949, von Neumann propuso un autómata cinemático autorreproductor. [290] [291] En 1952, estaba tratando el problema de manera más abstracta. Diseñó un elaborado autómata celular 2D que automáticamente haría una copia de su configuración inicial de celdas. [292] El constructor universal de Von Neumann basado en el autómata celular de von Neumann se desarrolló en su póstuma Teoría de los autómatas autorreproductores . [293] La vecindad de von Neumann , en la que cada celda en una cuadrícula bidimensional tiene las cuatro celdas de la cuadrícula ortogonalmente adyacentes como vecinas, continúa utilizándose para otros autómatas celulares. [294]
Considerado posiblemente "el investigador más influyente en informática científica de todos los tiempos", [295] von Neumann hizo varias contribuciones al campo, tanto técnica como administrativamente. Desarrolló el procedimiento de análisis de estabilidad de Von Neumann , [296] que todavía se usa comúnmente para evitar la acumulación de errores en métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales lineales . [297] Su artículo con Herman Goldstine en 1947 fue el primero en describir el análisis de errores hacia atrás , aunque implícitamente. [298] También fue uno de los primeros en escribir sobre el método Jacobi . [299] En Los Alamos, escribió varios informes clasificados sobre la resolución numérica de problemas de dinámica de gases . Sin embargo, se sintió frustrado por la falta de avances en los métodos analíticos para estos problemas no lineales . Como resultado, recurrió a los métodos computacionales. [300] Bajo su influencia, Los Álamos se convirtió en el líder de la ciencia computacional durante la década de 1950 y principios de la de 1960. [301]
A partir de este trabajo, von Neumann se dio cuenta de que la computación no era sólo una herramienta para forzar numéricamente la solución de un problema, sino que también podía proporcionar información para resolver problemas analíticamente, [302] y que había una enorme variedad de problemas científicos y de ingeniería hacia los cuales Serían útiles las computadoras, las más importantes de las cuales eran los problemas no lineales . [303] En junio de 1945, en el Primer Congreso Canadiense de Matemáticas, dio su primera charla sobre ideas generales sobre cómo resolver problemas numéricamente, en particular de dinámica de fluidos. [244] También describió cómo los túneles de viento eran en realidad computadoras analógicas , y cómo las computadoras digitales los reemplazarían y traerían una nueva era de dinámica de fluidos. Garrett Birkhoff lo describió como "un argumento de venta inolvidable". Amplió esta charla con Goldstine al manuscrito "Sobre los principios de las máquinas informáticas a gran escala" y lo utilizó para promover el apoyo a la informática científica. Sus artículos también desarrollaron los conceptos de inversión de matrices , matrices aleatorias y métodos de relajación automatizados para resolver problemas de valores de frontera elípticos . [304]
Como parte de su investigación sobre posibles aplicaciones de las computadoras, von Neumann se interesó en la predicción del tiempo y notó similitudes entre los problemas en el campo y aquellos en los que había trabajado durante el Proyecto Manhattan. [305] En 1946 von Neumann fundó el "Proyecto Meteorológico" en el Instituto de Estudios Avanzados, obteniendo financiación para su proyecto de la Oficina Meteorológica , la Fuerza Aérea de los EE. UU . y los servicios meteorológicos de la Marina de los EE. UU. [306] Con Carl-Gustaf Rossby , considerado el principal meteorólogo teórico en ese momento, reunió a un grupo de veinte meteorólogos para trabajar en diversos problemas en el campo. Sin embargo, dado su otro trabajo de posguerra, no pudo dedicar suficiente tiempo a la dirección adecuada del proyecto y se logró poco.
Esto cambió cuando un joven Jule Gregory Charney asumió el liderazgo conjunto del proyecto de Rossby. [307] En 1950, von Neumann y Charney escribieron el primer software de modelado climático del mundo y lo utilizaron para realizar los primeros pronósticos meteorológicos numéricos del mundo en la computadora ENIAC que von Neumann había dispuesto para su uso; [306] von Neumann y su equipo publicaron los resultados como Integración numérica de la ecuación de vorticidad barotrópica . [308] Juntos desempeñaron un papel de liderazgo en los esfuerzos por integrar los intercambios de energía y humedad entre el aire y el mar en el estudio del clima. [309] Aunque primitivas, las noticias de los pronósticos de ENIAC se difundieron rápidamente por todo el mundo y se iniciaron una serie de proyectos paralelos en otros lugares. [310]
En 1955, von Neumann, Charney y sus colaboradores convencieron a sus financiadores para que abrieran la Unidad Conjunta de Predicción Numérica del Tiempo (JNWPU) en Suitland, Maryland , que comenzó a realizar pronósticos meteorológicos de rutina en tiempo real. [311] A continuación, von Neumann propuso un programa de investigación para el modelado climático:
El enfoque consiste en probar primero pronósticos a corto plazo, luego pronósticos a largo plazo de aquellas propiedades de la circulación que pueden perpetuarse durante períodos de tiempo arbitrariamente largos, y sólo finalmente intentar pronósticos para períodos de tiempo medio-largos que son demasiado largos para tratarlo mediante la teoría hidrodinámica simple y demasiado breve para tratarlo según el principio general de la teoría del equilibrio. [312]
Los resultados positivos de Norman A. Phillips en 1955 provocaron una reacción inmediata y von Neumann organizó una conferencia en Princeton sobre "Aplicación de técnicas de integración numérica al problema de la circulación general". Una vez más, organizó estratégicamente el programa como predictivo para asegurar el apoyo continuo de la Oficina Meteorológica y el ejército, lo que llevó a la creación de la Sección de Investigación de Circulación General (ahora el Laboratorio de Dinámica de Fluidos Geofísicos ) junto a la JNWPU. [313] Continuó trabajando tanto en cuestiones técnicas de modelado como en garantizar la financiación continua para estos proyectos. [314] A finales del siglo XIX, Svante Arrhenius sugirió que la actividad humana podría causar el calentamiento global al agregar dióxido de carbono a la atmósfera. [315] En 1955, von Neumann observó que es posible que esto ya haya comenzado: "El dióxido de carbono liberado a la atmósfera por la quema industrial de carbón y petróleo (más de la mitad durante la última generación) puede haber cambiado la composición de la atmósfera lo suficiente como para explicar "Para un calentamiento general del mundo de aproximadamente un grado Fahrenheit". [316] [317] Su investigación sobre sistemas climáticos y predicción meteorológica lo llevó a proponer manipular el medio ambiente esparciendo colorantes en los casquetes polares para mejorar la absorción de la radiación solar (reduciendo el albedo ). [318] [319] [318] [319] Sin embargo, instó a tener precaución en cualquier programa de modificación de la atmósfera:
Lo que podría hacerse, por supuesto, no es un índice de lo que debería hacerse... De hecho, evaluar las consecuencias finales de un enfriamiento general o de un calentamiento general sería una cuestión compleja. Los cambios afectarían el nivel de los mares y, por tanto, la habitabilidad de las plataformas costeras continentales; la evaporación de los mares y, por tanto, los niveles generales de precipitación y glaciación; y así sucesivamente... Pero no hay duda de que se podrían llevar a cabo los análisis necesarios para predecir los resultados, intervenir en cualquier escala deseada y, en última instancia, lograr resultados bastante fantásticos. [317]
También advirtió que el control del clima y el tiempo podrían tener usos militares, y le dijo al Congreso en 1956 que podrían representar un riesgo aún mayor que los misiles balísticos intercontinentales . [320]
"La tecnología que ahora se está desarrollando y que dominará las próximas décadas está en conflicto con unidades y conceptos geográficos y políticos tradicionales, y en su mayoría momentáneamente todavía válidos. Esta es una crisis de tecnología que está madurando... La situación más esperanzadora La respuesta es que la especie humana ha sido sometida a pruebas similares antes y parece tener una capacidad congénita para salir adelante, después de distintos grados de problemas".
—Von Neumann, 1955 [317]
El primer uso del concepto de singularidad en el contexto tecnológico se atribuye a von Neumann, [321] quien, según Ulam, analizó el "progreso cada vez más acelerado de la tecnología y los cambios en el modo de vida humana, lo que da la apariencia de aproximarse a algunos singularidad esencial en la historia de la raza más allá de la cual los asuntos humanos, tal como los conocemos, no podrían continuar". [322] Este concepto se desarrolló más adelante en el libro Future Shock de Alvin Toffler .
A finales de la década de 1930, von Neumann desarrolló experiencia en explosiones, fenómenos que son difíciles de modelar matemáticamente. Durante este período, fue la principal autoridad en la matemática de las cargas perfiladas , lo que le llevó a realizar un gran número de consultorías militares y, en consecuencia, a su implicación en el Proyecto Manhattan . La participación incluyó viajes frecuentes a las instalaciones secretas de investigación del proyecto en el Laboratorio de Los Álamos en Nuevo México. [38]
Von Neumann hizo su principal contribución a la bomba atómica en el concepto y diseño de las lentes explosivas que se necesitaban para comprimir el núcleo de plutonio del arma Fat Man que luego fue lanzada sobre Nagasaki . [323] Si bien von Neumann no originó el concepto de " implosión ", fue uno de sus defensores más persistentes, alentando su desarrollo continuo en contra de los instintos de muchos de sus colegas, que sentían que tal diseño era inviable. Finalmente, también se le ocurrió la idea de utilizar cargas con formas más potentes y material menos fisionable para aumentar considerablemente la velocidad de "ensamblaje". [324]
Cuando resultó que no habría suficiente uranio-235 para fabricar más de una bomba, el proyecto de lentes implosivas se amplió enormemente y se implementó la idea de von Neumann. La implosión era el único método que podía utilizarse con el plutonio-239 disponible en el sitio de Hanford . [325] Estableció el diseño de las lentes explosivas requeridas, pero persistieron preocupaciones sobre los "efectos de borde" y las imperfecciones en los explosivos. [326] Sus cálculos mostraron que la implosión funcionaría si no se desviara en más del 5% de la simetría esférica. [327] Después de una serie de intentos fallidos con modelos, esto lo logró George Kistiakowsky , y la construcción de la bomba Trinity se completó en julio de 1945. [328]
En una visita a Los Álamos en septiembre de 1944, von Neumann demostró que el aumento de presión debido a la reflexión de las ondas de choque de una explosión en objetos sólidos era mayor de lo que se creía anteriormente si el ángulo de incidencia de la onda de choque estaba entre 90° y algún ángulo límite. Como resultado, se determinó que la eficacia de una bomba atómica aumentaría con una detonación a algunos kilómetros por encima del objetivo, en lugar de a nivel del suelo. [329] [330]
Von Neumann fue incluido en el comité de selección de objetivos que se encargó de elegir las ciudades japonesas de Hiroshima y Nagasaki como primeros objetivos de la bomba atómica . Von Neumann supervisó los cálculos relacionados con el tamaño esperado de las explosiones de las bombas, el número estimado de muertos y la distancia sobre el suelo a la que deberían detonarse las bombas para una propagación óptima de la onda de choque. La capital cultural Kioto fue la primera elección de von Neumann, [331] una selección secundada por el líder del Proyecto Manhattan, el general Leslie Groves . Sin embargo, este objetivo fue descartado por el Secretario de Guerra Henry L. Stimson . [332]
El 16 de julio de 1945, von Neumann y muchos otros miembros del personal del Proyecto Manhattan fueron testigos presenciales de la primera prueba de detonación de una bomba atómica, que recibió el nombre en código Trinity . El evento se llevó a cabo como prueba del dispositivo del método de implosión, en el campo de bombardeo de Alamogordo en Nuevo México. Basándose únicamente en su observación, von Neumann estimó que la prueba había resultado en una explosión equivalente a 5 kilotones de TNT (21 TJ ), pero Enrico Fermi produjo una estimación más precisa de 10 kilotones dejando caer trozos de papel rotos a medida que pasaba la onda de choque. su ubicación y observar qué tan lejos se dispersaron. La potencia real de la explosión fue de entre 20 y 22 kilotones. [333] Fue en los artículos de von Neumann de 1944 donde apareció por primera vez la expresión "kilotones". [334]
Von Neumann continuó imperturbable en su trabajo y se convirtió, junto con Edward Teller, en uno de los que sustentaron el proyecto de la bomba de hidrógeno . Colaboró con Klaus Fuchs en el desarrollo posterior de la bomba, y en 1946 los dos presentaron una patente secreta que describía un esquema para usar una bomba de fisión para comprimir combustible de fusión para iniciar la fusión nuclear . [335] La patente de Fuchs-von Neumann utilizó la implosión de radiación , pero no de la misma manera que se usa en lo que se convirtió en el diseño final de la bomba de hidrógeno, el diseño de Teller-Ulam . Sin embargo, su trabajo se incorporó a la toma de "George" de Operación Invernadero , que fue instructiva para probar conceptos que se incluyeron en el diseño final. [336] Fuchs transmitió el trabajo de Fuchs-von Neumann a la Unión Soviética como parte de su espionaje nuclear , pero no se utilizó en el desarrollo independiente y propio de los soviéticos del diseño Teller-Ulam. El historiador Jeremy Bernstein ha señalado que, irónicamente, "John von Neumann y Klaus Fuchs produjeron en 1946 un brillante invento que podría haber cambiado todo el curso del desarrollo de la bomba de hidrógeno, pero que no se comprendió completamente hasta después de que la bomba fuera hecho con éxito." [336]
Por sus servicios en tiempos de guerra, von Neumann recibió el Premio al Servicio Civil Distinguido de la Marina en julio de 1946 y la Medalla al Mérito en octubre de 1946. [337]
En 1950, von Neumann se convirtió en consultor del Grupo de Evaluación de Sistemas de Armas , [338] cuya función era asesorar al Estado Mayor Conjunto y al Secretario de Defensa de los Estados Unidos sobre el desarrollo y uso de nuevas tecnologías. [339] También se convirtió en asesor del Proyecto de Armas Especiales de las Fuerzas Armadas , que era responsable de los aspectos militares de las armas nucleares . [338] Durante los dos años siguientes, se convirtió en consultor del gobierno de Estados Unidos. [340] Esto incluía a la Agencia Central de Inteligencia (CIA), un miembro del influyente Comité Asesor General de la Comisión de Energía Atómica , un consultor del recién creado Laboratorio Nacional Lawrence Livermore y un miembro del Grupo Asesor Científico de los Estados Unidos . Fuerza Aérea [338] Durante este tiempo se convirtió en un científico de defensa "superestrella" en el Pentágono . Su autoridad era considerada infalible en los niveles más altos del gobierno y el ejército de Estados Unidos. [341]
Durante varias reuniones del consejo asesor de la Fuerza Aérea de EE.UU., von Neumann y Edward Teller predijeron que en 1960 EE.UU. sería capaz de construir una bomba de hidrógeno lo suficientemente ligera como para caber encima de un cohete. En 1953, Bernard Schriever , que estaba presente en la reunión, realizó una visita personal a von Neumann en Princeton para confirmar esta posibilidad. [342] Schriever reclutó a Trevor Gardner , quien a su vez visitó a von Neumann varias semanas después para comprender completamente las posibilidades futuras antes de comenzar su campaña para obtener tal arma en Washington. [343] Ahora, ya sea presidiendo o sirviendo en varias juntas que se ocupan de misiles estratégicos y armamento nuclear, von Neumann fue capaz de inyectar varios argumentos cruciales sobre los posibles avances soviéticos en ambas áreas y en las defensas estratégicas contra los bombarderos estadounidenses en informes gubernamentales para defender la creación de misiles balísticos intercontinentales . [344] Gardner llevó en varias ocasiones a von Neumann a reuniones con el Departamento de Defensa de Estados Unidos para discutir con varios altos funcionarios sus informes. [345] Varias decisiones de diseño en estos informes, como los mecanismos de guía inercial, formarían la base para todos los misiles balísticos intercontinentales a partir de entonces. [346] En 1954, von Neumann también testificaba periódicamente ante varios subcomités militares del Congreso para garantizar el apoyo continuo al programa de misiles balísticos intercontinentales. [347]
Sin embargo, esto no fue suficiente. Para que el programa de misiles balísticos intercontinentales funcionara a toda velocidad necesitaban la acción directa del presidente de los Estados Unidos. [348] Convencieron al presidente Eisenhower en una reunión directa en julio de 1955, que resultó en una directiva presidencial el 13 de septiembre de 1955. Establecía que "habría las más graves repercusiones en la seguridad nacional y en la cohesión del mundo libre". si la Unión Soviética desarrolló el misil balístico intercontinental antes que Estados Unidos y, por lo tanto, designó el proyecto del misil balístico intercontinental como "un programa de investigación y desarrollo de máxima prioridad por encima de todos los demás". Se ordenó al Secretario de Defensa que iniciara el proyecto con "máxima urgencia". [349] La evidencia mostraría más tarde que los soviéticos ya estaban probando sus propios misiles balísticos de alcance intermedio en ese momento. [350] Von Neumann continuaría reuniéndose con el presidente, incluso en su casa en Gettysburg, Pensilvania , y con otros funcionarios gubernamentales de alto nivel como asesor clave sobre misiles balísticos intercontinentales hasta su muerte. [351]
En 1955, von Neumann se convirtió en comisionado de la Comisión de Energía Atómica (AEC), que en ese momento era el puesto oficial más alto disponible para los científicos en el gobierno. [352] (Si bien su nombramiento requería formalmente que cancelara todos sus otros contratos de consultoría, [353] se hizo una exención para que von Neumann continuara trabajando con varios comités militares críticos después de que la Fuerza Aérea y varios senadores clave expresaran sus preocupaciones. [351] ) Utilizó este puesto para promover la producción de bombas de hidrógeno compactas adecuadas para el lanzamiento de misiles balísticos intercontinentales (ICBM). Se involucró en corregir la grave escasez de tritio y litio 6 necesarios para estas armas, y se opuso a conformarse con los misiles de alcance intermedio que quería el Ejército. Estaba convencido de que las bombas H lanzadas profundamente en territorio enemigo mediante un misil balístico intercontinental serían el arma más efectiva posible, y que la relativa imprecisión del misil no sería un problema con una bomba H. Dijo que los rusos probablemente estarían construyendo un sistema de armas similar, lo que resultó ser el caso. [354] [355] Mientras Lewis Strauss estaba ausente en la segunda mitad de 1955, von Neumann asumió el cargo de presidente interino de la comisión. [356]
En sus últimos años antes de morir por cáncer, von Neumann encabezó el comité ultrasecreto de misiles balísticos intercontinentales del gobierno de los Estados Unidos, que a veces se reunía en su casa. Su objetivo era decidir sobre la viabilidad de construir un misil balístico intercontinental lo suficientemente grande como para transportar un arma termonuclear. Von Neumann había sostenido durante mucho tiempo que, si bien los obstáculos técnicos eran considerables, podían superarse. El SM-65 Atlas pasó su primera prueba completamente funcional en 1959, dos años después de su muerte. [357] Los cohetes Titán más avanzados se desplegaron en 1962. Ambos habían sido propuestos en los comités de misiles balísticos intercontinentales que presidió von Neumann. [351] La viabilidad de los misiles balísticos intercontinentales se debía tanto a ojivas mejoradas y más pequeñas que no tenían problemas de orientación ni de resistencia al calor como a los avances en los cohetes, y su comprensión de las primeras hizo que sus consejos fueran invaluables. [357] [351]
Von Neumann ingresó al servicio gubernamental principalmente porque sentía que, si la libertad y la civilización iban a sobrevivir, tendría que ser porque Estados Unidos triunfaría sobre el totalitarismo del nazismo , el fascismo y el comunismo soviético . [60] Durante una audiencia del comité del Senado , describió su ideología política como "violentamente anticomunista y mucho más militarista que la norma". [358] [359]
Herman Goldstine comentó sobre la capacidad de von Neumann para intuir errores ocultos y recordar perfectamente material antiguo. [360] [361] Cuando tenía dificultades no trabajaba; en lugar de eso, se iba a casa, pensaba en ello y regresaba más tarde con una solución. [362] Este estilo, "tomar el camino de menor resistencia", a veces significaba que podía salirse por la tangente. También significaba que si la dificultad era grande desde el principio, simplemente cambiaría a otro problema, sin tratar de encontrar puntos débiles desde los cuales pudiera salir adelante. [363] A veces podía ignorar la literatura matemática estándar, y le resultaba más fácil volver a derivar la información básica que necesitaba en lugar de buscar referencias. [364]
Después de que comenzó la Segunda Guerra Mundial , estuvo muy ocupado con compromisos tanto académicos como militares. Su costumbre de no escribir charlas ni publicar resultados empeoró. [365] No le resultaba fácil discutir un tema formalmente por escrito a menos que ya estuviera maduro en su mente; si no lo fuera, según sus propias palabras, "desarrollaría los peores rasgos de pedantismo e ineficiencia". [366]
El matemático Jean Dieudonné dijo que von Neumann "puede haber sido el último representante de un grupo numeroso y alguna vez floreciente, los grandes matemáticos que se sentían igualmente a gusto en las matemáticas puras y aplicadas y que a lo largo de sus carreras mantuvieron una producción constante en ambas direcciones". . [160] Según Dieudonné, su genio específico estaba en el análisis y la "combinatoria", entendiéndose la combinatoria en un sentido muy amplio que describía su capacidad para organizar y axiomar trabajos complejos que antes parecían tener poca conexión con las matemáticas. Su estilo en el análisis siguió la escuela alemana, basándose en fundamentos en álgebra lineal y topología general . Si bien von Neumann tenía una formación enciclopédica, su alcance en matemáticas puras no era tan amplio como el de Poincaré , Hilbert o incluso Weyl : von Neumann nunca hizo un trabajo significativo en teoría de números , topología algebraica , geometría algebraica o geometría diferencial . Sin embargo, en matemática aplicada su trabajo igualó al de Gauss , Cauchy o Poincaré . [116]
Según Wigner, "Nadie conoce toda la ciencia, ni siquiera von Neumann. Pero en cuanto a las matemáticas, contribuyó a todas sus partes excepto a la teoría de números y la topología. Eso es, creo, algo único". [367] Halmos señaló que si bien von Neumann sabía muchas matemáticas, las lagunas más notables estaban en la topología algebraica y la teoría de números; Recordó un incidente en el que von Neumann no reconoció la definición topológica de un toro . [368] Von Neumann admitió ante Herman Goldstine que no tenía ninguna facilidad en topología y que nunca se sintió cómodo con ella, y Goldstine mencionó esto más tarde al compararlo con Hermann Weyl , quien pensaba que era más profundo y más amplio. [362]
En su biografía de von Neumann, Salomon Bochner escribió que gran parte de los trabajos de von Neumann en matemáticas puras involucraban espacios vectoriales de dimensiones finitas e infinitas , que en ese momento cubrían gran parte del área total de las matemáticas. Sin embargo, señaló que esto todavía no cubría una parte importante del panorama matemático, en particular, todo lo que involucrara geometría "en el sentido global", temas como topología , geometría diferencial e integrales armónicas , geometría algebraica y otros campos similares. Von Neumann rara vez trabajó en estos campos y, en opinión de Bochner, tenía poca afinidad por ellos. [129]
En uno de los últimos artículos de von Neumann, lamentaba que los matemáticos puros ya no pudieran alcanzar un conocimiento profundo ni siquiera de una fracción del campo. [369] A principios de la década de 1940, Ulam había preparado para él un examen de estilo doctoral para encontrar debilidades en sus conocimientos; von Neumann no pudo responder satisfactoriamente a una pregunta de geometría diferencial, teoría de números y álgebra. Concluyeron que los exámenes de doctorado podrían tener "poco significado permanente". Sin embargo, cuando Weyl rechazó una oferta para escribir una historia de las matemáticas del siglo XX, argumentando que ninguna persona podía hacerlo, Ulam pensó que von Neumann podría haber aspirado a hacerlo. [370]
Ulam comentó que la mayoría de los matemáticos podían dominar una técnica que luego utilizaban repetidamente, mientras que von Neumann dominaba tres:
Aunque comúnmente se le describía como analista, alguna vez se clasificó a sí mismo como algebrista, [372] y su estilo a menudo mostraba una mezcla de técnica algebraica e intuición teórica de conjuntos. [373] Le encantaban los detalles obsesivos y no tenía problemas con el exceso de repetición o la notación demasiado explícita. Un ejemplo de esto fue un artículo suyo sobre anillos de operadores, donde extendió la notación funcional normal a . Sin embargo, este proceso terminó repitiéndose varias veces, donde el resultado final fueron ecuaciones como . El artículo de 1936 llegó a ser conocido por los estudiantes como "la cebolla de von Neumann" [374] porque las ecuaciones "había que pelarlas antes de poder digerirlas". En general, aunque sus escritos fueron claros y poderosos, no fueron limpios ni elegantes. [375] Aunque técnicamente poderoso, su principal preocupación era más la formación clara y viable de cuestiones y cuestiones fundamentales de la ciencia que solo la solución de acertijos matemáticos. [374]
Según Ulam, von Neumann sorprendió a los físicos al hacer estimaciones dimensionales y cálculos algebraicos en su cabeza con una fluidez que Ulam comparó con el ajedrez con los ojos vendados . Su impresión fue que von Neumann analizaba situaciones físicas mediante deducción lógica abstracta en lugar de visualización concreta. [376]
Goldstine comparó sus conferencias con estar sobre vidrio, suave y lúcido. En comparación, Goldstine pensaba que sus artículos científicos estaban escritos de una manera mucho más dura y con mucha menos perspicacia. [64] Halmos describió sus conferencias como "deslumbrantes", con su discurso claro, rápido, preciso y abarcador. Al igual que Goldstine, también describió cómo todo parecía "tan fácil y natural" en las conferencias, pero desconcertante en la reflexión posterior. [364] Era un orador rápido: a Banesh Hoffmann le resultaba muy difícil tomar notas, incluso en taquigrafía , [377] y Albert Tucker dijo que la gente a menudo tenía que hacerle preguntas a von Neumann para ralentizarlo y poder pensar en las ideas. él estaba presentando. Von Neumann lo sabía y agradeció que su público le dijera cuando iba demasiado rápido. [378] Aunque dedicó tiempo a prepararse para las conferencias, rara vez usaba notas, sino que anotaba puntos de lo que discutiría y por cuánto tiempo. [364]
Von Neumann también se destacó por su memoria eidética , particularmente de tipo simbólico. Herman Goldstine escribe:
Una de sus habilidades notables fue su poder de memoria absoluta. Por lo que yo sé, von Neumann era capaz de leer un libro o un artículo y citarlo palabra por palabra; es más, podría hacerlo años después sin dudarlo. También podría traducirlo sin disminución de velocidad desde su idioma original al inglés. En una ocasión puse a prueba su habilidad pidiéndole que me contara cómo empezó Historia de dos ciudades . Entonces, sin pausa alguna, inmediatamente comenzó a recitar el primer capítulo y continuó hasta que se le pidió que se detuviera después de unos diez o quince minutos. [379]
Según los informes, Von Neumann pudo memorizar las páginas de las guías telefónicas. Entretuvo a sus amigos pidiéndoles que dijeran números de página al azar; Luego recitó los nombres, direcciones y números que figuraban en el mismo. [29] [380] Según Stanisław Ulam, la memoria de von Neumann era más auditiva que visual. [381]
Sus compañeros notaron ampliamente la fluidez matemática, la velocidad de cálculo y la capacidad general de resolución de problemas de Von Neumann. Paul Halmos calificó su velocidad de "impresionante". [382] Lothar Wolfgang Nordheim lo describió como "la mente más rápida que jamás haya conocido". [383] Enrico Fermi le dijo al físico Herbert L. Anderson : "¡Sabes, Herb, Johnny puede hacer cálculos mentales diez veces más rápido que yo! Y yo puedo hacerlos diez veces más rápido que tú, Herb, así que tú ¡Puedo ver lo impresionante que es Johnny!" [384] Edward Teller admitió que "nunca pudo seguirle el ritmo", [385] e Israel Halperin describió tratar de seguirle el ritmo como si estuviera andando en un "triciclo persiguiendo un coche de carreras". [386]
Tenía una habilidad inusual para resolver rápidamente problemas nuevos. George Pólya , a cuyas conferencias en ETH Zürich von Neumann asistió como estudiante, dijo: "Johnny fue el único estudiante al que alguna vez tuve miedo. Si en el transcurso de una conferencia yo planteaba un problema sin resolver, lo más probable era que él viniera a resolverlo". "Me encontré al final de la conferencia con la solución completa garabateada en una hoja de papel". [387] Cuando George Dantzig le presentó a von Neumann un problema sin resolver en programación lineal "como lo haría con un mortal común y corriente", sobre el cual no había literatura publicada, se sorprendió cuando von Neumann dijo "¡Oh, eso!", antes de manera casual dando una conferencia de más de una hora, explicando cómo resolver el problema utilizando la hasta ahora inconcebible teoría de la dualidad . [388]
Una historia sobre el encuentro de von Neumann con el famoso rompecabezas de las moscas [389] ha entrado en el folklore matemático . En este rompecabezas, dos bicicletas comienzan a 20 millas de distancia y cada una viaja hacia la otra a 10 millas por hora hasta que chocan; mientras tanto, una mosca viaja continuamente de un lado a otro entre las bicicletas a 15 millas por hora hasta que queda aplastada en la colisión. El interrogador pregunta qué distancia viajó la mosca en total; el "truco" para una respuesta rápida es darse cuenta de que los tránsitos individuales de la mosca no importan, sólo que ha estado viajando a 15 millas por hora durante una hora. Como cuenta Eugene Wigner , [390] Max Born planteó el enigma a von Neumann. Los otros científicos a quienes se lo había planteado habían calculado laboriosamente la distancia, de modo que cuando von Neumann estuvo inmediatamente listo con la respuesta correcta de 15 millas, Born observó que debía haber adivinado el truco. "¿Qué truco?" Von Neumann respondió. "Todo lo que hice fue sumar la serie geométrica ". [391]
Rota escribió que von Neumann tenía "dudas recurrentes y profundamente arraigadas sobre sí mismo". [392] Como ejemplo, en una ocasión dijo que en el futuro sería olvidado mientras que Gödel sería recordado con Pitágoras . [393] Ulam sugiere que algunas de sus dudas con respecto a su propia creatividad pueden deberse al hecho de que no había descubierto varias ideas importantes que otros tenían, a pesar de que era más que capaz de hacerlo, dando los teoremas de incompletitud. y el teorema ergódico puntual de Birkhoff como ejemplos. Von Neumann tenía virtuosismo a la hora de seguir razonamientos complicados y tenía ideas supremas, pero quizás sentía que no tenía el don para pruebas y teoremas aparentemente irracionales o ideas intuitivas. Ulam describe cómo durante una de sus estancias en Princeton, mientras von Neumann trabajaba en anillos de operadores, geometrías continuas y lógica cuántica, sintió que von Neumann no estaba convencido de la importancia de su trabajo, y sólo cuando encontraba algún truco técnico ingenioso o algo nuevo. enfoque que le produjo cierto placer. [394] Sin embargo, según Rota, von Neumann todavía tenía una "técnica incomparablemente más fuerte" en comparación con su amigo, a pesar de describir a Ulam como el matemático más creativo. [392]
El premio Nobel Hans Bethe dijo: "A veces me he preguntado si un cerebro como el de von Neumann no indica una especie superior a la del hombre". [29] Edward Teller observó que "von Neumann mantenía una conversación con mi hijo de 3 años, y los dos hablaban como iguales, y a veces me preguntaba si usaba el mismo principio cuando hablaba con el resto de mis hijos". a nosotros." [395] Peter Lax escribió "Von Neumann era adicto al pensamiento, y en particular a pensar en matemáticas". [365] Eugene Wigner dijo: "Entendía los problemas matemáticos no sólo en su aspecto inicial, sino en toda su complejidad". [396] Claude Shannon lo llamó "la persona más inteligente que he conocido", una opinión común. [397] Jacob Bronowski escribió: "Era el hombre más inteligente que he conocido, sin excepción. Era un genio". [398]
"Parece justo decir que si la influencia de un científico se interpreta de manera suficientemente amplia como para incluir el impacto en campos más allá de la ciencia propiamente dicha, entonces John von Neumann fue probablemente el matemático más influyente que jamás haya existido", escribió Miklós Rédei . [399] Peter Lax comentó que von Neumann habría ganado un Premio Nobel de Economía si hubiera vivido más tiempo, y que "si hubiera habido Premios Nobel en informática y matemáticas, él también habría sido honrado con estos". [400] Rota escribe que "fue el primero en tener una visión de las posibilidades ilimitadas de la informática, y tuvo la determinación de reunir los considerables recursos intelectuales y de ingeniería que llevaron a la construcción de la primera gran computadora" y, en consecuencia, que " Ningún otro matemático en este siglo ha tenido una influencia tan profunda y duradera en el curso de la civilización." [401] Es ampliamente considerado como uno de los matemáticos y científicos más grandes e influyentes del siglo XX. [402]
El neurofisiólogo Leon Harmon lo describió de manera similar, llamándolo el único "verdadero genio" que había conocido: "La mente de von Neumann lo abarcaba todo. Podía resolver problemas en cualquier dominio... Y su mente siempre estaba trabajando. siempre inquieto." [403] Mientras asesoraba para proyectos no académicos, la combinación de capacidad científica sobresaliente y practicidad de von Neumann le dio una alta credibilidad entre los oficiales militares, ingenieros e industriales que ningún otro científico podría igualar. En materia de misiles nucleares, según Herbert York, se le consideraba "la figura asesora claramente dominante" . [404] El economista Nicholas Kaldor dijo que era "sin duda lo más parecido a un genio que he conocido". [267] Asimismo, Paul Samuelson escribió: "Nosotros, los economistas, estamos agradecidos por el genio de von Neumann. No nos corresponde a nosotros calcular si fue un Gauss , un Poincaré o un Hilbert . Era el incomparable Johnny von Neumann. Se lanzó brevemente en nuestro dominio y nunca ha sido el mismo desde entonces." [405]
Los eventos y premios nombrados en reconocimiento a von Neumann incluyen el Premio anual de Teoría John von Neumann del Instituto de Investigación de Operaciones y Ciencias de la Gestión , [406] Medalla John von Neumann del IEEE , [407] y el Premio John von Neumann de la Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada . [408] Tanto el cráter von Neumann de la Luna [409] como el asteroide 22824 von Neumann llevan su nombre en su honor. [410] [411]
Von Neumann recibió premios que incluyen la Medalla al Mérito en 1947, la Medalla de la Libertad en 1956, [412] y el Premio Enrico Fermi también en 1956. Fue elegido miembro de múltiples sociedades honorarias, incluida la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias y la Academia Nacional de Ciencias y ostentó ocho doctorados honoris causa. [413] [414] [415] El 4 de mayo de 2005, el Servicio Postal de los Estados Unidos emitió la serie de sellos postales conmemorativos de American Scientists , diseñada por el artista Victor Stabin . Los científicos representados fueron von Neumann, Barbara McClintock , Josiah Willard Gibbs y Richard Feynman . [416]
La Universidad John von Neumann se estableció en Kecskemét , Hungría en 2016, como sucesora del Kecskemét College. [417]
El primer artículo publicado de Von Neumann fue Sobre la posición de los ceros de ciertos polinomios mínimos , en coautoría con Michael Fekete y publicado cuando von Neumann tenía 18 años. A los 19, se publicó su artículo en solitario Sobre la introducción de números transfinitos . [418] Amplió su segundo artículo individual, Una axiomatización de la teoría de conjuntos , para crear su tesis doctoral. [419] Su primer libro, Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , se publicó en 1932. [420] Después de esto, von Neumann pasó de publicar en alemán a publicar en inglés, y sus publicaciones se volvieron más selectivas y se expandieron más allá de las matemáticas puras. Su Teoría de las ondas de detonación de 1942 contribuyó a la investigación militar, [421] su trabajo sobre informática comenzó con el inédito de 1946 Sobre los principios de las máquinas informáticas a gran escala , y sus publicaciones sobre predicción del tiempo comenzaron con el de 1950 Integración numérica de la ecuación de vorticidad barotrópica . [422] Junto a sus artículos posteriores hubo ensayos informales dirigidos a colegas y al público en general, como su The Mathematician de 1947 , [423] descrito como una "adiós a las matemáticas puras", y su ¿Podemos sobrevivir a la tecnología de 1955? , que consideraba un futuro sombrío que incluía una guerra nuclear y un cambio climático deliberado. [424] Sus obras completas se han recopilado en un conjunto de seis volúmenes. [418]
Cuando von Neumann se dio cuenta de que padecía una enfermedad incurable, su lógica le obligó a darse cuenta de que dejaría de existir... [un] destino que le parecía inevitable pero inaceptable.
von Neumann, Juan (1932). "Aplicaciones físicas de la hipótesis ergódica". Proc Natl Acad Sci Estados Unidos . 18 (3): 263–266. Código bibliográfico : 1932PNAS...18..263N. doi : 10.1073/pnas.18.3.263 . JSTOR 86260. PMC 1076204 . PMID 16587674..
Von Neumann, John (1981) [1937]. Halperin, Israel (ed.). "Geometrías continuas con probabilidad de transición". Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense . 34 (252). doi :10.1090/memo/0252. ISBN 978-0-8218-2252-4. ISSN 0065-9266. SEÑOR 0634656.
"Estoy pensando en algo mucho más importante que las bombas. Estoy pensando en los ordenadores"
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![{\displaystyle A_{r}=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{2^{[nr]}}\!{\big /}\,2^{2^{n ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e99e6add4d4be03981b69521acdd64d88301d75)
