Geometría continua

En matemáticas, la geometría continua es un análogo de la geometría proyectiva compleja introducida por von Neumann  (1936, 1998), donde en lugar de que la dimensión de un subespacio esté en un conjunto discreto , puede ser un elemento del intervalo unitario . Von Neumann estuvo motivado por su descubrimiento de las álgebras de von Neumann con una función de dimensión que toma un rango continuo de dimensiones, y el primer ejemplo de una geometría continua distinta del espacio proyectivo fueron las proyecciones del factor hiperfinito de tipo II . ${\displaystyle 0,1,\dots ,{\textit {n}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Definición

Menger y Birkhoff dieron axiomas para la geometría proyectiva en términos de la red de subespacios lineales del espacio proyectivo. Los axiomas de von Neumann para la geometría continua son una forma debilitada de estos axiomas.

Una geometría continua es una red L con las siguientes propiedades

• L es modular .
• L está completo .
• Las operaciones reticulares ∧, ∨ satisfacen una cierta propiedad de continuidad,

  ${\displaystyle {\Big (}\bigwedge _{\alpha \in A}a_{\alpha }{\Big )}\lor b=\bigwedge _{\alpha }(a_{\alpha }\lor b)}$, donde A es un conjunto dirigido y si α < β entonces a _α < a _β , y la misma condición con ∧ y ∨ invertidos.

• Cada elemento de L tiene un complemento (no necesariamente único). Un complemento de un elemento a es un elemento b con a ∧ b = 0 , a ∨ b = 1 , donde 0 y 1 son los elementos mínimo y máximo de L .
• L es irreducible: esto significa que los únicos elementos con complementos únicos son 0 y 1.

Ejemplos

• El espacio proyectivo complejo de dimensión finita, o más bien su conjunto de subespacios lineales, es una geometría continua, con dimensiones que toman valores en el conjunto discreto ${\displaystyle \{0,1/{\textit {n}}\,,2/{\textit {n}}\,,\dots ,1\}}$
• Las proyecciones de un álgebra de von Neumann tipo II finita forman una geometría continua con dimensiones que toman valores en el intervalo unitario . ${\displaystyle [0,1]}$
• Kaplansky (1955) demostró que cualquier red modular completa ortocomplementada es una geometría continua.
• Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo (o anillo de división ) F , entonces existe una función natural desde la red PG( V ) de subespacios de V a la red de subespacios de que multiplica las dimensiones por 2. Por lo tanto, podemos tomar un límite directo de ${\displaystyle V\otimes F^{2}}$

${\displaystyle PG(F)\subset PG(F^{2})\subset PG(F^{4})\subset PG(F^{8})\cdots }$

Esta tiene una función de dimensión que toma valores todos los racionales diádicos entre 0 y 1. Su terminación es una geometría continua que contiene elementos de cada dimensión en . Esta geometría fue construida por von Neumann (1936b), y se llama geometría continua sobre F ${\displaystyle [0,1]}$

Dimensión

En esta sección se resumen algunos de los resultados de von Neumann (1998, Parte I). Estos resultados son similares a los trabajos de von Neumann sobre proyecciones en álgebras de von Neumann y fueron motivados por ellos.

Dos elementos a y b de L se denominan perspectiva , escritos a ∼ b , si tienen un complemento común. Esta es una relación de equivalencia en L ; la prueba de que es transitiva es bastante difícil.

Las clases de equivalencia A , B , ... de L tienen un orden total definido por A ≤ B si hay algún a en A y b en B con a ≤ b . (Esto no tiene por qué ser válido para todos los a en A y b en B ).

La función de dimensión D desde L hasta el intervalo unitario se define de la siguiente manera.

• Si las clases de equivalencia A y B contienen elementos a y b con a ∧ b = 0 , entonces su suma A + B se define como la clase de equivalencia de a ∨ b . De lo contrario, la suma A + B no está definida. Para un entero positivo n , el producto nA se define como la suma de n copias de A , si esta suma está definida.
• Para las clases de equivalencia A y B con A no {0}, el entero [ B  : A ] se define como el único entero n ≥ 0 tal que B = nA + C con C < B .
• Para las clases de equivalencia A y B con A no {0} el número real ( B  : A ) se define como el límite de [ B  : C ] / [ A  : C ] cuando C recorre una secuencia mínima: esto significa que C contiene un elemento mínimo distinto de cero, o una secuencia infinita de elementos distintos de cero, cada uno de los cuales es como máximo la mitad del anterior.
• D ( a ) se define como ({ a } : {1}) , donde { a } y {1} son las clases de equivalencia que contienen a y 1.

La imagen de D puede ser el intervalo unitario completo, o el conjunto de números para algún entero positivo n . Dos elementos de L tienen la misma imagen bajo D si y solo si están en perspectiva, por lo que se produce una inyección desde las clases de equivalencia a un subconjunto del intervalo unitario. La función de dimensión D tiene las propiedades: ${\displaystyle 0,1/{\textit {n}}\,,2/{\textit {n}}\,,\dots ,1}$

• Si a < b entonces D ( a ) < D ( b )
• D ( a∨b ) + D ( a∧b ) = D ( a ) + D ( b )​
• D ( a ) = 0 si y sólo si a = 0 , y D ( a ) = 1 si y sólo si a = 1
• 0 ≤ D ( a ) ≤ 1

Teorema de coordinación

En geometría proyectiva, el teorema de Veblen-Young establece que una geometría proyectiva de dimensión al menos 3 es isomorfa a la geometría proyectiva de un espacio vectorial sobre un anillo de división. Esto se puede reformular diciendo que los subespacios en la geometría proyectiva corresponden a los ideales rectos principales de un álgebra matricial sobre un anillo de división.

Neumann generalizó esto a geometrías continuas, y más generalmente a redes modulares complementadas, de la siguiente manera (von Neumann 1998, Parte II). Su teorema establece que si una red modular complementada L tiene orden ^{[ cuando se define como? ]} al menos 4, entonces los elementos de L corresponden a los ideales rectos principales de un anillo regular de von Neumann . Más precisamente, si la red tiene orden n , entonces el anillo regular de von Neumann puede tomarse como un anillo matricial n por n M _n ( R ) sobre otro anillo regular de von Neumann R . Aquí, una red modular complementada tiene orden n si tiene una base homogénea de n elementos, donde una base es n elementos a ₁ , ..., a _n tales que a _i ∧ a _j = 0 si i ≠ j , y a ₁ ∨ ... ∨ a _n = 1 , y una base se llama homogénea si dos elementos cualesquiera son perspectiva. El orden de una red no necesita ser único; por ejemplo, cualquier red tiene orden 1. La condición de que la red tenga orden al menos 4 corresponde a la condición de que la dimensión sea al menos 3 en el teorema de Veblen-Young, ya que un espacio proyectivo tiene dimensión al menos 3 si y solo si tiene un conjunto de al menos 4 puntos independientes.

Por el contrario, los ideales derechos principales de un anillo regular de von Neumann forman una red modular complementada (von Neumann 1998, Parte II teorema 2.4).

Supóngase que R es un anillo regular de von Neumann y L su red de ideales rectos principales, de modo que L es una red modular complementada. Neumann demostró que L es una geometría continua si y solo si R es un anillo de rango completo irreducible .

Referencias

• Birkhoff, Garrett (1979) [1940], Teoría de redes, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 25 (3.ª ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1025-5, Sr.  0598630
• Fofanova, TS (2001) [1994], "Red ortomodular", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Halperin, Israel (1960), "Introducción a las álgebras de von Neumann y la geometría continua", Canadian Mathematical Bulletin , 3 (3): 273–288, doi : 10.4153/CMB-1960-034-5 , ISSN  0008-4395, MR  0123923
• Halperin, Israel (1985), "Libros en revisión: un estudio de los libros de John von Neumann sobre geometría continua", Order , 1 (3): 301–305, doi :10.1007/BF00383607, ISSN  0167-8094, MR  1554221, S2CID  122594481
• Kaplansky, Irving (1955), "Cualquier red modular completa ortocomplementada es una geometría continua", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 61 (3): 524–541, doi :10.2307/1969811, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969811, MR  0088476
• von Neumann, John (1936), "Geometría continua", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 22 (2): 92–100, Bibcode :1936PNAS...22...92N, doi : 10.1073/pnas.22.2.92 , ISSN  0027-8424, JSTOR  86390, PMC  1076712 , PMID  16588062, Zbl  0014.22307
• von Neumann, John (1936b), "Ejemplos de geometrías continuas", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 22 (2): 101–108, Bibcode :1936PNAS...22..101N, doi : 10.1073/pnas.22.2.101 , JFM  62.0648.03, JSTOR  86391, PMC  1076713 , PMID  16588050
• von Neumann, John (1998) [1960], Geometría continua, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05893-1, Sr.  0120174
• von Neumann, John (1962), Taub, AH (ed.), Obras completas. Vol. IV: Geometría continua y otros temas, Oxford: Pergamon Press, MR  0157874
• von Neumann, John (1981) [1937], Halperin, Israel (ed.), "Geometrías continuas con una probabilidad de transición", Memorias de la American Mathematical Society , 34 (252), ISBN 978-0-8218-2252-4, ISSN  0065-9266  , MR0634656
• Skornyakov, LA (1964), Redes modulares complementadas y anillos regulares, Londres: Oliver & Boyd, MR  0166126