En matemáticas , un álgebra de von Neumann o W*-álgebra es un *-álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert que está cerrado en la topología de operador débil y contiene el operador de identidad . Es un tipo especial de álgebra C* .
Las álgebras de Von Neumann fueron introducidas originalmente por John von Neumann , motivado por su estudio de operadores individuales , representaciones de grupos , teoría ergódica y mecánica cuántica . Su teorema del doble conmutante muestra que la definición analítica es equivalente a una definición puramente algebraica como álgebra de simetrías.
Dos ejemplos básicos de álgebras de von Neumann son los siguientes:
Las álgebras de Von Neumann fueron estudiadas por primera vez por von Neumann (1930) en 1929; él y Francis Murray desarrollaron la teoría básica, bajo el nombre original de anillos de operadores , en una serie de artículos escritos en las décadas de 1930 y 1940 (FJ Murray y J. von Neumann 1936, 1937, 1943; J. von Neumann 1938, 1940 , 1943, 1949), reimpreso en las obras completas de von Neumann (1961).
Se ofrecen descripciones introductorias de las álgebras de von Neumann en las notas en línea de Jones (2003) y Wassermann (1991) y en los libros de Dixmier (1981), Schwartz (1967), Blackadar (2005) y Sakai (1971). La obra en tres volúmenes de Takesaki (1979) ofrece una explicación enciclopédica de la teoría. El libro de Connes (1994) analiza temas más avanzados.
Hay tres formas comunes de definir las álgebras de von Neumann.
La primera y más común forma es definirlas como álgebras * débilmente cerradas de operadores acotados (en un espacio de Hilbert) que contienen la identidad. En esta definición, la topología débil (de operador) puede ser reemplazada por muchas otras topologías comunes , incluidas las topologías de operador fuerte , ultrafuerte o ultradébil . Las *-álgebras de operadores acotados que están cerrados en la topología normal son C*-álgebras , por lo que, en particular, cualquier álgebra de von Neumann es un C*-álgebra.
La segunda definición es que un álgebra de von Neumann es una subálgebra de operadores acotados cerrados bajo involución (la operación *) e igual a su doble conmutante , o equivalentemente, el conmutante de alguna subálgebra cerrada bajo *. El teorema del doble conmutante de von Neumann (von Neumann 1930) dice que las dos primeras definiciones son equivalentes.
Las dos primeras definiciones describen un álgebra de von Neumann concretamente como un conjunto de operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert determinado. Sakai (1971) demostró que las álgebras de von Neumann también pueden definirse de manera abstracta como álgebras C* que tienen un predual ; en otras palabras, el álgebra de von Neumann, considerada como un espacio de Banach , es el dual de algún otro espacio de Banach llamado predual. De hecho, el predual de un álgebra de von Neumann es único hasta el isomorfismo. Algunos autores utilizan "álgebra de von Neumann" para las álgebras junto con una acción del espacio de Hilbert, y "álgebra W*" para el concepto abstracto, por lo que un álgebra de von Neumann es un álgebra W* junto con un espacio de Hilbert y un fiel adecuado. Acción unital en el espacio de Hilbert. Las definiciones concretas y abstractas de un álgebra de von Neumann son similares a las definiciones concretas y abstractas de un álgebra C*, que puede definirse como álgebras * cerradas en norma de operadores en un espacio de Hilbert o como álgebras * de Banach. tal que || aa* ||=|| un || || un* ||.
Parte de la terminología de la teoría del álgebra de von Neumann puede resultar confusa y los términos suelen tener diferentes significados fuera del tema.
Al olvidarnos de la topología de un álgebra de von Neumann, podemos considerarla un *-álgebra (unital) , o simplemente un anillo. Las álgebras de Von Neumann son semihereditarias : cada submódulo finitamente generado de un módulo proyectivo es en sí mismo proyectivo. Ha habido varios intentos de axiomatizar los anillos subyacentes de las álgebras de von Neumann, incluidos los anillos de Baer * y las álgebras AW* . El álgebra * de operadores afiliados de un álgebra finita de von Neumann es un anillo regular de von Neumann . (El álgebra de von Neumann en sí misma, en general, no es regular de von Neumann).
La relación entre álgebras conmutativas de von Neumann y espacios de medida es análoga a la que existe entre álgebras C* conmutativas y espacios de Hausdorff localmente compactos . Cada álgebra conmutativa de von Neumann es isomorfa a L ∞ ( X ) para algún espacio de medida ( X , μ ) y a la inversa, para cada σ-espacio de medida finita X , el *-álgebra L ∞ ( X ) es un álgebra de von Neumann.
Debido a esta analogía, la teoría de las álgebras de von Neumann se ha denominado teoría de la medida no conmutativa, mientras que la teoría de las álgebras C* a veces se denomina topología no conmutativa (Connes 1994).
Los operadores E en un álgebra de von Neumann para los cuales E = EE = E* se llaman proyecciones ; son exactamente los operadores que dan una proyección ortogonal de H sobre algún subespacio cerrado. Un subespacio del espacio de Hilbert H se dice que pertenece al álgebra de von Neumann M si es la imagen de alguna proyección en M. Esto establece una correspondencia 1:1 entre proyecciones de M y subespacios que pertenecen a M. Informalmente, estos son los subespacios cerrados que se pueden describir utilizando elementos de M , o que M "conoce".
Se puede demostrar que el cierre de la imagen de cualquier operador en M y el núcleo de cualquier operador en M pertenece a M. Además, el cierre de la imagen bajo un operador de M de cualquier subespacio perteneciente a M también pertenece a M . (Estos resultados son consecuencia de la descomposición polar ).
La teoría básica de las proyecciones fue elaborada por Murray y von Neumann (1936). Dos subespacios que pertenecen a M se denominan equivalentes ( Murray-von Neumann ) si hay una isometría parcial que asigna el primero isomórfico al otro que es un elemento del álgebra de von Neumann (informalmente, si M "sabe" que los subespacios son isomórficos) . Esto induce una relación de equivalencia natural en las proyecciones al definir E como equivalente a F si los subespacios correspondientes son equivalentes, o en otras palabras, si hay una isometría parcial de H que mapea la imagen de E isométricamente a la imagen de F y es una elemento del álgebra de von Neumann. Otra forma de expresar esto es que E es equivalente a F si E=uu* y F=u*u para alguna isometría parcial u en M .
La relación de equivalencia ~ así definida es aditiva en el siguiente sentido: supongamos E 1 ~ F 1 y E 2 ~ F 2 . Si E 1 ⊥ E 2 y F 1 ⊥ F 2 , entonces E 1 + E 2 ~ F 1 + F 2 . La aditividad generalmente no se cumpliría si se requiriera equivalencia unitaria en la definición de ~, es decir, si decimos que E es equivalente a F si u*Eu = F para algún u unitario . Los teoremas de Schröder-Bernstein para álgebras de operadores dan una condición suficiente para la equivalencia de Murray-von Neumann.
Los subespacios pertenecientes a M están parcialmente ordenados por inclusión, y esto induce un orden parcial ≤ de proyecciones. También existe un orden parcial natural en el conjunto de clases de equivalencia de proyecciones, inducido por el orden parcial ≤ de proyecciones. Si M es un factor, ≤ es un orden total en clases de equivalencia de proyecciones, que se describen en la sección sobre trazas a continuación.
Una proyección (o subespacio perteneciente a M ) E se dice que es una proyección finita si no existe una proyección F < E (es decir, F ≤ E y F ≠ E ) que sea equivalente a E . Por ejemplo, todas las proyecciones (o subespacios) de dimensión finita son finitas (ya que las isometrías entre espacios de Hilbert dejan la dimensión fija), pero el operador de identidad en un espacio de Hilbert de dimensión infinita no es finito en el álgebra de von Neumann de todos los operadores acotados en él, ya que es isométricamente isomorfo a un subconjunto propio de sí mismo. Sin embargo, es posible que los subespacios de dimensiones infinitas sean finitos.
Las proyecciones ortogonales son análogos no conmutativos de funciones indicadoras en L ∞ ( R ). L ∞ ( R ) es el ||·|| ∞ -cierre del subespacio generado por las funciones del indicador. De manera similar, sus proyecciones generan un álgebra de von Neumann; esto es una consecuencia del teorema espectral de los operadores autoadjuntos .
Las proyecciones de un factor finito forman una geometría continua .
Un álgebra N de von Neumann cuyo centro consta únicamente de múltiplos del operador identidad se llama factor . Von Neumann (1949) demostró que todo álgebra de von Neumann en un espacio de Hilbert separable es isomorfa a una integral directa de factores. Esta descomposición es esencialmente única. Por tanto, el problema de clasificar clases de isomorfismo de álgebras de von Neumann en espacios de Hilbert separables puede reducirse al de clasificar clases de isomorfismo de factores.
Murray y von Neumann (1936) demostraron que cada factor tiene uno de los tres tipos que se describen a continuación. La clasificación de tipos se puede extender a álgebras de von Neumann que no son factores, y un álgebra de von Neumann es de tipo X si se puede descomponer como una integral directa de factores de tipo X; por ejemplo, cada álgebra conmutativa de von Neumann tiene tipo I 1 . Cada álgebra de von Neumann se puede escribir de forma única como una suma de álgebras de von Neumann de los tipos I, II y III.
Hay varias otras formas de dividir factores en clases que a veces se utilizan:
Se dice que un factor es de tipo I si existe una proyección mínima E ≠ 0 , es decir una proyección E tal que no existe otra proyección F con 0 < F < E . Cualquier factor de tipo I es isomorfo al álgebra de von Neumann de todos los operadores acotados en algún espacio de Hilbert; Dado que hay un espacio de Hilbert para cada número cardinal , las clases de isomorfismo de factores de tipo I corresponden exactamente a los números cardinales. Dado que muchos autores consideran las álgebras de von Neumann sólo en espacios de Hilbert separables, se acostumbra llamar a los operadores acotados en un espacio de Hilbert de dimensión finita n un factor de tipo In , y a los operadores acotados en un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita, a factor de tipo I ∞ .
Se dice que un factor es de tipo II si no hay proyecciones mínimas pero sí proyecciones finitas distintas de cero. Esto implica que cada proyección E puede "reducirse a la mitad" en el sentido de que hay dos proyecciones F y G que son equivalentes de Murray-von Neumann y satisfacen E = F + G. Si el operador identidad en un factor de tipo II es finito, se dice que el factor es de tipo II 1 ; en caso contrario, se dice que es del tipo II ∞ . Los factores de tipo II mejor comprendidos son el factor hiperfinito tipo II 1 y el factor hiperfinito tipo II ∞ , encontrados por Murray y von Neumann (1936). Estos son los únicos factores hiperfinitos de los tipos II 1 y II ∞ ; Hay un número incontable de otros factores de este tipo que son objeto de estudio intensivo. Murray y von Neumann (1937) demostraron el resultado fundamental de que un factor de tipo II 1 tiene un estado trazal finito único y el conjunto de trazas de proyecciones es [0,1].
Un factor de tipo II ∞ tiene una traza semifinita, única hasta el reescalamiento, y el conjunto de trazas de proyecciones es [0,∞]. El conjunto de números reales λ tales que existe un automorfismo que reescala la traza en un factor de λ se denomina grupo fundamental del factor tipo II ∞ .
El producto tensorial de un factor de tipo II 1 y un factor infinito de tipo I tiene tipo II ∞ y, a la inversa, cualquier factor de tipo II ∞ se puede construir así. El grupo fundamental de un factor tipo II 1 se define como el grupo fundamental de su producto tensor con el factor infinito (separable) de tipo I. Durante muchos años fue un problema abierto encontrar un factor tipo II cuyo grupo fundamental no fuera el grupo de reales positivos , pero Connes luego demostró que el álgebra de grupo de von Neumann de un grupo discreto contable con la propiedad de Kazhdan (T) (la representación trivial está aislada en el espacio dual), como SL(3, Z ), tiene un grupo fundamental contable. Posteriormente, Sorin Popa demostró que el grupo fundamental puede ser trivial para ciertos grupos, incluido el producto semidirecto de Z 2 por SL(2, Z ).
Un ejemplo de un factor de tipo II 1 es el álgebra de grupos de von Neumann de un grupo discreto infinito contable tal que cada clase de conjugación no trivial es infinita. McDuff (1969) encontró una familia incontable de tales grupos con álgebras de grupos de von Neumann no isomorfas, mostrando así la existencia de incontables factores diferentes separables de tipo II 1 .
Por último, los factores de tipo III son factores que no contienen ninguna proyección finita distinta de cero. En su primer artículo, Murray y von Neumann (1936) no pudieron decidir si existían o no; Los primeros ejemplos fueron encontrados más tarde por von Neumann (1940). Dado que el operador de identidad siempre es infinito en esos factores, en el pasado a veces se les llamaba tipo III ∞ , pero recientemente esa notación ha sido reemplazada por la notación III λ , donde λ es un número real en el intervalo [0,1]. Más precisamente, si el espectro de Connes (de su grupo modular) es 1, entonces el factor es de tipo III 0 , si el espectro de Connes son todas las potencias integrales de λ para 0 < λ < 1, entonces el tipo es III λ , y si el espectro de Connes es todo real positivo, entonces el tipo es III 1 . (El espectro de Connes es un subgrupo cerrado de los reales positivos, por lo que estas son las únicas posibilidades). La única traza en los factores de tipo III toma el valor ∞ en todos los elementos positivos distintos de cero, y dos proyecciones cualesquiera distintas de cero son equivalentes. Hubo un tiempo en que los factores de tipo III se consideraban objetos intratables, pero la teoría de Tomita-Takesaki ha conducido a una buena teoría de la estructura. En particular, cualquier factor de tipo III se puede escribir de forma canónica como el producto cruzado de un factor de tipo II ∞ y los números reales.
Cualquier álgebra M de von Neumann tiene un predual M ∗ , que es el espacio de Banach de todos los funcionales lineales ultradébilmente continuos en M . Como sugiere el nombre, M es (como espacio de Banach) el dual de su predual. El predual es único en el sentido de que cualquier otro espacio de Banach cuyo dual sea M es canónicamente isomorfo a M ∗ . Sakai (1971) demostró que la existencia de un predual caracteriza las álgebras de von Neumann entre las álgebras C*.
La definición del predual dada anteriormente parece depender de la elección del espacio de Hilbert sobre el que actúa M , ya que esto determina la topología ultradébil. Sin embargo , el predual también se puede definir sin utilizar el espacio de Hilbert sobre el que actúa M , definiéndolo como el espacio generado por todos los funcionales lineales normales positivos en M. (Aquí "normal" significa que conserva la supremacía cuando se aplica a redes crecientes de operadores autoadjuntos; o de manera equivalente, a secuencias crecientes de proyecciones).
El predual M ∗ es un subespacio cerrado del dual M* (que consta de todos los funcionales lineales normativos continuos en M ) pero generalmente es más pequeño. La prueba de que M ∗ no es (normalmente) lo mismo que M* no es constructiva y utiliza el axioma de elección de manera esencial; es muy difícil exhibir elementos explícitos de M* que no estén en M ∗ . Por ejemplo, las formas lineales positivas exóticas en el álgebra de von Neumann l ∞ ( Z ) están dadas por ultrafiltros libres ; corresponden a homomorfismos * exóticos en C y describen la compactación de Stone- Čech de Z.
Ejemplos:
Los pesos y sus casos especiales, estados y trazas, se analizan en detalle en (Takesaki 1979).
Cualquier factor tiene una traza tal que la traza de una proyección distinta de cero es distinta de cero y la traza de una proyección es infinita si y sólo si la proyección es infinita. Esta traza es única hasta el cambio de escala. Para factores separables o finitos, dos proyecciones son equivalentes si y sólo si tienen la misma traza. El tipo de factor se puede leer a partir de los posibles valores de esta traza sobre las proyecciones del factor, de la siguiente manera:
Si un álgebra de von Neumann actúa sobre un espacio de Hilbert que contiene un vector v de norma 1 , entonces el funcional a → ( av , v ) es un estado normal. Esta construcción se puede revertir para dar una acción en un espacio de Hilbert desde un estado normal: esta es la construcción GNS para estados normales.
Dado un factor separable abstracto, se puede pedir una clasificación de sus módulos, es decir, los espacios de Hilbert separables sobre los que actúa. La respuesta se da de la siguiente manera: a cada módulo H se le puede dar una dimensión M tenue M ( H ) (no su dimensión como un espacio vectorial complejo) de modo que los módulos sean isomórficos si y solo si tienen la misma dimensión M. La dimensión M es aditiva y un módulo es isomorfo a un subespacio de otro módulo si y sólo si tiene una dimensión M menor o igual .
Un módulo se llama estándar si tiene un vector de separación cíclico. Cada factor tiene una representación estándar, que es única hasta el isomorfismo. La representación estándar tiene una involución antilineal J tal que JMJ = M ′ . Para factores finitos, el módulo estándar viene dado por la construcción GNS aplicada al estado trazal normal único y la dimensión M se normaliza de modo que el módulo estándar tiene la dimensión M 1, mientras que para factores infinitos el módulo estándar es el módulo con M - dimensión igual a ∞.
Las posibles dimensiones M de los módulos se indican a continuación:
Connes (1976) y otros demostraron que las siguientes condiciones en un álgebra de von Neumann M en un espacio de Hilbert H separable son todas equivalentes :
No existe un término generalmente aceptado para la clase de álgebras anterior; Connes ha sugerido que dócil debería ser el término estándar.
Los factores susceptibles se han clasificado: hay uno único de cada uno de los tipos In , I ∞ , II 1 , II ∞ , III λ , para 0 < λ ≤ 1, y los del tipo III 0 corresponden a ciertos ergódicos fluye. (Para el tipo III 0 llamar a esto una clasificación es un poco engañoso, ya que se sabe que no hay una manera fácil de clasificar los flujos ergódicos correspondientes). Los del tipo I y II 1 fueron clasificados por Murray y von Neumann (1943) , y los restantes fueron clasificados por Connes (1976), excepto el caso tipo III 1 que fue completado por Haagerup.
Todos los factores susceptibles se pueden construir utilizando la construcción espacial de medidas de grupo de Murray y von Neumann para una única transformación ergódica . De hecho, son precisamente los factores que surgen como productos cruzados por acciones ergódicas libres de Z o Z/nZ en las álgebras abelianas de von Neumann L ∞ ( X ). Los factores de tipo I ocurren cuando el espacio de medida X es atómico y la acción transitiva. Cuando X es difuso o no atómico , equivale a [0,1] como espacio de medida . Los factores de tipo II ocurren cuando X admite una medida equivalente finita (II 1 ) o infinita (II ∞ ), invariante bajo una acción de Z . Los factores de tipo III ocurren en los casos restantes donde no existe una medida invariante, sino solo una clase de medida invariante : estos factores se denominan factores de Krieger .
El producto tensorial espacial de Hilbert de dos espacios de Hilbert es la compleción de su producto tensorial algebraico. Se puede definir un producto tensorial de las álgebras de von Neumann (una terminación del producto tensorial algebraico de las álgebras consideradas como anillos), que es nuevamente un álgebra de von Neumann, y actuar sobre el producto tensorial de los espacios de Hilbert correspondientes. El producto tensorial de dos álgebras finitas es finito, y el producto tensorial de un álgebra infinita y un álgebra distinta de cero es infinito. El tipo de producto tensorial de dos álgebras de von Neumann (I, II o III) es el máximo de sus tipos. El teorema de conmutación para productos tensoriales establece que
donde M ′ denota el conmutador de M .
El producto tensorial de un número infinito de álgebras de von Neumann, si se hace ingenuamente, suele ser un álgebra inseparable ridículamente grande. En cambio, von Neumann (1938) demostró que se debe elegir un estado en cada una de las álgebras de von Neumann y usarlo para definir un estado en el producto tensorial algebraico, que puede usarse para producir un espacio de Hilbert y un espacio de von Neumann (razonablemente pequeño). álgebra. Araki y Woods (1968) estudiaron el caso en el que todos los factores son álgebras de matrices finitas; estos factores se denominan factores Araki-Woods o factores ITPFI (ITPFI significa "producto tensorial infinito de factores finitos de tipo I"). El tipo de producto tensorial infinito puede variar drásticamente a medida que cambian los estados; por ejemplo, el producto tensorial infinito de un número infinito de factores de tipo I 2 puede tener cualquier tipo dependiendo de la elección de estados. En particular, Powers (1967) encontró una familia incontable de factores λ hiperfinitos de tipo III no isomorfos para 0 < λ < 1, llamados factores de Powers , tomando un producto tensorial infinito de factores de tipo I 2 , cada uno con el estado dado por:
Todas las álgebras hiperfinitas de von Neumann que no son de tipo III 0 son isomorfas a los factores de Araki-Woods, pero hay incontables muchas de tipo III 0 que no lo son.
Un bimódulo (o correspondencia) es un espacio de Hilbert H con acciones modulares de dos álgebras de von Neumann de conmutación. Los bimódulos tienen una estructura mucho más rica que la de los módulos. Cualquier bimódulo sobre dos factores siempre da un subfactor ya que uno de los factores siempre está contenido en el conmutante del otro. También hay una operación sutil del producto tensorial relativo debido a Connes en bimódulos. La teoría de los subfactores, iniciada por Vaughan Jones , concilia estos dos puntos de vista aparentemente diferentes.
Los bimódulos también son importantes para el álgebra de grupos M de von Neumann de un grupo discreto Γ. De hecho, si V es cualquier representación unitaria de Γ, entonces, considerando Γ como el subgrupo diagonal de Γ × Γ, la representación inducida correspondiente en l 2 (Γ, V ) es naturalmente un bimódulo para dos copias conmutantes de M . Importantes propiedades teóricas de representación de Γ se pueden formular completamente en términos de bimódulos y, por lo tanto, tienen sentido para el álgebra de von Neumann en sí. Por ejemplo, Connes y Jones dieron de esta manera una definición de un análogo de la propiedad de Kazhdan (T) para las álgebras de von Neumann.
Las álgebras de Von Neumann de tipo I siempre son susceptibles, pero para los otros tipos hay un número incontable de factores diferentes no susceptibles, que parecen muy difíciles de clasificar, o incluso distinguir entre sí. Sin embargo, Voiculescu ha demostrado que la clase de factores no susceptibles provenientes de la construcción del espacio de medidas de grupos es disjunta de la clase proveniente de álgebras de grupos libres de von Neumann. Más tarde, Narutaka Ozawa demostró que las álgebras grupales de von Neumann de grupos hiperbólicos producen factores primos de tipo II 1 , es decir, aquellos que no pueden factorizarse como productos tensoriales de factores de tipo II 1 , un resultado probado por primera vez por Leeming Ge para factores de grupos libres utilizando la entropía libre de Voiculescu . El trabajo de Popa sobre grupos fundamentales de factores no modificables representa otro avance significativo. La teoría de los factores "más allá de lo hiperfinito" se está expandiendo rápidamente en la actualidad, con muchos resultados nuevos y sorprendentes; Tiene estrechos vínculos con los fenómenos de rigidez en la teoría de grupos geométricos y la teoría ergódica .
Las álgebras de Von Neumann han encontrado aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas como la teoría de nudos , la mecánica estadística , la teoría cuántica de campos , la física cuántica local , la probabilidad libre , la geometría no conmutativa , la teoría de la representación , la geometría diferencial y los sistemas dinámicos .
Por ejemplo, el álgebra C* proporciona una axiomatización alternativa a la teoría de la probabilidad. En este caso el método recibe el nombre de construcción Gelfand–Naimark–Segal . Esto es análogo a los dos enfoques de medición e integración, donde uno tiene la opción de construir medidas de conjuntos primero y definir integrales después, o construir integrales primero y definir medidas de conjuntos como integrales de funciones características.
