En el campo matemático del análisis funcional existen varias topologías estándar que se le dan al álgebra B( X ) de operadores lineales acotados en un espacio de Banach X.
Sea una secuencia de operadores lineales en el espacio de Banach X. Considere el enunciado que converge a algún operador T en X. Esto podría tener varios significados diferentes:
Hay muchas topologías que se pueden definir en B( X ) además de las utilizadas anteriormente; Al principio, la mayoría sólo se definen cuando X = H es un espacio de Hilbert, aunque en muchos casos existen generalizaciones apropiadas. Todas las topologías que se enumeran a continuación son localmente convexas, lo que implica que están definidas por una familia de seminormas .
En análisis, una topología se llama fuerte si tiene muchos conjuntos abiertos y débil si tiene pocos conjuntos abiertos, de modo que los modos de convergencia correspondientes son, respectivamente, fuerte y débil. (En la topología propiamente dicha, estos términos pueden sugerir el significado opuesto, por lo que fuerte y débil se reemplazan por fino y grueso, respectivamente). El diagrama de la derecha es un resumen de las relaciones, con las flechas apuntando de fuerte a débil.
Si H es un espacio de Hilbert, el espacio de Hilbert B( X ) tiene un predual (único) , que consta de operadores de clase de traza, cuyo dual es B( X ) . La seminorma p w ( x ) para w positivo en el predual se define como B( w , x * x ) 1/2 .
Si B es un espacio vectorial de aplicaciones lineales en el espacio vectorial A , entonces σ( A , B ) se define como la topología más débil en A tal que todos los elementos de B son continuos.
Los funcionales lineales continuos en B( H ) para las topologías débil, fuerte y fuerte * (operador) son los mismos y son las combinaciones lineales finitas de los funcionales lineales (x h 1 , h 2 ) para h 1 , h 2 ∈H . Los funcionales lineales continuos en B( H ) para las topologías ultradébil, ultrafuerte, ultrafuerte * y Arens-Mackey son los mismos y son los elementos del B( H ) * predual .
Por definición, los funcionales lineales continuos en la topología normal son los mismos que los de la topología débil del espacio de Banach. Este dual es un espacio bastante grande con muchos elementos patológicos.
En conjuntos acotados por normas de B( H ) , las topologías débil (operador) y ultradébil coinciden. Esto se puede ver, por ejemplo, mediante el teorema de Banach-Alaoglu . Básicamente, por la misma razón, la topología ultrafuerte es la misma que la topología fuerte en cualquier subconjunto acotado (normativo) de B( H ) . Lo mismo ocurre con la topología Arens-Mackey, la topología ultrafuerte * y la fuerte * .
En espacios localmente convexos, el cierre de conjuntos convexos se puede caracterizar por funcionales lineales continuos. Por lo tanto, para un subconjunto convexo K de B( H ) , las condiciones de que K sea cerrado en las topologías ultrafuerte * , ultrafuerte y ultradébil son todas equivalentes y también son equivalentes a las condiciones de que para todo r > 0 , K tenga intersección cerrada. con la bola cerrada de radio r en las topologías fuerte * , fuerte o débil (operador).
La topología normal es metrizable y las demás no; de hecho, no logran ser los primeros contables . Sin embargo, cuando H es separable, todas las topologías anteriores son metrizables cuando se restringen a la bola unitaria (o a cualquier subconjunto limitado por normas).
Las topologías más utilizadas son las topologías de operador normal, fuerte y débil. La topología del operador débil es útil para argumentos de compacidad, porque la bola unitaria es compacta según el teorema de Banach-Alaoglu . La topología normal es fundamental porque convierte a B( H ) en un espacio de Banach, pero es demasiado fuerte para muchos propósitos; por ejemplo, B( H ) no es separable en esta topología. La topología de operador fuerte podría ser la más utilizada.
Las topologías ultradébil y ultrafuerte se comportan mejor que las topologías de operador débil y fuerte, pero sus definiciones son más complicadas, por lo que normalmente no se utilizan a menos que realmente se necesiten sus mejores propiedades. Por ejemplo, el espacio dual de B( H ) en la topología de operador débil o fuerte es demasiado pequeño para tener mucho contenido analítico.
El mapa adjunto no es continuo en las topologías de operador fuerte y ultrafuerte, mientras que las topologías fuerte* y ultrafuerte* son modificaciones para que el adjunto se vuelva continuo. No se utilizan con mucha frecuencia.
La topología Arens-Mackey y la topología espacial débil de Banach se utilizan relativamente raramente.
En resumen, las tres topologías esenciales en B( H ) son las topologías normal, ultrafuerte y ultradébil. Las topologías de operador débil y fuerte se utilizan ampliamente como aproximaciones convenientes a las topologías ultradébil y ultrafuerte. Las otras topologías son relativamente oscuras.
