Teorema de Banach-Alaoglu

Theorem in functional analysis

En el análisis funcional y ramas relacionadas de las matemáticas , el teorema de Banach-Alaoglu (también conocido como teorema de Alaoglu ) establece que la bola unitaria cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normado es compacta en la topología débil* . ^[1] Una prueba común identifica la bola unitaria con la topología débil* como un subconjunto cerrado de un producto de conjuntos compactos con la topología de producto . Como consecuencia del teorema de Tichonoff , este producto, y por lo tanto la bola unitaria dentro de él, es compacto.

Este teorema tiene aplicaciones en física cuando se describe el conjunto de estados de un álgebra de observables, es decir, que cualquier estado puede escribirse como una combinación lineal convexa de los llamados estados puros.

Historia

Según Lawrence Narici y Edward Beckenstein, el teorema de Alaoglu es un “resultado muy importante —quizás el hecho más importante sobre la topología débil-* — [que] se hace eco en todo el análisis funcional”. ^[2] En 1912, Helly demostró que la bola unitaria del espacio dual continuo de es numerablemente débil-* compacta. ^[3] En 1932, Stefan Banach demostró que la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo de cualquier espacio normado separable es secuencialmente débil-* compacta (Banach solo consideró la compacidad secuencial ). ^[3] La prueba para el caso general fue publicada en 1940 por el matemático Leonidas Alaoglu . Según Pietsch [2007], hay al menos doce matemáticos que pueden reivindicar este teorema o un predecesor importante del mismo. ^[2] ${\displaystyle C([a,b])}$

El teorema de Bourbaki-Alaoglu es una generalización ^{[4] [5]} del teorema original de Bourbaki a topologías duales en espacios localmente convexos . Este teorema también se denomina teorema de Banach-Alaoglu o teorema de compacidad débil* y comúnmente se lo denomina simplemente teorema de Alaoglu . ^[2]

Declaración

Si es un espacio vectorial sobre el campo entonces denotará el espacio dual algebraico de y estos dos espacios se asocian de ahora en adelante con el mapa de evaluación bilineal definido por donde el triple forma un sistema dual llamado sistema dual canónico . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(x)}$$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#},\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right\rangle }$

Si es un espacio vectorial topológico (TVS), entonces su espacio dual continuo se denotará por donde siempre se cumple. Denote la topología débil-* en por y denote la topología débil-* en por La topología débil-* también se denomina topología de convergencia puntual porque, dado un mapa y una red de mapas, la red converge a en esta topología si y solo si para cada punto en el dominio, la red de valores converge al valor ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }\subseteq X^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle f(x).}$

Teorema de Alaoglu ^[3]  —  Para cualquier espacio vectorial topológico (TVS) ( no necesariamente Hausdorff o localmente convexo ) con espacio dual continuo, la polar de cualquier vecindad de origen en es compacta en la topología débil-* ^{[nota 1]} en Además, es igual a la polar de con respecto al sistema canónico y también es un subconjunto compacto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ $${\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$

Prueba que involucra la teoría de la dualidad

Prueba

Denota por el campo subyacente de por el cual son los números reales o los números complejos. Esta prueba utilizará algunas de las propiedades básicas que se enumeran en los artículos: conjunto polar , sistema dual y operador lineal continuo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Para comenzar la prueba, se recuerdan algunas definiciones y resultados fácilmente verificables. Cuando está dotado de la topología débil-* entonces este espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff se denota por El espacio es siempre un TVS completo ; sin embargo, puede no ser un espacio completo, que es la razón por la que esta prueba involucra el espacio Específicamente, esta prueba usará el hecho de que un subconjunto de un espacio de Hausdorff completo es compacto si (y solo si) es cerrado y totalmente acotado . Es importante destacar que la topología del subespacio que hereda de es igual a Esto se puede verificar fácilmente mostrando que dada cualquier red en converge a en una de estas topologías si y solo si también converge a en la otra topología (la conclusión se deduce porque dos topologías son iguales si y solo si tienen exactamente las mismas redes convergentes). ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right),}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

El triple es un emparejamiento dual , aunque a diferencia de éste, en general no se garantiza que sea un sistema dual. A lo largo del texto, a menos que se indique lo contrario, todos los conjuntos polares se tomarán con respecto al emparejamiento canónico. ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

Sea un vecindario del origen en y sea: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$sea ​​el polar de con respecto al emparejamiento canónico ; ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$
• ${\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}}$ser el bipolar de ${\displaystyle U}$ con respecto a ; ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$
• ${\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$sea ​​el polar de con respecto al sistema dual canónico Nótese que ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle .}$ ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime }.}$

Un hecho bien conocido sobre los conjuntos polares es que ${\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }.}$

1. Demuestre que es un subconjunto cerrado de Sea y suponga que es una red en que converge a en Para concluir que es suficiente (y necesario) demostrar que para cada Porque en el campo escalar y cada valor pertenece al subconjunto cerrado (en ) así también el límite de esta red debe pertenecer a este conjunto. Por lo tanto ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\#}:}$ ${\displaystyle f\in X^{\#}}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle f\in U^{\#},}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$ ${\displaystyle u\in U.}$ ${\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle f_{i}(u)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\},}$ ${\displaystyle f(u)}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq 1.}$
2. Demuestre que y luego concluya que es un subconjunto cerrado de ambos y La inclusión se cumple porque cada funcional lineal continuo es (en particular) un funcional lineal. Para la inclusión inversa, sea tal que que establece exactamente que el funcional lineal está acotado en la vecindad ; por lo tanto, es un funcional lineal continuo (es decir, ) y, por lo tanto, como se desea. Usando (1) y el hecho de que la intersección está cerrada en la topología del subespacio, se sigue la afirmación sobre que está cerrado. ${\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right):}$ ${\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}$ ${\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ },\,}$ ${\displaystyle f\in U^{\#}}$ ${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle f\in U^{\circ },}$ ${\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$
3. Demuestre que es un subconjunto totalmente acotado de Por el teorema bipolar , donde debido a que el vecindario es un subconjunto absorbente de lo mismo debe ser cierto del conjunto es posible demostrar que esto implica que es un subconjunto acotado de Porque distingue puntos de un subconjunto de es -acotado si y solo si es -totalmente acotado . Entonces, en particular, también es -totalmente acotado. ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }:}$ ${\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U^{\circ \circ };}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$
4. Concluya que también es un subconjunto -totalmente acotado de Recuerde que la topología en es idéntica a la topología del subespacio que hereda de Este hecho, junto con (3) y la definición de "totalmente acotado", implica que es un subconjunto -totalmente acotado de ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\#}:}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$
5. Finalmente, deduzca que es un subconjunto -compacto de Como es un TVS completo y es un subconjunto cerrado (por (2)) y totalmente acotado (por (4)) de se deduce que es compacto. ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }:}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right),}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Si es un espacio vectorial normado , entonces la polar de un entorno es cerrada y está normada en el espacio dual. En particular, si es la bola unitaria abierta (o cerrada) en entonces la polar de es la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo de (con la norma dual habitual ). En consecuencia, este teorema se puede especializar para: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Teorema de Banach-Alaoglu  :  Si es un espacio normado, entonces la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo (dotada de su norma de operador habitual ) es compacta con respecto a la topología débil-* . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Cuando el espacio dual continuo de es un espacio normado de dimensión infinita, entonces es imposible que la bola unitaria cerrada en sea un subconjunto compacto cuando tiene su topología de norma habitual. Esto se debe a que la bola unitaria en la topología de norma es compacta si y solo si el espacio es de dimensión finita (cf. Teorema de F. Riesz ). Este teorema es un ejemplo de la utilidad de tener diferentes topologías en el mismo espacio vectorial. ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Se debe advertir que, a pesar de las apariencias, el teorema de Banach-Alaoglu no implica que la topología débil-* sea localmente compacta . Esto se debe a que la bola unitaria cerrada es solo una vecindad del origen en la topología fuerte , pero por lo general no es una vecindad del origen en la topología débil-*, ya que tiene el interior vacío en la topología débil*, a menos que el espacio sea de dimensión finita. De hecho, es un resultado de Weil que todos los espacios vectoriales topológicos de Hausdorff localmente compactos deben ser de dimensión finita.

Prueba elemental

La siguiente prueba elemental no utiliza la teoría de dualidad y requiere solo conceptos básicos de teoría de conjuntos, topología y análisis funcional. Lo que se necesita de la topología es un conocimiento práctico de la convergencia neta en espacios topológicos y familiaridad con el hecho de que un funcional lineal es continuo si y solo si está acotado en un entorno del origen (ver los artículos sobre funcionales lineales continuos y funcionales sublineales para más detalles). También se requiere una comprensión adecuada de los detalles técnicos de cómo el espacio de todas las funciones de la forma se identifica como el producto cartesiano y la relación entre la convergencia puntual , la topología del producto y las topologías de subespacios que inducen en subconjuntos como el espacio dual algebraico y los productos de subespacios como A continuación se ofrece una explicación de estos detalles para los lectores que estén interesados. ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {K} }$ ${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$

La esencia del teorema de Banach-Alaoglu se puede encontrar en la siguiente proposición, de la que se desprende el teorema de Banach-Alaoglu. A diferencia del teorema de Banach-Alaoglu, esta proposición no requiere que el espacio vectorial esté dotado de ninguna topología. ${\displaystyle X}$

Proposición ^[3]  —  Sea un subconjunto de un espacio vectorial sobre el campo (donde ) y para cada número real dote a la bola cerrada de su topología habitual ( no necesita estar dotada de ninguna topología, pero tiene su topología euclidiana habitual ). Definir ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {K} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle r,}$ ${\textstyle B_{r}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ $${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}.}$$

Si para cada es un número real tal que entonces es un subespacio cerrado y compacto del espacio del producto (donde debido a que esta topología del producto es idéntica a la topología de convergencia puntual , que también se llama topología débil-* en análisis funcional, esto significa que es compacto en la topología débil-* o "compacto débil-*" para abreviar). ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r_{x}>0}$ ${\displaystyle x\in r_{x}U,}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle U^{\#}}$

Antes de demostrar la proposición anterior, se muestra primero cómo se sigue de ella el teorema de Banach-Alaoglu (a diferencia de la proposición, Banach-Alaoglu supone que es un espacio vectorial topológico (TVS) y que es un vecindario del origen). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$

Prueba de que Banach-Alaoglu se sigue de la proposición anterior

Supóngase que es un espacio vectorial topológico con espacio dual continuo y que es un entorno del origen. Como es un entorno del origen en también es un subconjunto absorbente de por lo que para cada existe un número real tal que Por lo tanto, se satisfacen las hipótesis de la proposición anterior y, por lo tanto, el conjunto es compacto en la topología débil-* . La demostración del teorema de Banach-Alaoglu estará completa una vez que se demuestre que ^{[nota 2]} donde recordemos que se definió como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r_{x}>0}$ ${\displaystyle x\in r_{x}U.}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\#}=U^{\circ },}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ $${\displaystyle U^{\circ }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~U^{\#}\cap X^{\prime }.}$$

Prueba de que ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}:}$ Debido a que la conclusión es equivalente a Si entonces que establece exactamente que la funcional lineal está acotada en el vecindario, por lo tanto es una funcional lineal continua (es decir, ), como se desea. ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime },}$ ${\displaystyle U^{\#}\subseteq X^{\prime }.}$ ${\displaystyle f\in U^{\#}}$ ${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U;}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Prueba de proposición

El espacio producto es compacto por el teorema de Tichonoff (ya que cada bola cerrada es un espacio compacto de Hausdorff ^{[nota 3]} ). Como un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto, la prueba de la proposición estará completa una vez que se demuestre que es un subconjunto cerrado de Las siguientes afirmaciones garantizan esta conclusión: ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle B_{r_{x}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r_{x}\}}$ $${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$$ ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$

1. ${\displaystyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$
2. ${\displaystyle U^{\#}}$es un subconjunto cerrado del espacio del producto ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}.}$

Prueba de (1) :

Para cualquier sea la proyección a la coordenada ^ésima (como se definió anteriormente). Para probar que es suficiente (y necesario) mostrar que para cada Así que fije y sea Porque queda por mostrar que Recordemos que se definió en el enunciado de la proposición como cualquier número real positivo que satisface (por lo que por ejemplo, sería una opción válida para cada ), lo que implica Porque es una función homogénea positiva que satisface ${\displaystyle z\in X,}$ ${\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle z}$ ${\textstyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}},}$ ${\displaystyle \Pr {}_{x}\left(U^{\#}\right)\subseteq B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f\in U^{\#}.}$ ${\displaystyle \Pr {}_{x}(f)\,=\,f(x),}$ ${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}}.}$ ${\displaystyle r_{x}>0}$ ${\displaystyle x\in r_{x}U}$ ${\displaystyle r_{u}:=1}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle \,u_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\frac {1}{r_{x}}}\,x\in U.\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$ $${\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.}$$

Lo cual demuestra lo deseado. ${\displaystyle |f(x)|\leq r_{x},}$ ${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}},}$

Prueba de (2) :

El espacio dual algebraico es siempre un subconjunto cerrado de (esto se demuestra en el lema siguiente para los lectores que no estén familiarizados con este resultado). El conjunto es cerrado en la topología del producto en ya que es un producto de subconjuntos cerrados de Por lo tanto es una intersección de dos subconjuntos cerrados de lo que demuestra (2). ^{[nota 4]} ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}U_{B_{1}}&\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,{\Big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\ \in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}\\&={\big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\,\in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:f(u)\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\big \}}\\&={\Big \{}\left(f_{x}\right)_{x\in X}\in \prod _{x\in X}\mathbb {K} \,~:~\;~f_{u}~\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\Big \}}\\&=\prod _{x\in X}C_{x}\quad {\text{ where }}\quad C_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\begin{cases}B_{1}&{\text{ if }}x\in U\\\mathbb {K} &{\text{ if }}x\not \in U\\\end{cases}}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle U_{B_{1}}\cap X^{\#}=U^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X},}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

La conclusión de que el conjunto está cerrado también se puede alcanzar aplicando el siguiente resultado más general, esta vez demostrado utilizando redes, al caso especial y ${\displaystyle U_{B_{1}}=\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$ ${\displaystyle Y:=\mathbb {K} }$ ${\displaystyle B:=B_{1}.}$

Observación : Si es un conjunto cualquiera y si es un subconjunto cerrado de un espacio topológico, entonces es un subconjunto cerrado de en la topología de convergencia puntual. ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U_{B}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in Y^{X}:f(U)\subseteq B\right\}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

Prueba de observación : Sea y supongamos que es una red en que converge puntualmente a Queda por demostrar que lo que por definición significa Para cualquier porque en y cada valor pertenece al subconjunto cerrado (en ) así también el límite de esta red debe pertenecer a este conjunto cerrado; por lo tanto lo que completa la prueba. ${\displaystyle f\in Y^{X}}$ ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle U_{B}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f\in U_{B},}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B.}$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{i}(u)\in f_{i}(U)\subseteq B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle f(u)\in B,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Lema ( está cerrado en ) ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ —  El espacio dual algebraico de cualquier espacio vectorial sobre un cuerpo (donde es o ) es un subconjunto cerrado de en la topología de convergencia puntual. (El espacio vectorial no necesita estar dotado de ninguna topología). ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$

El lema anterior en realidad también se desprende de su corolario siguiente, ya que es un espacio uniforme completo de Hausdorff y cualquier subconjunto de dicho espacio (en particular ) es cerrado si y solo si es completo. ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{\#}}$

Corolario del lema ( es débil-* completo) ${\displaystyle X^{\#}}$ —  Cuando el espacio dual algebraico de un espacio vectorial está equipado con la topología de convergencia puntual (también conocida como topología débil-*) entonces el espacio topológico resultante es un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff completo . ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$

La prueba elemental anterior del teorema de Banach-Alaoglu muestra en realidad que si es cualquier subconjunto que satisface (como cualquier subconjunto absorbente de ), entonces es un subconjunto débilmente compacto de ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle X=(0,\infty )U~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{ru:r>0,u\in U\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in X^{\#}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$

Como nota al margen, con la ayuda de la prueba elemental anterior, se puede demostrar (ver esta nota al pie) ^{[prueba 1]} que existen números reales no negativos indexados tales que donde estos números reales también pueden elegirse como "mínimos" en el siguiente sentido: usando (así como en la prueba) y definiendo la notación para cualquier si entonces y para cada que muestra que estos números son únicos; de hecho, esta fórmula ínfima se puede usar para definirlos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{x}\right)_{x\in X}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}U^{\circ }&=U^{\#}&&\\&=X^{\#}&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\&=X^{\prime }&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle m_{\bullet }}$ ${\displaystyle P~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~U^{\circ }}$ ${\displaystyle P=U^{\#}}$ ${\displaystyle \prod B_{R_{\bullet }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{x\in X}B_{R_{x}}}$ ${\displaystyle R_{\bullet }=\left(R_{x}\right)_{x\in X}\in \mathbb {R} ^{X},}$ $${\displaystyle T_{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{R_{\bullet }\in \mathbb {R} ^{X}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\}}$$ ${\displaystyle m_{\bullet }\in T_{P}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle m_{x}=\inf \left\{R_{x}:R_{\bullet }\in T_{P}\right\},}$ ${\displaystyle m_{\bullet }}$

De hecho, si denota el conjunto de todos los productos de bolas cerradas que contienen el conjunto polar , entonces donde denota la intersección de todos los conjuntos que pertenecen a ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle P,}$ $${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~R_{\bullet }\in T_{P}\right\}~=~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\},}$$ ${\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\cap \operatorname {Box} _{P}\in \operatorname {Box} _{P}}$ ${\textstyle \bigcap \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}.}$

Esto implica (entre otras cosas ^{[nota 5]} ) que el único elemento mínimo de con respecto a este puede usarse como una definición alternativa de este conjunto (necesariamente convexo y equilibrado ). La función es una seminorma y no cambia si se reemplaza por la envoltura convexa equilibrada de (porque ). De manera similar, porque también no cambia si se reemplaza por su clausura en ${\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\prod _{x\in X}B_{m_{x}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \,\subseteq ;}$ ${\displaystyle m_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(m_{x}\right)_{x\in X}:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\#}=[\operatorname {cobal} U]^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}U\right]^{\circ },}$ ${\displaystyle m_{\bullet }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema secuencial de Banach-Alaoglu

Un caso especial del teorema de Banach-Alaoglu es la versión secuencial del teorema, que afirma que la bola unitaria cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normado separable es secuencialmente compacta en la topología débil*. De hecho, la topología débil* en la bola unitaria cerrada del dual de un espacio separable es metrizable y, por lo tanto, la compacidad y la compacidad secuencial son equivalentes.

En concreto, sea un espacio normado separable y la bola unitaria cerrada en Puesto que es separable, sea un subconjunto denso contable. Entonces lo siguiente define una métrica, donde para cualquier en que denota el emparejamiento de dualidad de con La compacidad secuencial de en esta métrica se puede demostrar mediante un argumento de diagonalización similar al empleado en la prueba del teorema de Arzelà–Ascoli . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x,y\in B}$ $${\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}}}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B}$

Debido a la naturaleza constructiva de su demostración (a diferencia del caso general, que se basa en el axioma de elección), el teorema secuencial de Banach-Alaoglu se utiliza a menudo en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales para construir soluciones a EDP o problemas variacionales . Por ejemplo, si uno quiere minimizar un funcional en el dual de un espacio vectorial normado separable, una estrategia común es construir primero una secuencia minimizadora que se acerque al ínfimo de utilizar el teorema secuencial de Banach-Alaoglu para extraer una subsecuencia que converja en la topología débil* a un límite y luego establecer que es un minimizador de El último paso a menudo requiere obedecer una propiedad de semicontinuidad inferior (secuencial) en la topología débil*. ${\displaystyle F:X^{\prime }\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$

Cuando el espacio de medidas finitas de Radon está en la línea real (de modo que es el espacio de funciones continuas que se desvanecen en el infinito, por el teorema de representación de Riesz ), el teorema secuencial de Banach-Alaoglu es equivalente al teorema de selección de Helly . ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X=C_{0}(\mathbb {R} )}$

Prueba

Para cada let y let be dotado de la topología de producto . Como cada es un subconjunto compacto del plano complejo, el teorema de Tichonoff garantiza que su producto es compacto. ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle D_{x}=\{c\in \mathbb {C} :|c|\leq \|x\|\}}$$ $${\displaystyle D=\prod _{x\in X}D_{x}}$$ ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle D}$

La bola unitaria cerrada denotada por se puede identificar como un subconjunto de de forma natural: ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle B_{1}^{\,\prime },}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}F:\;&&B_{1}^{\,\prime }&&\;\to \;&D\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&(f(x))_{x\in X}.\\\end{alignedat}}}$$

Esta función es inyectiva y es continua cuando tiene la topología débil-* . La inversa de esta función, definida en su imagen, también es continua. ${\displaystyle B_{1}^{\,\prime }}$

Ahora se demostrará que la imagen de la función anterior es cerrada, lo que completará la demostración del teorema. Dado un punto y una red en la imagen de indexada por tal que la funcional definida por se encuentra en y ${\displaystyle \lambda _{\bullet }=\left(\lambda _{x}\right)_{x\in X}\in D}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle i\in I}$ $${\displaystyle \lim _{i}\left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}\to \lambda _{\bullet }\quad {\text{ in }}D,}$$ ${\displaystyle g:X\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle g(x)=\lambda _{x}\qquad {\text{ for every }}x\in X,}$$ ${\displaystyle B_{1}^{\,\prime }}$ ${\displaystyle F(g)=\lambda _{\bullet }.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Consecuencias

Consecuencias para los espacios normados

Supongamos que es un espacio normado y dotemos a su espacio dual continuo de la norma dual habitual . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

• La bola unitaria cerrada en es débilmente compacta. ^[3] Por lo tanto, si es de dimensión infinita, entonces su bola unitaria cerrada no es necesariamente compacta en la topología normal según el teorema de F. Riesz (a pesar de ser débilmente compacta). ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
• Un espacio de Banach es reflexivo si y sólo si su bola unitaria cerrada es -compacta; esto se conoce como teorema de James . ^[3] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$
• Si es un espacio de Banach reflexivo , entonces cada secuencia acotada en tiene una subsecuencia débilmente convergente. (Esto se deduce de la aplicación del teorema de Banach-Alaoglu a un subespacio débilmente metrizable de ; o, más sucintamente, de la aplicación del teorema de Eberlein-Šmulian ). Por ejemplo, supongamos que es el espacio Lp espacio donde y sean satisfactorios Sea una secuencia acotada de funciones en Entonces existe una subsecuencia y una tal que El resultado correspondiente para no es verdadero, ya que no es reflexivo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left(f_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f\in X}$ $${\displaystyle \int f_{n_{k}}g\,d\mu \to \int fg\,d\mu \qquad {\text{ for all }}g\in L^{q}(\mu )=X^{\prime }.}$$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$

Consecuencias para los espacios de Hilbert

• En un espacio de Hilbert, todo conjunto acotado y cerrado es débilmente relativamente compacto, por lo tanto, toda red acotada tiene una subred débilmente convergente (los espacios de Hilbert son reflexivos ).
• Como los conjuntos convexos, cerrados en norma, son débilmente cerrados ( teorema de Hahn-Banach ), los cierres normativos de conjuntos convexos acotados en espacios de Hilbert o espacios de Banach reflexivos son débilmente compactos.
• Los conjuntos cerrados y acotados en son precompactos con respecto a la topología del operador débil (la topología del operador débil es más débil que la topología ultradébil , que a su vez es la topología débil-* con respecto al predual de los operadores de la clase traza ). Por lo tanto, las secuencias acotadas de operadores tienen un punto de acumulación débil. Como consecuencia, tiene la propiedad de Heine-Borel , si está equipado con el operador débil o la topología ultradébil. ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle B(H),}$ ${\displaystyle B(H)}$

Relación con el axioma de elección y otros enunciados

El teorema de Banach-Alaoglu puede demostrarse utilizando el teorema de Tichonoff , que bajo el marco axiomático de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ( ZF ) es equivalente al axioma de elección . La mayoría de los análisis funcionales convencionales se basan en ZF + el axioma de elección, que a menudo se denota por ZFC . Sin embargo, el teorema no se basa en el axioma de elección en el caso separable (ver arriba): en este caso existe realmente una prueba constructiva. En el caso general de un espacio normado arbitrario, el lema del ultrafiltro , que es estrictamente más débil que el axioma de elección y equivalente al teorema de Tichonoff para espacios de Hausdorff compactos , es suficiente para la prueba del teorema de Banach-Alaoglu, y de hecho es equivalente a él.

El teorema de Banach-Alaoglu es equivalente al lema del ultrafiltro , que implica el teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales ( HB ) pero no es equivalente a él (dicho de otra manera, Banach-Alaoglu también es estrictamente más fuerte que HB ). Sin embargo, el teorema de Hahn-Banach es equivalente a la siguiente versión débil del teorema de Banach-Alaoglu para el espacio normado ^[6] en el que la conclusión de compacidad (en la topología débil-* de la bola unitaria cerrada del espacio dual) se reemplaza con la conclusión de cuasicompacidad (también llamada a veces compacidad convexa );

Versión débil del teorema de Alaoglu ^[6]  — Seaun espacio normado ysea la bola unitaria cerrada de suespacio dual continuo.Entoncestiene la siguiente propiedad, que se llama (débil-*) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle B}$cuasicompacto ocompacidad convexa : siempre quees una cubierta desubconjuntos convexos débiles-* cerrados detalquetienelapropiedad de intersección finita, entoncesno está vacía. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \{B\cap C:C\in {\mathcal {C}}\}}$ ${\displaystyle B\cap \bigcap _{C\in {\mathcal {C}}}C}$

La compacidad implica compacidad convexa porque un espacio topológico es compacto si y solo si cada familia de subconjuntos cerrados que tienen la propiedad de intersección finita (FIP) tiene una intersección no vacía. La definición de compacidad convexa es similar a esta caracterización de espacios compactos en términos de la FIP, excepto que solo involucra aquellos subconjuntos cerrados que también son convexos (en lugar de todos los subconjuntos cerrados).

Véase también

• Teorema de Bishop-Phelps
• Teorema de Banach-Mazur
• Teorema de compacidad delta
• Teorema de Dixmier-Ng
• Teorema de Eberlein-Šmulian  : relaciona tres tipos diferentes de compacidad débil en un espacio de Banach
• Teorema de Goldstine
• Teorema de James  – teorema en matemáticasPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Teorema de Kerin-Milman  : cuándo un espacio es igual a la envoltura convexa cerrada de sus puntos extremosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Lema de Mazur  – Sobre combinaciones fuertemente convergentes de una secuencia débilmente convergente en un espacio de Banach
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

Notas

1. Explícitamente, se dice que un subconjunto es "compacto (resp. totalmente acotado, etc.) en la topología débil-*" si cuando se da la topología débil-* y al subconjunto se le da la topología de subespacio heredada de entonces es un espacio compacto (resp. totalmente acotado , etc.). ${\displaystyle B^{\prime }\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$
2. Si denota la topología que está (originalmente) dotada de, entonces la igualdad muestra que la polar de depende solo de (y ) y que el resto de la topología puede ignorarse. Para aclarar lo que se quiere decir, supongamos que es cualquier topología TVS en tal que el conjunto es (también) un vecindario del origen en Denote el espacio dual continuo de por y denote la polar de con respecto a por de modo que sea solo el conjunto de arriba. Entonces, debido a que ambos conjuntos son iguales a Dicho de otra manera, el "requisito" definitorio del conjunto polar de que sea un subconjunto del espacio dual continuo es intrascendente y puede ignorarse porque no tiene ningún efecto sobre el conjunto resultante de funcionales lineales. Sin embargo, si es una topología TVS en tal que no es un vecindario del origen en entonces no se garantiza que la polar de con respecto a sea igual y, por lo tanto, la topología no puede ignorarse. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\circ }={\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\sigma ).}$ ${\displaystyle (X,\sigma )}$ ${\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\sigma )}$ $${\displaystyle U^{\circ ,\sigma }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in (X,\sigma )^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}}$$ ${\displaystyle U^{\circ ,\tau }}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\tau }=U^{\circ ,\sigma }}$ ${\displaystyle U^{\#}.}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\sigma }}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\sigma }}$ ${\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\nu }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \nu }$
3. Como cada es también un espacio de Hausdorff , la conclusión de que es compacto sólo requiere el llamado "teorema de Tichonoff para espacios de Hausdorff compactos", que es equivalente al lema del ultrafiltro y estrictamente más débil que el axioma de elección . ${\displaystyle B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$
4. La conclusión se puede escribir como El conjunto puede entonces definirse de manera equivalente por Reescribir la definición de esta manera ayuda a hacer evidente que el conjunto está cerrado en porque esto es cierto para X # . {\displaystyle X^{\#}.} ${\displaystyle U_{B_{1}}=\prod _{x\in X}C_{x}}$ ${\displaystyle U_{B_{1}}~=~{\Big (}\prod _{u\in U}B_{1}{\Big )}\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} .}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X^{\#}\cap \left[{\Big (}\prod _{u\in U}B_{1}{\Big )}\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} \right].}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$
5. Esta tupla es el menor elemento de con respecto al orden parcial puntual inducido natural definido por si y solo si para cada Por lo tanto, cada vecindad del origen en se puede asociar con esta función única (mínima) Para cualquier si es tal que entonces de modo que en particular, y para cada ${\displaystyle m_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(m_{x}\right)_{x\in X}}$ ${\displaystyle T_{P}}$ ${\displaystyle R_{\bullet }\leq S_{\bullet }}$ ${\displaystyle R_{x}\leq S_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{\bullet }:X\to [0,\infty ).}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in rU}$ ${\displaystyle m_{x}\leq r}$ ${\displaystyle m_{0}=0}$ ${\displaystyle m_{u}\leq 1}$ ${\displaystyle u\in U.}$

Pruebas

1. Para cualquier subconjunto no vacío la igualdad se cumple (la intersección de la izquierda es un disco cerrado, en lugar de abierto, −posiblemente de radio − porque es una intersección de subconjuntos cerrados de y por lo tanto debe ser cerrada). Para cada sea de modo que la igualdad de conjuntos anterior implica De se sigue que y haciendo así el menor elemento de con respecto a (De hecho, la familia está cerrada bajo intersecciones arbitrarias (no nularias ) y también bajo uniones finitas de al menos un conjunto). La prueba elemental mostró que y no están vacíos y, además, también mostró que tiene un elemento que satisface para cada lo que implica que para cada La inclusión es inmediata; para probar la inclusión inversa, sea Por definición, si y solo si es así sea y queda por demostrar que De se sigue lo que implica que como se desea. ${\displaystyle A\subseteq [0,\infty ),}$ ${\displaystyle \cap \left\{B_{a}:a\in A\right\}=B_{\inf _{}A}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle m_{x}=\inf _{}\left\{R_{x}:R_{\bullet }\in T_{P}\right\}}$ ${\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}=\bigcap _{R_{\bullet }\in T_{P}}\prod _{x\in X}B_{R_{x}}=\prod _{x\in X}\bigcap _{R_{\bullet }\in T_{P}}B_{R_{x}}=\prod _{x\in X}B_{m_{x}}.}$ ${\displaystyle P\subseteq \cap \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\in T_{P}}$ ${\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}\in \operatorname {Box} _{P},}$ ${\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle T_{P}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle T_{P}}$ ${\displaystyle \left(r_{x}\right)_{x\in X}}$ ${\displaystyle r_{u}=1}$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle m_{u}\leq 1}$ ${\displaystyle u\in U.}$ ${\displaystyle P~\subseteq ~\left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\prime }~\subseteq ~\left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\#}}$ ${\displaystyle f\in \left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\#}.}$ ${\displaystyle f\in P~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~U^{\#}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq 1.}$ ${\displaystyle f\in \cap \operatorname {Box} _{P}=\prod B_{m_{\bullet }},}$ ${\displaystyle f(u)=\Pr {}_{u}(f)\in \Pr {}_{u}\left(\prod _{x\in X}B_{m_{x}}\right)=B_{m_{u}},}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq m_{u}\leq 1,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Citas

1. Rudin 1991, Teorema 3.15.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 235–240.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs. 225–273.
4. Köthe 1983, Teorema (4) en §20.9.
5. Meise y Vogt 1997, teorema 23.5.
6. Bell, J.; Fremlin, David (1972). "Una forma geométrica del axioma de elección" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 77 (2): 167–170. doi :10.4064/fm-77-2-167-170 . Consultado el 26 de diciembre de 2021 .

Referencias

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• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). "Teorema 23.5". Introducción al análisis funcional . Oxford, Inglaterra: Clarendon Press. p. 264. ISBN 0-19-851485-9.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  . Véase el teorema 3.15, pág. 68.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .

Lectura adicional

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• Lax, Peter D. (2002). Análisis funcional (PDF) . Matemáticas puras y aplicadas. Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143 . Consultado el 22 de julio de 2020 .