Teorema de F. Riesz

El teorema de F. Riesz (llamado así por Frigyes Riesz ) es un teorema importante en el análisis funcional que establece que un espacio vectorial topológico de Hausdorff (TVS) es de dimensión finita si y solo si es localmente compacto . El teorema y sus consecuencias se utilizan de forma ubicua en el análisis funcional, a menudo sin mencionarse explícitamente.

Declaración

Recordemos que un espacio vectorial topológico (TVS) es de Hausdorff si y solo si el conjunto singleton que consiste enteramente en el origen es un subconjunto cerrado de Un mapa entre dos TVS se denomina TVS-isomorfismo o un isomorfismo en la categoría de TVS si es un homeomorfismo lineal . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema de F. Riesz ^{[1] [2]}  —  Una TVS de Hausdorff sobre el cuerpo ( es el número real o complejo) es de dimensión finita si y solo si es localmente compacta (o equivalentemente, si y solo si existe un entorno compacto del origen). En este caso, ¿es TVS-isomorfo a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{{\text{dim}}X}.}$

Consecuencias

En todo momento se utilizan TVS (no necesariamente Hausdorff) con un espacio vectorial de dimensión finita. ${\displaystyle F,X,Y}$ ${\displaystyle F}$

• Cada subespacio vectorial de dimensión finita de un TVS de Hausdorff es un subespacio cerrado. ^[1]
• Todos los TVS de Hausdorff de dimensión finita son espacios de Banach y todas las normas en dichos espacios son equivalentes. ^[1]
• Cerrado + de dimensión finita es cerrado : Si es un subespacio vectorial cerrado de un TVS y si es un subespacio vectorial de dimensión finita de ( y no son necesariamente Hausdorff), entonces es un subespacio vectorial cerrado de ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y,M,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M+F}$ ${\displaystyle Y.}$
• Todo isomorfismo de espacio vectorial (es decir, una biyección lineal ) entre dos TVS de Hausdorff de dimensión finita es un isomorfismo TVS . ^[1]
• Unicidad de la topología : Si es un espacio vectorial de dimensión finita y si y son dos topologías TVS de Hausdorff en entonces ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{1}=\tau _{2}.}$
• Dominio de dimensión finita : una función lineal entre TVS de Hausdorff es necesariamente continua. ^[1] ${\displaystyle L:F\to Y}$
  • En particular, cada funcional lineal de una TVS de Hausdorff de dimensión finita es continua.
• Rango de dimensión finita : Cualquier mapa lineal sobreyectivo continuo con un rango de dimensión finita de Hausdorff es un mapa abierto ^[1] y, por lo tanto, un homomorfismo topológico . ${\displaystyle L:X\to Y}$

En particular, el rango de es TVS-isomorfo a ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X/L^{-1}(0).}$

• Un TVS (no necesariamente Hausdorff) es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\overline {\{0\}}}}$
• La envoltura convexa de un subconjunto compacto de un TVS de Hausdorff de dimensión finita es compacta. ^[1]
  • Esto implica, en particular, que la envoltura convexa de un conjunto compacto es igual a la envoltura convexa cerrada de ese conjunto.
• Un TVS acotado localmente por Hausdorff con la propiedad de Heine-Borel es necesariamente de dimensión finita. ^[2]

Véase también

• Lema de Riesz

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, págs. 101-105.
2. Rudin 1991, págs. 7–18.

Bibliografía

• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .