mapa lineal

Función matemática, en álgebra lineal.

En matemáticas , y más específicamente en álgebra lineal , una aplicación lineal (también llamada aplicación lineal , transformación lineal , homomorfismo del espacio vectorial o, en algunos contextos, función lineal ) es una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma vectorial y escalar. multiplicación . Los mismos nombres y la misma definición también se utilizan para el caso más general de módulos sobre un anillo ; ver Homomorfismo de módulo . ${\displaystyle V\to W}$

Si un mapa lineal es una biyección entonces se llamaisomorfismo lineal . En el caso en que, un mapa lineal se llamaendomorfismo lineal. A veces el término ${\displaystyle V=W}$El operador lineal se refiere a este caso,^[1]pero el término "operador lineal" puede tener diferentes significados para diferentes convenciones: por ejemplo, se puede usar para enfatizar queysonreales(no necesariamente con),^{[ cita necesaria ]}o puede usarse para enfatizar quees unespacio funcional, lo cual es una convención común enel análisis funcional. ^[2]A veces el término función lineal tiene el mismo significado quemapa lineal, mientras que enanálisisno lo tiene. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle V}$

Un mapa lineal de a siempre asigna el origen de al origen de . Además, asigna subespacios lineales en subespacios lineales en (posiblemente de una dimensión inferior ); ^[3] por ejemplo, asigna un plano que pasa por el origen en un plano que pasa por el origen en , una línea que pasa por el origen en o simplemente el origen en . Los mapas lineales a menudo se pueden representar como matrices , y los ejemplos simples incluyen transformaciones lineales de rotación y reflexión . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

En el lenguaje de la teoría de categorías , las aplicaciones lineales son los morfismos de espacios vectoriales.

Definición y primeras consecuencias

Sean y espacios vectoriales sobre el mismo campo . Se dice que una función es lineal si para dos vectores cualesquiera y cualquier escalar se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle c\in K}$

• Aditividad / operación de suma
  $${\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}$$
• Homogeneidad de grado 1 / operación de multiplicación escalar
  $${\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}$$

Por lo tanto, se dice que un mapa lineal preserva la operación . En otras palabras, no importa si el mapa lineal se aplica antes (los lados derechos de los ejemplos anteriores) o después (los lados izquierdos de los ejemplos) de las operaciones de suma y multiplicación escalar.

Por la asociatividad de la operación de suma denotada como +, para cualesquiera vectores y escalares se cumple la siguiente igualdad: ^{[4] [5]} ${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$ ${\textstyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K,}$

$${\displaystyle f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).}$$

combinaciones lineales

Denotando los elementos cero de los espacios vectoriales y por y respectivamente, se deduce que Sea y en la ecuación de homogeneidad de grado 1: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\textstyle \mathbf {0} _{V}}$ ${\textstyle \mathbf {0} _{W}}$ ${\textstyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}.}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\textstyle \mathbf {v} \in V}$

$${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}$$

Un mapa lineal visto como un espacio vectorial unidimensional sobre sí mismo se llama funcional lineal . ^[6] ${\displaystyle V\to K}$ ${\displaystyle K}$

Estas declaraciones se generalizan a cualquier módulo izquierdo sobre un anillo sin modificación, y a cualquier módulo derecho al invertir la multiplicación escalar. ${\textstyle {}_{R}M}$ ${\displaystyle R}$

Ejemplos

• Un ejemplo prototípico que da nombre a los mapas lineales es una función , cuya gráfica es una recta que pasa por el origen. ^[7] ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto cx}$
• De manera más general, cualquier homotecia centrada en el origen de un espacio vectorial es una aplicación lineal (aquí c es un escalar). ${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$
• El mapa cero entre dos espacios vectoriales (sobre el mismo campo ) es lineal. ${\textstyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {0} }$
• El mapa de identidad de cualquier módulo es un operador lineal.
• Para números reales, el mapa no es lineal. ${\textstyle x\mapsto x^{2}}$
• Para números reales, el mapa no es lineal (pero es una transformación afín ). ${\textstyle x\mapsto x+1}$
• Si es una matriz real , entonces define un mapa lineal desde hasta enviando un vector de columna al vector de columna . Por el contrario, cualquier aplicación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar de esta manera; consulte las § Matrices, a continuación. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}}$
• Si es una isometría entre espacios normados reales tal que entonces es un mapa lineal. Este resultado no es necesariamente cierto para espacios normados complejos. ^[8] ${\textstyle f:V\to W}$ ${\textstyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f}$
• La diferenciación define un mapa lineal desde el espacio de todas las funciones diferenciables al espacio de todas las funciones. También define un operador lineal en el espacio de todas las funciones suaves (un operador lineal es un endomorfismo lineal , es decir, una aplicación lineal con el mismo dominio y codominio ). En efecto,
  $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(af(x)+bg(x)\right)=a{\frac {df(x)}{dx}}+b{\frac {dg(x)}{dx}}.}$$
• Una integral definida sobre algún intervalo I es una aplicación lineal desde el espacio de todas las funciones integrables con valores reales en I a . En efecto, ${\displaystyle \mathbb {R} }$
  $${\displaystyle \int _{u}^{v}\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int _{u}^{v}f(x)dx+b\int _{u}^{v}g(x)dx.}$$
• Una integral indefinida (o antiderivada ) con un punto de partida de integración fijo define un mapa lineal desde el espacio de todas las funciones integrables de valor real hasta el espacio de todas las funciones diferenciables de valor real en . Sin un punto de partida fijo, la antiderivada se asigna al espacio cociente de las funciones diferenciables por el espacio lineal de funciones constantes. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Si y son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo F , de dimensiones respectivas m y n , entonces la función que asigna mapas lineales a matrices n × m de la manera descrita en § Matrices (a continuación) es un mapa lineal, e incluso un isomorfismo lineal . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\textstyle f:V\to W}$
• El valor esperado de una variable aleatoria (que en realidad es una función y, como tal, un elemento de un espacio vectorial) es lineal, como para las variables aleatorias y tenemos y , pero la varianza de una variable aleatoria no es lineal. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]}$ ${\displaystyle E[aX]=aE[X]}$

• 
  La función con es un mapa lineal. Esta función escala el componente de un vector por el factor . ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle 2}$
• 
  La función es aditiva: no importa si los vectores se suman primero y luego se asignan o si se asignan y finalmente se suman: ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ ${\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$
• 
  La función es homogénea: no importa si un vector primero se escala y luego se mapea o primero se mapea y luego se escala: ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ ${\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

Extensiones lineales

A menudo, un mapa lineal se construye definiéndolo en un subconjunto de un espacio vectorial y luegoextendiéndose por linealidad altramo linealdel dominio. Supongamosque yson espacios vectoriales yes unafuncióndefinida en algún subconjunto. Entonces a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$extensión lineal dea, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$si existe, es un mapa linealdefinido enquese extiende^{[nota 1]}(lo que significa quepara todos) y toma sus valores del codominio de^[9] Cuando el subconjuntoes un subespacio vectorial deentonces a (-valorado )Se garantiza que existea todoses un mapa lineal. ^[9]En particular, sitiene una extensión lineal aentonces tiene una extensión lineal a todos ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(s)=f(s)}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {span} S,}$ ${\displaystyle X.}$

El mapa se puede extender a un mapa lineal si y sólo si siempre es un número entero, son escalares y son vectores tales que entonces necesariamente ^[10] Si existe una extensión lineal de entonces la extensión lineal es única y ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$ ${\displaystyle 0=c_{1}s_{1}+\cdots +c_{n}s_{n},}$ ${\displaystyle 0=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right).}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$

$${\displaystyle F\left(c_{1}s_{1}+\cdots c_{n}s_{n}\right)=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right)}$$

^[10] ${\displaystyle n,c_{1},\ldots ,c_{n},}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle \;\operatorname {span} S\to Y}$

Por ejemplo, si y entonces la asignación y se puede extender linealmente desde el conjunto linealmente independiente de vectores a un mapa lineal en La extensión lineal única es el mapa que envía a ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle (1,0)\to -1}$ ${\displaystyle (0,1)\to 2}$ ${\displaystyle S:=\{(1,0),(0,1)\}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{(1,0),(0,1)\}=\mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (x,y)=x(1,0)+y(0,1)\in \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle F(x,y)=x(-1)+y(2)=-x+2y.}$$

Cada funcional lineal (con valor escalar) definido en un subespacio vectorial de un espacio vectorial real o complejo tiene una extensión lineal a todos De hecho, el teorema de extensión dominada de Hahn-Banach incluso garantiza que cuando este funcional lineal está dominado por alguna seminorma dada ( significado que es válido para todos en el dominio de ), entonces existe una extensión lineal que también está dominada por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$

matrices

Si y son espacios vectoriales de dimensión finita y se define una base para cada espacio vectorial, entonces cada aplicación lineal desde hasta puede representarse mediante una matriz . ^[11] Esto es útil porque permite realizar cálculos concretos. Las matrices producen ejemplos de aplicaciones lineales: si es una matriz real , entonces describe una aplicación lineal (ver Espacio euclidiano ). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

Sea una base para . Entonces cada vector está determinado únicamente por los coeficientes del campo : ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}$$

Si es un mapa lineal, ${\textstyle f:V\to W}$

$${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),}$$

lo que implica que la función f está enteramente determinada por los vectores . Ahora vamos a ser una base para . Entonces podemos representar cada vector como ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$

$${\displaystyle f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}$$

Por tanto, la función está completamente determinada por los valores de . Si ponemos estos valores en una matriz , entonces podemos usarla convenientemente para calcular la salida vectorial de para cualquier vector en . Para obtener , cada columna de es un vector. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$

$${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$ ${\displaystyle a_{1j},\cdots ,a_{mj}}$ ${\displaystyle j}$

Las matrices de una transformación lineal se pueden representar visualmente:

1. Matriz para relativo a : ${\textstyle T}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle A}$
2. Matriz para relativo a : ${\textstyle T}$ ${\textstyle B'}$ ${\textstyle A'}$
3. Matriz de transición de a : ${\textstyle B'}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle P}$
4. Matriz de transición de a : ${\textstyle B}$ ${\textstyle B'}$ ${\textstyle P^{-1}}$

La relación entre matrices en una transformación lineal.

De modo que comenzando en la esquina inferior izquierda y buscando la esquina inferior derecha , se multiplicaría por la izquierda, es decir ,. El método equivalente sería el método "más largo" que va en el sentido de las agujas del reloj desde el mismo punto, de modo que se multiplica por la izquierda con o . ${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$ ${\textstyle \left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$ ${\textstyle A'\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$ ${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$ ${\textstyle P^{-1}AP}$ ${\textstyle P^{-1}AP\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$

Ejemplos en dos dimensiones

En el espacio bidimensional, los mapas lineales R ² se describen mediante matrices de 2 × 2 . Estos son algunos ejemplos:

• rotación
  • 90 grados en sentido antihorario:
    $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$$
  • por un ángulo θ en sentido antihorario:
    $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• reflexión
  • por el eje x :
    $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$
  • a través del eje y :
    $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$$
  • a través de una recta que forma un ángulo θ con el origen:
    $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}}$$
• escalando por 2 en todas las direcciones:
  $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}=2\mathbf {I} }$$
• mapeo de corte horizontal :
  $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}}$$
• sesgo del eje y en un ángulo θ :
  $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&-\sin \theta \\0&\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• mapeo de compresión :
  $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}}$$
• proyección sobre el eje y :
  $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$$

Si un mapa lineal solo se compone de rotación, reflexión y/o escala uniforme, entonces el mapa lineal es una transformación lineal conforme .

Espacio vectorial de mapas lineales.

La composición de los mapas lineales es lineal: si y son lineales, entonces también lo es su composición . De esto se deduce que la clase de todos los espacios vectoriales sobre un campo dado K , junto con las aplicaciones K -lineales como morfismos , forman una categoría . ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\textstyle g:W\to Z}$ ${\textstyle g\circ f:V\to Z}$

La inversa de una aplicación lineal, cuando se define, es nuevamente una aplicación lineal.

Si y son lineales, entonces también lo es su suma puntual , que está definida por . ${\textstyle f_{1}:V\to W}$ ${\textstyle f_{2}:V\to W}$ ${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$ ${\displaystyle (f_{1}+f_{2})(\mathbf {x} )=f_{1}(\mathbf {x} )+f_{2}(\mathbf {x} )}$

Si es lineal y es un elemento del campo terrestre , entonces el mapa , definido por , también es lineal. ${\textstyle f:V\to W}$ ${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \alpha f}$ ${\textstyle (\alpha f)(\mathbf {x} )=\alpha (f(\mathbf {x} ))}$

Así, el conjunto de aplicaciones lineales desde hacia sí mismo forma un espacio vectorial sobre , ^[12] a veces denominado . ^[13] Además, en el caso de que , este espacio vectorial, denotado , es un álgebra asociativa bajo composición de mapas , ya que la composición de dos mapas lineales es nuevamente un mapa lineal, y la composición de mapas siempre es asociativa. Este caso se analiza con más detalle a continuación. ${\textstyle {\mathcal {L}}(V,W)}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\textstyle V=W}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

Dado nuevamente el caso de dimensión finita, si se han elegido bases, entonces la composición de aplicaciones lineales corresponde a la multiplicación de matrices , la suma de aplicaciones lineales corresponde a la suma de matrices , y la multiplicación de aplicaciones lineales con escalares corresponde a la multiplicación de matrices con escalares.

Endomorfismos y automorfismos.

Una transformación lineal es un endomorfismo de ; el conjunto de todos estos endomorfismos junto con la suma, la composición y la multiplicación escalar como se define anteriormente forma un álgebra asociativa con elemento de identidad sobre el campo (y en particular un anillo ). El elemento de identidad multiplicativo de esta álgebra es el mapa de identidad . ${\textstyle f:V\to V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \operatorname {id} :V\to V}$

Un endomorfismo de eso también es un isomorfismo y se llama automorfismo de . La composición de dos automorfismos es nuevamente un automorfismo, y el conjunto de todos los automorfismos de forma un grupo , cuyo grupo de automorfismos se denota por o . Dado que los automorfismos son precisamente aquellos endomorfismos que poseen inversas bajo composición, es el grupo de unidades en el anillo . ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$ ${\textstyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

Si tiene dimensión finita , entonces es isomorfo al álgebra asociativa de todas las matrices con entradas en . El grupo de automorfismo de es isomorfo al grupo lineal general de todas las matrices invertibles con entradas en . ${\textstyle V}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {GL} (n,K)}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle K}$

Núcleo, imagen y teorema de rango-nulidad

Si es lineal, definimos el núcleo y la imagen o rango de por ${\textstyle f:V\to W}$ ${\textstyle f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ker(f)&=\{\,\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=\mathbf {0} \,\}\\\operatorname {im} (f)&=\{\,\mathbf {w} \in W:\mathbf {w} =f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in V\,\}\end{aligned}}}$$

${\textstyle \ker(f)}$es un subespacio de y es un subespacio de . La siguiente fórmula de dimensión se conoce como teorema de nulidad de rango : ^[14] ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {im} (f)}$ ${\textstyle W}$

$${\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V).}$$

El número también se llama rango de y se escribe como , o, a veces ,; ^{[15] [16]} el número se llama nulidad de y se escribe como o . ^{[15] [16]} Si y son de dimensión finita, se han elegido las bases y están representadas por la matriz , entonces el rango y la nulidad de son iguales al rango y la nulidad de la matriz , respectivamente. ${\textstyle \dim(\operatorname {im} (f))}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle \operatorname {rank} (f)}$ ${\textstyle \rho (f)}$ ${\textstyle \dim(\ker(f))}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle \operatorname {null} (f)}$ ${\textstyle \nu (f)}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle A}$

Cokernel

Una invariante más sutil de una transformación lineal es el núcleo co , que se define como ${\textstyle f:V\to W}$

$${\displaystyle \operatorname {coker} (f):=W/f(V)=W/\operatorname {im} (f).}$$

Ésta es la noción dual del núcleo: así como el núcleo es un subespacio del dominio, el co-núcleo es un espacio cociente del objetivo. Formalmente, se tiene la secuencia exacta

$${\displaystyle 0\to \ker(f)\to V\to W\to \operatorname {coker} (f)\to 0.}$$

Estos se pueden interpretar así: dada una ecuación lineal f ( v ) = w para resolver,

• el núcleo es el espacio de soluciones de la ecuación homogénea f ( v ) = 0, y su dimensión es el número de grados de libertad en el espacio de soluciones, si no está vacío;
• el co-núcleo es el espacio de restricciones que las soluciones deben satisfacer, y su dimensión es el número máximo de restricciones independientes.

La dimensión del co-núcleo y la dimensión de la imagen (el rango) se suman a la dimensión del espacio objetivo. Para dimensiones finitas, esto significa que la dimensión del espacio cociente W / f ( V ) es la dimensión del espacio objetivo menos la dimensión de la imagen.

Como ejemplo simple, considere el mapa f : R ² → R ² , dado por f ( x , y ) = (0, y ). Entonces, para que una ecuación f ( x , y ) = ( a , b ) tenga solución, debemos tener a = 0 (una restricción), y en ese caso el espacio de solución es ( x , b ) o expresado de manera equivalente, ( 0, b ) + ( x , 0), (un grado de libertad). El núcleo se puede expresar como el subespacio ( x , 0) < V : el valor de x es la libertad en una solución, mientras que el cokernel se puede expresar mediante el mapa W → R , : dado un vector ( a , b ), el valor de a es el obstáculo para que haya una solución. ${\textstyle (a,b)\mapsto (a)}$

Un ejemplo que ilustra el caso de dimensión infinita lo proporciona el mapa f : R ^∞ → R ^∞ , con b ₁ = 0 y b _{n + 1} = a _n para n > 0. Su imagen consta de todas las secuencias con el primer elemento 0, y, por tanto, su cokernel consta de clases de secuencias con un primer elemento idéntico. Por lo tanto, mientras que su núcleo tiene dimensión 0 (mapea sólo la secuencia cero a la secuencia cero), su co-núcleo tiene dimensión 1. Dado que el dominio y el espacio objetivo son iguales, el rango y la dimensión del núcleo se suman. a la misma suma que el rango y la dimensión del co-núcleo ( ), pero en el caso de dimensión infinita no se puede inferir que el núcleo y el co-núcleo de un endomorfismo tengan la misma dimensión (0 ≠ 1). La situación inversa se da para el mapa h : R ^∞ → R ^∞ , con c _n = a _{n + 1} . Su imagen es todo el espacio objetivo y, por lo tanto, su co-núcleo tiene dimensión 0, pero dado que asigna todas las secuencias en las que solo el primer elemento es distinto de cero a la secuencia cero, su núcleo tiene dimensión 1. ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{b_{n}\right\}}$ ${\textstyle \aleph _{0}+0=\aleph _{0}+1}$ ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{c_{n}\right\}}$

Índice

Para un operador lineal con núcleo y co-núcleo de dimensión finita, se puede definir el índice como:

$${\displaystyle \operatorname {ind} (f):=\dim(\ker(f))-\dim(\operatorname {coker} (f)),}$$

Para una transformación entre espacios vectoriales de dimensión finita, esta es solo la diferencia tenue( V ) − tenue( W ), por rango-nulidad. Esto da una indicación de cuántas soluciones o cuántas restricciones se tienen: si se mapea desde un espacio más grande a uno más pequeño, el mapa puede estar sobre y, por lo tanto, tendrá grados de libertad incluso sin restricciones. Por el contrario, si se mapea desde un espacio más pequeño a uno más grande, el mapa no puede estar dentro y, por lo tanto, habrá restricciones incluso sin grados de libertad.

El índice de un operador es precisamente la característica de Euler del complejo de 2 términos 0 → V → W → 0. En la teoría de operadores , el índice de operadores de Fredholm es un objeto de estudio, siendo un resultado importante el teorema del índice de Atiyah-Singer. . ^[17]

Clasificaciones algebraicas de transformaciones lineales.

Ninguna clasificación de mapas lineales podría ser exhaustiva. La siguiente lista incompleta enumera algunas clasificaciones importantes que no requieren ninguna estructura adicional en el espacio vectorial.

Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T : V → W una aplicación lineal.

Monomorfismo

Se dice que T es inyectivo o monomorfismo si alguna de las siguientes condiciones equivalentes es verdadera:

1. T es uno a uno como mapa de conjuntos .
2. Ker T = {0 _V }
3. tenue(ker T ) = 0
4. T es mónico o cancelable por la izquierda, es decir, para cualquier espacio vectorial U y cualquier par de aplicaciones lineales R : U → V y S : U → V , la ecuación TR = TS implica R = S .
5. T es invertible a la izquierda , es decir, existe un mapa lineal S : W → V tal que ST es el mapa de identidad en V.

Epimorfismo

Se dice que T es sobreyectivo o epimorfismo si alguna de las siguientes condiciones equivalentes es verdadera:

1. T es un mapa de conjuntos .
2. coque T = {0 _W }
3. T es épico o cancelable por la derecha, es decir, para cualquier espacio vectorial U y cualquier par de aplicaciones lineales R : W → U y S : W → U , la ecuación RT = ST implica R = S .
4. T es invertible por la derecha , es decir, existe un mapa lineal S : W → V tal que TS es el mapa de identidad en W.

isomorfismo

Se dice que T es un isomorfismo si es invertible tanto hacia la izquierda como hacia la derecha. Esto equivale a que T sea uno a uno y sobre (una biyección de conjuntos) o también a que T sea a la vez épico y mónico, y por tanto sea un bimorfismo .

Si T : V → V es un endomorfismo, entonces:

• Si, para algún entero positivo n , la n -ésima iteración de T , T ⁿ , es idénticamente cero, entonces se dice que T es nilpotente .
• Si T ² = T , entonces se dice que T es idempotente
• Si T = kI , donde k es algún escalar, entonces se dice que T es una transformación de escala o un mapa de multiplicación escalar; ver matriz escalar .

Cambio de base

Dado un mapa lineal que es un endomorfismo cuya matriz es A , en la base B del espacio transforma las coordenadas vectoriales [u] como [v] = A [u]. Como los vectores cambian con la inversa de B (los vectores son contravariantes ), su transformación inversa es [v] = B [v'].

Sustituyendo esto en la primera expresión.

$${\displaystyle B\left[v'\right]=AB\left[u'\right]}$$

$${\displaystyle \left[v'\right]=B^{-1}AB\left[u'\right]=A'\left[u'\right].}$$

Por tanto, la matriz en la nueva base es A′ = B ⁻¹ AB , siendo B la matriz de la base dada.

Por lo tanto, se dice que los mapas lineales son objetos 1-co-1-contravariantes , o tensores de tipo (1, 1) .

Continuidad

Una transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos , por ejemplo espacios normados , puede ser continua . Si su dominio y codominio son iguales, entonces será un operador lineal continuo . Un operador lineal en un espacio lineal normado es continuo si y sólo si está acotado , por ejemplo, cuando el dominio es de dimensión finita. ^[18] Un dominio de dimensión infinita puede tener operadores lineales discontinuos .

Un ejemplo de transformación lineal ilimitada, por lo tanto discontinua, es la diferenciación en el espacio de funciones suaves equipadas con la norma suprema (una función con valores pequeños puede tener una derivada con valores grandes, mientras que la derivada de 0 es 0). Para un ejemplo específico, sin( nx )/ n converge a 0, pero su derivada cos( nx ) no, por lo que la diferenciación no es continua en 0 (y por una variación de este argumento, no es continua en ninguna parte).

Aplicaciones

Una aplicación específica de los mapas lineales es para transformaciones geométricas , como las realizadas en gráficos por computadora , donde la traslación, rotación y escala de objetos 2D o 3D se realiza mediante el uso de una matriz de transformación . Las asignaciones lineales también se utilizan como mecanismo para describir cambios: por ejemplo, en cálculo corresponden a derivadas; o en relatividad, utilizado como dispositivo para realizar un seguimiento de las transformaciones locales de los marcos de referencia.

Otra aplicación de estas transformaciones es la optimización del compilador de código de bucle anidado y la paralelización de técnicas de compilación.

Ver también

• Mapa aditivo  : homomorfismo del módulo Z
• Mapa antilineal  : mapa aditivo homogéneo conjugado
• Función doblada  : tipo especial de función booleana
• Operador acotado  : transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos
• Ecuación funcional de Cauchy  - Ecuación funcional
• Operador lineal continuo
• Funcional lineal  : mapa lineal desde un espacio vectorial a su campo de escalaresPages displaying short descriptions of redirect targets
• Isometría lineal  : transformación matemática que preserva la distanciaPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. "Las transformaciones lineales de V en V a menudo se denominan operadores lineales en V ". Rudin 1976, pág. 207
2. Sean V y W dos espacios vectoriales reales. Un mapeo a de V a W se llama 'mapeo lineal' o 'transformación lineal' u 'operador lineal' [...] de V a W , si es para todos , para todos y todos los λ reales . Bronshtein y Semendyayev 2004, pág. 316
   ${\textstyle a(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=a\mathbf {u} +a\mathbf {v} }$ ${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$
   ${\textstyle a(\lambda \mathbf {u} )=\lambda a\mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} \in V}$
3. Rudin 1991, pag. 14
   He aquí algunas propiedades de las aplicaciones lineales cuyas pruebas son tan fáciles que las omitimos; se supone que y : ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ ${\textstyle A\subset X}$ ${\textstyle B\subset Y}$
   1. ${\textstyle \Lambda 0=0.}$
   2. Si A es un subespacio (o un conjunto convexo , o un conjunto equilibrado ), lo mismo ocurre con ${\textstyle \Lambda (A)}$
   3. Si B es un subespacio (o un conjunto convexo, o un conjunto equilibrado), lo mismo ocurre con ${\textstyle \Lambda ^{-1}(B)}$
   4. En particular, el conjunto:
      $${\displaystyle \Lambda ^{-1}(\{0\})=\{\mathbf {x} \in X:\Lambda \mathbf {x} =0\}={N}(\Lambda )}$$
      es un subespacio de X , llamado espacio nulo de . ${\textstyle \Lambda }$
4. Rudin 1991, pag. 14. Supongamos ahora que X e Y son espacios vectoriales sobre el mismo campo escalar . Se dice que una aplicación es lineal si es para todos y todos los escalares y . Tenga en cuenta que a menudo se escribe , en lugar de , cuando es lineal. ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ ${\textstyle \Lambda (\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} )=\alpha \Lambda \mathbf {x} +\beta \Lambda \mathbf {y} }$ ${\textstyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X}$ ${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle \beta }$ ${\textstyle \Lambda \mathbf {x} }$ ${\textstyle \Lambda (\mathbf {x} )}$ ${\textstyle \Lambda }$
5. Rudin 1976, pag. 206. Se dice que una transformación A de un espacio vectorial X en un espacio vectorial Y es una transformación lineal si: para todos y todos los escalares c . Tenga en cuenta que a menudo se escribe en lugar de si A es lineal. ${\textstyle A\left(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}\right)=A\mathbf {x} _{1}+A\mathbf {x} _{2},\ A(c\mathbf {x} )=cA\mathbf {x} }$ ${\textstyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\in X}$ ${\textstyle A\mathbf {x} }$ ${\textstyle A(\mathbf {x} )}$
6. Rudin 1991, pag. 14. Las asignaciones lineales de X sobre su campo escalar se denominan funcionales lineales .
7. "terminología: ¿Qué significa 'lineal' en álgebra lineal?". Intercambio de pilas de matemáticas . Consultado el 17 de febrero de 2021 .
8. Wilansky 2013, págs. 21-26.
9. Kubrusly 2001, pag. 57.
10. Schechter 1996, págs. 277–280.
11. Rudin 1976, pag. 210 Supongamos que y son bases de espacios vectoriales X e Y , respectivamente. Entonces cada determina un conjunto de números tales que ${\textstyle \left\{\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\right\}}$ ${\textstyle \left\{\mathbf {y} _{1},\ldots ,\mathbf {y} _{m}\right\}}$ ${\textstyle A\in L(X,Y)}$ ${\textstyle a_{i,j}}$
    $${\displaystyle A\mathbf {x} _{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {y} _{i}\quad (1\leq j\leq n).}$$
    Es conveniente representar estos números en una matriz rectangular de m filas yn columnas, llamada matriz de m por n :
    $${\displaystyle [A]={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\ldots &a_{m,n}\end{bmatrix}}}$$
    Observe que las coordenadas del vector (con respecto a la base ) aparecen en la j- ^ésima columna de . Por lo tanto, los vectores a veces se denominan vectores columna de . Con esta terminología, el rango de A está abarcado por los vectores columna de . ${\textstyle a_{i,j}}$ ${\textstyle A\mathbf {x} _{j}}$ ${\textstyle \{\mathbf {y} _{1},\ldots ,\mathbf {y} _{m}\}}$ ${\textstyle [A]}$ ${\textstyle A\mathbf {x} _{j}}$ ${\textstyle [A]}$ ${\textstyle [A]}$
12. Axler (2015) pág. 52, § 3.3
13. Tu (2011), pág. 19, § 3.1
14. Horn & Johnson 2013, 0.2.3 Espacios vectoriales asociados a una matriz o transformación lineal, p. 6
15. Katznelson y Katznelson (2008) p. 52, § 2.5.1
16. Halmos (1974) pág. 90, artículo 50
17. Nistor, Victor (2001) [1994], "Teoría del índice", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press: "La cuestión principal en la teoría de índices es proporcionar fórmulas de índices para las clases de operadores de Fredholm... La teoría de índices se ha convertido en un tema por sí solo sólo después de que MF Atiyah y I. Singer publicaran sus teoremas de índices"
18. Rudin 1991, pag. 15 1.18 Teorema Sea un funcional lineal en un espacio vectorial topológico X . Supongamos para algunos . Entonces cada una de las siguientes cuatro propiedades implica las otras tres: ${\textstyle \Lambda }$ ${\textstyle \Lambda \mathbf {x} \neq 0}$ ${\textstyle \mathbf {x} \in X}$
    1. ${\textstyle \Lambda }$es continuo
    2. El espacio nulo está cerrado. ${\textstyle N(\Lambda )}$
    3. ${\textstyle N(\Lambda )}$no es denso en X .
    4. ${\textstyle \Lambda }$está acotado en alguna vecindad V de 0.

1. Se dice que un mapa extiende otro mapa si cuando se define en un punto, también lo es y ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(s)=f(s).}$

Bibliografía

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