En matemáticas , particularmente en teoría de categorías , un morfismo es un mapa que preserva la estructura de una estructura matemática a otra del mismo tipo. La noción de morfismo es recurrente en gran parte de las matemáticas contemporáneas. En la teoría de conjuntos , los morfismos son funciones ; en álgebra lineal , transformaciones lineales ; en teoría de grupos , homomorfismos de grupo ; en análisis y topología , funciones continuas , etc.
En teoría de categorías , el morfismo es una idea muy similar: los objetos matemáticos involucrados no necesitan ser conjuntos, y las relaciones entre ellos pueden ser algo más que mapas, aunque los morfismos entre los objetos de una categoría dada tienen que comportarse de manera similar a los mapas en esa categoría. tienen que admitir una operación asociativa similar a la composición de funciones . Un morfismo en la teoría de categorías es una abstracción de un homomorfismo . [1]
El estudio de los morfismos y de las estructuras (llamadas "objetos") sobre las que se definen es fundamental para la teoría de categorías. Gran parte de la terminología de los morfismos, así como la intuición subyacente a ellos, proviene de categorías concretas , donde los objetos son simplemente conjuntos con alguna estructura adicional , y los morfismos son funciones que preservan la estructura . En la teoría de categorías, los morfismos a veces también se denominan flechas .
Una categoría C consta de dos clases , una de objetos y otra de morfismos . Hay dos objetos que están asociados a cada morfismo, el origen y el destino . Un morfismo f de X a Y es un morfismo con origen X y destino Y ; comúnmente se escribe como f : X → Y o X Y siendo esta última forma más adecuada para diagramas conmutativos .
Para muchas categorías comunes, los objetos son conjuntos (a menudo con alguna estructura adicional) y los morfismos son funciones de un objeto a otro objeto. Por lo tanto, la fuente y el destino de un morfismo a menudo se denominandominio ycodominio respectivamente.
Los morfismos están equipados con una operación binaria parcial , llamada composición . La composición de dos morfismos f y g se define precisamente cuando el objetivo de f es la fuente de g , y se denota g ∘ f (o a veces simplemente gf ). La fuente de g ∘ f es la fuente de f y el objetivo de g ∘ f es el objetivo de g . La composición satisface dos axiomas :
Para una categoría concreta (una categoría en la que los objetos son conjuntos, posiblemente con estructura adicional, y los morfismos son funciones que preservan la estructura), el morfismo de identidad es solo la función de identidad , y la composición es simplemente una composición ordinaria de funciones .
La composición de los morfismos suele representarse mediante un diagrama conmutativo . Por ejemplo,
La colección de todos los morfismos de X a Y se denota Hom C ( X , Y ) o simplemente Hom( X , Y ) y se denomina conjunto hom entre X e Y. Algunos autores escriben Mor C ( X , Y ) , Mor( X , Y ) o C( X , Y ) . El término hom-set es un nombre poco apropiado, ya que no es necesario que la colección de morfismos sea un conjunto; una categoría donde Hom( X , Y ) es un conjunto para todos los objetos X e Y se llama localmente pequeña . Debido a que los hom-sets pueden no ser conjuntos, algunas personas prefieren utilizar el término "hom-class".
De hecho, el dominio y el codominio son parte de la información que determina un morfismo. Por ejemplo, en la categoría de conjuntos , donde los morfismos son funciones, dos funciones pueden ser idénticas como conjuntos de pares ordenados (pueden tener el mismo rango ), aunque tengan codominios diferentes. Las dos funciones son distintas desde el punto de vista de la teoría de categorías. Por lo tanto, muchos autores requieren que las clases hom Hom( X , Y ) sean disjuntas . En la práctica, esto no es un problema porque si esta disjunción no se cumple, se puede asegurar agregando el dominio y el codominio a los morfismos (digamos, como el segundo y tercer componente de un triple ordenado).
Un morfismo f : X → Y se llama monomorfismo si f ∘ g 1 = f ∘ g 2 implica g 1 = g 2 para todos los morfismos g 1 , g 2 : Z → X . Un monomorfismo puede denominarse mono para abreviar y podemos usar monic como adjetivo. [2] Un morfismo f tiene un inverso izquierdo o es un monomorfismo dividido si hay un morfismo g : Y → X tal que g ∘ f = id X . Así f ∘ g : Y → Y es idempotente ; es decir, ( f ∘ g ) 2 = f ∘ ( g ∘ f ) ∘ g = f ∘ g . La inversa izquierda g también se llama retracción de f . [2]
Los morfismos con inversas izquierdas son siempre monomorfismos, pero lo contrario no es cierto en general; un monomorfismo puede no tener una inversa izquierda. En categorías concretas , una función que tiene inversa izquierda es inyectiva . Así, en categorías concretas, los monomorfismos son a menudo, pero no siempre, inyectivos. La condición de ser una inyección es más fuerte que la de ser un monomorfismo, pero más débil que la de ser un monomorfismo dividido.
De manera dual a los monomorfismos, un morfismo f : X → Y se llama epimorfismo si g 1 ∘ f = g 2 ∘ f implica g 1 = g 2 para todos los morfismos g 1 , g 2 : Y → Z . Un epimorfismo se puede llamar epi para abreviar y podemos usar épico como adjetivo. [2] Un morfismo f tiene un inverso recto o es un epimorfismo dividido si hay un morfismo g : Y → X tal que f ∘ g = id Y . La inversa derecha g también se llama sección de f . [2] Los morfismos que tienen un inverso derecho son siempre epimorfismos, pero lo contrario no es cierto en general, ya que un epimorfismo puede no tener un inverso derecho.
Si un monomorfismo f se divide con la inversa izquierda g , entonces g es un epimorfismo dividido con la inversa derecha f . En categorías concretas , una función que tiene inversa derecha es sobreyectiva . Así, en categorías concretas, los epimorfismos son a menudo, pero no siempre, sobreyectivos. La condición de ser una sobreyección es más fuerte que la de ser un epimorfismo, pero más débil que la de ser un epimorfismo dividido. En la categoría de conjuntos , la afirmación de que toda sobreyección tiene una sección equivale al axioma de elección .
Un morfismo que es a la vez epimorfismo y monomorfismo se llama bimorfismo .
Un morfismo f : X → Y se llama isomorfismo si existe un morfismo g : Y → X tal que f ∘ g = id Y y g ∘ f = id X . Si un morfismo tiene inversa a la izquierda y a la derecha, entonces las dos inversas son iguales, por lo que f es un isomorfismo y g se llama simplemente la inversa de f . Los morfismos inversos, si existen, son únicos. La inversa g también es un isomorfismo, con inversa f . Se dice que dos objetos con un isomorfismo entre ellos son isomorfos o equivalentes.
Si bien todo isomorfismo es un bimorfismo, un bimorfismo no es necesariamente un isomorfismo. Por ejemplo, en la categoría de anillos conmutativos la inclusión Z → Q es un bimorfismo que no es un isomorfismo. Sin embargo, cualquier morfismo que sea a la vez epimorfismo y monomorfismo dividido , o monomorfismo y epimorfismo dividido , debe ser un isomorfismo. Una categoría, como un Conjunto , en la que cada bimorfismo es un isomorfismo se conoce como categoría equilibrada .
Un morfismo f : X → X (es decir, un morfismo con fuente y destino idénticos) es un endomorfismo de X . Un endomorfismo dividido es un endomorfismo idempotente f si f admite una descomposición f = h ∘ g con g ∘ h = id . En particular, la envoltura Karoubi de una categoría divide cada morfismo idempotente.
Un automorfismo es un morfismo que es a la vez endomorfismo e isomorfismo. En cada categoría, los automorfismos de un objeto siempre forman un grupo , llamado grupo de automorfismos del objeto.
Para obtener más ejemplos, consulte Teoría de categorías .