Automorphism group

Grupo matemático formado a partir de los automorfismos de un objeto.

In mathematics, the automorphism group of an object X is the group consisting of automorphisms of X under composition of morphisms. For example, if X is a finite-dimensional vector space, then the automorphism group of X is the group of invertible linear transformations from X to itself (the general linear group of X). If instead X is a group, then its automorphism group ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ is the group consisting of all group automorphisms of X.

Especially in geometric contexts, an automorphism group is also called a symmetry group. A subgroup of an automorphism group is sometimes called a transformation group.

Automorphism groups are studied in a general way in the field of category theory.

Examples

If X is a set with no additional structure, then any bijection from X to itself is an automorphism, and hence the automorphism group of X in this case is precisely the symmetric group of X. If the set X has additional structure, then it may be the case that not all bijections on the set preserve this structure, in which case the automorphism group will be a subgroup of the symmetric group on X. Some examples of this include the following:

• The automorphism group of a field extension ${\displaystyle L/K}$ is the group consisting of field automorphisms of L that fix K. If the field extension is Galois, the automorphism group is called the Galois group of the field extension.
• The automorphism group of the projective n-space over a field k is the projective linear group ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$^[1]
• The automorphism group ${\displaystyle G}$ of a finite cyclic group of order n is isomorphic to ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$, the multiplicative group of integers modulo n, with the isomorphism given by ${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$.^[2] In particular, ${\displaystyle G}$ is an abelian group.
• El grupo de automorfismo de un álgebra de Lie real de dimensión finita tiene la estructura de un grupo de Lie (real) (de hecho, es incluso un grupo algebraico lineal : ver más abajo). Si G es un grupo de Lie con álgebra de Lie , entonces el grupo de automorfismo de G tiene una estructura de un grupo de Lie inducida a partir del grupo de automorfismo de . ^{[3] [4] [un]} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si G es un grupo que actúa sobre un conjunto X , la acción equivale a un homomorfismo de grupo de G al grupo de automorfismo de X y viceversa. De hecho, cada acción G izquierda en un conjunto X determina y, a la inversa, cada homomorfismo define una acción por . Esto se extiende al caso en que el conjunto X tiene más estructura que solo un conjunto. Por ejemplo, si X es un espacio vectorial, entonces una acción grupal de G sobre X es una representación grupal del grupo G , representando a G como un grupo de transformaciones lineales (automorfismos) de X ; estas representaciones son el principal objeto de estudio en el campo de la teoría de la representación . ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$ ${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)}$ ${\displaystyle g\cdot x=\varphi (g)x}$

Aquí hay algunos otros datos sobre los grupos de automorfismos:

• Sean dos conjuntos finitos de la misma cardinalidad y el conjunto de todas las biyecciones . Entonces , que es un grupo simétrico (ver arriba), actúa desde la izquierda libre y transitivamente ; es decir, es un torsor para (cf. #En teoría de categorías). ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$
• Sea P un módulo proyectivo generado finitamente sobre un anillo R. Luego hay una incrustación , única hasta los automorfismos internos . ^[5] ${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$

En la teoría de categorías

Los grupos de automorfismo aparecen de forma muy natural en la teoría de categorías .

Si X es un objeto en una categoría, entonces el grupo de automorfismos de X es el grupo que consta de todos los morfismos invertibles de X hacia sí mismo. Es el grupo unitario del endomorfismo monoide de X. (Para ver algunos ejemplos, consulte PROP ).

Si hay objetos en alguna categoría, entonces el conjunto de todos es un torsor izquierdo . En términos prácticos, esto dice que una elección diferente de un punto base de difiere inequívocamente por un elemento de , o que cada elección de un punto base es precisamente una elección de una trivialización del torsor. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$

Si y son objetos en categorías y , y si es un funtor que se asigna a , entonces induce un homomorfismo de grupo , ya que asigna morfismos invertibles a morfismos invertibles. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$

En particular, si G es un grupo visto como una categoría con un solo objeto * o, más generalmente, si G es un grupoide, entonces cada funtor , C una categoría, se denomina acción o representación de G sobre el objeto , o los objetos . Entonces se dice que esos objetos son -objetos (ya que son actuados por ); cf. -objeto . Si es una categoría de módulo como la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, entonces los objetos también se denominan módulos. ${\displaystyle F:G\to C}$ ${\displaystyle F(*)}$ ${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Functor de grupo de automorfismo

Sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo k que esté equipado con alguna estructura algebraica (es decir, M es un álgebra de dimensión finita sobre k ). Puede ser, por ejemplo, un álgebra asociativa o un álgebra de Lie . ${\displaystyle M}$

Ahora, considere k - mapas lineales que preservan la estructura algebraica: forman un subespacio vectorial de . El grupo unitario de es el grupo de automorfismos . Cuando se elige una base en M , es el espacio de matrices cuadradas y es el conjunto cero de algunas ecuaciones polinómicas , y la invertibilidad se describe nuevamente mediante polinomios. Por tanto, es un grupo algebraico lineal sobre k . ${\displaystyle M\to M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

Ahora las extensiones de base aplicadas a la discusión anterior determinan un functor: ^[6] es decir, para cada anillo conmutativo R sobre k , considere los R -maps lineales que preservan la estructura algebraica: denotéelo por . Entonces el grupo unitario del anillo de matriz sobre R es el grupo de automorfismo y es un funtor de grupo : un funtor de la categoría de anillos conmutativos sobre k a la categoría de grupos . Aún mejor, está representado por un esquema (ya que los grupos de automorfismos están definidos por polinomios): este esquema se llama esquema de grupo de automorfismos y se denota por . ${\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ ${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

Sin embargo, en general, es posible que un funtor de grupo de automorfismo no esté representado por un esquema.

Ver también

• Grupo de automorfismo externo
• Estructura de niveles , una técnica para eliminar un grupo de automorfismo
• grupo de holonomía

Notas

1. Primero, si G es simplemente conexo, el grupo de automorfismo de G es el de . En segundo lugar, cada grupo de Lie conectado tiene la forma donde hay un grupo de Lie simplemente conectado y C es un subgrupo central y el grupo de automorfismo de G es el grupo de automorfismo de que conserva C . En tercer lugar, por convención, un grupo de Lie es el segundo contable y tiene, como mucho, muchos componentes conectados; así, el caso general se reduce al caso conexo. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}/C}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$

Citas

1. Hartshorne 1977, cap. II, Ejemplo 7.1.1.
2. Dummit y Foote 2004, § 2.3. Ejercicio 26.
3. Hochschild, G. (1952). "El grupo de automorfismo de un grupo de mentiras". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 72 (2): 209–216. JSTOR  1990752.
4. Fulton y Harris 1991, ejercicio 8.28.
5. Milnor 1971, Lema 3.2.
6. Waterhouse 2012, § 7.6.

Referencias

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). Wiley . ISBN 978-0-471-43334-7.
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Milnor, John Willard (1971). Introducción a la teoría K algebraica. Anales de estudios de matemáticas. vol. 72. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 9780691081014. SEÑOR  0349811. Zbl  0237.18005.
• Waterhouse, William C. (2012) [1979]. Introducción a los esquemas de grupos afines. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 66. Springer Verlag. ISBN 9781461262176.

enlaces externos

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme