Módulo (matemáticas)

En matemáticas , un módulo es una generalización de la noción de espacio vectorial en la que el campo de los escalares se reemplaza por un anillo . El concepto de módulo también generaliza la noción de grupo abeliano , ya que los grupos abelianos son exactamente los módulos sobre el anillo de números enteros .

Al igual que un espacio vectorial, un módulo es un grupo abeliano aditivo, y la multiplicación escalar es distributiva sobre las operaciones de suma entre elementos del anillo o módulo y es compatible con la multiplicación de anillos.

Los módulos están muy relacionados con la teoría de la representación de grupos . También son una de las nociones centrales del álgebra conmutativa y del álgebra homológica , y se utilizan ampliamente en geometría algebraica y topología algebraica .

Introducción y definición

Motivación

En un espacio vectorial, el conjunto de escalares es un campo y actúa sobre los vectores mediante multiplicación escalar, sujeto a ciertos axiomas como la ley distributiva . En un módulo, los escalares sólo necesitan ser un anillo , por lo que el concepto de módulo representa una generalización significativa. En álgebra conmutativa, tanto los ideales como los anillos de cocientes son módulos, de modo que muchos argumentos sobre ideales o anillos de cocientes se pueden combinar en un solo argumento sobre módulos. En álgebra no conmutativa, la distinción entre ideales de izquierda, ideales y módulos se vuelve más pronunciada, aunque algunas condiciones de la teoría de anillos se pueden expresar sobre ideales de izquierda o módulos de izquierda.

Gran parte de la teoría de módulos consiste en extender tantas propiedades deseables de los espacios vectoriales como sea posible al ámbito de los módulos sobre un anillo " con buen comportamiento ", como un dominio ideal principal . Sin embargo, los módulos pueden ser bastante más complicados que los espacios vectoriales; por ejemplo, no todos los módulos tienen una base , e incluso para aquellos que la tienen ( módulos libres ) el número de elementos en una base no tiene por qué ser el mismo para todas las bases (es decir, es posible que no tengan un rango único ) si el anillo subyacente no satisface la condición del número de base invariante , a diferencia de los espacios vectoriales, que siempre tienen una base (posiblemente infinita) cuya cardinalidad es entonces única. (Estas dos últimas afirmaciones requieren el axioma de elección en general, pero no en el caso de espacios vectoriales de dimensión finita , o de ciertos espacios vectoriales de dimensión infinita que se comportan bien, como los espacios L p ).

Definicion formal

Supongamos que R es un anillo y 1 es su identidad multiplicativa. Un módulo R izquierdo M consta de un grupo abeliano ( M , +) y una operación · : R × M → M tal que para todos los r , s en R y x , y en M , tenemos

$r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y$ ,
$(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x$ ,
$(rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)$ ,
$1\cdot x=x.$

La operación · se llama multiplicación escalar . A menudo se omite el símbolo ·, pero en este artículo lo usamos y reservamos la yuxtaposición para la multiplicación en R. Se puede escribir _R M para enfatizar que M es un módulo R izquierdo . Un módulo R derecho M _R se define de manera similar en términos de una operación · : M × R → M .

Los autores que no exigen que los anillos sean unitarios omiten la condición 4 en la definición anterior; llamarían a las estructuras definidas anteriormente " módulos R unitarios izquierdos ". En este artículo, de acuerdo con el glosario de teoría de anillos , se supone que todos los anillos y módulos son unitarios. ^[1]

Un bimódulo ( R , S ) es un grupo abeliano junto con una multiplicación escalar izquierda · por elementos de R y una multiplicación escalar derecha ∗ por elementos de S , lo que lo convierte simultáneamente en un módulo R izquierdo y un módulo S derecho , satisfaciendo la condición adicional ( r · x ) ∗ s = r ⋅ ( x ∗ s ) para todo r en R , x en M y s en S .

Si R es conmutativo , entonces los módulos R izquierdos son iguales que los módulos R derechos y simplemente se denominan módulos R.

Ejemplos

Si K es un campo , entonces K - espacios vectoriales (espacios vectoriales sobre K ) y K -módulos son idénticos.
Si K es un campo y K [ x ] un anillo polinómico univariado , entonces un módulo K [ x ] M es un módulo K con una acción adicional de x sobre M por un homomorfismo de grupo que conmuta con la acción de K sobre M M. En otras palabras, un módulo K [ x ] es un espacio vectorial K M combinado con un mapa lineal de M a M . La aplicación del teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal a este ejemplo muestra la existencia de las formas racional y canónica de Jordan .
El concepto de módulo Z concuerda con la noción de grupo abeliano. Es decir, cada grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de números enteros Z de forma única. Para n > 0 , sea n ⋅ x = x + x + ... + x ( n sumandos), 0 ⋅ x = 0 y (− n ) ⋅ x = −( n ⋅ x ) . Un módulo de este tipo no necesita tener una base ; los grupos que contienen elementos de torsión no la tienen. (Por ejemplo, en el grupo de números enteros módulo 3, no se puede encontrar ni siquiera un elemento que satisfaga la definición de un conjunto linealmente independiente , ya que cuando un número entero como 3 o 6 multiplica un elemento, el resultado es 0. Sin embargo, si un El campo finito se considera como un módulo sobre el mismo campo finito tomado como anillo, es un espacio vectorial y tiene una base).
Las fracciones decimales (incluidas las negativas) forman un módulo sobre los números enteros. Solo los singleton son conjuntos linealmente independientes, pero no hay ningún singleton que pueda servir como base, por lo que el módulo no tiene base ni rango.
Si R es cualquier anillo y n es un número natural , entonces el producto cartesiano R ⁿ es un módulo R izquierdo y derecho sobre R si utilizamos las operaciones por componentes. Por lo tanto, cuando n = 1 , R es un R -módulo, donde la multiplicación escalar es solo una multiplicación en anillo. El caso n = 0 produce el módulo R trivial {0} que consta únicamente de su elemento identidad. Los módulos de este tipo se denominan libres y si R tiene un número de base invariante (por ejemplo, cualquier anillo o campo conmutativo), el número n es entonces el rango del módulo libre.
Si M _n ( R ) es el anillo de matrices n × n sobre un anillo R , M es un módulo M _n ( R ) y e _i es la matriz n × n con 1 en la entrada ( i , i ) (y ceros en otros lugares), entonces e _i M es un R -módulo, ya que re _i m = e _i rm ∈ e _i M . Entonces M se descompone como la suma directa de R -módulos, M = e ₁M ⊕ ... ⊕ e _n M . Por el contrario, dado un módulo R M ₀ , entonces M ₀^⊕ⁿ es un módulo M _n ( R ). De hecho, la categoría de módulos R y la categoría de módulos M _n ( R ) son equivalentes . El caso especial es que el módulo M es simplemente R como un módulo sobre sí mismo, entonces R ⁿ es un módulo M _n ( R ).
Si S es un conjunto no vacío , M es un módulo R izquierdo y M ^S es la colección de todas las funciones f : S → M , entonces con suma y multiplicación escalar en M ^S definida puntualmente por ( f + g ) ( s ) = f ( s ) + g ( s ) y ( rf ) ( s ) = rf ( s ) , M ^S es un módulo R izquierdo . El caso del módulo R derecho es análogo. En particular, si R es conmutativo, entonces la colección de homomorfismos del módulo R h : M → N (ver más abajo) es un módulo R (y de hecho un submódulo de N ^M ).
Si X es una variedad suave , entonces las funciones suaves desde X hasta los números reales forman un anillo C ^∞ ( X ). El conjunto de todos los campos vectoriales suaves definidos en X forman un módulo sobre C ^∞ ( X ), al igual que los campos tensoriales y las formas diferenciales en X . De manera más general, las secciones de cualquier paquete de vectores forman un módulo proyectivo sobre C ^∞ ( X ), y según el teorema de Swan , cada módulo proyectivo es isomorfo al módulo de secciones de algún paquete de vectores; la categoría de módulos C ^∞ ( X ) y la categoría de paquetes de vectores sobre X son equivalentes .
Si R es cualquier anillo e I es cualquier ideal izquierdo en R , entonces I es un módulo R izquierdo y, de manera análoga, los ideales derechos en R son módulos R derechos.
Si R es un anillo, podemos definir el anillo opuesto R ^op , que tiene el mismo conjunto subyacente y la misma operación de suma, pero la multiplicación opuesta: si ab = c en R , entonces ba = c en R ^op . Cualquier módulo R izquierdo M puede verse entonces como un módulo derecho sobre R ^op , y cualquier módulo derecho sobre R puede considerarse un módulo izquierdo sobre R ^op .
Los módulos sobre un álgebra de Lie son módulos (álgebra asociativa) sobre su álgebra envolvente universal .
Si R y S son anillos con un homomorfismo de anillo φ : R → S , entonces cada módulo S M es un módulo R al definir rm = φ ( r ) m . En particular, el propio S es un módulo R.

Submódulos y homomorfismos.

Supongamos que M es un módulo R izquierdo y N es un subgrupo de M. Entonces N es un submódulo (o más explícitamente un R -submódulo) si para cualquier n en N y cualquier r en R , el producto r ⋅ n (o n ⋅ r para un R -módulo derecho) está en N .

Si X es cualquier subconjunto de un módulo R M , entonces el submódulo abarcado por X se define como donde N pasa por los submódulos de M que contienen X , o explícitamente , lo cual es importante en la definición de productos tensoriales de módulos . ^[2] ${\textstyle \langle X\rangle =\,\bigcap _{N\supseteq X}N}$ ${\textstyle \left\{\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}\mid r_{i}\in R,x_{i}\in X\right\}}$

El conjunto de submódulos de un módulo dado M , junto con las dos operaciones binarias + (el módulo abarcado por la unión de los argumentos) y ∩, forma una red que satisface la ley modular : Dados los submódulos U , N ₁ , N ₂ de M tal que N ₁ ⊆ N ₂ , entonces los siguientes dos submódulos son iguales: ( N ₁ + U ) ∩ N ₂ = N ₁ + ( U ∩ N ₂ ) .

Si M y N son R -módulos, entonces un mapa f : M → N es un homomorfismo de R -módulos si para cualquier m , n en M y r , s en R ,

f(r\cdot m+s\cdot n)=r\cdot f(m)+s\cdot f(n)

Esto, como cualquier homomorfismo de objetos matemáticos, es sólo un mapeo que preserva la estructura de los objetos. Otro nombre para un homomorfismo de R -módulos es un mapa R - lineal .

Un homomorfismo de módulo biyectivo f : M → N se llama isomorfismo de módulo , y los dos módulos M y N se llaman isomorfos . Dos módulos isomórficos son idénticos a todos los efectos prácticos y se diferencian únicamente en la notación de sus elementos.

El núcleo de un homomorfismo de módulo f : M → N es el submódulo de M que consta de todos los elementos que son enviados a cero por f , y la imagen de f es el submódulo de N que consta de valores f ( m ) para todos los elementos m de M. ^[3] Los teoremas de isomorfismo conocidos de grupos y espacios vectoriales también son válidos para R -módulos.

Dado un anillo R , el conjunto de todos los R -módulos izquierdos junto con sus homomorfismos de módulo forma una categoría abeliana , denotada por R - Mod (ver categoría de módulos ).

Tipos de módulos

Generado finitamente: Un R -módulo M se genera de forma finita si existen un número finito de elementos x ₁ , ..., x _n en M tales que cada elemento de M es una combinación lineal de aquellos elementos con coeficientes del anillo R .
Cíclico: Un módulo se llama módulo cíclico si es generado por un elemento.
Gratis: Un módulo R libre es un módulo que tiene una base, o equivalentemente, una que es isomorfa a una suma directa de copias del anillo R. Estos son los módulos que se comportan de manera muy parecida a los espacios vectoriales.
Descriptivo: Los módulos proyectivos son sumandos directos de módulos libres y comparten muchas de sus propiedades deseables.
inyectivo: Los módulos inyectivos se definen de manera dual a los módulos proyectivos.
Departamento: Un módulo se llama plano si al tomar su producto tensorial con cualquier secuencia exacta de R -módulos se conserva la exactitud.
Sin torsión: Un módulo se llama sin torsión si se integra en su dual algebraico .
Simple: Un módulo simple S es un módulo que no es {0} y cuyos únicos submódulos son {0} y S. Los módulos simples a veces se denominan irreducibles . ^[4]
semisimple: Un módulo semisimple es una suma directa (finita o no) de módulos simples. Históricamente estos módulos también se denominan completamente reducibles .
indescomponible: Un módulo indescomponible es un módulo distinto de cero que no se puede escribir como una suma directa de dos submódulos distintos de cero. Todo módulo simple es indescomponible, pero hay módulos indescomponibles que no son simples (por ejemplo, módulos uniformes ).
Fiel: Un módulo fiel M es aquel en el que la acción de cada r ≠ 0 en R sobre M no es trivial (es decir, r ⋅ x ≠ 0 para algún x en M ). De manera equivalente, el aniquilador de M es el ideal cero .
Sin torsión: Un módulo libre de torsión es un módulo sobre un anillo tal que 0 es el único elemento aniquilado por un elemento regular (no divisor de cero ) del anillo, de manera equivalente, rm = 0 implica r = 0 o m = 0 .
noetheriano: Un módulo noetheriano es un módulo que satisface la condición de cadena ascendente en submódulos, es decir, cada cadena creciente de submódulos se vuelve estacionaria después de un número finito de pasos. De manera equivalente, cada submódulo se genera de forma finita.
artiniano: Un módulo artiniano es un módulo que satisface la condición de cadena descendente en submódulos, es decir, cada cadena decreciente de submódulos se vuelve estacionaria después de un número finito de pasos.
Calificado: Un módulo graduado es un módulo con una descomposición como suma directa M = ⨁ _x M _x sobre un anillo graduado R = ⨁ _x R _x tal que R _x M _y ⊆ M _{x + y} para todos x e y .
Uniforme: Un módulo uniforme es un módulo en el que todos los pares de submódulos distintos de cero tienen una intersección distinta de cero.

Otras nociones

Relación con la teoría de la representación

Una representación de un grupo G sobre un campo k es un módulo sobre el anillo del grupo k [ G ].

Si M es un módulo R izquierdo , entonces la acción de un elemento r en R se define como el mapa M → M que envía cada x a rx (o xr en el caso de un módulo derecho), y es necesariamente un grupo endomorfismo del grupo abeliano ( M ,+) . El conjunto de todos los endomorfismos de grupo de M se denota como extremo _Z ( M ) y forma un anillo bajo suma y composición , y enviar un elemento de anillo r de R a su acción en realidad define un homomorfismo de anillo desde R hasta el extremo _Z ( M ).

Tal homomorfismo de anillo R → Fin _Z ( M ) se denomina representación de R sobre el grupo abeliano M ; Una forma alternativa y equivalente de definir R -módulos izquierdos es decir que un R -módulo izquierdo es un grupo abeliano M junto con una representación de R sobre él. Tal representación R → End _Z ( M ) también puede denominarse acción anular de R sobre M .

Una representación se llama fiel si y sólo si el morfismo R → Fin _Z ( M ) es inyectivo . En términos de módulos, esto significa que si r es un elemento de R tal que rx = 0 para todo x en M , entonces r = 0 . Cada grupo abeliano es un módulo fiel sobre los números enteros o sobre algún anillo de números enteros módulo n , Z / n Z.

Generalizaciones

Un anillo R corresponde a una categoría preaditiva R con un solo objeto . Con este entendimiento, un módulo R izquierdo es solo un funtor aditivo covariante de R a la categoría Ab de grupos abelianos , y los módulos R derechos son funtores aditivos contravariantes. Esto sugiere que, si C es una categoría preaditiva, un functor aditivo covariante de C a Ab debe considerarse un módulo izquierdo generalizado sobre C. Estos functores forman una categoría de funtor C - Mod , que es la generalización natural de la categoría de módulo R - Mod .

Los módulos sobre anillos conmutativos se pueden generalizar en una dirección diferente: tome un espacio anillado ( X , O _X ) y considere los haces de módulos O _X (ver haz de módulos ). Estos forman una categoría O _X - Mod y juegan un papel importante en la geometría algebraica moderna . Si X tiene un solo punto, entonces se trata de una categoría de módulo en el sentido antiguo sobre el anillo conmutativo O _X ( X ).

También se pueden considerar módulos sobre un semianillo . Los módulos sobre anillos son grupos abelianos, pero los módulos sobre semianillos son solo monoides conmutativos . La mayoría de las aplicaciones de los módulos todavía son posibles. En particular, para cualquier semianillo S , las matrices sobre S forman un semianillo sobre el cual las tuplas de elementos de S son un módulo (solo en este sentido generalizado). Esto permite una mayor generalización del concepto de espacio vectorial incorporando los semianillos de la informática teórica.

Sobre anillos cercanos , se pueden considerar módulos de anillos cercanos, una generalización no abeliana de módulos. ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

Notas

^ Dummit, David S. y Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta . Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-43334-7.
^ Mcgerty, Kevin (2016). «ÁLGEBRA II: ANILLOS Y MÓDULOS» (PDF) .
^ Ceniza, Robert. "Fundamentos del módulo" (PDF) . Álgebra abstracta: el año básico de posgrado .
^ Jacobson (1964), pág. 4, def. 1

Referencias

FW Anderson y KR Fuller: Anillos y categorías de módulos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 13, 2.ª edición, Springer-Verlag, Nueva York, 1992, ISBN 0-387-97845-3 , ISBN 3-540-97845-3
Nathan Jacobson . Estructura de anillos . Publicaciones del coloquio, vol. 37, 2.a edición, Librería AMS, 1964, ISBN 978-0-8218-1037-8

enlaces externos

"Módulo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
módulo en el n Lab