semirremolque

Anillo algebraico que no necesita tener elementos negativos aditivos

En álgebra abstracta , un semianillo es una estructura algebraica . Es una generalización de un anillo , eliminando el requisito de que cada elemento debe tener un inverso aditivo . Al mismo tiempo, es una generalización de redes distributivas acotadas .

El semianillo más pequeño que no es un anillo es el álgebra booleana de dos elementos , por ejemplo con disyunción lógica como suma. Un ejemplo motivador que no es ni anillo ni retículo es el conjunto de números naturales bajo suma y multiplicación ordinaria, cuando se incluye el número cero. Los semirings son abundantes, porque surge una operación de multiplicación adecuada como composición funcional de endomorfismos sobre cualquier monoide conmutativo . ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

La teoría de álgebras (asociativas) sobre anillos conmutativos se puede generalizar a una sobre semianillos conmutativos. ^{[ cita necesaria ]}

Terminología

Algunos autores llaman semirredondo a la estructura sin necesidad de que exista una o . Esto hace que la analogía entre anillo y semianillo , por un lado, y grupo y semigrupo, por otro, funcione con mayor fluidez. Estos autores suelen utilizar rig para el concepto definido aquí. ^{[1] [a]} Esto se originó como una broma, sugiriendo que las plataformas son anillos sin elementos negativos . (Y esto es similar a usar rng para significar ar i n sin una identidad multiplicativa ) . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

El término dioide (para "monoide doble") se ha utilizado para referirse a semianillos u otras estructuras. Fue utilizado por Kuntzman en 1972 para indicar un semianillo. ^[2] (A veces se utiliza alternativamente para semirings ordenados de forma natural ^{[3] , pero} Baccelli et al. también utilizaron el término para subgrupos idempotentes en 1992. ^[4] )

Definición

Un semiring es un conjunto equipado con dos operaciones binarias y llamado suma y multiplicación, tal que: ^{[5] [6] [7]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cdot ,}$

• ${\displaystyle (R,+)}$es un monoide con elemento de identidad llamado : ${\displaystyle 0}$
  • ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
  • ${\displaystyle 0+a=a}$
  • ${\displaystyle a+0=a}$
• ${\displaystyle (R,\,\cdot \,)}$es un monoide con elemento de identidad llamado : ${\displaystyle 1}$
  • ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
  • ${\displaystyle 1\cdot a=a}$
  • ${\displaystyle a\cdot 1=a}$
• La suma es conmutativa :
  • ${\displaystyle a+b=b+a}$

Dicho explícitamente, es un monoide conmutativo. Además, los siguientes axiomas se relacionan con ambas operaciones: ${\displaystyle (R,+)}$

• A través de la multiplicación, cualquier elemento es aniquilado por la izquierda y por la derecha por la identidad aditiva:
  • ${\displaystyle 0\cdot a=0}$
  • ${\displaystyle a\cdot 0=0}$
• La multiplicación a izquierda y derecha se distribuye sobre la suma:
  • ${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$
  • ${\displaystyle (b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)}$

Notación

El símbolo suele omitirse en la notación; es decir, simplemente está escrito ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle ab.}$

De igual forma, es convencional un orden de operaciones , en el que se aplica antes . Es decir, denota . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle a+b\cdot c}$ ${\displaystyle a+(b\cdot c)}$

Para eliminar la ambiguación, se puede escribir o enfatizar a qué estructura pertenecen las unidades en cuestión. ${\displaystyle 0_{R}}$ ${\displaystyle 1_{R}}$

Si es un elemento de un semiring y , entonces la multiplicación repetida de por sí mismo se denota , y se escribe de manera similar para la suma repetida de veces. ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle x\,n:=x+x+\cdots +x}$ ${\displaystyle n}$

Construcción de nuevos semirrenos.

El anillo cero con el conjunto subyacente también es un semianillo, llamado semianillo trivial. Esta trivialidad puede caracterizarse y, por lo tanto, a menudo se asume silenciosamente como si fuera un axioma adicional. Ahora bien, dado cualquier semirreloj, hay varias formas de definir otros nuevos. ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle 0=1}$ ${\displaystyle 0\neq 1}$

Como se ha señalado, los números naturales con su estructura aritmética forman un semianillo. El conjunto dotado de las operaciones heredadas de un semiring , es siempre un subsemiring de . ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{x\in R\mid x=0_{R}\lor \exists p.x=p+1_{R}\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Si es un monoide conmutativo, la composición de funciones proporciona la multiplicación para formar un semianillo: el conjunto de endomorfismos forma un semianillo, donde la suma se define a partir de la suma puntual en . El morfismo cero y la identidad son los respectivos elementos neutros. Si con un semiring, obtenemos un semiring que se puede asociar con las matrices cuadradas con coeficientes en , el semiring de matriz usando reglas ordinarias de suma y multiplicación de matrices. Aún más abstractamente, dado y un semicírculo, siempre es también un semicírculo. Generalmente es no conmutativo incluso si fuera conmutativo. ${\displaystyle (M,+)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ ${\displaystyle M\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=R^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ ${\displaystyle R}$

Extensiones de Dorroh : si es un semiring, entonces con la suma y multiplicación puntual dada por define otro semiring con unidad multiplicativa . De manera muy similar, si hay algún subsemiring de , también se puede definir un semiring en , simplemente reemplazando la suma repetida en la fórmula por multiplicación. De hecho, estas construcciones funcionan incluso en condiciones más flexibles, ya que en realidad no es necesario que la estructura tenga una unidad multiplicativa. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\times {\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \langle x,n\rangle \bullet \langle y,m\rangle :=\langle x\cdot y+(x\,m+y\,n),n\cdot m\rangle }$ ${\displaystyle 1_{R\times {\mathbb {N} }}:=\langle 0_{R},1_{\mathbb {N} }\rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\times N}$ ${\displaystyle R}$

Los semirings sin suma cero son, en cierto sentido, los más alejados de ser anillos. Dado un semianillo, se puede añadir un nuevo cero al conjunto subyacente y así obtener un semianillo sin suma de ceros que también carezca de divisores de cero . En particular, ahora el antiguo semirredondo en realidad no es un subsemireado. Se puede entonces ir añadiendo nuevos elementos "encima", uno por uno, respetando siempre el cero. Estas dos estrategias también funcionan en condiciones más flexibles. A veces las notaciones resp. se utilizan al realizar estas construcciones. ${\displaystyle 0'}$ ${\displaystyle 0\cdot 0'=0'}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

Adjuntar de esta manera un nuevo cero al semicírculo trivial da como resultado otro semicírculo que puede expresarse en términos de los conectivos lógicos de disyunción y conjunción: . En consecuencia, este es el semianillo más pequeño que no es un anillo. Explícitamente, viola los axiomas del anillo como para todos , es decir, no tiene inverso aditivo. En la definición auto-dual , la culpa es de . (Esto no debe confundirse con el anillo , cuya suma funciona como xor .) En el modelo de von Neumann de los naturales , y . El semirredondo de dos elementos se puede presentar en términos de la unión teórica del conjunto y la intersección como . Ahora bien, esta estructura constituye todavía un semicírculo cuando es sustituida por cualquier conjunto habitado. ${\displaystyle \langle \{0,1\},+,\cdot ,\langle 0,1\rangle \rangle =\langle \{\bot ,\top \},\lor ,\land ,\langle \bot ,\top \rangle \rangle }$ ${\displaystyle \top \lor P=\top }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \bot \land P=\bot }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \veebar }$ ${\displaystyle 0_{\omega }:=\{\}}$ ${\displaystyle 1_{\omega }:=\{0_{\omega }\}}$ ${\displaystyle 2_{\omega }:=\{0_{\omega },1_{\omega }\}={\mathcal {P}}1_{\omega }}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {P}}1_{\omega },\cup ,\cap ,\langle \{\},1_{\omega }\rangle \rangle }$ ${\displaystyle 1_{\omega }}$

Los ideales en un semiring , con sus operaciones estándar en un subconjunto, forman un semiring ordenado en celosía, simple y sin suma cero. Los ideales de están en biyección con los ideales de . La colección de ideales de izquierda (y también los ideales de derecha) también tiene gran parte de esa estructura algebraica, excepto que no funciona como una identidad multiplicativa de dos lados. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Si es un semiring y es un conjunto habitado , denota el monoide libre y los polinomios formales sobre sus palabras forman otro semiring. Para conjuntos pequeños, los elementos generadores se utilizan convencionalmente para indicar el semiring polinómico. Por ejemplo, en el caso de un singleton tal que , se escribe . Los subsemirings de Zerosumfree se pueden utilizar para determinar los subsemirings de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle R[A^{*}]}$ ${\displaystyle A=\{X\}}$ ${\displaystyle A^{*}=\{\varepsilon ,X,X^{2},X^{3},\dots \}}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[A^{*}]}$

Dado un conjunto , no necesariamente solo un singleton, al lado de un elemento predeterminado al conjunto subyacente a un semiring, se puede definir el semiring de funciones parciales desde hasta . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$

Dada una derivación sobre un semiring , otra " " operación que se cumple puede definirse como parte de una nueva multiplicación sobre , dando como resultado otro semiring. ${\displaystyle {\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle X\bullet y=y\bullet X+{\mathrm {d} }(y)}$ ${\displaystyle R[X]}$

Lo anterior no es de ninguna manera una lista exhaustiva de construcciones sistemáticas.

Derivaciones

Las derivaciones sobre un semiring son los mapas con y . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathrm {d} }\colon R\to R}$ ${\displaystyle {\mathrm {d} }(x+y)={\mathrm {d} }(x)+{\mathrm {d} }(y)}$ ${\displaystyle {\mathrm {d} }(x\cdot y)={\mathrm {d} }(x)\cdot y+x\cdot {\mathrm {d} }(y)}$

Por ejemplo, si es la matriz unitaria y , entonces el subconjunto de dado por las matrices con es un semiring con derivación . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle U={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(R)}$ ${\displaystyle a\,E+b\,U}$ ${\displaystyle a,b\in R}$ ${\displaystyle a\,E+b\,U\mapsto b\,U}$

Propiedades

Una propiedad básica de los semirings es que no es divisor de cero por izquierda o por derecha , y que además es cuadrado consigo mismo, es decir, estos tienen . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u^{2}=u}$

Algunas propiedades notables se heredan de las estructuras monoides: los axiomas monoides exigen la existencia de una unidad, por lo que el conjunto subyacente a un semianillo no puede estar vacío. Además, el predicado 2-ario definido como , aquí definido para la operación de suma, siempre constituye la relación de preorden canónica correcta. La reflexividad es testimoniada por la identidad. Además, siempre es válido, por lo que cero es el elemento mínimo con respecto a este pedido anticipado. Considerándola en particular para la adición conmutativa, la distinción de "derecho" puede ignorarse. En los números enteros no negativos , por ejemplo, esta relación es antisimétrica y fuertemente conectada y, por lo tanto, de hecho es un orden total (no estricto) . ${\displaystyle x\leq _{\text{pre}}y}$ ${\displaystyle \exists d.x+d=y}$ ${\displaystyle y\leq _{\text{pre}}y}$ ${\displaystyle 0\leq _{\text{pre}}y}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

A continuación, se analizan más propiedades condicionales.

Semicampos

Cualquier campo es también un semicampo , que a su vez es un semianillo en el que también existen inversos multiplicativos.

Anillos

Cualquier campo es también un anillo , que a su vez es un semianillo en el que también existen inversos aditivos. Tenga en cuenta que un semianillo omite tal requisito, es decir, requiere sólo un monoide conmutativo , no un grupo conmutativo . El requisito adicional de un anillo ya implica la existencia de un cero multiplicativo. Este contraste es también el motivo por el cual, para la teoría de los semirings, el cero multiplicativo debe especificarse explícitamente.

Aquí , el inverso aditivo de , eleva al cuadrado . Como siempre existen diferencias aditivas en un anillo, es una relación binaria trivial en un anillo. ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d=y-x}$ ${\displaystyle x\leq _{\text{pre}}y}$

Semirrenos conmutativos

Un semiring se llama semiring conmutativo si además la multiplicación es conmutativa. ^[8] Sus axiomas se pueden enunciar de manera concisa: Consta de dos monoides conmutativos y en un conjunto tal que y . ${\displaystyle \langle +,0\rangle }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,1\rangle }$ ${\displaystyle a\cdot 0=0}$ ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

El centro de un semiring es un subsemiring y ser conmutativo equivale a ser su propio centro.

El semiring conmutativo de números naturales es el objeto inicial entre su tipo, lo que significa que hay una estructura única que preserva el mapa de cualquier semiring conmutativo. ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$

Las redes distributivas acotadas son semianillos conmutativos parcialmente ordenados que cumplen ciertas ecuaciones algebraicas relacionadas con la distributividad y la idempotencia. Así también lo son sus duales .

Semirros ordenados

Las nociones de orden se pueden definir mediante formulaciones estrictas, no estrictas o de segundo orden . Propiedades adicionales como la conmutatividad simplifican los axiomas.

Dado un orden total estricto (también llamado a veces orden lineal, o pseudoorden en una formulación constructiva), entonces, por definición, los elementos positivos y negativos cumplen respectivamente. . Por irreflexividad de orden estricto, si es un divisor de cero por la izquierda, entonces es falso. Los elementos no negativos se caracterizan por , que luego se escribe . ${\displaystyle 0<x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\cdot x<s\cdot y}$ ${\displaystyle \neg (x<0)}$ ${\displaystyle 0\leq x}$

Generalmente, el orden total estricto se puede negar para definir un orden parcial asociado. La asimetría del primero se manifiesta como . De hecho, en matemáticas clásicas, este último es un orden total (no estricto) y eso implica . Asimismo, dado cualquier orden total (no estricto), su negación es irreflexiva y transitiva , y esas dos propiedades que se encuentran juntas a veces se denominan cuasiorden estricto. Clásicamente, esto define un orden total estricto; de hecho, el orden total estricto y el orden total pueden definirse en términos mutuos. ${\displaystyle x<y\to x\leq y}$ ${\displaystyle 0\leq x}$ ${\displaystyle x=0\lor 0<x}$

Recuerde que " " definido anteriormente es trivial en cualquier anillo. La existencia de anillos que admiten un orden no trivial ni estricto demuestra que éstos no tienen por qué coincidir necesariamente con " ". ${\displaystyle \leq _{\text{pre}}}$ ${\displaystyle \leq _{\text{pre}}}$

Semirings aditivamente idempotentes

Un semianillo en el que cada elemento es un idempotente aditivo , es decir, para todos los elementos , se llama semianillo (aditivamente) idempotente . ^[9] Establecer basta. Tenga en cuenta que a veces esto se llama simplemente semiring idempotente, independientemente de las reglas de multiplicación. ${\displaystyle x+x=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1+1=1}$

En tal semianillo, es equivalente y siempre constituye un orden parcial, ahora denotado aquí . En particular, aquí . Entonces, los semirings aditivamente idempotentes no tienen suma cero y, de hecho, el único semiring aditivamente idempotente que tiene todos los inversos aditivos es el anillo trivial, por lo que esta propiedad es específica de la teoría de los semirings. La suma y la multiplicación respetan el orden en el sentido de que implica , y además implica así como , para todos y . ${\displaystyle x\leq _{\text{pre}}y}$ ${\displaystyle x+y=y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\leq 0\leftrightarrow x=0}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x+t\leq y+t}$ ${\displaystyle s\cdot x\leq s\cdot y}$ ${\displaystyle x\cdot s\leq y\cdot s}$ ${\displaystyle x,y,t}$ ${\displaystyle s}$

Si es aditivamente idempotente, también lo son los polinomios en . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X^{*}]}$

Un semianillo tal que hay una estructura reticular en su conjunto subyacente está ordenado en red si la suma coincide con el encuentro, y el producto se encuentra debajo de la unión . El semianillo de ideales ordenado en red en un semianillo no es necesariamente distributivo con respecto a la estructura de la red. ${\displaystyle x+y=x\lor y}$ ${\displaystyle x\cdot y\leq x\land y}$

Más estrictamente que simplemente idempotencia aditiva, un semianillo se llama sif simple para todos . Entonces también y para todos . Aquí entonces funciona de manera similar a un elemento aditivamente infinito. Si es un semiring aditivamente idempotente, entonces con las operaciones heredadas es su subsemiring simple. Un ejemplo de un semiring aditivamente idempotente que no es simple es el semiring tropical con la función máxima biaria, con respecto al orden estándar, como suma. Su subsemirización simple es trivial. ${\displaystyle x+1=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1+1=1}$ ${\displaystyle x\leq 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{x\in R\mid x+1=1\}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$

Un semiring c es un semiring idempotente y con suma definida en conjuntos arbitrarios.

Un semiring aditivamente idempotente con multiplicación idempotente , se llama semiring aditiva y multiplicativamente idempotente , pero a veces también simplemente semiring idempotente. Los semirings conmutativos simples con esa propiedad son exactamente las redes distributivas acotadas con elementos mínimos y máximos únicos (que luego son las unidades). Las álgebras de Heyting son semirings y las álgebras de Boole son un caso especial. ${\displaystyle x^{2}=x}$

Además, dadas dos redes distributivas acotadas, hay construcciones que dan como resultado semirings conmutativos aditivamente idempotentes, que son más complicados que la simple suma directa de estructuras.

Rectas numéricas

En un modelo del anillo , se puede definir un predicado de positividad no trivial y un predicado que constituye un orden total estricto, que cumple propiedades como , o clásicamente la ley de la tricotomía . Con su suma y multiplicación estándar, esta estructura forma el campo estrictamente ordenado que es completo de Dedekind . Por definición , todas las propiedades de primer orden probadas en la teoría de los reales también son demostrables en la teoría decidible del campo real cerrado . Por ejemplo, aquí es mutuamente excluyente con . ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle 0<x}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle 0<(y-x)}$ ${\displaystyle \neg (x<0\lor 0<x)\to x=0}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle \exists d.y+d^{2}=x}$

Pero más allá de los campos ordenados, las cuatro propiedades que se enumeran a continuación también siguen siendo válidas en muchos subsemirings de , incluidos los racionales, los números enteros y las partes no negativas de cada una de estas estructuras. En particular, los reales no negativos, los racionales no negativos y los números enteros no negativos son semirings. Las dos primeras propiedades son análogas a la propiedad válida en los semianillos idempotentes: la traslación y el escalamiento respetan estos anillos ordenados , en el sentido de que la suma y la multiplicación en este anillo validan ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$

• ${\displaystyle (x<y)\,\to \,x+t<y+t}$
• ${\displaystyle (x<y\land 0<s)\,\to \,s\cdot x<s\cdot y}$

En particular, la cuadratura de elementos preserva la positividad. ${\displaystyle (0<y\land 0<s)\to 0<s\cdot y}$

Tome nota de dos propiedades más que siempre son válidas en un anillo. En primer lugar, trivialmente para cualquiera . En particular, la existencia de diferencia aditiva positiva se puede expresar como ${\displaystyle P\,\to \,x\leq _{\text{pre}}y}$ ${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle (x<y)\,\to \,x\leq _{\text{pre}}y}$

En segundo lugar, en presencia de un orden tricotómico, los elementos distintos de cero del grupo aditivo se dividen en elementos positivos y negativos, y la operación de inversión se mueve entre ellos. Con , se demuestra que todos los cuadrados no son negativos. En consecuencia, los anillos no triviales tienen una unidad multiplicativa positiva, ${\displaystyle (-1)^{2}=1}$

• ${\displaystyle 0<1}$

Habiendo discutido un orden estricto, se deduce que y , etc. ${\displaystyle 0\neq 1}$ ${\displaystyle 1\neq 1+1}$

Semirros discretamente ordenados

Hay algunas nociones contradictorias de discreción en la teoría del orden. Dado un orden estricto en un semianillo, una de esas nociones viene dada por ser positivo y cubrir , es decir, no haber ningún elemento entre las unidades . Ahora bien, en el presente contexto, un orden se llamará discreto si éste se cumple y, además, todos los elementos del semianillo son no negativos, de modo que el semianillo comienza con las unidades. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \neg (0<x\land x<1)}$

Denotemos por la teoría de un semianillo conmutativo, discretamente ordenado, validando también las cuatro propiedades anteriores que relacionan un orden estricto con la estructura algebraica. Todos sus modelos tienen el modelo como segmento inicial y ya se aplican la incompletitud de Gödel y la indefinibilidad de Tarski . Los elementos no negativos de un anillo conmutativo ordenado discretamente siempre validan los axiomas de . Entonces, los elementos positivos en el anillo polinómico dan un modelo un poco más exótico de la teoría , con el predicado de positividad para definido en términos del último coeficiente distinto de cero, y como anteriormente. Si bien prueba todas las oraciones que son verdaderas sobre , más allá de esta complejidad se pueden encontrar declaraciones simples que son independientes de . Por ejemplo, mientras que las oraciones verdaderas sobre siguen siendo válidas para el otro modelo que acabamos de definir, la inspección del polinomio demuestra la independencia de la afirmación de que todos los números son de la forma o (" pares o impares "). Demostrar que también se puede ordenar discretamente demuestra que la afirmación de distinto de cero ("ningún cuadrado racional es igual ") es independiente. Asimismo, el análisis de demuestra la independencia de algunas afirmaciones sobre factorización verdaderas en . Hay caracterizaciones de primalidad que no validan para el número . ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[X]}$ ${\displaystyle p={\textstyle \sum }_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}$ ${\displaystyle 0<p:=(0<a_{n})}$ ${\displaystyle p<q:=(0<q-p)}$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}}$ ${\displaystyle 2q}$ ${\displaystyle 2q+1}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[X,Y]/(X^{2}-2Y^{2})}$ ${\displaystyle \Pi _{1}}$ ${\displaystyle x^{2}\neq 2y^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[X,Y,Z]/(XZ-Y^{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle 2}$

En el otro sentido, a partir de cualquier modelo de uno se puede construir un anillo ordenado, que luego tiene elementos que son negativos respecto al orden, es decir sigue siendo discreto el sentido que abarca . Para ello se define una clase de equivalencia de pares del semianillo original. A grandes rasgos, el anillo corresponde a las diferencias de elementos de la estructura antigua, generalizando la forma en que se puede definir el anillo inicial . Esto, en efecto, suma todas las inversas y luego el preorden vuelve a ser trivial en ese sentido . ${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \forall x.x\leq _{\text{pre}}0}$

Más allá del tamaño del álgebra de dos elementos, ningún semianillo simple comienza con las unidades. Estar ordenado discretamente también contrasta, por ejemplo, con el ordenamiento estándar en el semicírculo de racionales no negativos , que es denso entre las unidades. Por poner otro ejemplo, se puede ordenar, pero no de forma discreta. ${\displaystyle {\mathbb {Q} }_{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[X]/(2X^{2}-1)}$

Números naturales

${\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}$además la inducción matemática da una teoría equivalente a la aritmética de Peano de primer orden . Es sabido que la teoría tampoco es categórica , pero, por supuesto, es el modelo previsto. demuestra que no hay divisores de cero y que no tiene suma cero, por lo que ningún modelo es un anillo. ${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$

La axiomatización estándar de es más concisa y la teoría de su orden se trata comúnmente en términos del no estricto " ". Sin embargo, simplemente eliminar el potente principio de inducción de esa axiomatización no deja una teoría algebraica viable. De hecho, ni siquiera la aritmética de Robinson , que elimina la inducción pero añade el postulado de existencia predecesor, prueba el axioma monoide . ${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$ ${\displaystyle \leq _{\text{pre}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Q}}}$ ${\displaystyle \forall y.(0+y=y)}$

semirros completos

Un semianillo completo es un semianillo para el cual el monoide aditivo es un monoide completo , lo que significa que tiene una operación de suma infinita para cualquier conjunto de índices y que deben cumplirse las siguientes leyes distributivas (infinitas): ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle \Sigma _{I}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\textstyle \sum }_{i\in I}{\left(a\cdot a_{i}\right)}=a\cdot \left({\textstyle \sum }_{i\in I}{a_{i}}\right),\qquad {\textstyle \sum }_{i\in I}{\left(a_{i}\cdot a\right)}=\left({\textstyle \sum }_{i\in I}{a_{i}}\right)\cdot a.}$

Ejemplos de semianillo completo son el conjunto potencia de un monoide bajo unión y el semianillo matriz sobre un semianillo completo. ^[13] Para semirings conmutativos, aditivamente idempotentes y simples, esta propiedad está relacionada con redes residuales .

Semirros continuos

Un semianillo continuo se define de manera similar como aquel para el cual el monoide de adición es un monoide continuo . Es decir, parcialmente ordenado con la propiedad de menor límite superior , y para el cual la suma y la multiplicación respetan el orden y la supremacía. El semicírculo con suma, multiplicación y orden extendido habituales es un semicírculo continuo. ^[14] ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$

Cualquier semicírculo continuo está completo: ^[10] esto puede tomarse como parte de la definición. ^[13]

Semirros de estrella

Un semiring de estrella (a veces escrito staremiring ) es un semiring con un operador unario adicional , ^{[9] [11] [15] [16]} que satisface ${\displaystyle {}^{*}}$

${\displaystyle a^{*}=1+aa^{*}=1+a^{*}a.}$

Un álgebra de Kleene es un semiring estrella con suma idempotente y algunos axiomas adicionales. Son importantes en la teoría de los lenguajes formales y las expresiones regulares . ^[11]

Semirros de estrella completos

En un semianillo de estrella completo , el operador de estrella se comporta más como la estrella de Kleene habitual : para un semianillo completo utilizamos el operador de suma infinita para dar la definición habitual de la estrella de Kleene: ^[11]

${\displaystyle a^{*}={\textstyle \sum }_{j\geq 0}{a^{j}},}$

dónde

${\displaystyle a^{j}={\begin{cases}1,&j=0,\\a\cdot a^{j-1}=a^{j-1}\cdot a,&j>0.\end{cases}}}$

Tenga en cuenta que los semirings de estrellas no están relacionados con el álgebra * , donde la operación de estrella debería considerarse como una conjugación compleja .

semirremolque de conway

Un semianillo de Conway es un semianillo de estrella que satisface las ecuaciones de suma-estrella y producto-estrella: ^{[9] [17]}

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)^{*}&=\left(a^{*}b\right)^{*}a^{*},\\(ab)^{*}&=1+a(ba)^{*}b.\end{aligned}}}$

Cada semianillo de estrella completo es también un semianillo de Conway, ^[18] pero lo contrario no se cumple. Un ejemplo de semirring de Conway que no está completo es el conjunto de números racionales extendidos no negativos con la suma y multiplicación habituales (esta es una modificación del ejemplo con reales extendidos no negativos dado en esta sección al eliminar los números irracionales). ^[11] Un semiring de iteración es un semiring de Conway que satisface los axiomas del grupo de Conway, ^[9] asociado por John Conway a grupos en semirings de estrellas. ^[19] ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\geq 0}\cup \{\infty \}}$

Ejemplos

• Por definición, cualquier anillo y cualquier semicampo es también un semianillo.
• Los elementos no negativos de un anillo conmutativo ordenado discretamente forman un semianillo conmutativo ordenado discretamente (en el sentido definido anteriormente). Esto incluye los números enteros no negativos . ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• También los números racionales no negativos y los números reales no negativos forman semianillos ordenados y conmutativos. ^{[20] [21] [22]} Este último se llamasemirredondo de probabilidad . ^[6]Tampoco lo son los anillos ni las celosías distributivas. Estos ejemplos también tienen inversos multiplicativos.
• Si es necesario, se pueden construir nuevos semirrenos a partir de los ya existentes, como se describe. Los números naturales extendidos con suma y multiplicación se extendieron de modo que . ^[21] ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty =0}$
• El conjunto de polinomios con coeficientes de números naturales, denotado, forma un semianillo conmutativo. De hecho, este es el semianillo conmutativo libre en un solo generador. También se pueden definir polinomios con coeficientes en otros semianillos, como se explicó. ${\displaystyle \mathbb {N} [x],}$ ${\displaystyle \{x\}.}$
• Las fracciones terminantes no negativas , en un sistema numérico posicional con una base dada , forman una subsemiring de los racionales. Uno tiene ‍ si divide . Para , el conjunto es el anillo de todas las fracciones que terminan en la base y es denso en . ${\displaystyle {\tfrac {\mathbb {N} }{b^{\mathbb {N} }}}:=\left\{mb^{-n}\mid m,n\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\tfrac {\mathbb {N} }{b^{\mathbb {N} }}}\subseteq {\tfrac {\mathbb {N} }{c^{\mathbb {N} }}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |b|>1}$ ${\displaystyle {\tfrac {\mathbb {Z} _{0}}{b^{\mathbb {Z} _{0}}}}:={\tfrac {\mathbb {N} }{b^{\mathbb {N} }}}\cup \left(-{\tfrac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} }}}\right)}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• El logaritmo semicircular con la suma dada por la multiplicación del elemento cero y el elemento unitario ^[6] ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ ${\displaystyle x\oplus y=-\log \left(e^{-x}+e^{-y}\right)}$ ${\displaystyle +,}$ ${\displaystyle +\infty ,}$ ${\displaystyle 0.}$

De manera similar, en presencia de un orden apropiado con elemento inferior,

• Los semirrenos tropicales se definen de diversas formas. El semiring max-plus es un semiring conmutativo que sirve como suma de semiring (identidad ) y la suma ordinaria (identidad 0) sirve como multiplicación de semiring. En una formulación alternativa, el semianillo tropical es y min reemplaza a max como operación de suma. ^[23] Una versión relacionada tiene como conjunto subyacente. ^{[6] [10]} Son un área activa de investigación que vincula variedades algebraicas con estructuras lineales por partes . ^[24] ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$ ${\displaystyle \max(a,b)}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$
• El semiring de Łukasiewicz : el intervalo cerrado con suma de y dado por tomando el máximo de los argumentos ( ) y multiplicación de y dado por aparece en lógica multivaluada . ^[11] ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \max(a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \max(0,a+b-1)}$
• El semianillo de Viterbi también se define sobre el conjunto base y tiene el máximo como suma, pero su multiplicación es la multiplicación habitual de números reales. Aparece en el análisis probabilístico . ^[11] ${\displaystyle [0,1]}$

Tenga en cuenta que . Más información sobre semirings aditivamente idempotentes, ${\displaystyle \max(x,x)=x}$

• El conjunto de todos los ideales de un semiring dado forma un semiring bajo suma y multiplicación de ideales.
• Cualquier red distributiva acotada es un semianillo conmutativo bajo unión y encuentro. Un álgebra de Boole es un caso especial de estos. Un anillo booleano también es un semianillo (de hecho, un anillo) pero no es idempotente bajo suma . Un semianillo booleano es un semianillo isomorfo a un subsemiring de un álgebra booleana. ^[20]
• El semianillo conmutativo formado por el álgebra booleana de dos elementos y definido por . También se le llama el ${\displaystyle 1+1=1}$Semirretorno booleano . ^{[6][21][22][9]}Ahora, dados dos conjuntosyrelaciones binariasentreycorresponden a matrices indexadas porycon entradas en el semianillo booleano,la suma de matricescorresponde a la unión de relaciones yla multiplicación de matricescorresponde ala composición de relaciones.. ^[25] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Cualquier cuanta unital es un semianillo bajo unión y multiplicación.
• Una red sesgada normal en un anillo es un semianillo para las operaciones multiplicación y nabla, donde la última operación está definida por ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a\nabla b=a+b+ba-aba-bab}$

Más uso de monoides,

• Se ha descrito la construcción de semianillos a partir de un monoide conmutativo . Como se señaló, dé un semianillo , las matrices forman otro semianillo. Por ejemplo, las matrices con entradas no negativas forman un semianillo de matriz. ^[20] ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {N} ),}$
• Dado un alfabeto (conjunto finito) Σ, el conjunto de lenguajes formales sobre (subconjuntos de ) es un semianillo con producto inducido por la concatenación de cadenas y la suma como unión de lenguajes (es decir, unión ordinaria como conjuntos). El cero de este semiring es el conjunto vacío (lenguaje vacío) y la unidad del semiring es el lenguaje que contiene solo la cadena vacía . ^[11] ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle L_{1}\cdot L_{2}=\left\{w_{1}w_{2}\mid w_{1}\in L_{1},w_{2}\in L_{2}\right\}}$
• Generalizando el ejemplo anterior (viéndolo como el monoide libre ) , supongamos que es cualquier monoide; el conjunto de potencias de todos los subconjuntos de forma un semiring bajo unión teórica de conjuntos como suma y multiplicación de conjuntos: ^[22] ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \wp (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U\cdot V=\{u\cdot v\mid u\in U,\ v\in V\}.}$
• De manera similar, si es un monoide, entonces el conjunto de multiconjuntos finitos forma un semianillo. Es decir, un elemento es una función ; dado un elemento de la función le indica cuántas veces ese elemento aparece en el conjunto múltiple que representa. La unidad aditiva es la función cero constante. La unidad multiplicativa es la función que asigna a y todos los demás elementos de a. La suma está dada por y el producto está dado por ${\displaystyle (M,e,\cdot )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\mid M\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle (fg)(x)=\sum \{f(y)g(z)\mid y\cdot z=x\}.}$

En cuanto a conjuntos y abstracciones similares,

• Dado un conjunto, el conjunto de relaciones binarias es un semianillo donde la suma es la unión (de relaciones como conjuntos) y la multiplicación es la composición de las relaciones . El cero del semiring es la relación vacía y su unidad es la relación de identidad . ^[11] Estas relaciones corresponden al semianillo matricial (de hecho, semiálgebra matricial) de matrices cuadradas indexadas por con entradas en el semianillo booleano, y luego la suma y la multiplicación son las operaciones matriciales habituales, mientras que cero y la unidad son las matrices cero habituales y matriz de identidad . ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$
• El conjunto de números cardinales más pequeños que cualquier cardinal infinito dado forma un semianillo bajo suma y multiplicación cardinal. La clase de todos los cardinales de un modelo interno forma un semiring (clase) bajo la suma y multiplicación de cardinales (modelo interno).
• La familia de (clases de equivalencia de isomorfismo de) clases combinatorias (conjuntos de un número contable de objetos con tamaños enteros no negativos tales que hay un número finito de objetos de cada tamaño) con la clase vacía como el objeto cero, la clase que consiste sólo en el objeto vacío conjunto como unidad, unión disjunta de clases como suma y producto cartesiano de clases como multiplicación. ^[26]
• Las clases de isomorfismo de objetos en cualquier categoría distributiva , bajo operaciones de coproducto y producto , forman un semianillo conocido como plataforma Burnside. ^[27] Una plataforma Burnside es un anillo si y sólo si la categoría es trivial .

Semiring de conjuntos

Un semiring ( de conjuntos ) ^[28] es una colección (no vacía) de subconjuntos de tal que ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}.}$
   • Si (3) se cumple, entonces si y sólo si ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\neq \varnothing .}$
2. si entonces ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E\cap F\in {\mathcal {S}}.}$
3. Si entonces existe un número finito de conjuntos mutuamente disjuntos tales que ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E\setminus F=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}.}$

Las condiciones (2) y (3) junto con implican que dichos semianillos se utilizan en la teoría de la medida . Un ejemplo de semianillo de conjuntos es la colección de intervalos reales medio abiertos y medio cerrados. ${\displaystyle S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing \in S.}$ ${\displaystyle [a,b)\subset \mathbb {R} .}$

Una semiálgebra ^[29] o familia elemental ^[30] es una colección de subconjuntos que satisfacen las propiedades del semianillo, excepto que (3) se reemplaza por: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$

• Si entonces existe un número finito de conjuntos mutuamente disjuntos tales que ${\displaystyle E\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X\setminus E=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}.}$

Esta condición es más fuerte que (3), lo que se puede ver de la siguiente manera. Si es una semiálgebra y , entonces podemos escribir para disjuntos . Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle F^{c}=F_{1}\cup ...\cup F_{n}}$ ${\displaystyle F_{i}\in S}$

$${\displaystyle E\setminus F=E\cap F^{c}=E\cap (F_{1}\cup ...\cup F_{n})=(E\cap F_{1})\cup ...\cup (E\cap F_{n})}$$

y cada puesto que está cerrado bajo intersección, y disjunto ya que están contenidos en los disjuntos . Además, la condición es estrictamente más estricta: cualquier anillo que sea al mismo tiempo un anillo y una semiálgebra es un álgebra, por lo tanto, cualquier anillo que no sea un álgebra tampoco es una semiálgebra (por ejemplo, la colección de conjuntos finitos en un conjunto infinito ). ${\displaystyle E\cap F_{i}\in S}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Semirros de estrella

Varias de las estructuras mencionadas anteriormente pueden equiparse con un funcionamiento en estrella.

• El semicírculo antes mencionado de relaciones binarias sobre algún conjunto base en el que para todos. Esta operación estrella es en realidad el cierre reflexivo y transitivo de (es decir, la relación binaria reflexiva y transitiva más pequeña que contiene ). ^[11] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle R^{*}=\bigcup _{n\geq 0}R^{n}}$ ${\displaystyle R\subseteq U\times U.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle R.}$
• El semianillo de los lenguajes formales es también un semianillo de estrella completo, coincidiendo la operación de estrella con la estrella de Kleene (para conjuntos/lenguajes). ^[11]
• El conjunto de reales extendidos no negativos junto con la habitual suma y multiplicación de reales es un semirredondo estrella completo con la operación estrella dada por for (es decir, la serie geométrica ) y for ^[11] ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ${\displaystyle a^{*}={\tfrac {1}{1-a}}}$ ${\displaystyle 0\leq a<1}$ ${\displaystyle a^{*}=\infty }$ ${\displaystyle a\geq 1.}$
• El semianillo booleano con ^{[b] [11]} ${\displaystyle 0^{*}=1^{*}=1.}$
• El semianillo continúa con la suma y multiplicación extendidas, y para ^{[b] [11]} ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \},}$ ${\displaystyle 0^{*}=1,a^{*}=\infty }$ ${\displaystyle a\geq 1.}$

Aplicaciones

Los semirings y tropicales de los reales se utilizan a menudo en la evaluación del desempeño en sistemas de eventos discretos. Los números reales son entonces los "costos" o el "tiempo de llegada"; la operación "max" corresponde a tener que esperar todos los requisitos previos de un evento (tomando así el tiempo máximo), mientras que la operación "min" corresponde a poder elegir la mejor opción y menos costosa; y + corresponde a la acumulación por el mismo camino. ${\displaystyle (\max ,+)}$ ${\displaystyle (\min ,+)}$

Por tanto, el algoritmo Floyd-Warshall para caminos más cortos puede reformularse como un cálculo sobre un álgebra. De manera similar, el algoritmo de Viterbi para encontrar la secuencia de estados más probable correspondiente a una secuencia de observación en un modelo oculto de Markov también se puede formular como un cálculo sobre un álgebra de probabilidades. Estos algoritmos de programación dinámica se basan en la propiedad distributiva de sus semianillos asociados para calcular cantidades en un número grande (posiblemente exponencial) de términos de manera más eficiente que enumerar cada uno de ellos. ^{[31] [32]} ${\displaystyle (\min ,+)}$ ${\displaystyle (\max ,\times )}$

Generalizaciones

Una generalización de semirings no requiere la existencia de una identidad multiplicativa, por lo que la multiplicación es un semigrupo en lugar de un monoide. Estas estructuras se denominan hemirings ^[33] o presemirings . ^[34] Una generalización adicional son los presemirings izquierdos , ^[35] que además no requieren distributividad derecha (o presemirings derechos , que no requieren distributividad izquierda).

Una generalización más son los casi semiringos : además de no requerir un elemento neutro para el producto, o distributividad por la derecha (o distributividad por la izquierda), no requieren que la suma sea conmutativa. Así como los números cardinales forman un semiring (clase), los números ordinales forman un semiring casi , cuando se tienen en cuenta la suma y la multiplicación ordinales estándar. Sin embargo, la clase de ordinales se puede convertir en un semiring considerando en su lugar las llamadas operaciones naturales (o de Hessenberg) .

En teoría de categorías , un 2-rig es una categoría con operaciones funcionales análogas a las de un rig. Que los números cardinales forman un aparejo se puede categorizar para decir que la categoría de conjuntos (o más generalmente, cualquier topos ) es un aparejo de 2.

Ver también

• Anillo de conjuntos  – Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos
• Álgebra de valoración  : álgebra que describe el procesamiento de informaciónPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. Para ver un ejemplo, consulte la definición de plataforma en Proofwiki.org
2. Este es un semirredondo de estrella completo y, por tanto, también un semirredondo de Conway. ^[11]

Citas

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Otras lecturas

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