Conjunto (matemáticas)

Colección de objetos matemáticos.

Un conjunto de polígonos en un diagrama de Euler.

Este conjunto es igual al que se muestra arriba ya que ambos tienen los mismos elementos.

Un conjunto es el modelo matemático para una colección de diferentes ^[1] cosas; ^{[2] [3] [4]} un conjunto contiene elementos o miembros , que pueden ser objetos matemáticos de cualquier tipo: números, símbolos, puntos en el espacio, líneas, otras formas geométricas, variables o incluso otros conjuntos. ^[5] El conjunto sin elementos es el conjunto vacío ; un conjunto con un solo elemento es un singleton . Un conjunto puede tener un número finito de elementos o ser un conjunto infinito .

Los conjuntos se caracterizan únicamente por sus elementos; esto significa que dos conjuntos que tienen exactamente los mismos elementos son iguales (son el mismo conjunto). ^[6] Esta propiedad se llama extensionalidad . En particular, esto implica que sólo hay un conjunto vacío.

Los conjuntos son omnipresentes en las matemáticas modernas. De hecho, la teoría de conjuntos , más específicamente la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , ha sido la forma estándar de proporcionar fundamentos rigurosos para todas las ramas de las matemáticas desde la primera mitad del siglo XX. ^[5]

Definición y notación

Los textos matemáticos comúnmente denotan conjuntos con letras mayúsculas ^{[7] [5]} en cursiva , como A , B , C. ^[8] Un conjunto también puede denominarse colección o familia , especialmente cuando sus elementos son en sí mismos conjuntos.

Notación de lista

La notación de lista o enumeración define un conjunto enumerando sus elementos entre llaves , separados por comas: ^{[9] [10] [11] [12]}

Un = {4, 2, 1, 3}

B = {azul, blanco, rojo} .

Esta notación fue introducida por Ernst Zermelo en 1908. ^[13] En un conjunto, lo único que importa es si cada elemento está en él o no, por lo que el orden de los elementos en la notación de lista es irrelevante (en contraste, en una secuencia , una tupla , o una permutación de un conjunto, el orden de los términos importa). Por ejemplo, {2, 4, 6} y {4, 6, 4, 2} representan el mismo conjunto. ^{[14] [8] [15]}

Para conjuntos con muchos elementos, especialmente aquellos que siguen un patrón implícito, la lista de miembros se puede abreviar usando puntos suspensivos ' ... '. ^{[16] [17]} Por ejemplo, el conjunto de los primeros mil números enteros positivos puede especificarse en notación de lista como

{1, 2, 3, ..., 1000} .

Conjuntos infinitos en notación de lista

Un conjunto infinito es un conjunto con una lista infinita de elementos. Para describir un conjunto infinito en notación de lista, se colocan puntos suspensivos al final de la lista, o en ambos extremos, para indicar que la lista continúa para siempre. Por ejemplo, el conjunto de números enteros no negativos es

{0, 1, 2, 3, 4, ...} ,

y el conjunto de todos los números enteros es

{..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} .

Definición semántica

Otra forma de definir un conjunto es utilizar una regla para determinar cuáles son los elementos:

Sea A el conjunto cuyos miembros son los primeros cuatro enteros positivos .

Sea B el conjunto de colores de la bandera francesa .

Esta definición se llama descripción semántica . ^{[18] [19]}

Notación de constructor de conjuntos

La notación de creación de conjuntos especifica un conjunto como una selección de un conjunto más grande, determinado por una condición de los elementos. ^{[19] [20] [21]} Por ejemplo, un conjunto F se puede definir de la siguiente manera:

$${\displaystyle F=\{n\mid n{\text{ is an integer, and }}0\leq n\leq 19\}.}$$

En esta notación, la barra vertical "|" significa "tal que", y la descripción puede interpretarse como " F es el conjunto de todos los números n tales que n es un número entero en el rango de 0 a 19 inclusive". Algunos autores utilizan dos puntos ":" en lugar de la barra vertical. ^[22]

Clasificación de métodos de definición.

La filosofía utiliza términos específicos para clasificar tipos de definiciones:

• Una definición intencional utiliza una regla para determinar la membresía. Las definiciones semánticas y las definiciones que utilizan notación de constructor de conjuntos son ejemplos.
• Una definición extensiva describe un conjunto enumerando todos sus elementos . ^[19] Este tipo de definiciones también se denominan enumerativas .
• Una definición ostensiva es aquella que describe un conjunto dando ejemplos de elementos; una lista que incluya puntos suspensivos sería un ejemplo.

Afiliación

Si B es un conjunto y x es un elemento de B , esto se escribe abreviadamente como x ∈ B , que también puede leerse como " x pertenece a B ", o " x está en B ". ^[23] La afirmación " y no es un elemento de B " se escribe como y ∉ B , que también puede leerse como " y no está en B ". ^{[24] [25]}

Por ejemplo, con respecto a los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} , B = {azul, blanco, rojo} y F = { n | n es un número entero y 0 ≤ n ≤ 19} ,

4 ∈ A y 12 ∈ F ; y

20 ∉ F y verde ∉ B .

el conjunto vacio

El conjunto vacío (o conjunto nulo ) es el conjunto único que no tiene miembros. Se denota ∅ , , {}, ^{[26] [27]} ϕ , ^[28] o ϕ . ^[29] ${\displaystyle \emptyset }$

Conjuntos singleton

Un conjunto singleton es un conjunto con exactamente un elemento; un conjunto de este tipo también puede denominarse conjunto unitario . ^[6] Cualquier conjunto de este tipo se puede escribir como { x }, donde x es el elemento. El conjunto { x } y el elemento x significan cosas diferentes; Halmos ^[30] establece la analogía de que una caja que contiene un sombrero no es lo mismo que el sombrero.

Subconjuntos

Si cada elemento del conjunto A también está en B , entonces A se describe como un subconjunto de B , o contenido en B , escrito A ⊆ B , ^[31] o B ⊇ A. ^[32] La última notación puede leerse como B contiene A , B incluye A o B es un superconjunto de A. La relación entre conjuntos establecida por ⊆ se llama inclusión o contención . Dos conjuntos son iguales si se contienen entre sí: A ⊆ B y B ⊆ A equivale a A = B . ^[20]

Si A es un subconjunto de B , pero A no es igual a B , entonces A se llama subconjunto propio de B. Esto se puede escribir A ⊊ B . Asimismo, B ⊋ A significa que B es un superconjunto propio de A , es decir , B contiene A y no es igual a A.

Un tercer par de operadores ⊂ y ⊃ son utilizados de manera diferente por diferentes autores: algunos autores usan A ⊂ B y B ⊃ A para significar que A es cualquier subconjunto de B (y no necesariamente un subconjunto adecuado), ^{[33] [24]} mientras que otros reserve A ⊂ B y B ⊃ A para los casos en los que A es un subconjunto propio de B . ^[31]

Ejemplos:

• El conjunto de todos los humanos es un subconjunto propio del conjunto de todos los mamíferos.
• {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}.
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto, ^[26] y cada conjunto es un subconjunto de sí mismo: ^[33]

• ∅ ⊆ UN .
• UN ⊆ UN .

Diagramas de Euler y Venn

A es un subconjunto de B .
B es un superconjunto de A .

Un diagrama de Euler es una representación gráfica de una colección de conjuntos; cada conjunto se representa como una región plana encerrada por un bucle, con sus elementos en el interior. Si A es un subconjunto de B , entonces la región que representa A está completamente dentro de la región que representa B. Si dos conjuntos no tienen elementos en común, las regiones no se superponen.

Un diagrama de Venn , por el contrario, es una representación gráfica de n conjuntos en la que los n bucles dividen el plano en 2 ⁿ zonas de modo que para cada forma de seleccionar algunos de los n conjuntos (posiblemente todos o ninguno), hay una zona para los elementos que pertenecen a todos los conjuntos seleccionados y a ninguno de los demás. Por ejemplo, si los conjuntos son A , B y C , debería haber una zona para los elementos que están dentro de A y C y fuera de B (incluso si dichos elementos no existen).

Conjuntos especiales de números en matemáticas.

Los números naturales están contenidos en los números enteros , los cuales están contenidos en los números racionales , los cuales están contenidos en los números reales , los cuales están contenidos en los números complejos ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Hay conjuntos de tal importancia matemática, a los que los matemáticos se refieren con tanta frecuencia, que han adquirido nombres especiales y convenciones de notación para identificarlos.

Muchos de estos conjuntos importantes se representan en textos matemáticos utilizando tipos de letra negrita (p. ej. ) o negrita de pizarra (p. ej. ). ^[34] Estos incluyen ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• ${\displaystyle \mathbf {N} }$o , el conjunto de todos los números naturales : (a menudo, los autores excluyen el 0 ); ^[34] ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} =\{0,1,2,3,...\}}$
• ${\displaystyle \mathbf {Z} }$o , el conjunto de todos los números enteros (ya sean positivos, negativos o cero): ; ^[34] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} =\{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}}$
• ${\displaystyle \mathbf {Q} }$o , el conjunto de todos los números racionales (es decir, el conjunto de todas las fracciones propias e impropias ): . Por ejemplo, - ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} =\left\{{\frac {a}{b}}\mid a,b\in \mathbf {Z} ,b\neq 0\right\}}$7/4∈ Q y 5 =5/1∈Q ; _ ^[34]
• ${\displaystyle \mathbf {R} }$o , el conjunto de todos los números reales , incluidos todos los números racionales y todos los números irracionales (que incluyen números algebraicos como ese que no se pueden reescribir como fracciones, así como números trascendentales como π y e ); ^[34] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {C} }$o , el conjunto de todos los números complejos : C = { a + bi | a , b ∈ R } , por ejemplo, 1 + 2 i ∈ C . ^[34] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Cada uno de los conjuntos de números anteriores tiene un número infinito de elementos. Cada uno es un subconjunto de los conjuntos enumerados debajo.

Los conjuntos de números positivos o negativos a veces se indican mediante signos de superíndice más y menos, respectivamente. Por ejemplo, representa el conjunto de los números racionales positivos. ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{+}}$

Funciones

Una función (o mapeo ) de un conjunto A a un conjunto B es una regla que asigna a cada elemento de "entrada" de A una "salida" que es un elemento de B ; más formalmente, una función es un tipo especial de relación , una que relaciona cada elemento de A con exactamente un elemento de B. Una función se llama

• inyectivo (o uno a uno) si asigna dos elementos diferentes de A a elementos diferentes de B ,
• sobreyectiva (o sobre) si para cada elemento de B , hay al menos un elemento de A que se asigna a él, y
• biyectiva (o una correspondencia uno a uno) si la función es tanto inyectiva como sobreyectiva; en este caso, cada elemento de A está emparejado con un elemento único de B , y cada elemento de B está emparejado con un elemento único de A. , para que no haya elementos desapareados.

Una función inyectiva se llama inyección , una función sobreyectiva se llama sobreyección y una función biyectiva se llama biyección o correspondencia uno a uno .

Cardinalidad

La cardinalidad de un conjunto S , denotada | S | , es el número de miembros de S . ^[35] Por ejemplo, si B = {azul, blanco, rojo} , entonces | B | = 3 . Los miembros repetidos en la notación de lista no se cuentan, ^{[36] [37]} entonces | {azul, blanco, rojo, azul, blanco} | = 3 , también.

Más formalmente, dos conjuntos comparten la misma cardinalidad si existe una biyección entre ellos.

La cardinalidad del conjunto vacío es cero. ^[38]

Conjuntos infinitos y cardinalidad infinita.

La lista de elementos de algunos conjuntos es interminable o infinita . Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es infinito. ^[20] De hecho, todos los conjuntos especiales de números mencionados en la sección anterior son infinitos. Los conjuntos infinitos tienen cardinalidad infinita . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Algunas cardinalidades infinitas son mayores que otras. Podría decirse que uno de los resultados más significativos de la teoría de conjuntos es que el conjunto de números reales tiene mayor cardinalidad que el conjunto de números naturales. ^[39] Los conjuntos con cardinalidad menor o igual a la de se denominan conjuntos contables ; estos son conjuntos finitos o conjuntos contablemente infinitos (conjuntos de la misma cardinalidad que ); algunos autores utilizan "contable" para significar "contablemente infinito". Los conjuntos con cardinalidad estrictamente mayor que la de se denominan conjuntos incontables . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Sin embargo, se puede demostrar que la cardinalidad de una línea recta (es decir, el número de puntos en una línea) es la misma que la cardinalidad de cualquier segmento de esa línea, de todo el plano y, de hecho, de cualquier euclidiano de dimensión finita. espacio . ^[40]

La hipótesis del continuo

La hipótesis del continuo, formulada por Georg Cantor en 1878, es la afirmación de que no existe un conjunto con cardinalidad estrictamente entre la cardinalidad de los números naturales y la cardinalidad de una línea recta. ^[41] En 1963, Paul Cohen demostró que la hipótesis del continuo es independiente del sistema de axiomas ZFC que consiste en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección . ^[42] (ZFC es la versión más estudiada de la teoría de conjuntos axiomática).

Conjuntos de potencia

El conjunto potencia de un conjunto S es el conjunto de todos los subconjuntos de S. ^[20] El conjunto vacío y el propio S son elementos del conjunto potencia de S , porque ambos son subconjuntos de S. Por ejemplo, el conjunto potencia de {1, 2, 3} es {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1 , 2, 3}} . El conjunto potencia de un conjunto S se escribe comúnmente como P ( S ) o 2 ^{S. [20] [43] [8]}

Si S tiene n elementos, entonces P ( S ) tiene 2 ⁿ elementos. ^[44] Por ejemplo, {1, 2, 3} tiene tres elementos y su conjunto potencia tiene 2 ³ = 8 elementos, como se muestra arriba.

Si S es infinito (ya sea contable o incontable ), entonces P ( S ) es incontable. Además, el conjunto potencia es siempre estrictamente "más grande" que el conjunto original, en el sentido de que cualquier intento de emparejar los elementos de S con los elementos de P ( S ) dejará algunos elementos de P ( S ) sin emparejar. (Nunca hay una biyección de S a P ( S ) .) ^[45]

Particiones

Una partición de un conjunto S es un conjunto de subconjuntos no vacíos de S , de modo que cada elemento x en S está exactamente en uno de estos subconjuntos. Es decir, los subconjuntos son disjuntos por pares (lo que significa que dos conjuntos cualesquiera de la partición no contienen ningún elemento en común) y la unión de todos los subconjuntos de la partición es S. ^{[46] [47]}

Operaciones básicas

El complemento de A en U

Supongamos que se ha fijado un conjunto universal U ( un conjunto que contiene todos los elementos que se analizan) y que A es un subconjunto de U.

• El complemento de A es el conjunto de todos los elementos (de U ) que no pertenecen a A. Puede denominarse Ac ^o A ′ . En notación de constructor de conjuntos, . El complemento también puede denominarse complemento absoluto para distinguirlo del complemento relativo a continuación. Ejemplo: si se toma el conjunto universal como el conjunto de los números enteros, entonces el complemento del conjunto de los números enteros pares es el conjunto de los números enteros impares. ${\displaystyle A^{\text{c}}=\{a\in U:a\notin A\}}$

La unión de A y B , denotada A ∪ B

La intersección de A y B , denotada A ∩ B

La diferencia establecida A \ B

La diferencia simétrica de A y B

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B ,

• su unión A ∪ B es el conjunto de todas las cosas que son miembros de A o B o de ambos.
• su intersección A ∩ B es el conjunto de todas las cosas que son miembros tanto de A como de B. Si A ∩ B = ∅ , entonces se dice que A y B son disjuntos .
• la diferencia de conjuntos A \ B (también escrita A − B ) es el conjunto de todas las cosas que pertenecen a A pero no a B . Especialmente cuando B es un subconjunto de A , también se le llama complemento relativo de B en A. Con B ^c como complemento absoluto de B (en el conjunto universal U ), A \ B = A ∩ B ^c .
• su diferencia simétrica A Δ B es el conjunto de todas las cosas que pertenecen a A o B pero no a ambos. Uno tiene . ${\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$
• su producto cartesiano A × B es el conjunto de todos los pares ordenados ( a , b ) tales que a es un elemento de A y b es un elemento de B.

Ejemplos:

• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5 }.
• {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3} .
• {1, 2, 3} - {3, 4, 5} = {1, 2 }.
• {1, 2, 3} Δ {3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5 }.
• { a , b } × {1, 2, 3} = {( a ,1), ( a ,2), ( a ,3), ( b ,1), ( b , 2), ( b ,3) }.

Las operaciones anteriores satisfacen muchas identidades. Por ejemplo, una de las leyes de De Morgan establece que ( A ∪ B )′ = A ′ ∩ B ′ (es decir, los elementos fuera de la unión de A y B son los elementos que están fuera de A y fuera de B ).

La cardinalidad de A × B es el producto de las cardinalidades de A y B. (Éste es un hecho elemental cuando A y B son finitos. Cuando uno o ambos son infinitos, se define la multiplicación de números cardinales para que esto sea cierto).

El conjunto potencia de cualquier conjunto se convierte en un anillo booleano con diferencia simétrica como la suma del anillo y la intersección como la multiplicación del anillo.

Aplicaciones

Los conjuntos son omnipresentes en las matemáticas modernas. Por ejemplo, las estructuras en álgebra abstracta , como grupos , campos y anillos , son conjuntos cerrados bajo una o más operaciones.

Una de las principales aplicaciones de la teoría ingenua de conjuntos es en la construcción de relaciones . Una relación de un dominio A a un codominio B es un subconjunto del producto cartesiano A × B. Por ejemplo, considerando el conjunto S = {piedra, papel, tijera} de formas en el juego del mismo nombre, la relación "late" de S a S es el conjunto B = {(tijeras,papel), (papel,piedra ), (piedra,tijeras)} ; por lo tanto , x vence a y en el juego si el par ( x , y ) es miembro de B. Otro ejemplo es el conjunto F de todos los pares ( x , x ² ) , donde x es real. Esta relación es un subconjunto de R × R , porque el conjunto de todos los cuadrados es un subconjunto del conjunto de todos los números reales. Dado que para cada x en R , se encuentra uno y solo un par ( x ,...) en F , se llama función . En notación funcional, esta relación se puede escribir como F ( x ) = x ² .

Principio de inclusión y exclusión

El principio de inclusión-exclusión para dos conjuntos finitos establece que el tamaño de su unión es la suma de los tamaños de los conjuntos menos el tamaño de su intersección.

El principio de inclusión-exclusión es una técnica para contar los elementos de una unión de dos conjuntos finitos en términos de los tamaños de los dos conjuntos y su intersección. Se puede expresar simbólicamente como

$${\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.}$$

Una forma más general del principio da la cardinalidad de cualquier unión finita de conjuntos finitos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots \cup A_{n}\right|=&\left(\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n}\right|\right)\\&{}-\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right)\\&{}+\ldots \\&{}+\left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots \cap A_{n}\right|\right).\end{aligned}}}$$

Historia

El concepto de conjunto surgió en matemáticas a finales del siglo XIX. ^[48] ​​La palabra alemana para conjunto, Menge , fue acuñada por Bernard Bolzano en su obra Paradojas del Infinito . ^{[49] [50] [51]}

Pasaje con una traducción de la definición original de Georg Cantor. La palabra alemana Menge para conjunto se traduce aquí como agregado .

Georg Cantor , uno de los fundadores de la teoría de conjuntos, dio la siguiente definición al comienzo de su Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre : ^{[52] [1]}

Un conjunto es una reunión en un todo de objetos definidos y distintos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, que se denominan elementos del conjunto.

Bertrand Russell introdujo la distinción entre un conjunto y una clase (un conjunto es una clase, pero algunas clases, como la clase de todos los conjuntos, no son conjuntos; ver la paradoja de Russell ): ^[53]

Cuando los matemáticos tratan con lo que llaman una variedad, un agregado, un Menge , un conjunto o algún nombre equivalente, es común, especialmente cuando el número de términos involucrados es finito, considerar el objeto en cuestión (que en realidad es una clase) como definido por la enumeración de sus términos, y como compuesto posiblemente de un solo término, que en ese caso es la clase.

Teoría de conjuntos ingenua

La propiedad más importante de un conjunto es que puede tener elementos, también llamados miembros . Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. Más precisamente, los conjuntos A y B son iguales si cada elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A ; esta propiedad se llama extensionalidad de los conjuntos . ^[23]

El concepto simple de conjunto ha demostrado ser enormemente útil en matemáticas, pero surgen paradojas si no se imponen restricciones sobre cómo se pueden construir los conjuntos:

• La paradoja de Russell muestra que el "conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos ", es decir, { x | x es un conjunto y x ∉ x }, no puede existir.
• La paradoja de Cantor muestra que "el conjunto de todos los conjuntos" no puede existir.

La ingenua teoría de conjuntos define un conjunto como cualquier colección bien definida de elementos distintos, pero surgen problemas debido a la vaguedad del término bien definido .

Teoría de conjuntos axiomáticos

En esfuerzos posteriores por resolver estas paradojas desde la época de la formulación original de la teoría ingenua de conjuntos, las propiedades de los conjuntos se han definido mediante axiomas . La teoría axiomática de conjuntos toma el concepto de conjunto como una noción primitiva . ^[54] El propósito de los axiomas es proporcionar un marco básico a partir del cual deducir la verdad o falsedad de proposiciones (enunciados) matemáticos particulares sobre conjuntos, utilizando lógica de primer orden . Sin embargo, según los teoremas de incompletitud de Gödel , no es posible utilizar la lógica de primer orden para demostrar que una teoría de conjuntos axiomática particular esté libre de paradojas. ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• Álgebra de conjuntos
• Teoría de conjuntos alternativa
• categoría de conjuntos
• Clase (teoría de conjuntos)
• conjunto denso
• familia de conjuntos
• conjunto difuso
• Conjunto interno
• mereología
• Conjunto múltiple
• Principios matemáticos
• conjunto aproximado

Notas

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Referencias

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enlaces externos

• La definición del diccionario de conjunto en Wikcionario
• "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" de Cantor (en alemán)