conjunto incontable

Conjunto infinito que no es contable.

En matemáticas , un conjunto incontable , informalmente, es un conjunto infinito que contiene demasiados elementos para ser contable . La incontable de un conjunto está estrechamente relacionada con su número cardinal : un conjunto es incontable si su número cardinal es mayor que aleph-null , la cardinalidad de los números naturales .

Caracterizaciones

Hay muchas caracterizaciones equivalentes de incontable. Un conjunto X es incontable si y sólo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• No existe una función inyectiva (por lo tanto, no hay biyección ) de X al conjunto de números naturales.
• X no está vacío y para cada ω- secuencia de elementos de X , existe al menos un elemento de X no incluido en ella. Es decir, X no está vacío y no existe una función sobreyectiva de los números naturales a X.
• La cardinalidad de X no es finita ni igual a ( aleph-null ). ${\displaystyle \aleph _{0}}$
• El conjunto X tiene una cardinalidad estrictamente mayor que . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Se puede demostrar que las tres primeras caracterizaciones son equivalentes en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección , pero la equivalencia de la tercera y la cuarta no se puede demostrar sin principios de elección adicionales.

Propiedades

• Si un conjunto incontable X es un subconjunto del conjunto Y , entonces Y es incontable.

Ejemplos

El ejemplo más conocido de conjunto incontable es el conjunto R de todos los números reales ; El argumento diagonal de Cantor muestra que este conjunto es incontable. La técnica de prueba de diagonalización también se puede utilizar para demostrar que varios otros conjuntos son incontables, como el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales y el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto de números naturales. La cardinalidad de R a menudo se denomina cardinalidad del continuo y se denota por , o , o ( beth-one ). ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \beth _{1}}$

El conjunto de Cantor es un subconjunto incontable de R. El conjunto de Cantor es un fractal y tiene una dimensión de Hausdorff mayor que cero pero menor que uno ( R tiene dimensión uno). Este es un ejemplo del siguiente hecho: cualquier subconjunto de R de dimensión de Hausdorff estrictamente mayor que cero debe ser incontable.

Otro ejemplo de conjunto incontable es el conjunto de todas las funciones de R a R. Este conjunto es incluso "más incontable" que R en el sentido de que la cardinalidad de este conjunto es ( beth-two ), que es mayor que . ${\displaystyle \beth _{2}}$ ${\displaystyle \beth _{1}}$

Un ejemplo más abstracto de un conjunto incontable es el conjunto de todos los números ordinales contables , denotados por Ω o ω ₁ . ^[1] La cardinalidad de Ω se denota ( aleph-uno ). Se puede demostrar, utilizando el axioma de elección , que es el número cardinal incontable más pequeño . Así , la cardinalidad de los reales es igual o estrictamente mayor. Georg Cantor fue el primero en proponer la cuestión de si es igual a . En 1900, David Hilbert planteó esta cuestión como el primero de sus 23 problemas . La afirmación que ahora se llama hipótesis del continuo y se sabe que es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos (incluido el axioma de elección ). ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \beth _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \beth _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}=\beth _{1}}$

Sin el axioma de elección

Sin el axioma de elección , podrían existir cardinalidades incomparables ( es decir, las cardinalidades de los conjuntos infinitos finitos de Dedekind ). Los conjuntos de estas cardinalidades satisfacen las tres primeras caracterizaciones anteriores, pero no la cuarta caracterización. Dado que estos conjuntos no son mayores que los números naturales en el sentido de cardinalidad, es posible que algunos no quieran llamarlos incontables. ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Si se cumple el axioma de elección, las siguientes condiciones sobre un cardinal son equivalentes: ${\displaystyle \kappa }$

• ${\displaystyle \kappa \nleq \aleph _{0};}$
• ${\displaystyle \kappa >\aleph _{0};}$y
• ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{1}}$, donde y es el menor ordinal inicial mayor que ${\displaystyle \aleph _{1}=|\omega _{1}|}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega .}$

Sin embargo, todos estos pueden ser diferentes si falla el axioma de elección. Por tanto, no es obvio cuál es la generalización apropiada de "incontabilidad" cuando el axioma falla. Quizás sea mejor evitar el uso de la palabra en este caso y especificar cuál de estas significa.

Ver también

• número alef
• número de beth
• Primer ordinal incontable
• función inyectiva

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Incontablemente infinito". mathworld.wolfram.com . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .

Bibliografía

• Halmos, Paul , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag). Reimpreso por Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (edición de bolsillo).  
• Jech, Thomas (2002), Teoría de conjuntos , Monografías de Springer en Matemáticas (edición del tercer milenio), Springer, ISBN 3-540-44085-2

enlaces externos

• Prueba de que R es incontable