En matemáticas , particularmente en la teoría de conjuntos , los números aleph son una secuencia de números que se utilizan para representar la cardinalidad (o tamaño) de conjuntos infinitos que pueden estar bien ordenados . Fueron introducidos por el matemático Georg Cantor [1] y reciben su nombre del símbolo que utilizó para denotarlos, la letra hebrea aleph (ℵ). [2] [a]
La cardinalidad de los números naturales es ℵ 0 (léase aleph-cero , aleph-cero o aleph-nulo ), la siguiente cardinalidad mayor de un conjunto bien ordenado es aleph-uno ℵ 1 , luego ℵ 2 y así sucesivamente. Continuando de esta manera, es posible definir un número cardinal ℵ α para cada número ordinal α , como se describe a continuación.
El concepto y la notación se deben a Georg Cantor , [5] quien definió la noción de cardinalidad y se dio cuenta de que los conjuntos infinitos pueden tener diferentes cardinalidades .
Los números aleph se diferencian del infinito (∞) que se encuentra comúnmente en álgebra y cálculo, en que los aleph miden los tamaños de los conjuntos, mientras que el infinito se define comúnmente como un límite extremo de la línea de números reales (aplicado a una función o secuencia que " diverge hasta el infinito" o "aumenta sin límite"), o como un punto extremo de la línea de números reales extendida .
ℵ 0 (aleph-cero, aleph-cero o aleph-nulo) es la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales, y es un cardinal infinito . El conjunto de todos los ordinales finitos , llamado ω o ω 0 (donde ω es la letra griega omega minúscula ), tiene cardinalidad ℵ 0. Un conjunto tiene cardinalidad ℵ 0 si y solo si es infinito numerable , es decir, existe una biyección (correspondencia biunívoca) entre él y los números naturales. Ejemplos de tales conjuntos son
Estos ordinales infinitos: ω, ω + 1, ω⋅2, ω 2 , ω ω y ε 0 se encuentran entre los conjuntos infinitos contables. [6] Por ejemplo, la secuencia (con ordinalidad ω⋅2) de todos los números enteros impares positivos seguidos de todos los números enteros pares positivos
es un ordenamiento del conjunto (con cardinalidad ℵ 0 ) de números enteros positivos.
Si se cumple el axioma de elección contable (una versión más débil del axioma de elección ), entonces ℵ 0 es más pequeño que cualquier otro cardinal infinito y, por lo tanto, es el (único) ordinal infinito menos importante.
ℵ 1 es, por definición, la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinales contables . Este conjunto se denota por ω 1 (o a veces Ω). El conjunto ω 1 es en sí mismo un número ordinal mayor que todos los contables, por lo que es un conjunto incontable . Por lo tanto, ℵ 1 es distinto de ℵ 0. La definición de ℵ 1 implica (en ZF, teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección) que ningún número cardinal está entre ℵ 0 y ℵ 1. Si se utiliza el axioma de elección , se puede demostrar además que la clase de números cardinales está totalmente ordenada y, por lo tanto, ℵ 1 es el segundo número cardinal infinito más pequeño. Se puede demostrar una de las propiedades más útiles del conjunto ω 1 : cualquier subconjunto numerable de ω 1 tiene un límite superior en ω 1 (esto se deduce del hecho de que la unión de un número numerable de conjuntos numerables es en sí misma numerable). Este hecho es análogo a la situación en ℵ 0 : todo conjunto finito de números naturales tiene un máximo que también es un número natural, y las uniones finitas de conjuntos finitos son finitas.
El ordinal ω 1 es en realidad un concepto útil, aunque suene un tanto exótico. Un ejemplo de aplicación es "cerrar" con respecto a operaciones contables; por ejemplo, tratar de describir explícitamente la σ-álgebra generada por una colección arbitraria de subconjuntos (véase, por ejemplo, la jerarquía de Borel ). Esto es más difícil que la mayoría de las descripciones explícitas de "generación" en álgebra ( espacios vectoriales , grupos , etc.) porque en esos casos solo tenemos que cerrar con respecto a operaciones finitas: sumas, productos, etc. El proceso implica definir, para cada ordinal contable, mediante inducción transfinita , un conjunto "lanzando" todas las posibles uniones y complementos contables , y tomando la unión de todo eso sobre todo ω 1 .
La cardinalidad del conjunto de números reales ( cardinalidad del continuo ) es 2 ℵ 0. No se puede determinar a partir de ZFC ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel aumentada con el axioma de elección ) dónde encaja exactamente este número en la jerarquía de números aleph, pero se deduce de ZFC que la hipótesis del continuo (CH) es equivalente a la identidad
El CH establece que no existe ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los números enteros y los números reales. [8] CH es independiente de ZFC : no se puede probar ni refutar dentro del contexto de ese sistema de axiomas (siempre que ZFC sea consistente ). Que CH es consistente con ZFC fue demostrado por Kurt Gödel en 1940, cuando mostró que su negación no es un teorema de ZFC . Que es independiente de ZFC fue demostrado por Paul Cohen en 1963, cuando mostró inversamente que el CH en sí no es un teorema de ZFC - por el (entonces novedoso) método de forzar . [7] [9]
Aleph-omega es
donde el ordinal infinito más pequeño se denota como ω. Es decir, el número cardinal ℵ ω es el límite superior mínimo de
En particular, ℵ ω es el primer número cardinal incontable que se puede demostrar dentro de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que no es igual a la cardinalidad del conjunto de todos los números reales 2 ℵ 0 : para cualquier número natural n ≥ 1, podemos asumir consistentemente que 2 ℵ 0 = ℵ n , y además es posible asumir que 2 ℵ 0 es al menos tan grande como cualquier número cardinal que queramos. La principal restricción que ZFC pone al valor de 2 ℵ 0 es que no puede ser igual a ciertos cardinales especiales con cofinalidad ℵ 0 . Un cardinal κ infinitamente incontable que tiene cofinalidad ℵ 0 significa que hay una secuencia (de longitud contable) κ 0 ≤ κ 1 ≤ κ 2 ≤ ... de cardinales κ i < κ cuyo límite (es decir, su límite superior mínimo) es κ (véase el teorema de Easton ). Según la definición anterior, ℵ ω es el límite de una secuencia de longitud contable de cardinales más pequeños.
Para definir ℵ α para un número ordinal arbitrario α, debemos definir la operación cardinal sucesora , que asigna a cualquier número cardinal ρ el siguiente cardinal bien ordenado más grande ρ + (si se cumple el axioma de elección , este es el (único) siguiente cardinal más grande).
Podemos entonces definir los números aleph de la siguiente manera:
El ordinal inicial infinito α -ésimo se escribe ω α . Su cardinalidad se escribe ℵ α .
De manera informal, la función aleph ℵ: On → Cd es una biyección de los ordinales a los cardinales infinitos. Formalmente, en ZFC , ℵ no es una función , sino una clase similar a una función, ya que no es un conjunto (debido a la paradoja de Burali-Forti ).
Para cualquier ordinal α tenemos
En muchos casos, ω α es estrictamente mayor que α . Por ejemplo, es cierto para cualquier ordinal sucesor : α + 1 < ω α +1 se cumple. Sin embargo, existen algunos ordinales límite que son puntos fijos de la función omega, debido al lema del punto fijo para funciones normales . El primero de ellos es el límite de la secuencia
que a veces se denota ω ω ... .
Cualquier cardinal débilmente inaccesible es también un punto fijo de la función aleph. [10] Esto se puede mostrar en ZFC de la siguiente manera. Supongamos que κ = ℵ λ es un cardinal débilmente inaccesible. Si λ fuera un ordinal sucesor , entonces ℵ λ sería un cardinal sucesor y, por lo tanto, no débilmente inaccesible. Si λ fuera un ordinal límite menor que κ, entonces su cofinalidad (y, por lo tanto, la cofinalidad de ℵ λ ) sería menor que κ y, por lo tanto, κ no sería regular y, por lo tanto, no débilmente inaccesible. Por lo tanto, λ ≥ κ y, en consecuencia, λ = κ, lo que lo convierte en un punto fijo.
La cardinalidad de cualquier número ordinal infinito es un número aleph. Todo aleph es la cardinalidad de algún ordinal. El menor de estos es su ordinal inicial . Cualquier conjunto cuya cardinalidad sea un aleph es equinumeroso con un ordinal y, por lo tanto, es bien ordenable .
Cada conjunto finito es bien ordenable, pero no tiene un aleph como cardinalidad.
En ZF, la suposición de que la cardinalidad de cada conjunto infinito es un número aleph es equivalente a la existencia de un buen ordenamiento de cada conjunto, lo que a su vez es equivalente al axioma de elección . La teoría de conjuntos de ZFC, que incluye el axioma de elección, implica que cada conjunto infinito tiene un número aleph como su cardinalidad (es decir, es equinumeroso con su ordinal inicial), y por lo tanto los ordinales iniciales de los números aleph sirven como una clase de representantes para todos los posibles números cardinales infinitos.
Cuando se estudia la cardinalidad en ZF sin el axioma de elección, ya no es posible probar que cada conjunto infinito tiene algún número aleph como su cardinalidad; los conjuntos cuya cardinalidad es un número aleph son exactamente los conjuntos infinitos que pueden estar bien ordenados. El método del truco de Scott se utiliza a veces como una forma alternativa de construir representantes para números cardinales en el contexto de ZF. Por ejemplo, se puede definir que carta( S ) es el conjunto de conjuntos con la misma cardinalidad que S de rango mínimo posible. Esto tiene la propiedad de que carta( S ) = carta( T ) si y solo si S y T tienen la misma cardinalidad. (El conjunto carta( S ) no tiene la misma cardinalidad de S en general, pero todos sus elementos sí la tienen).
Sus nuevos números merecían algo único. ... No queriendo inventar un nuevo símbolo, eligió el aleph, la primera letra del alfabeto hebreo... el aleph podría ser tomado para representar nuevos comienzos...