Cardenal sucesor

En la teoría de conjuntos , se puede definir una operación sucesora en números cardinales de manera similar a la operación sucesora en números ordinales . El cardinal sucesor coincide con el sucesor ordinal para cardenales finitos, pero en el caso infinito divergen porque cada ordinal infinito y su sucesor tienen la misma cardinalidad (se puede establecer una biyección entre los dos simplemente enviando el último elemento del sucesor a 0, 0 a 1, etc., y fijando ω y todos los elementos anteriores al estilo del Hotel Infinity de Hilbert ). Usando la asignación cardinal de von Neumann y el axioma de elección (AC), esta operación sucesora es fácil de definir: para un número cardinal κ tenemos

${\displaystyle \kappa ^{+}=\left|\inf\{\lambda \in \mathrm {ON} \ :\ \kappa <\left|\lambda \right|\}\right|}$,

donde ON es la clase de ordinales. Es decir, el cardinal sucesor es la cardinalidad del menos ordinal en el que se puede asignar uno a uno un conjunto de la cardinalidad dada, pero que no se puede asignar uno a uno nuevamente a ese conjunto.

Que el conjunto anterior no está vacío se desprende del teorema de Hartogs , que dice que para cualquier cardinal bien ordenable , es construible un cardinal mayor. En realidad, el mínimo existe porque los ordinales están bien ordenados. Por tanto, es inmediato que no existe ningún número cardinal entre κ y κ ⁺ . Un cardenal sucesor es un cardenal que es κ ⁺ para algún cardenal κ . En el caso infinito, la operación sucesora omite muchos números ordinales; de hecho, todo cardinal infinito es un ordinal límite . Por lo tanto, la operación sucesora de los cardinales gana mucho poder en el caso infinito (relativo a la operación de sucesión ordinal) y, en consecuencia, los números cardinales son una subclase muy "escasa" de los ordinales. Definimos la secuencia de alephs (mediante el axioma de reemplazo ) mediante esta operación, a través de todos los números ordinales de la siguiente manera:

${\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}}$

y para λ un ordinal límite infinito,

${\displaystyle \aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }}$

Si β es un ordinal sucesor , entonces es un cardenal sucesor. Los cardenales que no son cardenales sucesores se llaman cardenales límite ; y según la definición anterior, si λ es un ordinal límite, entonces es un cardinal límite. ${\displaystyle \aleph _{\beta }}$ ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$

La definición estándar anterior se restringe al caso en el que el cardinal puede estar bien ordenado, es decir, es finito o un aleph. Sin el axioma de elección, hay cardinales que no pueden estar bien ordenados. Algunos matemáticos han definido el sucesor de dicho cardinal como la cardinalidad del menos ordinal que no se puede asignar uno a uno en un conjunto de la cardinalidad dada. Eso es:

${\displaystyle \kappa ^{+}=\left|\inf\{\lambda \in \mathrm {ON} \ :\ |\lambda |\nleq \kappa \}\right|}$

que es el número de Hartogs de κ .

Ver también

• Asignación cardinal

Referencias

• Paul Halmos , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag).
• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Saltador. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .