En matemáticas , específicamente en la teoría axiomática de conjuntos , un número de Hartogs es un número ordinal asociado con un conjunto. En particular, si X es cualquier conjunto , entonces el número de Hartogs de X es el ordinal α más pequeño tal que no hay inyección de α en X. Si X puede estar bien ordenado , entonces el número cardinal de α es un cardinal mínimo mayor que el de X. Si X no puede estar bien ordenado, entonces no puede haber una inyección de X en α. Sin embargo, el número cardinal de α sigue siendo un número cardinal mínimo (es decir, ordinal) no menor o igual que la cardinalidad de X (con la definición de cardinalidad de biyección y el orden de función inyectiva). (Si restringimos a los números cardinales de conjuntos bien ordenables, entonces el de α es el más pequeño que no es menor o igual que el de X ). La función que lleva X a α a veces se llama función de Hartogs . Esta asignación se utiliza para construir los números aleph, que son todos los números cardinales de conjuntos infinitos bien ordenables.
La existencia del número de Hartogs fue demostrada por Friedrich Hartogs en 1915, utilizando únicamente la teoría de conjuntos de Zermelo (es decir, sin utilizar el axioma de elección ni el esquema de reemplazo introducido posteriormente de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ).
El teorema de Hartogs establece que para cualquier conjunto X , existe un ordinal α tal que ; es decir, tal que no hay inyección de α a X . Como los ordinales están bien ordenados, esto implica inmediatamente la existencia de un número de Hartogs para cualquier conjunto X . Además, la prueba es constructiva y produce el número de Hartogs de X .
Véase Goldrei 1996.
Sea la clase de todos los números ordinales β para los cuales existe una función inyectiva de β en X.
Primero, verificamos que α es un conjunto.
Pero este último conjunto es exactamente α . Ahora bien, como un conjunto transitivo de ordinales es de nuevo un ordinal, α es un ordinal. Además, no hay inyección de α en X , porque si la hubiera, entonces tendríamos la contradicción de que α ∈ α . Y finalmente, α es el menor de tales ordinales sin inyección en X . Esto es cierto porque, como α es un ordinal, para cualquier β < α , β ∈ α , por lo que hay una inyección de β en X .
En 1915, Hartogs no podía usar ni los ordinales de von Neumann ni el axioma de reemplazo , por lo que su resultado es uno de la teoría de conjuntos de Zermelo y parece bastante diferente de la exposición moderna anterior. En cambio, consideró el conjunto de clases de isomorfismo de subconjuntos bien ordenados de X y la relación en la que la clase de A precede a la de B si A es isomorfa con un segmento inicial propio de B. Hartogs demostró que este es un buen ordenamiento mayor que cualquier subconjunto bien ordenado de X. Sin embargo, el propósito principal de su contribución fue mostrar que la tricotomía para números cardinales implica el teorema de buen ordenamiento (que entonces tenía 11 años) (y, por lo tanto, el axioma de elección).
