En la teoría de conjuntos , el concepto de cardinalidad se puede desarrollar de manera significativa sin recurrir a definir realmente los números cardinales como objetos en la teoría misma (de hecho, este es un punto de vista adoptado por Frege ; los cardinales de Frege son básicamente clases de equivalencia en todo el universo de conjuntos , por equinumerosidad ). Los conceptos se desarrollan definiendo la equinumerosidad en términos de funciones y los conceptos de uno a uno y sobre (inyectividad y sobreyectividad); esto nos da una relación de cuasi-ordenación.
en todo el universo por tamaño. No es un verdadero ordenamiento parcial porque no es necesario que se cumpla la antisimetría : si tanto y , es cierto por el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder que, es decir , A y B son equinumerosos, pero no tienen que ser literalmente iguales (véase isomorfismo ). Que se cumpla al menos uno de y resulta ser equivalente al axioma de elección .
Sin embargo, la mayoría de los resultados interesantes sobre la cardinalidad y su aritmética se pueden expresar simplemente con = c .
El objetivo de una asignación cardinal es asignar a cada conjunto A un conjunto específico y único que sólo depende de la cardinalidad de A. Esto está de acuerdo con la visión original de Cantor sobre los cardinales: tomar un conjunto y abstraer sus elementos en "unidades" canónicas y reunir estas unidades en otro conjunto, de modo que lo único especial de este conjunto sea su tamaño. Estos estarían totalmente ordenados por la relación , y = c sería una verdadera igualdad. Sin embargo, como dice YN Moschovakis , esto es principalmente un ejercicio de elegancia matemática, y no se gana mucho a menos que se sea "alérgico a los subíndices". Sin embargo, existen varias aplicaciones valiosas de los números cardinales "reales" en varios modelos de teoría de conjuntos.
En la teoría de conjuntos moderna, normalmente utilizamos la asignación cardinal de Von Neumann , que utiliza la teoría de los números ordinales y la potencia total de los axiomas de elección y reemplazo . Las asignaciones cardinales necesitan el axioma de elección completo, si queremos una aritmética cardinal decente y una asignación para todos los conjuntos.
Formalmente, asumiendo el axioma de elección, la cardinalidad de un conjunto X es el menor ordinal α tal que hay una biyección entre X y α . Esta definición se conoce como la asignación cardinal de von Neumann . Si no se asume el axioma de elección, necesitamos hacer algo diferente. La definición más antigua de la cardinalidad de un conjunto X (implícita en Cantor y explícita en Frege y Principia Mathematica ) es como el conjunto de todos los conjuntos que son equinumerosos con X : esto no funciona en ZFC u otros sistemas relacionados de teoría de conjuntos axiomáticos porque esta colección es demasiado grande para ser un conjunto, pero sí funciona en la teoría de tipos y en New Foundations y sistemas relacionados. Sin embargo, si restringimos de esta clase a aquellos equinumerosos con X que tienen el menor rango , entonces funcionará (este es un truco debido a Dana Scott : funciona porque la colección de objetos con cualquier rango dado es un conjunto; vea el truco de Scott ).
