El truco de Scott

Método de la teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos , el truco de Scott es un método para dar una definición de clases de equivalencia para relaciones de equivalencia en una clase adecuada (Jech 2003:65) haciendo referencia a niveles de la jerarquía acumulativa .

El método se basa en el axioma de regularidad pero no en el axioma de elección . Puede utilizarse para definir representantes de números ordinales en ZF, teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (Forster 2003:182). El método fue introducido por Dana Scott  (1955).

Más allá del problema de definir representantes de conjuntos para números ordinales, el truco de Scott se puede utilizar para obtener representantes para números cardinales y, más generalmente, para tipos de isomorfismo , por ejemplo, tipos de orden de conjuntos ordenados linealmente (Jech 2003:65). Se le atribuye ser indispensable (incluso en presencia del axioma de elección) cuando se toman ultrapoderes de clases adecuadas en la teoría de modelos . (Kanamori 1994:47)

Aplicación a cardinalidades

El uso del truco de Scott para los números cardinales muestra cómo se emplea normalmente el método. La definición inicial de número cardinal es una clase de equivalencia de conjuntos, donde dos conjuntos son equivalentes si existe una biyección entre ellos. La dificultad es que casi todas las clases de equivalencia de esta relación son una clase propia , por lo que las clases de equivalencia en sí no pueden manipularse directamente en teorías de conjuntos, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, que sólo se ocupa de conjuntos. A menudo es deseable en el contexto de la teoría de conjuntos tener conjuntos que sean representativos de las clases de equivalencia. Luego, estos conjuntos se consideran "números cardinales", por definición.

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección , una forma de asignar representantes a números cardinales es asociar cada número cardinal con el menor número ordinal de la misma cardinalidad. Estos ordinales especiales son los números ℵ . Pero si no se asume el axioma de elección, para algunos números cardinales puede no ser posible encontrar dicho número ordinal y, por tanto, los números cardinales de esos conjuntos no tienen ningún número ordinal como representante.

El truco de Scott asigna representantes de manera diferente, utilizando el hecho de que para cada conjunto hay un rango mínimo en la jerarquía acumulativa cuando aparece algún conjunto de la misma cardinalidad. Por tanto, se puede definir el representante del número cardinal de como el conjunto de todos los conjuntos de rangos que tienen la misma cardinalidad que . Esta definición asigna un representante a cada número cardinal incluso cuando no todos los conjuntos pueden estar bien ordenados (un supuesto equivalente al axioma de elección). Puede llevarse a cabo en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, sin utilizar el axioma de elección, pero haciendo uso esencial del axioma de regularidad . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$

El truco de Scott en general.

Sea una relación de equivalencia de conjuntos. Sea un conjunto y su clase de equivalencia con respecto a . Si no está vacío, podemos definir un conjunto que represente , incluso si es una clase adecuada. Es decir, existe un ordinal mínimo , tal que no está vacío. Esta intersección es un conjunto, por lo que podemos tomarla como representante de . No utilizamos regularidad para esta construcción. ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle [a]}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle V\cap [a]}$ ${\displaystyle [a]}$ ${\displaystyle [a]}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle V_{\alpha }\cap [a]}$ ${\displaystyle [a]}$

El axioma de regularidad es equivalente a para todos los conjuntos (ver Regularidad, jerarquía acumulativa y tipos ). Entonces, en particular, si asumimos el axioma de regularidad, entonces no estará vacío para todos los conjuntos y relaciones de equivalencia , ya que . En resumen: dado el axioma de regularidad, podemos encontrar representantes de cada clase de equivalencia, para cualquier relación de equivalencia. ${\displaystyle a\in V}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle V\cap [a]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle a\in V\cap [a]}$

Referencias

• Thomas Forster (2003), Lógica, Inducción y Conjuntos , Cambridge University Press. ISBN  0-521-53361-9
• Thomas Jech, Teoría de conjuntos , 3er milenio (revisado) ed., 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2 
• Akihiro Kanamori: El infinito superior. Grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios . , Perspectivas en Lógica Matemática. Springer-Verlag, Berlín, 1994. xxiv+536 págs.
• Scott, Dana (1955), "Definiciones por abstracción en la teoría de conjuntos axiomáticos" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 61 (5): 442, doi : 10.1090/S0002-9904-1955-09941-5