Jerarquía acumulativa

Familia de conjuntos indexados por números ordinales

En matemáticas , específicamente en teoría de conjuntos , una jerarquía acumulativa es una familia de conjuntos indexados por ordinales tales que ${\displaystyle W_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

• ${\displaystyle W_{\alpha }\subseteq W_{\alpha +1}}$
• Si es un ordinal límite , entonces ${\displaystyle \lambda }$ ${\textstyle W_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }W_{\alpha }}$

Algunos autores exigen además que o que . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle W_{\alpha +1}\subseteq {\mathcal {P}}(W_{\alpha })}$ ${\displaystyle W_{0}\neq \emptyset }$

La unión de los conjuntos de una jerarquía acumulativa se utiliza a menudo como modelo de la teoría de conjuntos. ^{[ cita requerida ]} ${\textstyle W=\bigcup _{\alpha \in \mathrm {On} }W_{\alpha }}$

La frase "la jerarquía acumulativa" generalmente se refiere a la jerarquía acumulativa estándar del universo de von Neumann introducida por Zermelo (1930). ${\displaystyle \mathrm {V} _{\alpha }}$ ${\displaystyle \mathrm {V} _{\alpha +1}={\mathcal {P}}(W_{\alpha })}$

Principio de reflexión

Una jerarquía acumulativa satisface una forma del principio de reflexión : cualquier fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos que se cumple en la unión de la jerarquía también se cumple en algunas etapas . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W_{\alpha }}$

Ejemplos

• El universo de von Neumann se construye a partir de una jerarquía acumulativa . ${\displaystyle \mathrm {V} _{\alpha }}$
• Los conjuntos del universo construible forman una jerarquía acumulativa. ${\displaystyle \mathrm {L} _{\alpha }}$
• Los modelos con valores booleanos construidos mediante forzamiento se construyen utilizando una jerarquía acumulativa.
• Los conjuntos bien fundados en un modelo de teoría de conjuntos (que posiblemente no satisfacen el axioma de fundamento ) forman una jerarquía acumulativa cuya unión satisface el axioma de fundamento.

Referencias

• Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos . Springer Monographs in Mathematics (edición del tercer milenio). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-44085-7.Zbl 1007.03002  .
• Zermelo, Ernst (1930). "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre". Fundamentos Mathematicae . 16 : 29–47. doi : 10.4064/fm-16-1-29-47 .