En teoría de conjuntos , un número ordinal , u ordinal , es una generalización de los números ordinales (primero, segundo, n.ésimo , etc.) destinada a extender la enumeración a conjuntos infinitos . [1]
Un conjunto finito se puede enumerar etiquetando sucesivamente cada elemento con el menor número natural que no se haya utilizado previamente. Para extender este proceso a varios conjuntos infinitos , los números ordinales se definen de manera más general como etiquetas ordenadas linealmente que incluyen los números naturales y tienen la propiedad de que cada conjunto de ordinales tiene un elemento mínimo (esto es necesario para darle significado a "el elemento menos no utilizado"). elemento"). [2] Esta definición más general nos permite definir un número ordinal (omega) que es mayor que todo número natural, junto con los números ordinales , , etc., que son incluso mayores que .
Un orden lineal tal que cada subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo se llama orden del pozo . El axioma de elección implica que todo conjunto puede estar bien ordenado y, dados dos conjuntos bien ordenados, uno es isomorfo a un segmento inicial del otro. Entonces los números ordinales existen y son esencialmente únicos.
Los números ordinales son distintos de los números cardinales , que miden el tamaño de los conjuntos. Aunque la distinción entre ordinales y cardinales no siempre es evidente en conjuntos finitos (se puede pasar de uno a otro simplemente contando etiquetas), son muy diferentes en el caso infinito, donde diferentes ordinales infinitos pueden corresponder a conjuntos que tienen el mismo cardinal. . Al igual que otras clases de números, los ordinales se pueden sumar, multiplicar y exponenciar , aunque ninguna de estas operaciones es conmutativa.
Los ordinales fueron introducidos por Georg Cantor en 1883 [3] para dar cabida a secuencias infinitas y clasificar conjuntos derivados , que había introducido previamente en 1872 mientras estudiaba la unicidad de las series trigonométricas . [4]
Un número natural (que, en este contexto, incluye el número ) se puede utilizar para dos propósitos: describir el tamaño de un conjunto o describir la posición de un elemento en una secuencia. Cuando se restringen a conjuntos finitos, estos dos conceptos coinciden, ya que todos los órdenes lineales de un conjunto finito son isomorfos .
Sin embargo, cuando se trata de conjuntos infinitos, hay que distinguir entre la noción de tamaño, que conduce a los números cardinales , y la noción de posición, que conduce a los números ordinales descritos aquí. Esto se debe a que, si bien cualquier conjunto tiene un solo tamaño (su cardinalidad ), existen muchos buenos ordenamientos no isomorfos de cualquier conjunto infinito, como se explica a continuación.
Mientras que la noción de número cardinal está asociada a un conjunto sin una estructura particular en él, los ordinales están íntimamente ligados con el tipo especial de conjuntos que se denominan bien ordenados . Un conjunto bien ordenado es un conjunto totalmente ordenado en el que cada subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo (un conjunto totalmente ordenado es un conjunto ordenado tal que, dados dos elementos distintos, uno es menor que el otro). De manera equivalente, suponiendo el axioma de elección dependiente , es un conjunto totalmente ordenado sin ninguna secuencia infinita decreciente, aunque puede haber infinitas secuencias crecientes. Los ordinales se pueden utilizar para etiquetar los elementos de cualquier conjunto bien ordenado (el elemento más pequeño se etiqueta como 0, el siguiente como 1, el siguiente como 2, "y así sucesivamente"), y para medir la "longitud" del conjunto. conjunto completo por el menos ordinal que no sea una etiqueta para un elemento del conjunto. Esta "longitud" se denomina tipo de orden del conjunto.
Cualquier ordinal se define por el conjunto de ordinales que lo preceden. De hecho, la definición más común de ordinales identifica cada ordinal como el conjunto de ordinales que lo preceden. Por ejemplo, el ordinal 42 generalmente se identifica como el conjunto {0, 1, 2,..., 41}. Por el contrario, cualquier conjunto S de ordinales que esté cerrado hacia abajo (lo que significa que para cualquier ordinal α en S y cualquier ordinal β < α, β también está en S ) es (o puede identificarse con) un ordinal.
Esta definición de ordinales en términos de conjuntos permite infinitos ordinales. El ordinal infinito más pequeño es , que puede identificarse con el conjunto de los números naturales (de modo que el ordinal asociado a cada número natural precede a ). De hecho, el conjunto de números naturales está bien ordenado (al igual que cualquier conjunto de ordinales) y, como está cerrado hacia abajo, puede identificarse con el ordinal asociado a él.
Quizás se pueda formar una intuición más clara sobre los ordinales examinando algunos de ellos: como se mencionó anteriormente, comienzan con los números naturales, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Después de todos los números naturales viene el primero. ordinal infinito, ω, y después viene ω+1, ω+2, ω+3, etc. (Exactamente lo que significa la suma se definirá más adelante: considérelos simplemente como nombres). Después de todos estos vienen ω·2 (que es ω+ω), ω·2+1, ω·2+2, y así sucesivamente, luego ω·3, y luego ω·4. Ahora bien, el conjunto de ordinales formado de esta manera (los ω· m + n , donde myn son números naturales ) debe tener un ordinal asociado: y ese es ω 2 . Más adelante habrá ω 3 , luego ω 4 , y así sucesivamente, y ω ω , luego ω ω ω , luego más tarde ω ω ω ω , y aún más tarde ε 0 ( épsilon naught ) (para dar algunos ejemplos de pequeños—contables—ordinales). Esto puede continuar indefinidamente (ya que cada vez que uno dice "y así sucesivamente" al enumerar ordinales, define un ordinal más grande). El ordinal incontable más pequeño es el conjunto de todos los ordinales contables, expresado como ω 1 o . [5]
En un conjunto bien ordenado , cada subconjunto no vacío contiene un elemento más pequeño distinto. Dado el axioma de elección dependiente , esto equivale a decir que el conjunto está totalmente ordenado y no existe una secuencia decreciente infinita (siendo esta última más fácil de visualizar). En la práctica, la importancia del buen orden se justifica por la posibilidad de aplicar la inducción transfinita , que dice, esencialmente, que cualquier propiedad que pase de los predecesores de un elemento a ese elemento mismo debe ser cierta para todos los elementos (del elemento dado). conjunto bien ordenado). Si los estados de un cálculo (programa de computadora o juego) pueden estar bien ordenados (de tal manera que a cada paso le siga un paso "inferior"), entonces el cálculo terminará.
Es inapropiado distinguir entre dos conjuntos bien ordenados si sólo difieren en el "etiquetado de sus elementos", o más formalmente: si los elementos del primer conjunto pueden emparejarse con los elementos del segundo conjunto de manera que si uno elemento es más pequeño que otro en el primer conjunto, entonces el compañero del primer elemento es más pequeño que el compañero del segundo elemento en el segundo conjunto, y viceversa. Tal correspondencia uno a uno se llama isomorfismo de orden , y se dice que los dos conjuntos bien ordenados son isomorficos de orden o similares (en el entendido de que se trata de una relación de equivalencia ).
Formalmente, si se define un orden parcial ≤ en el conjunto S , y un orden parcial ≤' se define en el conjunto S' , entonces los posets ( S ,≤) y ( S' ,≤') son isomórficos de orden si hay una biyección f que preserva el orden. Es decir, f ( a ) ≤' f ( b ) si y sólo si a ≤ b . Siempre que exista un isomorfismo de orden entre dos conjuntos bien ordenados, el isomorfismo de orden es único: esto hace que sea bastante justificable considerar los dos conjuntos como esencialmente idénticos y buscar un representante "canónico" del tipo (clase) de isomorfismo. Esto es exactamente lo que proporcionan los ordinales, y también proporciona un etiquetado canónico de los elementos de cualquier conjunto bien ordenado. Todo conjunto bien ordenado ( S ,<) es de orden isomorfo al conjunto de ordinales menores que un número ordinal específico según su orden natural. Este conjunto canónico es el tipo de orden de ( S ,<).
Esencialmente, se pretende definir un ordinal como una clase de isomorfismo de conjuntos bien ordenados: es decir, como una clase de equivalencia para la relación de equivalencia de "ser de orden isomorfo". Sin embargo, existe una dificultad técnica en el hecho de que la clase de equivalencia es demasiado grande para ser un conjunto en la formalización habitual de Zermelo-Fraenkel (ZF) de la teoría de conjuntos. Pero esto no es una dificultad seria. Se puede decir que el ordinal es el tipo de orden de cualquier conjunto de la clase.
La definición original de números ordinales, que se encuentra por ejemplo en los Principia Mathematica , define el tipo de orden de un bien-ordenamiento como el conjunto de todos los bien-ordenamientos similares (orden-isomorfos) a ese bien-ordenamiento: en otras palabras, un ordinal El número es genuinamente una clase de equivalencia de conjuntos bien ordenados. Esta definición debe abandonarse en ZF y sistemas relacionados de teoría de conjuntos axiomáticos porque estas clases de equivalencia son demasiado grandes para formar un conjunto. Sin embargo, esta definición todavía se puede utilizar en la teoría de tipos y en la teoría de conjuntos axiomáticos de Quine, Nuevos fundamentos y sistemas relacionados (donde ofrece una solución alternativa bastante sorprendente a la paradoja de Burali-Forti del ordinal más grande).
En lugar de definir un ordinal como una clase de equivalencia de conjuntos bien ordenados, se definirá como un conjunto bien ordenado particular que (canónicamente) representa la clase. Por tanto, un número ordinal será un conjunto bien ordenado; y todo conjunto bien ordenado será isomorfo de orden exactamente a un número ordinal.
Para cada conjunto bien ordenado T , define un isomorfismo de orden entre T y el conjunto de todos los subconjuntos de T que tienen la forma ordenada por inclusión. Esto motiva la definición estándar, sugerida por John von Neumann a la edad de 19 años, ahora llamada definición de ordinales de von Neumann : "cada ordinal es el conjunto bien ordenado de todos los ordinales más pequeños". En símbolos, . [6] [7] Formalmente:
Por tanto, los números naturales son ordinales según esta definición. Por ejemplo, 2 es un elemento de 4 = {0, 1, 2, 3} y 2 es igual a {0, 1} , por lo que es un subconjunto de {0, 1, 2, 3} .
Se puede demostrar mediante inducción transfinita que todo conjunto bien ordenado es isomorfo de orden exactamente a uno de estos ordinales, es decir, hay una función biyectiva que preserva el orden entre ellos.
Además, los elementos de todo ordinal son ordinales en sí mismos. Dados dos ordinales S y T , S es un elemento de T si y sólo si S es un subconjunto propio de T. Además, S es un elemento de T , o T es un elemento de S , o son iguales. Entonces cada conjunto de ordinales está totalmente ordenado . Además, todo conjunto de ordinales está bien ordenado. Esto generaliza el hecho de que todo conjunto de números naturales está bien ordenado.
En consecuencia, todo ordinal S es un conjunto que tiene como elementos precisamente los ordinales menores que S. Por ejemplo, todo conjunto de ordinales tiene un supremo , el ordinal que se obtiene al tomar la unión de todos los ordinales del conjunto. Esta unión existe independientemente del tamaño del conjunto, por el axioma de unión .
La clase de todos los ordinales no es un conjunto. Si fuera un conjunto, se podría demostrar que es un ordinal y, por tanto, un miembro de sí mismo, lo que contradeciría su estricto ordenamiento por membresía. Ésta es la paradoja de Burali-Forti . La clase de todos los ordinales se denomina "Ord", "ON" o "∞".
Un ordinal es finito si y sólo si el orden opuesto también está bien ordenado, lo cual es el caso si y sólo si cada uno de sus subconjuntos no vacíos tiene un máximo .
Existen otras formulaciones modernas de la definición de ordinal. Por ejemplo, suponiendo el axioma de regularidad , lo siguiente es equivalente para un conjunto x :
Estas definiciones no se pueden utilizar en teorías de conjuntos no bien fundamentadas . En teorías de conjuntos con urelementos , uno debe asegurarse además de que la definición excluya la aparición de urelementos en ordinales.
Si α es cualquier ordinal y X es un conjunto, una secuencia de elementos de X indexada por α es una función de α a X. Este concepto, secuencia transfinita (si α es infinita) o secuencia indexada ordinal , es una generalización del concepto de secuencia . Una secuencia ordinaria corresponde al caso α = ω, mientras que una α finita corresponde a una tupla , también conocida como cadena .
La inducción transfinita se cumple en cualquier conjunto bien ordenado , pero es tan importante en relación con los ordinales que vale la pena repetirla aquí.
Es decir, si P (α) es verdadera siempre que P (β) sea verdadera para todo β < α , entonces P (α) es verdadera para todo α. O, más prácticamente: para demostrar una propiedad P para todos los ordinales α, se puede suponer que ya es conocida para todos los β < α más pequeños .
La inducción transfinita se puede utilizar no sólo para probar cosas, sino también para definirlas. Normalmente se dice que tal definición es por recursividad transfinita : la prueba de que el resultado está bien definido utiliza la inducción transfinita. Sea F una función (clase) F que se definirá en los ordinales. La idea ahora es que, al definir F (α) para un α ordinal no especificado, se puede suponer que F (β) ya está definido para todo β < α y así dar una fórmula para F (α) en términos de estos F ( β). Luego se deduce por inducción transfinita que hay una y sólo una función que satisface la fórmula de recursividad hasta α inclusive.
Aquí hay un ejemplo de definición por recursividad transfinita en los ordinales (se dará más información más adelante): defina la función F dejando que F (α) sea el ordinal más pequeño que no esté en el conjunto { F (β) | β < α} , es decir, el conjunto formado por todos los F (β) para β < α . Esta definición asume la F (β) conocida en el propio proceso de definición de F ; este aparente círculo vicioso es exactamente lo que permite la definición por recursividad transfinita. De hecho, F (0) tiene sentido ya que no existe un ordinal β < 0 y el conjunto { F (β) | β < 0} está vacío. Entonces F (0) es igual a 0 (el ordinal más pequeño de todos). Ahora que se conoce F (0), la definición aplicada a F (1) tiene sentido (es el ordinal más pequeño que no está en el conjunto singleton { F (0)} = {0} ), y así sucesivamente (el y así sucesivamente es exactamente inducción transfinita). Resulta que este ejemplo no es muy interesante, ya que demostrablemente F (α) = α para todos los ordinales α, lo cual puede demostrarse, precisamente, mediante inducción transfinita.
Cualquier ordinal distinto de cero tiene el elemento mínimo, cero. Puede tener o no un elemento máximo. Por ejemplo, 42 tiene un máximo de 41 y ω+6 tiene un máximo de ω+5. Por otro lado, ω no tiene máximo ya que no existe un número natural mayor. Si un ordinal tiene un máximo de α, entonces es el siguiente ordinal después de α, y se llama ordinal sucesor , es decir, el sucesor de α, escrito α+1. En la definición de ordinales de von Neumann, el sucesor de α es ya que sus elementos son los de α y α mismo. [6]
Un ordinal distinto de cero que no es sucesor se llama ordinal límite . Una justificación para este término es que un ordinal límite es el límite en un sentido topológico de todos los ordinales más pequeños (bajo la topología del orden ).
Cuando es una secuencia indexada por ordinales, indexada por un límite y la secuencia es creciente , es decir siempre que su límite se define como el mínimo límite superior del conjunto , es decir, el ordinal más pequeño (siempre existe) mayor que cualquier término de la secuencia. . En este sentido, un ordinal límite es el límite de todos los ordinales más pequeños (indexados por sí mismos). Dicho más directamente, es el supremo del conjunto de ordinales más pequeños.
Otra forma de definir un ordinal límite es decir que α es un ordinal límite si y sólo si:
Entonces en la siguiente secuencia:
ω es un ordinal límite porque para cualquier ordinal más pequeño (en este ejemplo, un número natural) hay otro ordinal (número natural) mayor que él, pero aún menor que ω.
Por tanto, todo ordinal es cero, sucesor (de un predecesor bien definido) o límite. Esta distinción es importante porque muchas definiciones de recursividad transfinita se basan en ella. Muy a menudo, al definir una función F mediante recursividad transfinita en todos los ordinales, se define F (0) y F (α+1) asumiendo que F (α) está definida, y luego, para los ordinales límite δ se define F (δ) como el límite de F (β) para todo β<δ (ya sea en el sentido de límites ordinales, como se explicó anteriormente, o por alguna otra noción de límite si F no toma valores ordinales). Por tanto, el paso interesante en la definición es el paso sucesor, no los ordinales límite. Estas funciones (especialmente para F no decrecientes y que toman valores ordinales) se denominan continuas. La suma, multiplicación y exponenciación ordinales son continuas como funciones de su segundo argumento (pero se pueden definir de forma no recursiva).
Cualquier conjunto bien ordenado es similar (orden-isomorfo) a un número ordinal único ; en otras palabras, sus elementos pueden indexarse de forma creciente mediante los ordinales menores que . Esto se aplica, en particular, a cualquier conjunto de ordinales: cualquier conjunto de ordinales está naturalmente indexado por los ordinales menores que algunos . Lo mismo se aplica, con una ligera modificación, a las clases de ordinales (una colección de ordinales, posiblemente demasiado grande para formar un conjunto, definida por alguna propiedad): cualquier clase de ordinales puede indexarse mediante ordinales (y, cuando la clase no está acotada en la clase de todos los ordinales, esto lo coloca en biyección de clase con la clase de todos los ordinales). Por lo tanto, se puede hablar libremente del elemento -ésimo de la clase (con la convención de que el "0-ésimo" es el más pequeño, el "1-ésimo" es el siguiente más pequeño, etc.). Formalmente, la definición es por inducción transfinita: el -ésimo elemento de la clase se define (siempre que ya haya sido definido para all ), como el elemento más pequeño mayor que el -ésimo elemento para all .
Esto podría aplicarse, por ejemplo, a la clase de ordinales límite: el -ésimo ordinal, que es un límite o cero (consulte aritmética de ordinales para conocer la definición de multiplicación de ordinales). De manera similar, se pueden considerar ordinales aditivamente indescomponibles (es decir, un ordinal distinto de cero que no es la suma de dos ordinales estrictamente más pequeños): el -ésimo ordinal aditivamente indescomponible está indexado como . La técnica de indexar clases de ordinales suele ser útil en el contexto de puntos fijos: por ejemplo, el -ésimo ordinal tal que se escribe . Estos se denominan " números épsilon ".
Se dice que una clase de ordinales es ilimitada , o cofinal , cuando dado cualquier ordinal , existe un tal que (entonces la clase debe ser una clase propia, es decir, no puede ser un conjunto). Se dice que está cerrado cuando el límite de una secuencia de ordinales en la clase está nuevamente en la clase: o, de manera equivalente, cuando la función de indexación (clase) es continua en el sentido de que, para un ordinal límite, (el - º ordinal de la clase) es el límite de todos para ; esto también es lo mismo que estar cerrado, en el sentido topológico , para la topología de orden (para evitar hablar de topología en clases adecuadas, se puede exigir que la intersección de la clase con cualquier ordinal dado esté cerrada para la topología de orden en ese ordinal , esto es nuevamente equivalente).
De particular importancia son aquellas clases de ordinales que son cerrados e ilimitados , a veces llamados clubes . Por ejemplo, la clase de todos los ordinales límite es cerrada e ilimitada: esto traduce el hecho de que siempre hay un ordinal límite mayor que un ordinal dado, y que un límite de ordinales límite es un ordinal límite (un hecho afortunado si la terminología es no tiene ningún sentido!). La clase de ordinales aditivamente indescomponibles, o la clase de ordinales, o la clase de cardenales, son todas cerradas e ilimitadas; el conjunto de cardinales regulares, sin embargo, es ilimitado pero no cerrado, y cualquier conjunto finito de ordinales es cerrado pero no ilimitado.
Una clase es estacionaria si tiene una intersección no vacía con toda clase cerrada ilimitada. Todas las superclases de clases cerradas ilimitadas son estacionarias y las clases estacionarias son ilimitadas, pero hay clases estacionarias que no son cerradas y clases estacionarias que no tienen una subclase cerrada ilimitada (como la clase de todos los ordinales límite con cofinalidad contable). Dado que la intersección de dos clases cerradas ilimitadas es cerrada y ilimitada, la intersección de una clase estacionaria y una clase cerrada ilimitada es estacionaria. Pero la intersección de dos clases estacionarias puede estar vacía, por ejemplo, la clase de ordinales con cofinalidad ω con la clase de ordinales con cofinalidad incontable.
En lugar de formular estas definiciones para clases (adecuadas) de ordinales, se pueden formular para conjuntos de ordinales por debajo de un ordinal dado : se dice que un subconjunto de un ordinal límite es ilimitado (o cofinal) siempre que cualquier ordinal menor que sea menor que algún ordinal en el conjunto. De manera más general, se puede llamar cofinal a un subconjunto de cualquier ordinal siempre que cada ordinal menor que sea menor o igual a algún ordinal del conjunto. Se dice que el subconjunto está cerrado bajo siempre que esté cerrado para la topología de orden en , es decir, un límite de ordinales en el conjunto está en el conjunto o es igual a sí mismo.
Hay tres operaciones habituales con ordinales: suma, multiplicación y exponenciación (ordinal). Cada uno se puede definir esencialmente de dos maneras diferentes: ya sea construyendo un conjunto explícito bien ordenado que represente la operación o usando recursividad transfinita. La forma normal de Cantor proporciona una forma estandarizada de escribir ordinales. Representa de forma única cada ordinal como una suma finita de potencias ordinales de ω. Sin embargo, esto no puede formar la base de una notación ordinal universal debido a representaciones autorreferenciales como ε 0 = ω ε 0 .
Los ordinales son una subclase de la clase de números surrealistas , y las llamadas operaciones aritméticas "naturales" para números surrealistas son una forma alternativa de combinar ordinales aritméticamente. Conservan la conmutatividad a expensas de la continuidad.
Interpretados como números , una variante de los números en la teoría de juegos, los ordinales también se pueden combinar mediante operaciones aritméticas de números. Estas operaciones son conmutativas, pero la restricción a números naturales generalmente no es la misma que la suma ordinaria de números naturales.
Cada ordinal se asocia con un cardinal , su cardinalidad. Si hay una biyección entre dos ordinales (por ejemplo, ω = 1 + ω y ω + 1 > ω ), entonces se asocian con el mismo cardinal. Cualquier conjunto bien ordenado que tenga un ordinal como tipo de orden tiene la misma cardinalidad que ese ordinal. El menos ordinal asociado con un cardenal determinado se llama ordinal inicial de ese cardenal. Todo ordinal finito (número natural) es inicial y ningún otro ordinal se asocia con su cardinal. Pero la mayoría de los ordinales infinitos no son iniciales, ya que muchos ordinales infinitos se asocian con el mismo cardinal. El axioma de elección equivale a la afirmación de que todo conjunto puede estar bien ordenado, es decir, que todo cardinal tiene un ordinal inicial. En teorías con el axioma de elección, el número cardinal de cualquier conjunto tiene un ordinal inicial, y se puede emplear la asignación cardinal de Von Neumann como representación del cardinal. (Sin embargo, debemos tener cuidado de distinguir entre aritmética cardinal y aritmética ordinal). En las teorías de conjuntos sin el axioma de elección, un cardinal puede estar representado por el conjunto de conjuntos cuya cardinalidad tiene un rango mínimo (ver el truco de Scott ).
Un problema con el truco de Scott es que identifica el número cardinal con , que en algunas formulaciones es el número ordinal . Puede ser más claro aplicar la asignación cardinal de Von Neumann a casos finitos y utilizar el truco de Scott para conjuntos que son infinitos o que no admiten buenos ordenamientos. Tenga en cuenta que la aritmética cardinal y ordinal concuerdan para números finitos.
Se escribe el α-ésimo ordinal inicial infinito , siempre es un ordinal límite. Su cardinalidad está escrita . Por ejemplo, la cardinalidad de ω 0 = ω es , que también es la cardinalidad de ω 2 o ε 0 (todos son ordinales contables). Entonces ω se puede identificar con , excepto que la notación se usa cuando se escriben cardinales y ω cuando se escribe ordinales (esto es importante ya que, por ejemplo, = mientras que ). Además, es el ordinal incontable más pequeño (para ver que existe, considere el conjunto de clases de equivalencia de buenos ordenamientos de los números naturales: cada uno de esos buenos ordenamientos define un ordinal contable y es el tipo de orden de ese conjunto), es el ordinal más pequeño cuya cardinalidad es mayor que , y así sucesivamente, y es el límite de para los números naturales n (cualquier límite de cardinales es un cardinal, por lo que este límite es de hecho el primer cardinal después de todos los ).
La cofinalidad de un ordinal es el ordinal más pequeño que es el tipo de orden de un subconjunto cofinal de . Observe que varios autores definen la cofinalidad o la usan solo para ordinales límite. La cofinalidad de un conjunto de ordinales o de cualquier otro conjunto bien ordenado es la cofinalidad del tipo de orden de ese conjunto.
Por lo tanto, para un ordinal límite, existe una secuencia estrictamente creciente indexada con límite . Por ejemplo, la cofinalidad de ω 2 es ω, porque la secuencia ω · m (donde m abarca los números naturales) tiende a ω 2 ; pero, de manera más general, cualquier ordinal límite contable tiene cofinalidad ω. Un ordinal límite incontable puede tener cofinalidad ω como lo hace o una cofinalidad incontable.
La cofinalidad de 0 es 0. Y la cofinalidad de cualquier ordinal sucesor es 1. La cofinalidad de cualquier ordinal límite es al menos .
Un ordinal que es igual a su cofinalidad se llama regular y siempre es un ordinal inicial. Cualquier límite de ordinales regulares es un límite de ordinales iniciales y, por tanto, también es inicial incluso si no es regular, lo que normalmente no es. Si es el axioma de elección, entonces es regular para cada α. En este caso, los ordinales 0, 1, , , y son regulares, mientras que 2, 3, y ω ω·2 son ordinales iniciales que no son regulares.
La cofinalidad de cualquier ordinal α es un ordinal regular, es decir, la cofinalidad de la cofinalidad de α es la misma que la cofinalidad de α . Entonces la operación de cofinalidad es idempotente .
Como se mencionó anteriormente (ver forma normal de Cantor ), el ordinal ε 0 es el más pequeño que satisface la ecuación , por lo que es el límite de la secuencia 0, 1, , , etc. Muchos ordinales se pueden definir de tal manera como puntos fijos de ciertas funciones ordinales (el -ésimo ordinal tal que se llama , entonces se podría seguir intentando encontrar el -ésimo ordinal tal que , "y así sucesivamente", pero toda la sutileza reside en el "y así sucesivamente"). Se podría intentar hacer esto sistemáticamente, pero no importa qué sistema se utilice para definir y construir ordinales, siempre hay un ordinal que se encuentra justo encima de todos los ordinales construidos por el sistema. Quizás el ordinal más importante que limita un sistema de construcción de esta manera es el ordinal Church-Kleene ( a pesar del nombre, este ordinal es contable), que es el ordinal más pequeño que de ninguna manera puede representarse mediante una función computable . (Esto puede hacerse riguroso, por supuesto). Sin embargo, a continuación se pueden definir ordinales considerablemente grandes , que miden la "fuerza de la teoría de la prueba" de ciertos sistemas formales (por ejemplo, mide la fuerza de la aritmética de Peano ). Los ordinales contables grandes, como los ordinales contables admisibles , también se pueden definir por encima del ordinal de Church-Kleene, que son de interés en varias partes de la lógica. [ cita necesaria ]
Cualquier número ordinal puede convertirse en un espacio topológico dotándolo de la topología de orden ; esta topología es discreta si y sólo si el ordinal es un cardinal contable, es decir, como máximo ω. Un subconjunto de ω + 1 es abierto en la topología de orden si y sólo si es cofinito o no contiene ω como elemento.
Consulte la sección Topología y ordinales del artículo "Topología de orden".
Los números ordinales transfinitos, que aparecieron por primera vez en 1883, [8] se originaron en el trabajo de Cantor con conjuntos derivados . Si P es un conjunto de números reales, el conjunto derivado P ′ es el conjunto de puntos límite de P . En 1872, Cantor generó los conjuntos P ( n ) aplicando la operación de conjunto derivado n veces a P. En 1880, señaló que estos conjuntos forman la secuencia P' ⊇ ··· ⊇ P ( n ) ⊇ P ( n + 1) ⊇ ···, y continuó el proceso de derivación definiendo P (∞) como la intersección de estos conjuntos. Luego repitió la operación de conjunto derivada y las intersecciones para extender su secuencia de conjuntos al infinito: P (∞) ⊇ P (∞ + 1) ⊇ P (∞ + 2) ⊇ ··· ⊇ P (2∞) ⊇ ·· · ⊇ P (∞ 2 ) ⊇ ···. [9] Los superíndices que contienen ∞ son solo índices definidos por el proceso de derivación. [10]
Cantor utilizó estos conjuntos en los teoremas:
Estos teoremas se prueban dividiendo P ′ en conjuntos disjuntos por pares : P ′ = ( P ′ \ P (2) ) ∪ ( P (2) \ P (3) ) ∪ ··· ∪ ( P (∞) \ P ( ∞ + 1) ) ∪ ··· ∪ P ( α ) . Para β < α : dado que P ( β + 1) contiene los puntos límite de P ( β ) , los conjuntos P ( β ) \ P ( β + 1) no tienen puntos límite. Por tanto, son conjuntos discretos , por lo que son contables. Prueba del primer teorema: si P ( α ) = ∅ para algún índice α , entonces P ′ es la unión contable de conjuntos contables. Por tanto, P ′ es contable. [11]
El segundo teorema requiere demostrar la existencia de un α tal que P ( α ) = ∅ . Para probar esto, Cantor consideró que el conjunto de todos los α tenía un número contable de predecesores. Para definir este conjunto, definió los números ordinales transfinitos y transformó los índices infinitos en ordinales reemplazando ∞ con ω , el primer número ordinal transfinito. Cantor llamó al conjunto de ordinales finitos la primera clase de números . La segunda clase de números es el conjunto de ordinales cuyos predecesores forman un conjunto contablemente infinito. El conjunto de todos los α que tienen muchos predecesores contables (es decir, el conjunto de ordinales contables) es la unión de estas dos clases de números. Cantor demostró que la cardinalidad de la segunda clase de números es la primera cardinalidad incontable. [12]
El segundo teorema de Cantor se convierte en: Si P ′ es contable, entonces hay un ordinal contable α tal que P ( α ) = ∅ . Su prueba utiliza prueba por contradicción . Sea P ′ contable y supongamos que no existe tal α. Esta suposición produce dos casos.
En ambos casos, P ′ es incontable, lo que contradice que P ′ sea contable. Por lo tanto, existe un ordinal contable α tal que P ( α ) = ∅ . El trabajo de Cantor con conjuntos derivados y números ordinales condujo al teorema de Cantor-Bendixson . [14]
Utilizando sucesores, límites y cardinalidad, Cantor generó una secuencia ilimitada de números ordinales y clases de números. [15] La ( α + 1 ) -ésima clase de números es el conjunto de ordinales cuyos predecesores forman un conjunto de la misma cardinalidad que la α -ésima clase de números. La cardinalidad de la clase de números ( α + 1) es la cardinalidad inmediatamente siguiente a la de la clase de números α . [16] Para un ordinal límite α , la clase de números α -ésimos es la unión de las clases de números β -ésimos para β < α . [17] Su cardinalidad es el límite de las cardinalidades de estas clases de números.
Si n es finito, la enésima clase de números tiene cardinalidad . Si α ≥ ω , la clase de números α -ésimo tiene cardinalidad . [18] Por lo tanto, las cardinalidades de las clases numéricas se corresponden uno a uno con los números aleph . Además, la clase de números α -ésima consta de ordinales diferentes de los de las clases de números anteriores si y sólo si α es un ordinal no límite. Por lo tanto, las clases de números no límite dividen los ordinales en conjuntos disjuntos por pares.
