Máximo y mínimo

El valor más grande y más pequeño tomado por una función toma en un punto dado

Máximos y mínimos locales y globales para cos(3π x )/ x , 0,1≤ x ≤1,1

En análisis matemático , el máximo y el mínimo ^[a] de una función son, respectivamente, el valor mayor y menor que toma la función. Conocidos genéricamente como extremos , ^[b] pueden definirse dentro de un rango dado (los extremos locales o relativos ) o en todo el dominio (los extremos globales o absolutos ) de una función. ^{[1] [2] [3]} Pierre de Fermat fue uno de los primeros matemáticos en proponer una técnica general, la igualdad , para encontrar los máximos y mínimos de funciones.

Como se define en la teoría de conjuntos , el máximo y el mínimo de un conjunto son los elementos mayor y menor del conjunto, respectivamente. Los conjuntos infinitos ilimitados , como el conjunto de los números reales , no tienen mínimo ni máximo.

En estadística , el concepto correspondiente es máximo y mínimo muestral .

Definición

Una función de valor real f definida en un dominio X tiene un punto máximo global (o absoluto )en x ^∗ , si f ( x ^∗ ) ≥ f ( x ) para todo x en X . De manera similar, la función tiene un punto mínimo global (o absoluto )en x ^∗ , si f ( x ^∗ ) ≤ f ( x ) para todo x en X . El valor de la función en un punto máximo se llamavalor máximo de la función, denotado, y el valor de la función en un punto mínimo se llama ${\displaystyle \max(f(x))}$valor mínimo de la función. Simbólicamente, esto se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle x_{0}\in X}$es un punto máximo global de función si ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle (\forall x\in X)\,f(x_{0})\geq f(x).}$

La definición de punto mínimo global también procede de manera similar.

Si el dominio X es un espacio métrico , entonces se dice que f tiene un punto máximo local (o relativo ) .en el punto x ^∗ , si existe algún ε > 0 tal que f ( x ^∗ ) ≥ f ( x ) para todo x en X dentro de la distancia ε de x ^∗ . De manera similar, la función tiene un punto mínimo local.en x ^∗ , si f ( x ^∗ ) ≤ f ( x ) para todo x en X dentro de la distancia ε de x ^∗ . Se puede utilizar una definición similar cuando X es un espacio topológico , ya que la definición que se acaba de dar se puede reformular en términos de vecindades. Matemáticamente, la definición dada se escribe de la siguiente manera:

Sea un espacio métrico y una función . Entonces es un punto máximo local de función si es tal que ${\displaystyle (X,d_{X})}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\exists \varepsilon >0)}$ ${\displaystyle (\forall x\in X)\,d_{X}(x,x_{0})<\varepsilon \implies f(x_{0})\geq f(x).}$

La definición del punto mínimo local también puede proceder de manera similar.

Tanto en el caso global como en el local, el concepto deSe puede definir el extremo estricto . Por ejemplo,x^∗es unpunto máximo global estricto si para todoxenXcon x ≠ x ^∗ , tenemos f ( x ^∗ ) > f ( x ), yx^∗es unpunto máximo local estricto si existe algún ε > 0tal que, para todoxenXdentro de la distanciaεdex^∗con x ≠ x ^∗ , tenemos f ( x ^∗ ) > f ( x ). Tenga en cuenta que un punto es un punto máximo global estricto si y sólo si es el punto máximo global único, y de manera similar para los puntos mínimos.

Una función continua de valor real con un dominio compacto siempre tiene un punto máximo y un punto mínimo. Un ejemplo importante es una función cuyo dominio es un intervalo cerrado y acotado de números reales (consulte el gráfico anterior).

Buscar

Encontrar máximos y mínimos globales es el objetivo de la optimización matemática . Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces, según el teorema del valor extremo , existen máximos y mínimos globales. Además, un máximo (o mínimo) global debe ser un máximo (o mínimo) local en el interior del dominio o debe estar en el límite del dominio. Entonces, un método para encontrar un máximo (o mínimo) global es observar todos los máximos (o mínimos) locales en el interior, y también observar los máximos (o mínimos) de los puntos en el límite, y tomar el mayor ( o más pequeño) uno.

Para funciones diferenciables , el teorema de Fermat establece que los extremos locales en el interior de un dominio deben ocurrir en puntos críticos (o puntos donde la derivada es igual a cero). ^[4] Sin embargo, no todos los puntos críticos son extremos. A menudo se puede distinguir si un punto crítico es un máximo local, un mínimo local o ninguno de los dos utilizando la prueba de la primera derivada , la prueba de la segunda derivada o la prueba de la derivada de orden superior , dada una diferenciabilidad suficiente. ^[5]

Para cualquier función definida por partes , se encuentra un máximo (o mínimo) encontrando el máximo (o mínimo) de cada parte por separado y luego viendo cuál es la más grande (o la más pequeña).

Ejemplos

El máximo global de ^x √ x ocurre en x = e .

Para un ejemplo práctico, ^[6] supongamos una situación en la que alguien tiene pies de cerca y está tratando de maximizar los pies cuadrados de un recinto rectangular, donde es el largo, el ancho y el área: ${\displaystyle 200}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy}$

${\displaystyle 2x+2y=200}$

${\displaystyle 2y=200-2x}$

${\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {200-2x}{2}}}$

${\displaystyle y=100-x}$

${\displaystyle xy=x(100-x)}$

La derivada con respecto a es: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}xy&={\frac {d}{dx}}x(100-x)\\&={\frac {d}{dx}}\left(100x-x^{2}\right)\\&=100-2x\end{aligned}}}$

Estableciendo esto igual a ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0=100-2x}$

${\displaystyle 2x=100}$

${\displaystyle x=50}$

revela que ese es nuestro único punto crítico . Ahora recupere los puntos finales determinando el intervalo al que están restringidos. Dado que el ancho es positivo, entonces , y desde , eso implica que . Conecte el punto crítico , así como los puntos finales y , en , y los resultados son y respectivamente. ${\displaystyle x=50}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x=100-y}$ ${\displaystyle x<100}$ ${\displaystyle 50}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 100}$ ${\displaystyle xy=x(100-x)}$ ${\displaystyle 2500,0,}$ ${\displaystyle 0}$

Por lo tanto, el área más grande que se puede alcanzar con un rectángulo de pies de cerca es . ^[6] ${\displaystyle 200}$ ${\displaystyle 50\times 50=2500}$

Funciones de más de una variable.

Superficie de Peano , un contraejemplo a algunos criterios de máximos locales del siglo XIX

El máximo global es el punto en la cima.

Contraejemplo: el punto rojo muestra un mínimo local que no es un mínimo global

Para funciones de más de una variable, se aplican condiciones similares. Por ejemplo, en la figura (ampliable) de la derecha, las condiciones necesarias para un máximo local son similares a las de una función con una sola variable. Las primeras derivadas parciales de z (la variable a maximizar) son cero en el máximo (el punto brillante en la parte superior de la figura). Las segundas derivadas parciales son negativas. Estas son sólo condiciones necesarias, no suficientes, para un máximo local, debido a la posibilidad de un punto de silla . Para utilizar estas condiciones para resolver un máximo, la función z también debe ser derivable en todo momento. La prueba de la segunda derivada parcial puede ayudar a clasificar el punto como máximo relativo o mínimo relativo. Por el contrario, existen diferencias sustanciales entre funciones de una variable y funciones de más de una variable en la identificación de extremos globales. Por ejemplo, si una función diferenciable acotada f definida en un intervalo cerrado en la recta real tiene un único punto crítico, que es un mínimo local, entonces también es un mínimo global (use el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para probar esto mediante contradicción ). En dos o más dimensiones, este argumento falla. Esto se ilustra con la función

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},\qquad x,y\in \mathbb {R} ,}$

cuyo único punto crítico está en (0,0), que es un mínimo local con f (0,0) = 0. Sin embargo, no puede ser global, porque f (2,3) = −5.

Máximos o mínimos de un funcional.

Si el dominio de una función para la cual se va a encontrar un extremo está formado por funciones (es decir, si se va a encontrar un extremo de un funcional ), entonces el extremo se encuentra mediante el cálculo de variaciones .

En relación a los conjuntos

También se pueden definir máximos y mínimos para conjuntos. En general, si un conjunto ordenado S tiene un elemento mayor m , entonces m es un elemento máximo del conjunto, también denotado como . Además, si S es un subconjunto de un conjunto ordenado T y m es el mayor elemento de S con ( con respecto al orden inducido por T ), entonces m es un límite superior mínimo de S en T. Resultados similares son válidos para el elemento mínimo , el elemento mínimo y el límite inferior máximo . Las funciones de máximo y mínimo para conjuntos se utilizan en bases de datos y se pueden calcular rápidamente, ya que el máximo (o mínimo) de un conjunto se puede calcular a partir de los máximos de una partición; formalmente, son funciones de agregación autodescomponibles . ${\displaystyle \max(S)}$

En el caso de un orden parcial general , el elemento mínimo (es decir, uno que es más pequeño que todos los demás) no debe confundirse con un elemento mínimo (nada es más pequeño). Asimismo, un elemento máximo de un conjunto parcialmente ordenado (poset) es un límite superior del conjunto que está contenido dentro del conjunto, mientras que un elemento máximo m de un poset A es un elemento de A tal que si m ≤ b (para cualquier b en A ), entonces m = b . Cualquier elemento mínimo o elemento mayor de un poset es único, pero un poset puede tener varios elementos mínimos o máximos. Si un poset tiene más de un elemento máximo, entonces estos elementos no serán comparables entre sí.

En un conjunto o cadena totalmente ordenado , todos los elementos son mutuamente comparables, por lo que dicho conjunto puede tener como máximo un elemento mínimo y como máximo un elemento máximo. Entonces, debido a la comparabilidad mutua, el elemento mínimo también será el elemento menor y el elemento máximo también será el elemento mayor. Así, en un conjunto totalmente ordenado, podemos simplemente utilizar los términos mínimo y máximo .

Si una cadena es finita, siempre tendrá un máximo y un mínimo. Si una cadena es infinita, entonces no es necesario que tenga un máximo ni un mínimo. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales no tiene máximo, aunque sí tiene un mínimo. Si una cadena infinita S está acotada, entonces la clausura Cl ( S ) del conjunto ocasionalmente tiene un mínimo y un máximo, en cuyo caso se denominan límite inferior mayor y límite superior mínimo del conjunto S , respectivamente.

Argumento del máximo

Como ejemplo, las funciones sinc normalizadas y no normalizadas anteriores tienen de {0} porque ambas alcanzan su valor máximo global de 1 en x  = 0. La función sinc no normalizada (roja) tiene un arg min de {−4,49, 4,49}, aproximadamente, porque tiene 2 valores mínimos globales de aproximadamente −0,217 en x  = ±4,49. Sin embargo, la función sinc normalizada (azul) tiene arg min de {−1,43, 1,43}, aproximadamente, porque sus mínimos globales ocurren en x  = ±1,43, aunque el valor mínimo es el mismo. ^[7] ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

En matemáticas , los argumentos de los máximos (abreviado arg max o argmax) y los argumentos de los mínimos (abreviado arg min o argmin) son los puntos de entrada en los que se maximiza y minimiza el valor de salida de una función , respectivamente. ^[8] Si bien los argumentos se definen sobre el dominio de una función , la salida es parte de su codominio .

Ver también

• prueba derivada
• Ínfimo y supremo
• Límite superior y límite inferior
• Identidad máximo-mínimo
• Equilibrio mecánico
• México (matemáticas)
• Muestra máxima y mínima
• Punto de silla

Notas

1. PL : máximos y mínimos (o máximos y mínimos ).
2. PL : extremos .

Referencias

1. Stewart, James (2008). Cálculo: primeros trascendentales (6ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-495-01166-8.
2. Larson, Ron ; Edwards, Bruce H. (2009). Cálculo (9ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-547-16702-2.
3. Thomas, George B .; Vertedero, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Cálculo de Thomas: primeros trascendentales (12ª ed.). Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-58876-0.
4. Weisstein, Eric W. "Mínimo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
5. Weisstein, Eric W. "Máximo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
6. Garrett, Paul. "Repaso de minimización y maximización".
7. "La función Sinc no normalizada Archivado el 15 de febrero de 2017 en la Wayback Machine ", Universidad de Sydney
8. Para mayor claridad, nos referimos a la entrada ( x ) como puntos y a la salida ( y ) como valores; comparar punto crítico y valor crítico .

enlaces externos

• El trabajo de Thomas Simpson sobre Maxima y Minima en Convergence
• Aplicación de Maxima y Minima con subpáginas de problemas resueltos.
• Jolliffe, Arthur Ernest (1911). «Máximas y Mínimas»  . Enciclopedia Británica . vol. 17 (11ª ed.). págs. 918–920.