función diferenciable

Función matemática cuya derivada existe

Una función diferenciable

En matemáticas , una función diferenciable de una variable real es una función cuya derivada existe en cada punto de su dominio . En otras palabras, la gráfica de una función derivable tiene una recta tangente no vertical en cada punto interior de su dominio. Una función diferenciable es suave (la función se aproxima localmente como una función lineal en cada punto interior) y no contiene ninguna ruptura, ángulo o cúspide .

Si x ₀ es un punto interior en el dominio de una función f , entonces se dice que f es diferenciable en x ₀ si la derivada existe. En otras palabras, la gráfica de f tiene una recta tangente no vertical en el punto ( x ₀ , f ( x ₀ )) . Se dice que f es diferenciable en U si es diferenciable en cada punto de U. Se dice que f es continuamente diferenciable si su derivada también es una función continua en el dominio de la función . En términos generales, se dice que f es de clase si sus primeras derivadas existen y son continuas en el dominio de la función . ${\displaystyle f'(x_{0})}$ ${\textstyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ ${\textstyle f}$

Para una función multivariable, como se muestra aquí, su diferenciabilidad es algo más que la existencia de sus derivadas parciales.

Diferenciabilidad de funciones reales de una variable.

Se dice que una función definida en un conjunto abierto es diferenciable en si la derivada ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\in U}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

existe. Esto implica que la función es continua en a .

Se dice que esta función f es derivable en U si es derivable en cada punto de U. En este caso, la derivada de f es, por tanto, una función de U en ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Una función continua no es necesariamente diferenciable, pero una función diferenciable es necesariamente continua (en cada punto donde es diferenciable) como se muestra a continuación (en la sección Diferenciabilidad y continuidad). Se dice que una función es continuamente diferenciable si su derivada también es una función continua; existen funciones que son diferenciables pero no continuamente diferenciables (se da un ejemplo en la sección Clases de diferenciabilidad).

Diferenciabilidad y continuidad

La función de valor absoluto es continua (es decir, no tiene espacios). Es diferenciable en todas partes excepto en el punto x = 0, donde hace un giro brusco al cruzar el eje y .

Una cúspide en la gráfica de una función continua. En cero, la función es continua pero no diferenciable.

Si f es derivable en un punto x ₀ , entonces f también debe ser continua en x ₀ . En particular, cualquier función diferenciable debe ser continua en todos los puntos de su dominio. Lo contrario no se cumple : una función continua no tiene por qué ser derivable. Por ejemplo, una función con una curva, una cúspide o una tangente vertical puede ser continua, pero no es diferenciable en la ubicación de la anomalía.

La mayoría de funciones que ocurren en la práctica tienen derivadas en todos los puntos o en casi todos los puntos. Sin embargo, un resultado de Stefan Banach afirma que el conjunto de funciones que tienen una derivada en algún punto es un conjunto exiguo en el espacio de todas las funciones continuas. ^[1] Informalmente, esto significa que las funciones diferenciables son muy atípicas entre las funciones continuas. El primer ejemplo conocido de una función que es continua en todas partes pero diferenciable en ninguna es la función de Weierstrass .

Clases de diferenciabilidad

Las funciones diferenciables se pueden aproximar localmente mediante funciones lineales.

La función con for y es diferenciable. Sin embargo, esta función no es continuamente diferenciable. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle f(0)=0}$

Se dice que una función es ${\textstyle f}$continuamente diferenciable si la derivadaexiste y es en sí misma una función continua. Aunque la derivada de una función diferenciable nunca tiene unadiscontinuidad de salto, es posible que la derivada tenga unadiscontinuidad esencial. Por ejemplo, la función ${\textstyle f^{\prime }(x)}$

$${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$

$${\displaystyle f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0}$$

las reglas de diferenciación ${\displaystyle x\neq 0,}$

$${\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,}$$

el teorema de Darbouxteorema del valor intermedio ${\displaystyle x\to 0.}$

De manera similar a cómo se dice que las funciones continuas son de clase ${\displaystyle C^{0},}$ , a veces se dice que las funciones continuamente diferenciables son de clase ${\displaystyle C^{1}}$ . Una función es de clase ${\displaystyle C^{2}}$ si la primera y la segunda derivada de la función existen y son continuas. De manera más general, se dice que una función es de clase ${\displaystyle C^{k}}$ si todas las primeras derivadas existen y son continuas. Si existen derivadas para todos los números enteros positivos, la función es suave o equivalente, de clase ${\displaystyle k}$ ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\textstyle n,}$ ${\displaystyle C^{\infty }.}$

Diferenciabilidad en dimensiones superiores.

Se dice que una función de varias variables reales f : R ^m → R ⁿ es diferenciable en un punto x ₀ si existe una aplicación lineal J : R ^m → R ⁿ tal que

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.}$

Si una función es diferenciable en x ₀ , entonces todas las derivadas parciales existen en x ₀ , y el mapa lineal J está dado por la matriz jacobiana , una matriz de n × m en este caso. El lema incremental fundamental que se encuentra en el cálculo de una sola variable proporciona una formulación similar de la derivada de dimensiones superiores .

Si todas las derivadas parciales de una función existen en la vecindad de un punto x ₀ y son continuas en el punto x ₀ , entonces la función es diferenciable en ese punto x ₀ .

Sin embargo, la existencia de las derivadas parciales (o incluso de todas las derivadas direccionales ) no garantiza que una función sea derivable en un punto. Por ejemplo, la función f : R ² → R definida por

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}}$$

no es diferenciable en (0, 0) , pero todas las derivadas parciales y direccionales existen en este punto. Para un ejemplo continuo, la función

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

no es diferenciable en (0, 0) , pero nuevamente todas las derivadas parciales y direccionales existen.

Diferenciabilidad en análisis complejos.

En el análisis complejo , la diferenciabilidad compleja se define utilizando la misma definición que las funciones reales de una sola variable. Esto lo permite la posibilidad de dividir números complejos . Entonces se dice que una función es diferenciable cuando ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle x=a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Aunque esta definición parece similar a la diferenciabilidad de funciones reales de una sola variable, es sin embargo una condición más restrictiva. Una función que es diferenciable compleja en un punto es automáticamente diferenciable en ese punto, cuando se ve como una función . Esto se debe a que la diferenciabilidad compleja implica que ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle x=a}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.}$

Sin embargo, una función puede ser diferenciable como una función multivariable, sin ser diferenciable compleja. Por ejemplo, es diferenciable en cada punto, vista como la función real de 2 variables , pero no es diferenciable compleja en ningún punto porque el límite no existe (por ejemplo, depende del ángulo de aproximación). ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$ ${\displaystyle f(x,y)=x}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}$

Cualquier función que sea complejamente diferenciable en una vecindad de un punto se llama holomorfa en ese punto. Tal función es necesariamente infinitamente diferenciable y, de hecho, analítica .

Funciones diferenciables en colectores

Si M es una variedad diferenciable , se dice que una función f real o de valor complejo en M es diferenciable en un punto p si es diferenciable con respecto a algún (o cualquier) gráfico de coordenadas definido alrededor de p . Si M y N son variedades diferenciables, se dice que una función f :  M  →  N es diferenciable en un punto p si es diferenciable con respecto a algunos (o cualesquiera) gráficos de coordenadas definidos alrededor de p y f ( p ).

Ver también

• Generalizaciones de la derivada.
• Semidiferenciabilidad
• Programación diferenciable

Referencias

1. Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Estudia Matemáticas. 3 (1): 174-179. doi : 10.4064/sm-3-1-174-179 .. Citado por Hewitt, E; Stromberg, K (1963). Análisis real y abstracto . Springer-Verlag. Teorema 17.8.