Lema incremental fundamental

En cálculo diferencial de una sola variable , el lema fundamental del incremento es una consecuencia inmediata de la definición de la derivada de una función en un punto : ${\textstyle f'(a)}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

El lema afirma que la existencia de esta derivada implica la existencia de una función tal que ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\varphi (h)=0\qquad {\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varphi (h)h}$

para suficientemente pequeño pero distinto de cero . Para demostrarlo basta definir ${\textstyle h}$

${\displaystyle \varphi (h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}-f'(a)}$

y verificar que cumpla con los requisitos. ${\displaystyle \varphi }$

El lema dice, al menos cuando es lo suficientemente cercano a cero, que el cociente de diferencias ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

se puede escribir como la derivada f' más un término de error que desaparece en . ${\displaystyle \varphi (h)}$ ${\displaystyle h=0}$

Es decir, uno tiene,

${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=f'(a)+\varphi (h).}$

Diferenciabilidad en dimensiones superiores.

En el sentido de que la existencia de caracteriza de forma única al número , se puede decir que el lema incremental fundamental caracteriza la diferenciabilidad de funciones de una sola variable. Por esta razón, se puede utilizar una generalización del lema en la definición de diferenciabilidad en cálculo multivariable . En particular, supongamos que f asigna algún subconjunto de a . Entonces se dice que f es diferenciable en a si existe una función lineal ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle M:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

y una función

${\displaystyle \Phi :D\to \mathbb {R} ,\qquad D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{\mathbf {0} \},}$

tal que

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}\Phi (\mathbf {h} )=0\qquad {\text{and}}\qquad f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )=M(\mathbf {h} )+\Phi (\mathbf {h} )\cdot \Vert \mathbf {h} \Vert }$

para valores distintos de cero h suficientemente cerca de 0 . En este caso, M es la derivada única (o derivada total , para distinguirla de las derivadas direccionales y parciales ) de f en a . En particular, M viene dada por la matriz jacobiana de f evaluada en a .

Podemos escribir la ecuación anterior en términos de las derivadas parciales como ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$

${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{i}}}+\Phi (\mathbf {h} )\cdot \Vert \mathbf {h} \Vert }$

Ver también

• Generalizaciones de la derivada.

Referencias

• Talman, Louis (12 de septiembre de 2007). "Diferenciabilidad para funciones multivariables" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 20 de junio de 2010 . Consultado el 28 de junio de 2012 .
• Stewart, James (2008). Cálculo (7ª ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 942.ISBN​ 978-0538498845.
• Folland, Gerald. «Derivadas y Aproximación Lineal» (PDF) .