Prueba de la segunda derivada parcial

Método en cálculo multivariable

El hessiano aproxima la función en un punto crítico con un polinomio de segundo grado.

En matemáticas , la prueba de la segunda derivada parcial es un método de cálculo multivariable utilizado para determinar si un punto crítico de una función es un mínimo local , un máximo o un punto de silla .

Funciones de dos variables

Supóngase que f ( x , y ) es una función real diferenciable de dos variables cuyas derivadas parciales segundas existen y son continuas . La matriz hessiana H de f es la matriz 2 × 2 de derivadas parciales de f : $${\displaystyle H(x,y)={\begin{bmatrix}f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\f_{yx}(x,y)&f_{yy}(x,y)\end{bmatrix}}.}$$

Definamos D ( x , y ) como determinante de H . Finalmente, supongamos que ( a , b ) es un punto crítico de f , es decir, que f _x ( a , b ) = f _y ( a , b ) = 0 . Entonces la segunda prueba de derivadas parciales afirma lo siguiente: ^[1] $${\displaystyle D(x,y)=\det(H(x,y))=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-\left(f_{xy}(x,y)\right)^{2}}$$

1. Si D ( a , b ) > 0 y f _xx ( a , b ) > 0 entonces ( a , b ) es un mínimo local de f .
2. Si D ( a , b ) > 0 y f _xx ( a , b ) < 0 entonces ( a , b ) es un máximo local de f .
3. Si D ( a , b ) < 0 entonces ( a , b ) es un punto de silla de f .
4. Si D ( a , b ) = 0 entonces el punto ( a , b ) podría ser cualquiera de los siguientes: mínimo, máximo o punto de silla (es decir, la prueba no es concluyente).

A veces se utilizan otras versiones equivalentes de la prueba. En los casos 1 y 2, el requisito de que f _xx f _yy − f _xy ² sea positiva en ( x , y ) implica que f _xx y f _yy tienen el mismo signo allí. Por lo tanto, la segunda condición, que f _xx sea mayor (o menor) que cero, podría ser equivalentemente que f _yy o tr( H ) = f _xx + f _yy sean mayores (o menores) que cero en ese punto.

Una condición implícita en el enunciado de la prueba es que si o , debe ser el caso que y por lo tanto sólo los casos 3 o 4 son posibles. ${\displaystyle f_{xx}=0}$ ${\displaystyle f_{yy}=0}$ ${\displaystyle D(a,b)\leq 0,}$

Funciones de muchas variables

Para una función f de tres o más variables, existe una generalización de la regla anterior. En este contexto, en lugar de examinar el determinante de la matriz hessiana, se deben observar los valores propios de la matriz hessiana en el punto crítico. La siguiente prueba se puede aplicar en cualquier punto crítico a para el cual la matriz hessiana sea invertible :

1. Si el hessiano es definido positivo (equivalentemente, tiene todos los valores propios positivos) en a , entonces f alcanza un mínimo local en a .
2. Si el hessiano es definido negativo (equivalentemente, tiene todos los valores propios negativos) en a , entonces f alcanza un máximo local en a .
3. Si el hessiano tiene valores propios tanto positivos como negativos, entonces a es un punto de silla para f (y, de hecho, esto es cierto incluso si a es degenerado).

En aquellos casos no enumerados anteriormente, la prueba no es concluyente. ^[2]

Para funciones de tres o más variables, el determinante de la hessiana no proporciona suficiente información para clasificar el punto crítico, porque el número de condiciones de segundo orden conjuntamente suficientes es igual al número de variables, y la condición de signo en el determinante de la hessiana es solo una de las condiciones. Nótese que en el caso de una variable, la condición de la hessiana simplemente da la prueba habitual de la segunda derivada .

En el caso de dos variables, y son los menores principales de la matriz hessiana. Las dos primeras condiciones enumeradas anteriormente sobre los signos de estos menores son las condiciones para la definitividad positiva o negativa de la matriz hessiana. Para el caso general de un número arbitrario n de variables, hay n condiciones de signo sobre los n menores principales de la matriz hessiana que juntas son equivalentes a la definitividad positiva o negativa de la matriz hessiana ( criterio de Sylvester ): para un mínimo local, todos los menores principales deben ser positivos, mientras que para un máximo local, los menores con un número impar de filas y columnas deben ser negativos y los menores con un número par de filas y columnas deben ser positivos. Consulte Matriz hessiana#Hessiana con borde para una discusión que generaliza estas reglas al caso de optimización con restricciones de igualdad. ${\displaystyle D(a,b)}$ ${\displaystyle f_{xx}(a,b)}$

Ejemplos

Puntos críticos de máximos (rojo) y puntos de silla (azul). ${\displaystyle f(x,y)=(x+y)(xy+xy^{2})}$

Para encontrar y clasificar los puntos críticos de la función

${\displaystyle z=f(x,y)=(x+y)(xy+xy^{2})}$,

Primero establecemos las derivadas parciales

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=y(2x+y)(y+1)}$y ${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}=x\left(3y^{2}+2y(x+1)+x\right)}$

igual a cero y resolver las ecuaciones resultantes simultáneamente para encontrar los cuatro puntos críticos

${\displaystyle (0,0),(0,-1),(1,-1)}$y . ${\displaystyle \left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)}$

Para clasificar los puntos críticos, examinamos el valor del determinante D ( x , y ) del hessiano de f en cada uno de los cuatro puntos críticos. Tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}D(a,b)&=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-\left(f_{xy}(a,b)\right)^{2}\\&=2b(b+1)\cdot 2a(a+3b+1)-(2a+2b+4ab+3b^{2})^{2}.\end{aligned}}}$

Ahora conectamos todos los diferentes valores críticos que encontramos para etiquetarlos; tenemos

${\displaystyle D(0,0)=0;~~D(0,-1)=-1;~~D(1,-1)=-1;~~D\left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)={\frac {27}{128}}.}$

Por lo tanto, la segunda prueba de derivada parcial indica que f ( x , y ) tiene puntos de silla en (0, −1) y (1, −1) y tiene un máximo local en ya que . En el punto crítico restante (0, 0) la segunda prueba de derivada es insuficiente, y uno debe usar pruebas de orden superior u otras herramientas para determinar el comportamiento de la función en este punto. (De hecho, uno puede demostrar que f toma valores tanto positivos como negativos en pequeñas vecindades alrededor de (0, 0) y por lo tanto este punto es un punto de silla de f .) ${\displaystyle \left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)}$ ${\displaystyle f_{xx}=-{\frac {3}{8}}<0}$

Notas

1. Stewart 2005, pág. 803.
2. Kurt Endl/Wolfgang Luh: Análisis II . Aula-Verlag 1972, 7.ª edición 1989, ISBN  3-89104-455-0 , págs. 248-258 (alemán)

Referencias

• Stewart, James (2005). Cálculo multivariable: conceptos y contextos . Brooks/Cole. ISBN 0-534-41004-9.

Enlaces externos

• Mínimos y máximos relativos - Notas de matemáticas en línea de Paul - Notas de cálculo III (Universidad Lamar)
• Weisstein, Eric W. "Prueba de la segunda derivada". MathWorld .