Funcional (matemáticas)

Tipos de asignaciones en matemáticas

La longitud de arco funcional tiene como dominio el espacio vectorial de curvas rectificables (un subespacio de ) y genera un escalar real. Este es un ejemplo de funcional no lineal. ${\displaystyle C([0,1],\mathbb {R} ^{3})}$

La integral de Riemann es una funcional lineal en el espacio vectorial de funciones definidas en [ a , b ] que son integrables en Riemann de a a b .

En matemáticas , un funcional es un determinado tipo de función . La definición exacta del término varía según el subcampo (y a veces incluso el autor).

• En álgebra lineal , es sinónimo de forma lineal , que es un mapeo lineal de un espacio vectorial a su campo de escalares (es decir, es un elemento del espacio dual ) ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$
• En análisis funcional y campos relacionados, se refiere a un mapeo de un espacio al campo de números reales o complejos . ^{[2] [3]} En análisis funcional, el término funcional lineal es sinónimo de forma lineal ; ^{[3] [4] [5]} es decir, es un mapa lineal con valores escalares. Dependiendo del autor, se puede asumir o no que dichas asignaciones son lineales o que están definidas en todo el espacio ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• En informática , es sinónimo de función de orden superior , que es una función que toma una o más funciones como argumentos o las devuelve.

Este artículo se ocupa principalmente del segundo concepto, que surgió a principios del siglo XVIII como parte del cálculo de variaciones . El primer concepto, más moderno y abstracto, se analiza en detalle en un artículo aparte, bajo el nombre de forma lineal . El tercer concepto se detalla en el artículo de informática sobre funciones de orden superior .

En el caso de que el espacio sea un espacio de funciones, lo funcional es una "función de una función", ^[6] y algunos autores más antiguos definen el término "funcional" en el sentido de "función de una función". Sin embargo, el hecho de que sea un espacio de funciones no es matemáticamente esencial, por lo que esta definición anterior ya no prevalece. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El término tiene su origen en el cálculo de variaciones , donde se busca una función que minimice (o maximice) un funcional determinado. Una aplicación particularmente importante en física es la búsqueda de un estado de un sistema que minimice (o maximice) la acción , o en otras palabras, la integral de tiempo del lagrangiano .

Detalles

Dualidad

el mapeo

$${\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})}$$

argumento de una función. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f.}$

$${\displaystyle f\mapsto f(x_{0})}$$

funcionalparámetro ${\displaystyle x_{0}}$

Siempre que sea una función lineal desde un espacio vectorial hasta el campo escalar subyacente, los mapas lineales anteriores son duales entre sí y, en el análisis funcional, ambos se denominan funcionales lineales . ${\displaystyle f}$

Integral definida

Integrales como

$${\displaystyle f\mapsto I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\ldots )\;\mu (\mathrm {d} x)}$$

${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H}$

• el área debajo de la gráfica de una función positiva ${\displaystyle f}$
  $${\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\;\mathrm {d} x}$$
• ${\displaystyle L^{p}}$norma de una función en un conjunto ${\displaystyle E}$
  $${\displaystyle f\mapsto \left(\int _{E}|f|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p}}$$
• la longitud del arco de una curva en el espacio euclidiano bidimensional
  $${\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x}$$

Espacios interiores de productos

Dado un espacio producto interno y un vector fijo, el mapa definido por es un funcional lineal en El conjunto de vectores tal que es cero es un subespacio vectorial de llamado espacio nulo o núcleo del funcional, o complemento ortogonal de denotado ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\in X,}$ ${\displaystyle {\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\vec {y}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\vec {x}},}$ ${\displaystyle \{{\vec {x}}\}^{\perp }.}$

Por ejemplo, tomar el producto interno con una función fija define un funcional (lineal) en el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables en ${\displaystyle g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]:}$

$${\displaystyle f\mapsto \langle f,g\rangle =\int _{[-\pi ,\pi ]}{\bar {f}}g}$$

Localidad

Si el valor de una funcional se puede calcular para pequeños segmentos de la curva de entrada y luego sumar para encontrar el valor total, la funcional se llama local. De lo contrario se llama no local. Por ejemplo:

$${\displaystyle F(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}$$

$${\displaystyle F(y)={\frac {\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}}^{x_{1}}(1+[y(x)]^{2})\;\mathrm {d} x}}}$$

Ecuaciones funcionales

El uso tradicional también se aplica cuando se habla de una ecuación funcional, es decir, una ecuación entre funcionales: una ecuación entre funcionales puede leerse como una "ecuación a resolver", siendo las soluciones en sí mismas funciones. En tales ecuaciones puede haber varios conjuntos de variables incógnitas, como cuando se dice que una aplicación aditiva es aquella que satisface la ecuación funcional de Cauchy : ${\displaystyle F=G}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad {\text{ for all }}x,y.}$$

Derivada e integración

Los derivados funcionales se utilizan en la mecánica lagrangiana . Son derivados de funcionales; es decir, transportan información sobre cómo cambia una función cuando la función de entrada cambia en una pequeña cantidad.

Richard Feynman utilizó integrales funcionales como idea central en su resumen de la formulación histórica de la mecánica cuántica . Este uso implica una integral que se hace cargo de algún espacio funcional .

Ver también

• Forma lineal  : mapa lineal desde un espacio vectorial a su campo de escalares
• Optimización (matemáticas)  – Estudio de algoritmos matemáticos para problemas de optimización.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Tensor  – Objeto algebraico con aplicaciones geométricas

Referencias

1. Lang 2002, pag. 142 "Sea E un módulo libre sobre un anillo conmutativo A. Consideramos A como un módulo libre de rango 1 sobre sí mismo. Por módulo dual E ^∨ de E nos referiremos al módulo Hom( E , A ). llamarse funcionales . Por lo tanto , un funcional en E es un mapa A -lineal f  : E → A.
2. Kolmogorov y Fomin 1957, pág. 77 "Una función numérica f ( x ) definida en un espacio lineal normado R se llamará funcional . Se dice que una funcional f ( x ) es lineal si f (α x + β y ) = α f ( x ) + β f ( y ) donde x , y ∈ R y α, β son números arbitrarios."
3. Wilansky 2008, pág. 7.
4. Axler (2014) pág. 101, §3.92
5. Khelemskii, A.Ya. (2001) [1994], "Lineal funcional", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
6. Kolmogorov y Fomin 1957, págs. 62-63 "Una función real en un espacio R es una aplicación de R en el espacio R ¹ (la línea real). Así, por ejemplo, una aplicación de R ⁿ en R ¹ es una función ordinaria de valor real de n variables. En el caso en que el espacio R mismo consta de funciones, las funciones de los elementos de R generalmente se denominan funcionales ".

• Axler, Sheldon (18 de diciembre de 2014), Álgebra lineal bien hecha , Textos universitarios en matemáticas (3.ª ed.), Springer (publicado en 2015), ISBN 978-3-319-11079-0
• Kolmogorov, Andrei ; Fomin, Sergei V. (1957). Elementos de la Teoría de Funciones y Análisis Funcional . Libros de Dover sobre matemáticas. Nueva York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC  912495626.
• Lang, Serge (2002), "III. Módulos, §6. El espacio dual y el módulo dual", Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, págs. 142-146, ISBN 978-0-387-95385-4, SEÑOR  1878556, Zbl  0984.00001
• Wilansky, Albert (17 de octubre de 2008) [1970]. Topología para el análisis . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC  227923899.
• Sobolev, VI (2001) [1994], "Funcional", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Funcional lineal en el n Lab
• Funcional no lineal en el n Lab .
• Rowland, Todd. "Funcional". MundoMatemático .
• Rowland, Todd. "Lineal funcional". MundoMatemático .