Complemento ortogonal

Concepto en álgebra lineal

En los campos matemáticos del álgebra lineal y el análisis funcional , el complemento ortogonal de un subespacio W de un espacio vectorial V equipado con una forma bilineal B es el conjunto W ^⊥ de todos los vectores en V que son ortogonales a cada vector en W. Informalmente, se le llama perp , abreviatura de complemento perpendicular . Es un subespacio de V .

Ejemplo

Sea el espacio vectorial equipado con el producto escalar habitual (convirtiéndolo así en un espacio de producto interno ), y sea ${\displaystyle V=(\mathbb {R} ^{5},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

$${\displaystyle W=\{u\in V:Ax=u,\ x\in \mathbb {R} ^{2}\},}$$

$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&6\\3&9\\5&3\\\end{pmatrix}}.}$$

$${\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V:\langle u,v\rangle =0,\ \forall u\in W\}}$$

$${\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V:{\tilde {A}}y=v,\ y\in \mathbb {R} ^{3}\},}$$

$${\displaystyle {\tilde {A}}={\begin{pmatrix}-2&-3&-5\\-6&-9&-3\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

El hecho de que cada vector de columna es ortogonal a cada vector de columna puede comprobarse mediante cálculo directo. El hecho de que los tramos de estos vectores sean ortogonales se deriva de la bilinealidad del producto escalar. Finalmente, el hecho de que estos espacios sean complementos ortogonales se desprende de las relaciones de dimensiones que se dan a continuación. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}}$

Formas bilineales generales

Sea un espacio vectorial sobre un campo equipado con una forma bilineal. Definimos que es ortogonal izquierda a y ortogonal derecha a cuando . Para un subconjunto de definimos el complemento ortogonal izquierdo como ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle B(u,v)=0.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle W^{\bot }}$

$${\displaystyle W^{\bot }=\left\{x\in V:B(x,y)=0{\text{ for all }}y\in W\right\}.}$$

Existe una definición correspondiente de complemento ortogonal recto. Para una forma bilineal reflexiva , donde implica para todos y en la izquierda y en la derecha coinciden los complementos. Este será el caso si es una forma simétrica o alterna . ${\displaystyle B(u,v)=0}$ ${\displaystyle B(v,u)=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle B}$

La definición se extiende a una forma bilineal en un módulo libre sobre un anillo conmutativo , y a una forma sesquilineal extendida para incluir cualquier módulo libre sobre un anillo conmutativo con conjugación . ^[1]

Propiedades

• Un complemento ortogonal es un subespacio de ; ${\displaystyle V}$
• Si entonces ; ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ${\displaystyle X^{\bot }\supseteq Y^{\bot }}$
• El radical de es un subespacio de todo complemento ortogonal; ${\displaystyle V^{\bot }}$ ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle W\subseteq (W^{\bot })^{\bot }}$;
• Si no es degenerado y es de dimensión finita, entonces ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(W)+\dim(W^{\bot })=\dim V.}$
• Si son subespacios de un espacio de dimensión finita y entonces ${\displaystyle L_{1},\ldots ,L_{r}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{*}=L_{1}\cap \cdots \cap L_{r},}$ ${\displaystyle L_{*}^{\bot }=L_{1}^{\bot }+\cdots +L_{r}^{\bot }.}$

Espacios interiores de productos

Esta sección considera complementos ortogonales en un espacio producto interno ^[2] Dos vectores y se llaman ortogonales si lo cual sucede si y solo si para todos los escalares ^[3] Si es cualquier subconjunto de un espacio producto interno entonces su ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0,}$ ${\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$complemento ortogonal en ${\displaystyle H}$es el subespacio vectorial

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}C^{\bot }:&=\{x\in H:\langle x,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\}\\&=\{x\in H:\langle c,x\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\}\end{alignedat}}}$$

^{[3] [prueba 1]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C^{\bot }=\left(\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\right)^{\bot }}$ ${\displaystyle C^{\bot }\cap \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\subseteq \left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle C^{\bot }=\left\{x\in H:\|x\|\leq \|x+c\|{\text{ for all }}c\in C\right\}.}$$

^[3] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }\qquad {\text{ and }}\qquad \left(C^{\bot }\right)^{\bot }=C}$$

${\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }}$descomposición ortogonalsubespacio complementado ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\bot }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C^{\bot }.}$

Propiedades

El complemento ortogonal siempre está cerrado en la topología métrica. En espacios de dimensión finita, esto es simplemente un ejemplo del hecho de que todos los subespacios de un espacio vectorial son cerrados. En los espacios de Hilbert de dimensión infinita , algunos subespacios no están cerrados, pero todos los complementos ortogonales sí lo están. Si es un subespacio vectorial de un espacio producto interno, el complemento ortogonal del complemento ortogonal de es la clausura de es decir, ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W,}$

$${\displaystyle \left(W^{\bot }\right)^{\bot }={\overline {W}}.}$$

Algunas otras propiedades útiles que siempre se mantienen son las siguientes. Sea un espacio de Hilbert y sean y sus subespacios lineales. Entonces: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

• ${\displaystyle X^{\bot }={\overline {X}}^{\bot }}$;
• si entonces ; ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle X^{\bot }\subseteq Y^{\bot }}$
• ${\displaystyle X\cap X^{\bot }=\{0\}}$;
• ${\displaystyle X\subseteq (X^{\bot })^{\bot }}$;
• si es un subespacio lineal cerrado de entonces ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (X^{\bot })^{\bot }=X}$
• si es un subespacio lineal cerrado de entonces la suma directa (interna) . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H=X\oplus X^{\bot },}$

El complemento ortogonal se generaliza al aniquilador y proporciona una conexión de Galois en subconjuntos del espacio del producto interno, con el operador de cierre asociado el cierre topológico del tramo.

Dimensiones finitas

Para un espacio producto interno de dimensión finita, el complemento ortogonal de un subespacio de dimensión es un subespacio de dimensión, y el complemento ortogonal doble es el subespacio original: ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (n-k)}$

$${\displaystyle \left(W^{\bot }\right)^{\bot }=W.}$$

Si es una matriz, donde y se refieren al espacio de filas , al espacio de columnas y al espacio nulo de (respectivamente), entonces ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \operatorname {Row} A,}$ ${\displaystyle \operatorname {Col} A,}$ ${\displaystyle \operatorname {Null} A}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \left(\operatorname {Row} A\right)^{\bot }=\operatorname {Null} A\qquad {\text{ and }}\qquad \left(\operatorname {Col} A\right)^{\bot }=\operatorname {Null} A^{\operatorname {T} }.}$$

espacios de banach

Existe una analogía natural de esta noción en los espacios generales de Banach . En este caso se define el complemento ortogonal de W como un subespacio del dual de V definido de manera similar al aniquilador.

$${\displaystyle W^{\bot }=\left\{x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\right\}.}$$

Siempre es un subespacio cerrado de V ^∗ . También existe un análogo de la propiedad del doble complemento. W ^⊥⊥ es ahora un subespacio de V ^∗∗ (que no es idéntico a V ). Sin embargo, los espacios reflexivos tienen un isomorfismo natural i entre V y V ^∗∗ . En este caso tenemos

$${\displaystyle i{\overline {W}}=W^{\bot \,\bot }.}$$

Ésta es una consecuencia bastante sencilla del teorema de Hahn-Banach .

Aplicaciones

En relatividad especial, el complemento ortogonal se utiliza para determinar el hiperplano simultáneo en un punto de una línea mundial . La forma bilineal η utilizada en el espacio de Minkowski determina un espacio de eventos pseudoeuclidiano . ^[5] El origen y todos los eventos en el cono de luz son autoortogonales. Cuando un evento temporal y un evento espacial se evalúan como cero en la forma bilineal, entonces son hiperbólico-ortogonales . Esta terminología surge del uso de dos hipérbolas conjugadas en el plano pseudoeuclidiano: los diámetros conjugados de estas hipérbolas son hiperbólico-ortogonales.

Ver también

• Celosía complementada
• Subespacio complementado
• Teorema de proyección de Hilbert  : sobre subconjuntos convexos cerrados en el espacio de Hilbert
• Proyección ortogonal  : transformación lineal idempotente de un espacio vectorial a sí mismoPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. Si entonces cuál está cerrado, supongamos que sea el campo escalar subyacente de y defina cuál es continuo porque esto es cierto para cada una de sus coordenadas. Entonces está cerrado porque está cerrado y es continuo. Si es lineal en su primera (respectivamente, su segunda) coordenada, entonces es un mapa lineal (respectivamente, un mapa antilineal ); de cualquier manera, su núcleo es un subespacio vectorial de QED ${\displaystyle C=\varnothing }$ ${\displaystyle C^{\bot }=H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C\neq \varnothing .}$ ${\textstyle P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L:H\to P}$ ${\displaystyle L(h):=\left(\langle h,c\rangle \right)_{c\in C},}$ ${\displaystyle h\mapsto \langle h,c\rangle .}$ ${\displaystyle C^{\bot }=L^{-1}(0)=L^{-1}\left(\{0\}\right)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L:H\to P}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle L:H\to P}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} L=L^{-1}(0)=C^{\bot }}$ ${\displaystyle H.}$

Referencias

1. Adkins y Weintraub (1992) p.359
2. Adkins y Weintraub (1992) p.272
3. Rudin 1991, págs. 306–312.
4. "Complemento ortogonal"
5. GD Birkhoff (1923) Relatividad y física moderna , páginas 62,63, Harvard University Press

Bibliografía

• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Álgebra: un enfoque mediante la teoría de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 136, Springer-Verlag , ISBN 3-540-97839-9, Zbl  0768.00003
• Halmos, Paul R. (1974), Espacios vectoriales de dimensión finita , Textos de pregrado en matemáticas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl  0288.15002
• Milnor, J .; Husemoller, D. (1973), Formas bilineales simétricas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , vol. 73, Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X, Zbl  0292.10016
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.

enlaces externos

• Complemento ortogonal; Minuto 9.00 en el Vídeo de Youtube
• Video instructivo que describe complementos ortogonales (Khan Academy)