forma lineal

Mapa lineal de un espacio vectorial a su campo de escalares

En matemáticas , una forma lineal (también conocida como funcional lineal , ^[1] una forma única o covector ) es una aplicación lineal ^{[nb 1]} desde un espacio vectorial hasta su campo de escalares (a menudo, los números reales o los números complejos ).

Si V es un espacio vectorial sobre un campo k , el conjunto de todos los funcionales lineales de V a k es en sí mismo un espacio vectorial sobre k con la suma y la multiplicación escalar definidas puntualmente . Este espacio se denomina espacio dual de V , o a veces espacio dual algebraico , cuando también se considera un espacio dual topológico . A menudo se denota Hom( V , k ) , ^[2] o, cuando se entiende el campo k , ; ^[3] también se utilizan otras notaciones, como , ^{[4] [5]} o ^[2] Cuando los vectores se representan mediante vectores de columna (como es común cuando una base es fija), los funcionales lineales se representan como vectores de fila , y sus valores en vectores específicos están dados por productos matriciales (con el vector de fila a la izquierda). ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V^{\#}}$ ${\displaystyle V^{\vee }.}$

Ejemplos

La función cero constante , que asigna cada vector a cero, es trivialmente una funcional lineal. Todos los demás funcionales lineales (como los siguientes) son sobreyectivos (es decir, su rango es todo k ).

• Indexación en un vector: el segundo elemento de un vector de tres viene dado por la forma única. Es decir, el segundo elemento de es ${\displaystyle [0,1,0].}$ ${\displaystyle [x,y,z]}$
  $${\displaystyle [0,1,0]\cdot [x,y,z]=y.}$$
• Media : El elemento medio de un vector viene dado por la forma única . Es decir, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right].}$
  $${\displaystyle \operatorname {mean} (v)=\left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right]\cdot v.}$$
• Muestreo : el muestreo con un núcleo se puede considerar de forma única, donde la forma única es el núcleo desplazado a la ubicación adecuada.
• El valor actual neto de un flujo de caja neto viene dado por la forma única donde es la tasa de descuento . Eso es, ${\displaystyle R(t),}$ ${\displaystyle w(t)=(1+i)^{-t}}$ ${\displaystyle i}$
  $${\displaystyle \mathrm {NPV} (R(t))=\langle w,R\rangle =\int _{t=0}^{\infty }{\frac {R(t)}{(1+i)^{t}}}\,dt.}$$

Funcionales lineales en R n

Supongamos que los vectores en el espacio de coordenadas real se representan como vectores de columna. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Para cada vector fila hay un funcional lineal definido por ${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle f_{\mathbf {a} }}$

$${\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},}$$

Esto se puede interpretar como el producto matricial o el producto escalar del vector fila y el vector columna : ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Traza de una matriz cuadrada

La traza de una matriz cuadrada es la suma de todos los elementos de su diagonal principal . Las matrices se pueden multiplicar por escalares y se pueden sumar dos matrices de la misma dimensión; estas operaciones crean un espacio vectorial a partir del conjunto de todas las matrices. La traza es un funcional lineal en este espacio porque y para todos los escalares y todas las matrices. ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (sA)=s\operatorname {tr} (A)}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B.}$

Integración (definitiva)

Los funcionales lineales aparecieron por primera vez en el análisis funcional , el estudio de espacios vectoriales de funciones . Un ejemplo típico de funcional lineal es la integración : la transformación lineal definida por la integral de Riemann.

$${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$

${\displaystyle C[a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}}$$

Evaluación

Denotemos el espacio vectorial de funciones polinomiales de valor real de grado definido en un intervalo. Si entonces sea el funcional de evaluación. ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle c\in [a,b],}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}:P_{n}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}$$

${\displaystyle f\mapsto f(c)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}}$$

Si hay puntos distintos entonces los funcionales de evaluación forman una base del espacio dual de (Lax (1996) prueba este último hecho usando la interpolación de Lagrange ). ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}},}$ ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$ ${\displaystyle P_{n}}$

Sin ejemplo

Una función que tiene la ecuación de una recta con (por ejemplo, ) no es una funcional lineal en , ya que no es lineal . ^{[nb 2]} Sin embargo, es afín-lineal . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=a+rx}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle f(x)=1+2x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Visualización

Interpretación geométrica de un α de 1 forma como una pila de hiperplanos de valor constante, cada uno de los cuales corresponde a aquellos vectores que α asigna a un valor escalar dado que se muestra junto a él junto con la "sensación" de aumento. El El plano cero pasa por el origen.

En dimensiones finitas, un funcional lineal se puede visualizar en términos de sus conjuntos de niveles , los conjuntos de vectores que se asignan a un valor dado. En tres dimensiones, los conjuntos de niveles de un funcional lineal son una familia de planos mutuamente paralelos; en dimensiones superiores, son hiperplanos paralelos . Este método de visualización de funcionales lineales se introduce a veces en textos de relatividad general , como Gravitación de Misner, Thorne y Wheeler (1973).

Aplicaciones

Aplicación a la cuadratura

Si hay puntos distintos en [ a , b ] , entonces los funcionales lineales definidos anteriormente forman una base del espacio dual de P _n , el espacio de polinomios de grado. El funcional de integración I también es un funcional lineal en P _n , y también puede expresarse como una combinación lineal de estos elementos básicos. En los símbolos, hay coeficientes para los cuales ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}}:f\mapsto f\left(x_{i}\right)}$ ${\displaystyle \leq n.}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

$${\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}$$

la cuadratura numérica^[6] ${\displaystyle f\in P_{n}.}$

En mecánica cuántica

Los funcionales lineales son particularmente importantes en la mecánica cuántica . Los sistemas mecánicos cuánticos están representados por espacios de Hilbert , que son antiisomorfos a sus propios espacios duales. Un estado de un sistema mecánico cuántico se puede identificar con un funcional lineal. Para obtener más información, consulte Notación bra-ket .

Distribuciones

En la teoría de funciones generalizadas , ciertos tipos de funciones generalizadas llamadas distribuciones pueden realizarse como funcionales lineales en espacios de funciones de prueba .

Vectores duales y formas bilineales.

Funcionales lineales (formas 1) α , β y su suma σ y vectores u , v , w , en el espacio euclidiano 3d . El número de hiperplanos (de forma 1) intersecados por un vector es igual al producto interno . ^[7]

Toda forma bilineal no degenerada en un espacio vectorial de dimensión finita V induce un isomorfismo V → V ^∗  : v ↦ v ^∗ tal que

$${\displaystyle v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall w\in V,}$$

donde se denota la forma bilineal en V (por ejemplo, en el espacio euclidiano , es el producto escalar de v y w ). ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle \langle v,w\rangle =v\cdot w}$

El isomorfismo inverso es V ^∗ → V  : v ^∗ ↦ v , donde v es el elemento único de V tal que

$${\displaystyle \langle v,w\rangle =v^{*}(w)}$$

${\displaystyle w\in V.}$

El vector v ^∗ ∈ V ^∗ definido anteriormente se dice que es el vector dual de ${\displaystyle v\in V.}$

En un espacio de Hilbert de dimensión infinita, el teorema de representación de Riesz mantiene resultados análogos . Hay una aplicación V ↦ V ^∗ de V en su espacio dual continuo V ^∗ .

Relación con las bases

Base del espacio dual

Sea el espacio vectorial V una base , no necesariamente ortogonal . Entonces el espacio dual tiene una base llamada base dual definida por la propiedad especial que ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}}$

$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{if}}\ i=j\\0&{\text{if}}\ i\neq j.\end{cases}}}$$

O, más sucintamente,

$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}}$$

donde δ es el delta de Kronecker . Aquí los superíndices de los funcionales de base no son exponentes sino índices contravariantes .

Un funcional lineal perteneciente al espacio dual se puede expresar como una combinación lineal de funcionales de base, con coeficientes ("componentes") u _i , ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ ${\displaystyle {\tilde {V}}}$

$${\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}.}$$

Luego, aplicando el funcional a un vector base se obtiene ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$

$${\displaystyle {\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right)\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left(\mathbf {e} _{j}\right)\right]}$$

debido a la linealidad de múltiplos escalares de funcionales y la linealidad puntual de sumas de funcionales. Entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {u}}({\mathbf {e} }_{j})&=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\mathbf {e} }_{j}\right)\right]\\&=\sum _{i}u_{i}{\delta }_{ij}\\&=u_{j}.\end{aligned}}}$$

Entonces, cada componente de un funcional lineal se puede extraer aplicando el funcional al vector base correspondiente.

La base dual y el producto interior.

Cuando el espacio V lleva un producto interno , entonces es posible escribir explícitamente una fórmula para la base dual de una base dada. Sea V una base (no necesariamente ortogonal) En tres dimensiones ( n = 3 ), la base dual se puede escribir explícitamente ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}.}$

$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\left\langle {\frac {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})}{\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$

εLevi-Civitaproducto escalarV. ${\displaystyle i=1,2,3,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

En dimensiones superiores, esto se generaliza de la siguiente manera

$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {\sum _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$

operador estrella de Hodge ${\displaystyle \star }$

sobre un anillo

Los módulos sobre un anillo son generalizaciones de espacios vectoriales, lo que elimina la restricción de que los coeficientes pertenecen a un campo . Dado un módulo M sobre un anillo R , una forma lineal en M es un mapa lineal de M a R , donde este último se considera como un módulo sobre sí mismo. El espacio de formas lineales siempre se denota Hom _k ( V , k ) , ya sea k sea un campo o no. Es un módulo derecho , si V es un módulo izquierdo.

La existencia de "suficientes" formas lineales en un módulo equivale a proyectividad . ^[8]

Lema de base dual  :  un módulo R M es proyectivo si y solo si existe un subconjunto y formas lineales tales que, para cada número finito, son distintos de cero, y ${\displaystyle A\subset M}$ ${\displaystyle \{f_{a}\mid a\in A\}}$ ${\displaystyle x\in M,}$ ${\displaystyle f_{a}(x)}$

$${\displaystyle x=\sum _{a\in A}{f_{a}(x)a}}$$

Cambio de campo

Supongamos que es un espacio vectorial sobre. La restricción de la multiplicación escalar da lugar a un espacio vectorial real ^[9] llamado realización de Cualquier espacio vectorial sobre es también un espacio vectorial dotado de una estructura compleja ; es decir, existe un subespacio vectorial real tal que podemos escribir (formalmente) como espacios vectoriales. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X=X_{\mathbb {R} }\oplus X_{\mathbb {R} }i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Funcionales lineales reales versus complejos

Cada funcional lineal tiene un valor complejo, mientras que cada funcional lineal tiene un valor real. Si entonces un funcional lineal en cualquiera de o no es trivial (es decir, no idénticamente ) si y solo si es sobreyectivo (porque si entonces para cualquier escalar ), donde la imagen de un funcional lineal en es mientras que la imagen de un lineal funcional on es En consecuencia, la única función on que es a la vez una función lineal on y una función lineal on es la funcional trivial; en otras palabras, donde denota el espacio dual algebraico del espacio . Sin embargo, cada funcional lineal es un operador lineal (lo que significa que es aditivo y homogéneo ), pero a menos que sea idéntico, no es un funcional lineal porque su rango (que es ) es bidimensional . un funcional lineal distinto de cero tiene un rango demasiado pequeño para ser también un funcional lineal. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \dim X\neq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi (x)\neq 0}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle \varphi \left((s/\varphi (x))x\right)=s}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X^{\#}\cap X_{\mathbb {R} }^{\#}=\{0\},}$ ${\displaystyle \,{\cdot }^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Partes reales e imaginarias.

Si entonces denotamos su parte real por y su parte imaginaria por Entonces y son funcionales lineales en y El hecho de que para todos implica que para todos ^[9] ${\displaystyle \varphi \in X^{\#}}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi _{i}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi =\varphi _{\mathbb {R} }+i\varphi _{i}.}$ ${\displaystyle z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz)=\operatorname {Im} (iz)+i\operatorname {Im} z}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in X,}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\varphi (x)&=\varphi _{\mathbb {R} }(x)-i\varphi _{\mathbb {R} }(ix)\\&=\varphi _{i}(ix)+i\varphi _{i}(x)\\\end{alignedat}}}$$

^[10] ${\displaystyle \varphi _{i}(x)=-\varphi _{\mathbb {R} }(ix)}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\varphi _{i}(ix).}$

La asignación define un operador biyectivo ^[10] -lineal cuyo inverso es el mapa definido por la asignación que envía al funcional lineal definido por ${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}$ ${\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$ ${\displaystyle g\mapsto L_{g}}$ ${\displaystyle g:X_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L_{g}:X\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle L_{g}(x):=g(x)-ig(ix)\quad {\text{ for all }}x\in X.}$$

^[10] ${\displaystyle L_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L_{g+h}=L_{g}+L_{h}}$ ${\displaystyle L_{rg}=rL_{g}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g,h\in X_{\mathbb {R} }^{\#}.}$ ${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$ ${\displaystyle I\in X_{\mathbb {R} }^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto I(ix)+iI(x).}$

Esta relación fue descubierta por Henry Löwig en 1934 (aunque normalmente se le atribuye a F. Murray) ^[11] y puede generalizarse a extensiones finitas arbitrarias de un campo de forma natural. Tiene muchas consecuencias importantes, algunas de las cuales se describirán a continuación.

Propiedades y relaciones

Supongamos que es un funcional lineal con parte real y parte imaginaria. ${\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}$

Entonces si y sólo si si y sólo si ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }=0}$ ${\displaystyle \varphi _{i}=0.}$

Supongamos que es un espacio vectorial topológico . Entonces es continua si y sólo si su parte real es continua, si y sólo si su parte imaginaria es continua. Es decir, o los tres de y son continuos o ninguno es continuo. Esto sigue siendo cierto si la palabra "continuo" se reemplaza por la palabra " limitado ". En particular, si y sólo si donde el primo denota el espacio dual continuo del espacio . ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$

Sea If para todos los escalares de longitud unitaria (es decir , ) entonces ^{[prueba 1] [12]} ${\displaystyle B\subseteq X.}$ ${\displaystyle uB\subseteq B}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |u|=1}$

$${\displaystyle \sup _{b\in B}|\varphi (b)|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|.}$$

${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi :X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle iB\subseteq B}$

$${\displaystyle \sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{i}(b)\right|.}$$

espacio normadosupremosnormas del operador^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle B=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$ ${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$

$${\displaystyle \|\varphi \|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\varphi _{i}\right\|.}$$

los polaresconjuntos equilibradosespacios vectoriales topológicos

• Si es un espacio de Hilbert complejo con un producto interno (complejo) que es antilineal en su primera coordenada (y lineal en la segunda), entonces se convierte en un espacio de Hilbert real cuando está dotado de la parte real de Explícitamente, este producto interno real está definido por para todos e induce la misma norma en as porque para todos los vectores La aplicación del teorema de representación de Riesz a (resp. a ) garantiza la existencia de un vector único (resp. ) tal que (resp. ) para todos los vectores El teorema también garantiza que y Se verifica fácilmente que ahora y las igualdades anteriores implican la misma conclusión a la que se llegó anteriormente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle .}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle x|y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \langle x|y\rangle }$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle {\sqrt {\langle x|x\rangle _{\mathbb {R} }}}={\sqrt {\langle x|x\rangle }}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$ ${\displaystyle f_{\varphi }\in X}$ ${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\in X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }|\,x\right\rangle }$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}|\,x\right\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\|\varphi \|_{X^{\prime }}}$ ${\displaystyle \left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}.}$ ${\displaystyle f_{\varphi }=f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|}$ ${\displaystyle \|\varphi \|_{X^{\prime }}=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }},}$

En infinitas dimensiones

A continuación, todos los espacios vectoriales están sobre números reales o números complejos. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Si es un espacio vectorial topológico , el espacio de funcionales lineales continuos (el dual continuo ) a menudo se denomina simplemente espacio dual. Si es un espacio de Banach , también lo es su dual (continuo). Para distinguir el espacio dual ordinario del espacio dual continuo, al primero a veces se le llama espacio dual algebraico . En dimensiones finitas, todo funcional lineal es continuo, por lo que el dual continuo es lo mismo que el dual algebraico, pero en dimensiones infinitas el dual continuo es un subespacio propio del dual algebraico. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Un funcional lineal f en un espacio vectorial topológico X (no necesariamente localmente convexo ) es continuo si y sólo si existe una seminorma continua p en X tal que ^[13] ${\displaystyle |f|\leq p.}$

Caracterizando subespacios cerrados.

Los funcionales lineales continuos tienen buenas propiedades para el análisis : un funcional lineal es continuo si y solo si su núcleo está cerrado, ^[14] y un funcional lineal continuo no trivial es un mapa abierto , incluso si el espacio vectorial (topológico) no está completo . ^[15]

Hiperplanos y subespacios máximos

Un subespacio vectorial de se llama máximo si (es decir, y ) y no existe un subespacio vectorial de tal que Un subespacio vectorial de es máximo si y sólo si es el núcleo de algún funcional lineal no trivial en (es decir, para algunos funcional lineal que no es idénticamente 0 ). Un hiperplano afín es una traducción de un subespacio vectorial máximo. Por linealidad, un subconjunto de es un hiperplano afín si y sólo si existe algún funcional lineal no trivial tal que ^[11] Si es un funcional lineal y es un escalar entonces Esta igualdad se puede utilizar para relacionar diferentes conjuntos de niveles de Además , si entonces el núcleo de puede reconstruirse a partir del hiperplano afín mediante ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subsetneq X}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle M\neq X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subsetneq N\subsetneq X.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M=\ker f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H=f^{-1}(1)=\{x\in X:f(x)=1\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)=s\left(f^{-1}(1)\right)=\left({\frac {1}{s}}f\right)^{-1}(1).}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H:=f^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \ker f=H-H.}$

Relaciones entre múltiples funcionales lineales.

Dos funcionales lineales cualesquiera con el mismo núcleo son proporcionales (es decir, múltiplos escalares entre sí). Este hecho se puede generalizar al siguiente teorema.

Teorema ^{[16] [17]}  -  Si hay funcionales lineales en X , entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}}$

1. f puede escribirse como una combinación lineal de ; es decir, existen escalares tales que ; ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ ${\displaystyle sf=s_{1}g_{1}+\cdots +s_{n}g_{n}}$
2. ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}\ker g_{i}\subseteq \ker f}$;
3. existe un número real r tal que para todos y todos ${\displaystyle |f(x)|\leq rg_{i}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

Si f es un funcional lineal no trivial en X con kernel N , satisface y U es un subconjunto equilibrado de X , entonces si y solo si para todos ^[15] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=1,}$ ${\displaystyle N\cap (x+U)=\varnothing }$ ${\displaystyle |f(u)|<1}$ ${\displaystyle u\in U.}$

Teorema de Hahn-Banach

Cualquier funcional lineal (algebraico) en un subespacio vectorial se puede extender a todo el espacio; por ejemplo, las funciones de evaluación descritas anteriormente se pueden extender al espacio vectorial de polinomios en todos. Sin embargo, esta extensión no siempre se puede realizar manteniendo la función lineal continua. La familia de teoremas de Hahn-Banach proporciona las condiciones bajo las cuales se puede realizar esta extensión. Por ejemplo, ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Teorema de extensión dominada por Hahn-Banach ^[18] (Rudin 1991, Th. 3.2)  -  Si es una función sublineal y es un funcional lineal en un subespacio lineal que está dominado por p en M , entonces existe una extensión lineal de f a todo el espacio X que está dominado por p , es decir, existe un funcional lineal F tal que ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle F(m)=f(m)}$$

para todos y ${\displaystyle m\in M,}$

$${\displaystyle |F(x)|\leq p(x)}$$

para todos ${\displaystyle x\in X.}$

Equicontinuidad de familias de funcionales lineales.

Sea X un espacio vectorial topológico (TVS) con espacio dual continuo ${\displaystyle X'.}$

Para cualquier subconjunto H, los siguientes son equivalentes: ^[19] ${\displaystyle X',}$

1. H es equicontinuo ;
2. H está contenido en el polar de alguna vecindad deen X ; ${\displaystyle 0}$
3. el (pre)polar de H es una vecindad de en X ; ${\displaystyle 0}$

Si H es un subconjunto equicontinuo de entonces los siguientes conjuntos también son equicontinuos: el cierre débil-* , el casco equilibrado , el casco convexo y el casco equilibrado convexo . ^[19] Además, el teorema de Alaoglu implica que el cierre débil-* de un subconjunto equicontinuo de es débil-* compacto (y por lo tanto, que cada subconjunto equicontinuo débil-* relativamente compacto). ^{[20] [19]} ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'}$

Ver también

• Mapa lineal discontinuo
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Funcional lineal positivo  : espacio vectorial ordenado con orden parcialPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Forma multilineal  : mapa de múltiples vectores a un campo subyacente de escalares, lineal en cada argumento.
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía

Notas

Notas a pie de página

1. En algunos textos se invierten los roles y los vectores se definen como mapas lineales de covectores a escalares.
2. Por ejemplo, ${\displaystyle f(1+1)=a+2r\neq 2a+2r=f(1)+f(1).}$

Pruebas

1. Es cierto, de ser así, asuma lo contrario. Dado que para todos los escalares se sigue que Si entonces sea y sea tal que y dónde si entonces tome Entonces y porque es un número real, Suponiendo que así Dado era arbitrario, se deduce que ${\displaystyle B=\varnothing }$ ${\displaystyle \left|\operatorname {Re} z\right|\leq |z|}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,}$ ${\textstyle \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|\leq \sup _{x\in B}|\varphi (x)|.}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle r_{b}\geq 0}$ ${\displaystyle u_{b}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \left|u_{b}\right|=1}$ ${\displaystyle \varphi (b)=r_{b}u_{b},}$ ${\displaystyle r_{b}=0}$ ${\displaystyle u_{b}:=1.}$ ${\displaystyle |\varphi (b)|=r_{b}}$ ${\textstyle \varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}}$ ${\textstyle \varphi _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=\varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}.}$ ${\textstyle {\frac {1}{u_{b}}}b\in B}$ ${\textstyle |\varphi (b)|=r_{b}\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\textstyle \sup _{x\in B}|\varphi (x)|\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias

1. Axler (2015) pág. 101, §3.92
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