Distribución (matemáticas)

Término de análisis matemático similar a función generalizada.

Las distribuciones , también conocidas como distribuciones de Schwartz o funciones generalizadas , son objetos que generalizan la noción clásica de funciones en el análisis matemático . Las distribuciones permiten diferenciar funciones cuyas derivadas no existen en el sentido clásico. En particular, cualquier función localmente integrable tiene una derivada distribucional .

Las distribuciones se utilizan ampliamente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , donde puede ser más fácil establecer la existencia de soluciones distributivas ( soluciones débiles ) que las soluciones clásicas , o donde pueden no existir soluciones clásicas apropiadas. Las distribuciones también son importantes en física e ingeniería , donde muchos problemas conducen naturalmente a ecuaciones diferenciales cuyas soluciones o condiciones iniciales son singulares, como la función delta de Dirac .

Normalmente se piensa que una función actúa sobre los puntos en el dominio de la función "enviando" un punto en el dominio al punto . En lugar de actuar sobre los puntos, la teoría de la distribución reinterpreta funciones como si actuaran sobre funciones de prueba de cierta manera. En aplicaciones a la física y la ingeniería, las funciones de prueba suelen ser funciones de valores complejos (o de valores reales ) infinitamente diferenciables con soporte compacto que se definen en algún subconjunto abierto no vacío determinado . ( Las funciones de prueba son ejemplos de funciones de prueba). El conjunto de todas estas funciones de prueba forma un espacio vectorial que se denota por o ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

Las funciones más comunes, incluidos todos los mapas continuos , si se usan , se pueden reinterpretar canónicamente como si actuaran a través de una " integración contra una función de prueba". Explícitamente, esto significa que dicha función "actúa sobre" una función de prueba "enviándola" al número que a menudo se denota por Esta nueva acción de define un mapa con valores escalares cuyo dominio es el espacio de funciones de prueba. Esta función resulta tener las dos propiedades definitorias de lo que se conoce como distribución : es lineal y también es continua cuando se le da una determinada topología llamada topología canónica LF . La acción (la integración ) de esta distribución sobre una función de prueba se puede interpretar como un promedio ponderado de la distribución sobre el soporte de la función de prueba, incluso si los valores de la distribución en un solo punto no están bien definidos. Distribuciones como ésta que surgen de funciones de esta manera son ejemplos prototípicos de distribuciones, pero existen muchas distribuciones que no pueden definirse mediante integración con ninguna función. Ejemplos de esto último incluyen la función delta de Dirac y distribuciones definidas para actuar mediante la integración de funciones de prueba contra ciertas medidas . Sin embargo, siempre es posible reducir cualquier distribución arbitraria a una familia más simple de distribuciones relacionadas que surgen a través de tales acciones de integración. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U:=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx,}$ ${\displaystyle D_{f}(\psi ).}$ ${\textstyle \psi \mapsto D_{f}(\psi )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \psi \mapsto \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\textstyle \psi \mapsto \int _{U}\psi d\mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U.}$

De manera más general, una distribución on ${\displaystyle U}$ es, por definición, una funcional lineal on que es continua cuando se le da una topología llamada topología LF canónica . Esto lleva al espacio de (todas) las distribuciones en , generalmente denotado por (obsérvese el primo ), que por definición es el espacio de todas las distribuciones en (es decir, es el espacio dual continuo de ); Son estas distribuciones las que son el foco principal de este artículo. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Las definiciones de las topologías apropiadas en espacios de funciones y distribuciones de prueba se dan en el artículo sobre espacios de funciones y distribuciones de prueba . Este artículo se ocupa principalmente de la definición de distribuciones, junto con sus propiedades y algunos ejemplos importantes.

Historia

El uso práctico de las distribuciones se remonta al uso de las funciones de Green en la década de 1830 para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, pero no se formalizó hasta mucho más tarde. Según Kolmogorov y Fomin (1957), las funciones generalizadas se originaron en el trabajo de Sergei Sobolev  (1936) sobre ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas de segundo orden, y las ideas fueron desarrolladas de forma algo ampliada por Laurent Schwartz a finales de la década de 1940. Según su autobiografía, Schwartz introdujo el término "distribución" por analogía con la distribución de carga eléctrica, incluyendo posiblemente no sólo cargas puntuales sino también dipolos, etc. Gårding (1997) comenta que si bien las ideas contenidas en el transformador libro de Schwartz (1951) no eran enteramente nuevas, lo que marcó la diferencia fue el amplio ataque y la convicción de Schwartz de que las distribuciones serían útiles en casi todas partes del análisis.

Notación

A lo largo de este artículo se utilizará la siguiente notación:

• ${\displaystyle n}$es un entero positivo fijo y es un subconjunto abierto fijo no vacío del espacio euclidiano ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$denota los números naturales .
• ${\displaystyle k}$denotará un número entero no negativo o ${\displaystyle \infty .}$
• Si es una función entonces denotará su dominio y el ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f)}$El soporte dedenotado porse define como elcierredel conjuntoen ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle \{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f).}$
• Para dos funciones , la siguiente notación define un emparejamiento canónico : ${\displaystyle f,g:U\to \mathbb {C} ,}$
  $${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.}$$
• Un índice múltiple de tamaño es un elemento en (dado que es fijo, si se omite el tamaño de los índices múltiples, se debe suponer que el tamaño es ). La longitud de un índice múltiple se define y se denota como Los índices múltiples son particularmente útiles cuando se trata de funciones de varias variables; en particular, introducimos las siguientes notaciones para un índice múltiple dado : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle |\alpha |.}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}}$$
  También introducimos un orden parcial de todos los índices múltiples por si y solo si para todos Cuando definimos su coeficiente binomial de índices múltiples como: ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ ${\displaystyle \beta _{i}\geq \alpha _{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$
  $${\displaystyle {\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}.}$$

Definiciones de funciones y distribuciones de prueba.

En esta sección, se introducen algunas nociones y definiciones básicas necesarias para definir distribuciones de valores reales en U. En el artículo sobre espacios de funciones y distribuciones de prueba se ofrece más información sobre las topologías de los espacios de funciones y distribuciones de prueba .

Notación :

1. Dejar ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$
2. Denotemos el espacio vectorial de todas las k veces funciones reales o de valores complejos continuamente diferenciables en U. ${\displaystyle C^{k}(U)}$
3. Para cualquier subconjunto compacto , sea y ambos denoten el espacio vectorial de todas aquellas funciones tales que ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq K.}$
   • Si entonces el dominio de es U y no K. Entonces, aunque depende tanto de K como de U , normalmente solo se indica K. La justificación de esta práctica común se detalla a continuación. La notación sólo se utilizará cuando exista riesgo de ser ambigua. ${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$
   • Cada contiene el mapa constante 0 , incluso si ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K=\varnothing .}$
4. Denotemos el conjunto de todos los tales que para algún subconjunto compacto K de U . ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$
   • De manera equivalente, es el conjunto de todos los que tienen soporte compacto. ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f}$
   • ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$es igual a la unión de todos los rangos de todos los subconjuntos compactos de ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle U.}$
   • Si es una función de valor real en , entonces es un elemento de si y solo si es una función de aumento . Cada función de prueba de valor real en es también una función de prueba de valor complejo en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$

La gráfica de la función de impacto donde y Esta función es una función de prueba y es un elemento de El soporte de esta función es el disco unitario cerrado en Es distinto de cero en el disco unitario abierto y es igual a 0 en todas partes fuera de él. ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),}$ ${\displaystyle r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Para todos y cada uno de los subconjuntos compactos y de , tenemos: ${\displaystyle j,k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C^{k}(K)&\subseteq C_{c}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)&\subseteq C^{k}(L)&&{\text{if }}K\subseteq L\\C^{k}(K)&\subseteq C^{j}(K)&&{\text{if }}j\leq k\\C_{c}^{k}(U)&\subseteq C_{c}^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\C^{k}(U)&\subseteq C^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\\end{aligned}}}$$

Definición : Los elementos de se denominan funciones de prueba en U y se denomina espacio de funciones de prueba en U. Usaremos ambos y para denotar este espacio. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Las distribuciones en U son funcionales lineales continuas cuando este espacio vectorial está dotado de una topología particular llamada topología LF canónica . La siguiente proposición establece dos condiciones necesarias y suficientes para la continuidad de una función lineal que a menudo son sencillas de verificar. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Proposición : Una funcional lineal T on es continua, y por tanto una distribución , si y sólo si se satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. Para cada subconjunto compacto existen constantes y (dependientes de ) tales que para todos los que tienen soporte contenido en , ^{[1] [2]} ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K}$
   $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.}$$
2. Para cada subconjunto compacto y cada secuencia en cuyos soportes están contenidos , si converge uniformemente a cero para cada índice múltiple , entonces ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T(f_{i})\to 0.}$

Topología en C k ( U )

Ahora presentamos las seminormas que definirán la topología. A veces, diferentes autores utilizan diferentes familias de seminormas, por lo que a continuación enumeramos las familias más comunes. Sin embargo, la topología resultante es la misma sin importar qué familia se utilice. ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Supongamos que and es un subconjunto compacto arbitrario de Supongamos que es un número entero tal que ^{[nota 1]} and es un índice múltiple con longitud. Para definir: ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |p|\leq k.}$ ${\displaystyle K\neq \varnothing ,}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\text{ (1) }}\ &s_{p,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (2) }}\ &q_{i,K}(f)&&:=\sup _{|p|\leq i}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)=\sup _{|p|\leq i}\left(s_{p,K}(f)\right)\\[4pt]{\text{ (3) }}\ &r_{i,K}(f)&&:=\sup _{\stackrel {|p|\leq i}{x_{0}\in K}}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (4) }}\ &t_{i,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left(\sum _{|p|\leq i}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)\end{alignedat}}}$$

mientras que para definir todas las funciones anteriores como el mapa 0 constante . ${\displaystyle K=\varnothing ,}$

Todas las funciones anteriores son seminormas ^{[nota 2]} con valores no negativos. Como se explica en este artículo , cada conjunto de seminormas en un espacio vectorial induce una topología vectorial localmente convexa . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Cada uno de los siguientes conjuntos de seminormas

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A~:=\quad &\{q_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\B~:=\quad &\{r_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\C~:=\quad &\{t_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\D~:=\quad &\{s_{p,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&p\in \mathbb {N} ^{n}{\text{ satisfies }}\;&&|p|\leq k\}\end{alignedat}}}$$

topología vectorial localmente convexa ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

El espacio vectorial está dotado de la topología localmente convexa inducida por cualquiera de las cuatro familias de seminormas descritas anteriormente. Esta topología también es igual a la topología vectorial inducida por todas las seminormas en ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D.}$

Con esta topología, se convierte en un espacio de Fréchet localmente convexo que no es normable . Cada elemento de es una seminorma continua en Bajo esta topología, una red en converge a si y sólo si para cada índice múltiple con y cada compacto la red de derivadas parciales converge uniformemente a on ^[3] Para cualquier cualquier (von Neumann) acotado el subconjunto de es un subconjunto relativamente compacto de ^[4] En particular, un subconjunto de está acotado si y sólo si está acotado para todos ^[4] El espacio es un espacio de Montel si y sólo si ^[5] ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |p|<k+1}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \left(\partial ^{p}f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \partial ^{p}f}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \},}$ ${\displaystyle C^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle k=\infty .}$

Un subconjunto de es abierto en esta topología si y sólo si existe tal que esté abierto cuando esté dotado de la topología subespacial inducida sobre él por ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U).}$

Topología en C ^k ( K )

Como antes, corrija . Recuerde que si hay algún subconjunto compacto de entonces ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).}$

Supuesto : Para cualquier subconjunto compacto asumiremos de ahora en adelante que está dotado de la topología subespacial que hereda del espacio de Fréchet. ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Si es finito entonces es un espacio de Banach ^[6] con una topología que puede ser definida por la norma ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$

$${\displaystyle r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right).}$$

espacio de Hilbert^[6] ${\displaystyle k=2,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$

Extensiones triviales e independencia de la topología de C ^k ( K ) de U

Supongamos que es un subconjunto abierto de y es un subconjunto compacto. Por definición, los elementos de son funciones con dominio (en símbolos, ), por lo que el espacio y su topología dependen de para dejar clara esta dependencia del conjunto abierto , denotado temporalmente por Es importante destacar que cambiar el conjunto a un subconjunto abierto diferente (con ) cambie el conjunto de a ^{[nota 3]} para que los elementos de sean funciones con dominio en lugar de A pesar de que dependiendo del conjunto abierto ( ), la notación estándar para no lo menciona. Esto se justifica porque, como se explicará ahora en esta subsección, el espacio se identifica canónicamente como un subespacio de (tanto algebraica como topológicamente). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U;}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U).}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle K\subseteq U'}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U'),}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U{\text{ or }}U'}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U')}$

Basta explicar cómo identificarse canónicamente cuando uno de y es un subconjunto del otro. La razón es que si y son subconjuntos abiertos arbitrarios de contención, entonces el conjunto abierto también contiene, de modo que cada uno de y se identifica canónicamente con y ahora por transitividad, por lo tanto se identifica con. Entonces supongamos que son subconjuntos abiertos de contención ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U')}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U:=V\cap W}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;W)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V\cap W)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;W).}$ ${\displaystyle U\subseteq V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K.}$

Dada su extensión trivial a es la función definida por: ${\displaystyle f\in C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F:V\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

inyección ${\displaystyle C^{k}(V)}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle I(f)}$ ${\displaystyle I(f):=F}$ ${\displaystyle f\mapsto I(f)}$ ${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K\subseteq U\subseteq V}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}I\left(C^{k}(K;U)\right)&~=~C^{k}(K;V)\qquad {\text{ and thus }}\\I\left(C_{c}^{k}(U)\right)&~\subseteq ~C_{c}^{k}(V).\end{alignedat}}}$$

homeomorfismoisomorfismos TVS ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(K;V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f)\\\end{alignedat}}}$$

incrustación topológica

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f).\\\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$$

^[7] ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V).}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)\subseteq C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(V).}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U).}$

Topología canónica LF

Recuerde que denota todas las funciones que tienen soporte compacto en donde tenga en cuenta que es la unión de todos los rangos sobre todos los subconjuntos compactos de Además, cada uno es un subconjunto denso de El caso especial cuando nos da el espacio de funciones de prueba. ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle k,\,C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle k=\infty }$

${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$Se llama espacio de funciones de prueba y ${\displaystyle U}$ también puede denotarse por A menos que se indique lo contrario, está dotado de una topología llamada topología canónica LF , cuya definición se da en el artículo: Espacios de funciones y distribuciones de prueba . ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

La topología LF canónica no es metrizable y, lo que es más importante, es estrictamente más fina que la topología subespacial que induce . Sin embargo, la topología LF canónica se convierte en un espacio nuclear reflexivo completo ^[8] Montel ^[9] bornológico de Mackey con cañón ; lo mismo ocurre con su fuerte espacio dual (es decir, el espacio de todas las distribuciones con su topología habitual). La topología LF canónica se puede definir de varias maneras. ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Distribuciones

Como se analizó anteriormente, los funcionales lineales continuos en a se conocen como distribuciones en. A continuación se describen otras definiciones equivalentes. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U.}$

Por definición, una distribución on ${\displaystyle U}$ es un funcional lineal continuo on. Dicho de otra manera, una distribución on es un elemento del espacio dual continuo de cuando está dotado de su topología LF canónica. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Existe un emparejamiento de dualidad canónica entre una distribución y una función de prueba que se denota mediante paréntesis angulares por ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$

$${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {D}}'(U)\times C_{c}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle :=T(f)\end{cases}}}$$

Se interpreta esta notación como la distribución que actúa sobre la función de prueba para dar un escalar, o simétricamente como la función de prueba que actúa sobre la distribución. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T.}$

Caracterizaciones de distribuciones.

Proposición. Si es un funcional lineal , entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. T es una distribución;
2. T es continua ;
3. T es continua en el origen;
4. T es uniformemente continuo ;
5. T es un operador acotado ;
6. T es secuencialmente continuo ;
   • explícitamente, para cada secuencia que converge en alguna ^{[nota 4]} ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);}$
7. T es secuencialmente continuo en el origen; en otras palabras, T asigna secuencias nulas ^{[nota 5]} a secuencias nulas;
   • explícitamente, para cada secuencia que converge con el origen (dicha secuencia se llama secuencia nula ), ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0;}$
   • una secuencia nula es por definición cualquier secuencia que converge al origen;
8. T asigna secuencias nulas a subconjuntos acotados;
   • explícitamente, para cada secuencia que converge con el origen, la secuencia está acotada; ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
9. T asigna secuencias nulas convergentes de Mackey a subconjuntos acotados;
   • explícitamente, para cada Mackey la secuencia nula convergente de la secuencia está acotada; ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
   • se dice que una secuencia es Mackey convergente al origen si existe una secuencia divergente de números reales positivos tal que la secuencia esté acotada; toda secuencia que sea Mackey convergente al origen necesariamente converge al origen (en el sentido habitual); ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$ ${\displaystyle \left(r_{i}f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$
10. El núcleo de T es un subespacio cerrado de ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U);}$
11. La gráfica de T es cerrada;
12. Existe una seminorma continua tal que ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle |T|\leq g;}$
13. Existe un subconjunto constante y finito (donde está cualquier colección de seminormas continuas que define la topología canónica de LF en ) tal que ^{[nota 6]} ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle \{g_{1},\ldots ,g_{m}\}\subseteq {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle |T|\leq C(g_{1}+\cdots +g_{m});}$
14. Para cada subconjunto compacto existen constantes tales que para todos ^[1] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(K),}$
    $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\};}$$
15. Para cada subconjunto compacto existen constantes tales que para todos los que tienen soporte contenido en ^[10] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C_{K}>0}$ ${\displaystyle N_{K}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K,}$
    $${\displaystyle |T(f)|\leq C_{K}\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\};}$$
16. Para cualquier subconjunto compacto y cualquier secuencia en si converge uniformemente a cero para todos los índices múltiples, entonces ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle T(f_{i})\to 0;}$

Topología sobre el espacio de distribuciones y su relación con la topología débil-*

El conjunto de todas las distribuciones on es el espacio dual continuo del cual, cuando está dotado de la topología dual fuerte, se denota como Es importante destacar que, a menos que se indique lo contrario, la topología on es la topología dual fuerte ; si la topología es, en cambio, la topología débil-* , se indicará esto. Ninguna topología es metrizable aunque, a diferencia de la topología débil*, la topología dual fuerte se convierte en un espacio nuclear completo , por nombrar sólo algunas de sus propiedades deseables. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Ni su dual fuerte ni su dual son un espacio secuencial y, por lo tanto, ninguna de sus topologías puede describirse completamente mediante secuencias (en otras palabras, definir solo qué secuencias convergen en estos espacios no es suficiente para definir completa/correctamente sus topologías). Sin embargo, una secuencia en converge en la topología dual fuerte si y sólo si converge en la topología débil-* (esto lleva a muchos autores a usar la convergencia puntual para definir la convergencia de una secuencia de distribuciones; esto está bien para secuencias, pero es no se garantiza que se extienda a la convergencia de redes de distribuciones porque una red puede converger puntualmente pero no converge en la topología dual fuerte). Más información sobre la topología de la que está dotado se puede encontrar en el artículo sobre espacios de funciones de prueba y distribuciones y los artículos sobre topologías polares y sistemas duales . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Un mapa lineal desde otro espacio vectorial topológico localmente convexo (como cualquier espacio normado ) es continuo si y sólo si es secuencialmente continuo en el origen. Sin embargo, esto ya no está garantizado si el mapa no es lineal o para mapas valorados en espacios topológicos más generales (por ejemplo, que no son también espacios vectoriales topológicos localmente convexos ). Lo mismo ocurre con los mapas de (de manera más general, esto se aplica a los mapas de cualquier espacio bornológico localmente convexo ). ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Localización de distribuciones.

No hay forma de definir el valor de una distribución en un punto particular de U. Sin embargo, como es el caso con las funciones, las distribuciones en U se restringen a dar distribuciones en subconjuntos abiertos de U. Además, las distribuciones se determinan localmente en el sentido de que se puede ensamblar una distribución en todo U a partir de una distribución en una cubierta abierta de U que satisfaga algunas condiciones de compatibilidad en los solapamientos. Esta estructura se conoce como gavilla . ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Extensiones y restricciones a un subconjunto abierto

Sean subconjuntos abiertos de Cada función se puede extender en cero desde su dominio V a una función en U igualándola a en el complemento . Esta extensión es una función suave y compactamente soportada llamada extensión trivial de a y se denotará por This La asignación define el operador de extensión trivial que es un mapa lineal inyectivo continuo. Se utiliza para identificar canónicamente como un subespacio vectorial de (aunque no como un subespacio topológico ). Su transpuesta (explicada aquí) ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U\setminus V.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E_{VU}(f).}$ ${\displaystyle f\mapsto E_{VU}(f)}$ ${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$

$${\displaystyle \rho _{VU}:={}^{t}E_{VU}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(V),}$$

restricción de distribuciones en ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ^[11]restricción deLa ${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$

$${\displaystyle \langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(V).}$$

noestrictamente más finatopología subespacialnosubespacio topológicodensocodominio ^[11][11]extensible a Uextensible^[11] ${\displaystyle V\neq U}$ ${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle V\neq U}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(V)}$ ${\displaystyle E_{VU}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

A menos que la restricción a V no sea ni inyectiva ni sobreyectiva . Se produce una falta de sobreyectividad , ya que las distribuciones pueden explotar hacia el límite de V. Por ejemplo, si y entonces la distribución ${\displaystyle U=V,}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle V=(0,2),}$

$${\displaystyle T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \left(x-{\frac {1}{n}}\right)}$$

${\displaystyle {\mathcal {D}}'(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

Pegados y distribuciones que se desvanecen en un conjunto.

Teorema ^[12]  -  Sea una colección de subconjuntos abiertos de For each let y supongamos que para todos la restricción de to es igual a la restricción de to (tenga en cuenta que ambas restricciones son elementos de ). Entonces existe un único tal que para toda la restricción de T to es igual a ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle T_{i}\in {\mathcal {D}}'(U_{i})}$ ${\displaystyle i,j\in I,}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle T_{j}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U_{i}\cap U_{j})}$ ${\textstyle T\in {\mathcal {D}}'(\bigcup _{i\in I}U_{i})}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}.}$

Sea V un subconjunto abierto de U. se dice que desaparece en V si para todos los casos en los que tenemos T desaparece en V si y sólo si la restricción de T a V es igual a 0, o equivalentemente, si y sólo si T se encuentra en el núcleo del mapa de restricción ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq V}$ ${\displaystyle Tf=0.}$ ${\displaystyle \rho _{VU}.}$

Corolario ^[12]  —  Sea una colección de subconjuntos abiertos de y sea si y solo si para cada uno la restricción de T to es igual a 0. ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle T\in {\mathcal {D}}'(\bigcup _{i\in I}U_{i}).}$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Corolario ^[12]  -  La unión de todos los subconjuntos abiertos de U en los que una distribución T desaparece es un subconjunto abierto de U en el que T desaparece.

Soporte de una distribución.

Este último corolario implica que para cada distribución T en U , existe un subconjunto único más grande V de U tal que T desaparece en V (y no desaparece en ningún subconjunto abierto de U que no esté contenido en V ); el complemento en U de este único subconjunto abierto más grande se llama soporte de T. ^[12] Así

$${\displaystyle \operatorname {supp} (T)=U\setminus \bigcup \{V\mid \rho _{VU}T=0\}.}$$

Si es una función localmente integrable en U y si es su distribución asociada, entonces el soporte de es el subconjunto cerrado más pequeño de U en cuyo complemento es casi en todas partes igual a 0. ^[12] Si es continuo, entonces el soporte de es igual al cierre del conjunto de puntos en U en el que no desaparece. ^[12] El soporte de la distribución asociada a la medida de Dirac en un punto es el conjunto ^[12] Si el soporte de una función de prueba no intersecta el soporte de una distribución T entonces una distribución T es 0 si y sólo si su soporte esta vacio. Si es idénticamente 1 en algún conjunto abierto que contiene el soporte de una distribución T , entonces si el soporte de una distribución T es compacto, entonces tiene orden finito y hay una constante y un entero no negativo tal que: ^[7] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \{x_{0}\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Tf=0.}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle fT=T.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle |T\phi |\leq C\|\phi \|_{N}:=C\sup \left\{\left|\partial ^{\alpha }\phi (x)\right|:x\in U,|\alpha |\leq N\right\}\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Si T tiene soporte compacto, entonces tiene una extensión única a un funcional lineal continuo en ; esta función se puede definir por dónde está cualquier función que sea idénticamente 1 en un conjunto abierto que contenga el soporte de T. ^[7] ${\displaystyle {\widehat {T}}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\widehat {T}}(f):=T(\psi f),}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U)}$

Si y entonces y Por lo tanto, las distribuciones con soporte en un subconjunto dado forman un subespacio vectorial de ^[13] Además, si es un operador diferencial en U , entonces para todas las distribuciones T en U y todas tenemos y ^[13] ${\displaystyle S,T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (S+T)\subseteq \operatorname {supp} (S)\cup \operatorname {supp} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\lambda T)=\operatorname {supp} (T).}$ ${\displaystyle A\subseteq U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (P(x,\partial )T)\subseteq \operatorname {supp} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (fT)\subseteq \operatorname {supp} (f)\cap \operatorname {supp} (T).}$

Distribuciones con soporte compacto

Apoyo en un set de puntos y medidas de Dirac

Para cualquier , denotemos la distribución inducida por la medida de Dirac en Para cualquier distribución, el soporte de T está contenido en si y sólo si T es una combinación lineal finita de derivadas de la medida de Dirac en ^[14] Si además el orden de T entonces existen constantes tales que: ^[15] ${\displaystyle x\in U,}$ ${\displaystyle \delta _{x}\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x_{0}\in U}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle \{x_{0}\}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle \leq k}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$

$${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\alpha _{p}\partial ^{p}\delta _{x_{0}}.}$$

Dicho de otra manera, si T tiene apoyo en un solo punto , entonces T es de hecho una combinación lineal finita de derivadas distributivas de la función en P. Es decir, existe un número entero m y constantes complejas tales que ${\displaystyle \{P\},}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle a_{\alpha }}$

$${\displaystyle T=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\partial ^{\alpha }(\tau _{P}\delta )}$$

${\displaystyle \tau _{P}}$

Distribución con soporte compacto

Teorema ^[7]  —  Supongamos que T es una distribución en U con soporte compacto K. Existe una función continua definida en U y un índice múltiple p tal que ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle T=\partial ^{p}f,}$$

donde las derivadas se entienden en el sentido de distribuciones. Es decir, para todas las funciones de prueba en U , ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle T\phi =(-1)^{|p|}\int _{U}f(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.}$$

Distribuciones de orden finito con soporte en un subconjunto abierto

Teorema ^[7]  :  supongamos que T es una distribución en U con soporte compacto K y sea V un subconjunto abierto de U que contiene K. Dado que toda distribución con soporte compacto tiene orden finito, tome N como el orden de T y defina Existe una familia de funciones continuas definidas en U con soporte en V tal que ${\displaystyle P:=\{0,1,\ldots ,N+2\}^{n}.}$ ${\displaystyle (f_{p})_{p\in P}}$

$${\displaystyle T=\sum _{p\in P}\partial ^{p}f_{p},}$$

donde las derivadas se entienden en el sentido de distribuciones. Es decir, para todas las funciones de prueba en U , ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle T\phi =\sum _{p\in P}(-1)^{|p|}\int _{U}f_{p}(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.}$$

Estructura global de distribuciones.

La definición formal de distribuciones las muestra como un subespacio de un espacio muy grande, es decir, el dual topológico de (o el espacio de Schwartz para distribuciones templadas). De la definición no queda inmediatamente claro cuán exótica podría ser una distribución. Para responder a esta pregunta, resulta instructivo ver distribuciones construidas a partir de un espacio más pequeño, es decir, el espacio de funciones continuas. En términos generales, cualquier distribución es localmente una derivada (múltiple) de una función continua. Una versión precisa de este resultado, que se proporciona a continuación, es válida para distribuciones de soporte compacto, distribuciones templadas y distribuciones generales. En términos generales, ningún subconjunto propio del espacio de distribuciones contiene todas las funciones continuas y está cerrado bajo diferenciación. Esto significa que las distribuciones no son objetos particularmente exóticos; son tan complicados como sea necesario. ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

Distribuciones como gavillas.

Teorema ^[16] —  Sea  T una distribución en U. Existe una secuencia tal que cada Ti tiene soporte compacto y cada subconjunto compacto interseca el soporte de solo un número finito _y la secuencia de sumas parciales definida por converge en T ; en otras palabras tenemos: ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle T_{i},}$ ${\displaystyle (S_{j})_{j=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle S_{j}:=T_{1}+\cdots +T_{j},}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{\infty }T_{i}.}$$

Recuerde que una secuencia converge (con su fuerte topología dual) si y sólo si converge puntualmente. ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Descomposición de distribuciones como sumas de derivadas de funciones continuas.

Combinando los resultados anteriores, se puede expresar cualquier distribución en U como la suma de una serie de distribuciones con soporte compacto, donde cada una de estas distribuciones puede a su vez escribirse como una suma finita de derivadas distributivas de funciones continuas en U. En otras palabras, para arbitrario podemos escribir: ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$

$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{p\in P_{i}}\partial ^{p}f_{ip},}$$

${\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots }$ ${\displaystyle f_{ip}}$

Teorema ^[17] —  Sea  T una distribución en U. Para cada índice múltiple p existe una función continua en U tal que ${\displaystyle g_{p}}$

1. cualquier subconjunto compacto K de U interseca el soporte de sólo un número finito y ${\displaystyle g_{p},}$
2. ${\displaystyle T=\sum \nolimits _{p}\partial ^{p}g_{p}.}$

Además, si T tiene orden finito, entonces se puede elegir de tal manera que sólo un número finito de ellos sean distintos de cero. ${\displaystyle g_{p}}$

Tenga en cuenta que la suma infinita anterior está bien definida como una distribución. El valor de T para un dado se puede calcular usando los números finitos que intersecan el soporte de ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle g_{\alpha }}$ ${\displaystyle f.}$

Operaciones sobre distribuciones.

Muchas operaciones que se definen en funciones fluidas con soporte compacto también se pueden definir para distribuciones. En general, si es un mapa lineal que es continuo con respecto a la topología débil , entonces no siempre es posible extenderlo a un mapa mediante teoremas de extensión clásicos de topología o análisis funcional lineal. ^{[nota 7]} La ​​extensión “distribucional” del operador lineal continuo A anterior es posible si y sólo si A admite un adjunto de Schwartz, es decir, otro operador lineal continuo B del mismo tipo tal que , para cada par de funciones de prueba. En esa condición, B es única y la extensión A' es la transpuesta del adjunto B de Schwartz. ^{[ cita necesaria ] [18] [ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A':{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \langle Af,g\rangle =\langle f,Bg\rangle }$

Preliminares: Transposición de un operador lineal

Las operaciones sobre distribuciones y espacios de distribuciones a menudo se definen mediante la transposición de un operador lineal. Esto se debe a que la transpuesta permite una presentación unificada de las muchas definiciones de la teoría de distribuciones y también a que sus propiedades son bien conocidas en el análisis funcional . ^[19] Por ejemplo, el conocido adjunto hermitiano de un operador lineal entre espacios de Hilbert es solo la transpuesta del operador (pero con el teorema de representación de Riesz utilizado para identificar cada espacio de Hilbert con su espacio dual continuo ). En general, la transpuesta de un mapa lineal continuo es el mapa lineal ${\displaystyle A:X\to Y}$

$${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'\qquad {\text{ defined by }}\qquad {}^{t}A(y'):=y'\circ A,}$$

topologías duales fuertestopologías débiles*topología polarsistema dual ${\displaystyle \langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{t}A(y'),x\right\rangle }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y'\in Y'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'}$

En el contexto de las distribuciones, la caracterización de la transpuesta se puede refinar ligeramente. Sea un mapa lineal continuo. Entonces, por definición, la transpuesta de es el único operador lineal que satisface: ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{t}A:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$

$${\displaystyle \langle {}^{t}A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi )\rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U){\text{ and all }}T\in {\mathcal {D}}'(U).}$$

Dado que es denso en (aquí, en realidad se refiere al conjunto de distribuciones ), es suficiente que la igualdad definitoria se cumpla para todas las distribuciones de la forma donde. Explícitamente, esto significa que un mapa lineal continuo es igual a si y solo si se cumple la siguiente condición. : ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \left\{D_{\psi }:\psi \in {\mathcal {D}}(U)\right\}}$ ${\displaystyle T=D_{\psi }}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle B:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}A}$

$${\displaystyle \langle B(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi ,\psi \in {\mathcal {D}}(U)}$$

${\displaystyle \langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi )\rangle =\langle \psi ,A(\phi )\rangle =\int _{U}\psi \cdot A(\phi )\,dx.}$

Operadores diferenciales

Diferenciación de distribuciones.

Sea el operador de derivada parcial. Para extender calculamos su transpuesta: ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle &=\int _{U}\psi (A\phi )\,dx&&{\text{(See above.)}}\\&=\int _{U}\psi {\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\,dx\\[4pt]&=-\int _{U}\phi {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\,dx&&{\text{(integration by parts)}}\\[4pt]&=-\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle \\[4pt]&=-\langle A\psi ,\phi \rangle =\langle -A\psi ,\phi \rangle \end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la derivada parcial de con respecto a la coordenada está definida por la fórmula ${\displaystyle {}^{t}A=-A.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{k}}$

$${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\right\rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Con esta definición, toda distribución es infinitamente diferenciable y la derivada en la dirección es un operador lineal en ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

De manera más general, si es un índice múltiple arbitrario , entonces la derivada parcial de la distribución se define por ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }T}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$

$${\displaystyle \langle \partial ^{\alpha }T,\phi \rangle =(-1)^{|\alpha |}\langle T,\partial ^{\alpha }\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

La diferenciación de distribuciones es un operador continuo; esta es una propiedad importante y deseable que no es compartida por la mayoría de las otras nociones de diferenciación. ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U);}$

Si es una distribución en entonces ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {T-\tau _{x}T}{x}}=T'\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ),}$$

^[20] ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau _{x}}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle T}$

Operadores diferenciales que actúan sobre funciones suaves.

Un operador diferencial lineal con coeficientes suaves actúa en el espacio de funciones suaves. Dado tal operador, nos gustaría definir un mapa lineal continuo, que extienda la acción de on a distribuciones en. En otras palabras, nos gustaría definir tal que el siguiente diagrama conmuta : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\textstyle P:=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\partial ^{\alpha },}$ ${\displaystyle D_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle D_{P}}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {D}}'(U)&{\stackrel {D_{P}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {D}}'(U)\\[2pt]\uparrow &&\uparrow \\[2pt]C^{\infty }(U)&{\stackrel {P}{\longrightarrow }}&C^{\infty }(U)\end{matrix}}}$$

${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle D_{f}\in {\mathcal {D}}'(U),}$

$${\displaystyle D_{f}(\phi )=\langle f,\phi \rangle :=\int _{U}f(x)\phi (x)\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

$${\displaystyle D_{P(f)}=D_{P}D_{f}\qquad {\text{ for all }}f\in C^{\infty }(U).}$$

En el siguiente lema se considera encontrar la transpuesta del mapa inducido continuo definido por . Esto lleva a la siguiente definición del operador diferencial llamado cuya transposición formal se denotará por para evitar confusión con el mapa de transposición, que se define por ${\displaystyle D_{P},}$ ${\displaystyle {}^{t}P:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle P:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \phi \mapsto P(\phi )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle P_{*}}$

$${\displaystyle P_{*}:=\sum _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }\quad {\text{ where }}\quad b_{\alpha }:=\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }.}$$

Lema  :  Sea un operador diferencial lineal con coeficientes suaves en Entonces, para todo lo que tenemos ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U)}$

$${\displaystyle \left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle =\left\langle D_{P_{*}(f)},\phi \right\rangle ,}$$

que equivale a:

$${\displaystyle {}^{t}P(D_{f})=D_{P_{*}(f)}.}$$

El Lema combinado con el hecho de que la transpuesta formal de la transpuesta formal es el operador diferencial original, es decir, ^[21] nos permite llegar a la definición correcta: la transpuesta formal induce el operador lineal canónico (continuo) definido por Afirmamos que la transposición de este mapa, se puede tomar como Para ver esto, para cada uno calcula su acción sobre una distribución de la forma con : ${\displaystyle P_{**}=P,}$ ${\displaystyle P_{*}:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \phi \mapsto P_{*}(\phi ).}$ ${\displaystyle {}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle D_{P}.}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U),}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P_{*}\left(D_{f}\right),\phi \right\rangle &=\left\langle D_{P_{**}(f)},\phi \right\rangle &&{\text{Using Lemma above with }}P_{*}{\text{ in place of }}P\\&=\left\langle D_{P(f)},\phi \right\rangle &&P_{**}=P\end{aligned}}}$$

Al operador lineal continuo lo llamamos operador diferencial en distribuciones que se extienden . ^[21] Su acción sobre una distribución arbitraria se define mediante: ${\displaystyle D_{P}:={}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle D_{P}(S)(\phi )=S\left(P_{*}(\phi )\right)\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Si converge a entonces para cada índice múltiple converge a ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \alpha ,(\partial ^{\alpha }T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }T\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Multiplicación de distribuciones por funciones suaves.

Un operador diferencial de orden 0 es simplemente una multiplicación por una función suave. Y a la inversa, si es una función suave entonces es un operador diferencial de orden 0, cuya transpuesta formal es ella misma (es decir, ). El operador diferencial inducido asigna una distribución a una distribución denotada por. Por lo tanto, hemos definido la multiplicación de una distribución por una función suave. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P:=f(x)}$ ${\displaystyle P_{*}=P}$ ${\displaystyle D_{P}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle fT:=D_{P}(T).}$

Ahora damos una presentación alternativa de la multiplicación de una distribución por una función suave. El producto está definido por ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle m:U\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle mT}$

$${\displaystyle \langle mT,\phi \rangle =\langle T,m\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Esta definición coincide con la definición de transposición ya que si es el operador de multiplicación por la función (es decir, ), entonces ${\displaystyle M:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (M\phi )(x)=m(x)\phi (x)}$

$${\displaystyle \int _{U}(M\phi )(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}m(x)\phi (x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)m(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)(M\psi )(x)\,dx,}$$

${\displaystyle {}^{t}M=M.}$

Bajo multiplicación por funciones suaves, hay un módulo sobre el anillo . Con esta definición de multiplicación por una función suave, la regla del producto ordinaria del cálculo sigue siendo válida. Sin embargo, también surgen algunas identidades inusuales. Por ejemplo, si la distribución delta de Dirac es entonces y si es la derivada de la distribución delta, entonces ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle m\delta =m(0)\delta ,}$ ${\displaystyle \delta ^{'}}$

$${\displaystyle m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta =m(0)\delta '-m'(0)\delta .}$$

El mapa de multiplicación bilineal dado por no es continuo; sin embargo, es hipocontinuo . ^[22] ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle (f,T)\mapsto fT}$

Ejemplo. El producto de cualquier distribución con la función idéntica 1 en es igual a ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T.}$

Ejemplo. Supongamos que es una secuencia de funciones de prueba que converge a la función constante. Para cualquier distribución en la secuencia converge a ^[23] ${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1\in C^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle (f_{i}T)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Si converge a y converge a entonces converge a ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle (f_{i}T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle fT\in {\mathcal {D}}'(U).}$

Problema de multiplicar distribuciones.

Es fácil definir el producto de una distribución con una función suave o, más generalmente, el producto de dos distribuciones cuyos soportes singulares son disjuntos. ^[24] Con más esfuerzo, es posible definir un producto de buen comportamiento de varias distribuciones siempre que sus conjuntos de frentes de onda en cada punto sean compatibles. Una limitación de la teoría de las distribuciones (y de las hiperfunciones) es que no existe un producto asociativo de dos distribuciones que extienda el producto de una distribución mediante una función suave, como lo demostró Laurent Schwartz en la década de 1950. Por ejemplo, si es la distribución obtenida por el valor principal de Cauchy ${\displaystyle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}}$

$${\displaystyle \left(\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)(\phi )=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|\geq \varepsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).}$$

Si es la distribución delta de Dirac entonces ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle (\delta \times x)\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}=0}$$

$${\displaystyle \delta \times \left(x\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)=\delta }$$

asociativo

Por tanto, los problemas no lineales no pueden plantearse en general y, por tanto, no se resuelven únicamente dentro de la teoría de la distribución. Sin embargo, en el contexto de la teoría cuántica de campos se pueden encontrar soluciones. En más de dos dimensiones del espacio-tiempo el problema está relacionado con la regularización de divergencias . Aquí Henri Epstein y Vladimir Glaser desarrollaron la teoría de la perturbación causal matemáticamente rigurosa (pero extremadamente técnica) . Esto no resuelve el problema en otras situaciones. Muchas otras teorías interesantes son no lineales, como por ejemplo las ecuaciones de dinámica de fluidos de Navier-Stokes .

Se han desarrollado varias teorías no del todo satisfactorias ^{[ cita necesaria ] de} álgebras de funciones generalizadas , entre las cuales el álgebra (simplificada) de Colombeau es quizás la más popular en uso en la actualidad.

Inspirándose en la teoría del camino aproximado de Lyons , ^[25] Martin Hairer propuso una forma consistente de multiplicar distribuciones con ciertas estructuras ( estructuras de regularidad ^[26] ), disponibles en muchos ejemplos del análisis estocástico, en particular ecuaciones diferenciales parciales estocásticas. Véase también Gubinelli–Imkeller–Perkowski (2015) para un desarrollo relacionado basado en el paraproducto de Bony del análisis de Fourier.

Composición con una función suave.

Sea una distribución en Sea un conjunto abierto en y Si es una inmersión entonces es posible definir ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F:V\to U.}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle T\circ F\in {\mathcal {D}}'(V).}$$

Esta es la composición ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$de la distribución con , y también se llama retroceso de , ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$ a veces escrito

$${\displaystyle F^{\sharp }:T\mapsto F^{\sharp }T=T\circ F.}$$

A menudo se indica el retroceso, aunque esta notación no debe confundirse con el uso de '*' para indicar el adjunto de un mapeo lineal. ${\displaystyle F^{*},}$

La condición de que sea una inmersión es equivalente al requisito de que la derivada jacobiana de sea una aplicación lineal sobreyectiva para cada Una condición necesaria (pero no suficiente) para extender a las distribuciones es que sea una aplicación abierta . ^[27] El teorema de la función inversa asegura que una inmersión satisface esta condición. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle dF(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\in V.}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle F}$

Si es una inmersión, entonces se define en distribuciones encontrando el mapa de transposición. La unicidad de esta extensión está garantizada ya que es un operador lineal continuo en Existencia; sin embargo, requiere el uso de la fórmula de cambio de variables , el teorema de la función inversa (localmente) y un argumento de partición de unidad . ^[28] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

En el caso especial en el que un difeomorfismo de un subconjunto abierto de a un subconjunto abierto de cambio de variables bajo la integral da: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \int _{V}\phi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)\psi \left(F^{-1}(x)\right)\left|\det dF^{-1}(x)\right|\,dx.}$$

En este caso particular, entonces, queda definido por la fórmula de transposición: ${\displaystyle F^{\#}}$

$${\displaystyle \left\langle F^{\sharp }T,\phi \right\rangle =\left\langle T,\left|\det d(F^{-1})\right|\phi \circ F^{-1}\right\rangle .}$$

Circunvolución

En algunas circunstancias, es posible definir la convolución de una función con una distribución, o incluso la convolución de dos distribuciones. Recuerde que si y son funciones de entonces las denotamos por la convolución de y definidas en como la integral ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle (f\ast g)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)g(x-y)\,dy}$$

^[29]dependesuma de Minkowski ^[29] ${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty }$ ${\textstyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}-1}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f\ast g\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \|f\ast g\|_{L^{r}}\leq \|f\|_{L^{p}}\|g\|_{L^{q}}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f\ast g)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (g)}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A-\operatorname {supp} (g)=\{a-s:a\in A,s\in \operatorname {supp} (g)\}.}$

Es importante destacar que si tiene soporte compacto, para cualquier mapa de convolución es continuo cuando se considera como el mapa o como el mapa ^[29] ${\displaystyle g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq \infty ,}$ ${\displaystyle f\mapsto f\ast g}$ ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Traducción y simetría

Dado el operador de traducción envía a definido por Esto se puede extender mediante la transposición a distribuciones de la siguiente manera: dada una distribución, la traducción de por es la distribución definida por ^{[30] [31]} ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \tau _{a}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{a}f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \tau _{a}f(y)=f(y-a).}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \tau _{a}T:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{a}T(\phi ):=\left\langle T,\tau _{-a}\phi \right\rangle .}$

Dado definir la función por Dada una distribución sea la distribución definida por El operador se llama simetría con respecto al origen . ^[30] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=f(-x).}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle {\tilde {T}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\tilde {T}}(\phi ):=T\left({\tilde {\phi }}\right).}$ ${\displaystyle T\mapsto {\tilde {T}}}$

Convolución de una función de prueba con una distribución.

La convolución define un mapa lineal: ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}C_{f}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&g&&\mapsto \,&&f\ast g\\\end{alignedat}}}$$

continuaespacial canónica LF ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

La convolución de con una distribución se puede definir tomando la transposición de relativa al emparejamiento de dualidad de con el espacio de distribuciones. ^[32] Si entonces por el teorema de Fubini ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{f}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f,g,\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}),}$

$${\displaystyle \langle C_{f}g,\phi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy\,dx=\left\langle g,C_{\tilde {f}}\phi \right\rangle .}$$

Extendiendo por continuidad, la convolución de con una distribución se define por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \langle f\ast T,\phi \rangle =\left\langle T,{\tilde {f}}\ast \phi \right\rangle ,\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$

Una forma alternativa de definir la convolución de una función de prueba y una distribución es usar el operador de traducción. La convolución de la función soportada de forma compacta y la distribución es entonces la función definida para cada una por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau _{a}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle (f\ast T)(x)=\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle .}$$

Se puede demostrar que la convolución de una función suave y con soporte compacto y una distribución es una función suave. Si la distribución tiene soporte compacto, y si es un polinomio (resp. una función exponencial, una función analítica, la restricción de una función analítica completa a la restricción de una función completa de tipo exponencial en ) , entonces lo mismo es cierto de ^[30] Si la distribución también tiene soporte compacto, entonces es una función con soporte compacto, y el teorema de convolución de Titchmarsh Hörmander (1983, Teorema 4.3.3) implica que: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T\ast f.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f\ast T}$

$${\displaystyle \operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f\ast T))=\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f))+\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (T))}$$

casco convexo ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ ${\displaystyle \operatorname {supp} }$

Convolución de una función suave con una distribución.

Sea y y supongamos que al menos uno de y tiene soporte compacto. La convolución de y denotada por o por es la función suave: ^[30] ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle f\ast T}$ ${\displaystyle T\ast f,}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f\ast T:\,&\mathbb {R} ^{n}&&\to \,&&\mathbb {C} \\&x&&\mapsto \,&&\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle p\in \mathbb {N} ^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {supp} (f\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (T)\\[6pt]&{\text{ for all }}p\in \mathbb {N} ^{n}:\quad {\begin{cases}\partial ^{p}\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle =\left\langle T,\partial ^{p}\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\partial ^{p}(T\ast f)=(\partial ^{p}T)\ast f=T\ast (\partial ^{p}f).\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Sea el mapa . Si es una distribución, entonces es continua como un mapa . Si también tiene soporte compacto, entonces también es continuo como el mapa y continuo como el mapa ^[30] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\mapsto T\ast f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Si es un mapa lineal continuo tal que para todos y todos entonces existe una distribución tal que para todos ^[7] ${\displaystyle L:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L\partial ^{\alpha }\phi =\partial ^{\alpha }L\phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L\phi =T\circ \phi }$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Ejemplo. ^[7] Sea la función Heaviside en Para cualquier ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ),}$

$${\displaystyle (H\ast \phi )(x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\,dt.}$$

Sea la medida de Dirac en 0 y sea su derivada como distribución. Entonces , y lo más importante, la ley asociativa no se cumple: ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta '\ast H=\delta }$ ${\displaystyle 1\ast \delta '=0.}$

$${\displaystyle 1=1\ast \delta =1\ast (\delta '\ast H)\neq (1\ast \delta ')\ast H=0\ast H=0.}$$

Convolución de distribuciones

También es posible definir la convolución de dos distribuciones y siempre que una de ellas tenga soporte compacto. Informalmente, para definir dónde tiene soporte compacto, la idea es extender la definición de la convolución a una operación lineal sobre distribuciones de modo que la fórmula de asociatividad ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle S\ast T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \,\ast \,}$

$${\displaystyle S\ast (T\ast \phi )=(S\ast T)\ast \phi }$$

^[33] ${\displaystyle \phi .}$

También es posible proporcionar una caracterización más explícita de la convolución de distribuciones. ^[32] Supongamos que y son distribuciones y que tiene soporte compacto. Entonces los mapas lineales ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\bullet \ast {\tilde {S}}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\quad {\text{ and }}\quad &&\bullet \ast {\tilde {T}}:\,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {S}}&&&&&&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {T}}\\\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right):{\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\qquad {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right):{\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$$

^[30]

$${\displaystyle {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right)(T)={}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right)(S).}$$

Este valor común se llama convolución de y y ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ es una distribución que se denota por o Satisface ^[30] Si y son dos distribuciones, al menos una de las cuales tiene soporte compacto, entonces para cualquier ^[30] Si es una distribución en y si es una medida de Dirac entonces ; ^[30] es, por tanto, el elemento de identidad de la operación de convolución. Además, si es una función, entonces la asociatividad de la convolución implica que para todas las funciones y ${\displaystyle S\ast T}$ ${\displaystyle T\ast S.}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (S\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (S)+\operatorname {supp} (T).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \tau _{a}(S\ast T)=\left(\tau _{a}S\right)\ast T=S\ast \left(\tau _{a}T\right).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle T\ast \delta =T=\delta \ast T}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\ast \delta ^{\prime }=f^{\prime }=\delta ^{\prime }\ast f}$ ${\displaystyle f^{\prime }\ast g=g^{\prime }\ast f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$

Supongamos que es el que tiene soporte compacto. Para considerar la función ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$

$${\displaystyle \psi (x)=\langle T,\tau _{-x}\phi \rangle .}$$

Se puede demostrar fácilmente que esto define una función suave que además tiene un soporte compacto. La convolución de y está definida por ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \langle S\ast T,\phi \rangle =\langle S,\psi \rangle .}$$

Esto generaliza la noción clásica de convolución de funciones y es compatible con la diferenciación en el siguiente sentido: para cada índice múltiple ${\displaystyle \alpha .}$

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }(S\ast T)=(\partial ^{\alpha }S)\ast T=S\ast (\partial ^{\alpha }T).}$$

La convolución de un número finito de distribuciones, todas las cuales (excepto posiblemente una) tienen soporte compacto, es asociativa . ^[30]

Esta definición de convolución sigue siendo válida bajo supuestos menos restrictivos sobre y ^[34] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T.}$

La convolución de distribuciones con soporte compacto induce un mapa bilineal continuo definido por donde denota el espacio de distribuciones con soporte compacto. ^[22] Sin embargo, el mapa de convolución como función no es continuo ^[22] aunque sí es continuo por separado. ^[35] Los mapas de convolución y dados por ambos no logran ser continuos. ^[22] Cada uno de estos mapas no continuos es, sin embargo, por separado continuo e hipocontinuo . ^[22] ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\times {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle (S,T)\mapsto S*T,}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle (f,T)\mapsto f*T}$

Convolución versus multiplicación

En general, se requiere regularidad para los productos de multiplicación y localidad para los productos de convolución. Se expresa en la siguiente extensión del Teorema de la Convolución que garantiza la existencia tanto de productos de convolución como de multiplicación. Sea una distribución templada decreciente rápidamente o, de manera equivalente, una función ordinaria (de crecimiento lento, suave) dentro del espacio de distribuciones templadas y sea la transformada de Fourier normalizada (unitaria, de frecuencia ordinaria) . ^[36] Entonces, según Schwartz (1951), ${\displaystyle F(\alpha )=f\in {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle F(f)=\alpha \in {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle F(f*g)=F(f)\cdot F(g)\qquad {\text{ and }}\qquad F(\alpha \cdot g)=F(\alpha )*F(g)}$$

^{[37] [38] [39]}fórmula de suma de Poissonpeine de Dirac^[40]operadores de convoluciónoperadores de multiplicación.^{[41] [42]}Teorema de Paley-Wiener-Schwartzoperadores de convoluciónfunciones de banda limitadaoperadores de multiplicación ^[43] ${\displaystyle g\equiv \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}.}$ ${\displaystyle F({\mathcal {O}}'_{C})={\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle F({\mathcal {O}}_{M})={\mathcal {O}}'_{C}.}$ ${\displaystyle F({\mathcal {E}}')=\operatorname {PW} }$ ${\displaystyle F(\operatorname {PW} )={\mathcal {E}}'.}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {PW} \subseteq {\mathcal {O}}_{M}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {PW} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}.}$

Por ejemplo, sea el peine de Dirac y el delta de Dirac ; entonces es la función que es constantemente una y ambas ecuaciones producen la identidad del peine de Dirac . Otro ejemplo es dejar ser el peine de Dirac y ser la función rectangular ; entonces es la función sinc y ambas ecuaciones producen el teorema de muestreo clásico para funciones adecuadas. De manera más general, si es el peine de Dirac y es una función de ventana suave ( función de Schwartz ), por ejemplo, la gaussiana , entonces es otra función de ventana suave (función de Schwartz). Se les conoce como apaciguadores , especialmente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , o como regularizadores en física porque permiten convertir funciones generalizadas en funciones regulares . ${\displaystyle g\equiv \operatorname {\text{Ш}} \in {\mathcal {S}}'}$ ${\displaystyle f\equiv \delta \in {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle \alpha \equiv 1\in \operatorname {PW} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\equiv \operatorname {rect} \in {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle \alpha \equiv \operatorname {sinc} \in \operatorname {PW} }$ ${\displaystyle \operatorname {rect} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}\cap {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {S}}}$

Productos tensoriales de distribuciones.

Dejar y ser conjuntos abiertos. Suponga que todos los espacios vectoriales están sobre el campo donde o For define para todas y cada una de las siguientes funciones: ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle v\in V}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f_{u}:\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&f^{v}:\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&y&&\mapsto \,&&f(u,y)&&&&&&x&&\mapsto \,&&f(x,v)\\\end{alignedat}}}$$

Dadas y definidas las siguientes funciones: ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(V),}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\langle S,f^{\bullet }\rangle :\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&\langle T,f_{\bullet }\rangle :\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&v&&\mapsto \,&&\langle S,f^{v}\rangle &&&&&&u&&\mapsto \,&&\langle T,f_{u}\rangle \\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle \langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\,&&{\mathcal {D}}(U\times V)&\to \,&&{\mathcal {D}}(V)&&\quad {\text{ and }}\quad &&\,&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(U)\\&&f\ &\mapsto \,&&\langle S,f^{\bullet }\rangle &&&&&f\ &&\mapsto \,&&\langle T,f_{\bullet }\rangle \\\end{alignedat}}}$$

Además, si cualquiera de los dos (resp. ) tiene soporte compacto, entonces también induce un mapa lineal continuo de (resp. ). ^[44] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(V)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(U)}$

Teorema de Fubini para distribuciones ^[44] — Seaysientonces ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V).}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$

$${\displaystyle \langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$$

Elproducto tensorial dey ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V),}$denotado poroes la distribucióndefinida por:^[44] ${\displaystyle S\otimes T}$ ${\displaystyle T\otimes S,}$ ${\displaystyle U\times V}$

$${\displaystyle (S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$$

Espacios de distribuciones

Por todas y cada una de las siguientes inyecciones canónicas es continua y tiene una imagen (también llamada rango) que es un subconjunto denso de su codominio: ${\displaystyle 0<k<\infty }$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}C_{c}^{\infty }(U)&\to &C_{c}^{k}(U)&\to &C_{c}^{0}(U)&\to &L_{c}^{\infty }(U)&\to &L_{c}^{p}(U)&\to &L_{c}^{1}(U)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\C^{\infty }(U)&\to &C^{k}(U)&\to &C^{0}(U)\\{}\end{matrix}}}$$

^[45] ${\displaystyle L_{c}^{q}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$ ${\displaystyle L_{c}^{q}(K)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$

Supongamos que es uno de los espacios (for ) o (for ) o (for ). Debido a que la inyección canónica es una inyección continua cuya imagen es densa en el codominio, la transpuesta de este mapa es una inyección continua. Este mapa transpuesto inyectivo permite así identificar el espacio dual continuo de con un determinado subespacio vectorial del espacio de todas las distribuciones (en concreto, se identifica con la imagen de este mapa transpuesto). Este mapa de transposición es continuo pero no es necesariamente una incrustación topológica . Un subespacio lineal que lleva una topología localmente convexa que es más fina que la topología del subespacio inducida en él se llama espacio de distribuciones . ^[46] Casi todos los espacios de distribuciones mencionados en este artículo surgen de esta manera (por ejemplo, distribución templada, restricciones, distribuciones de orden algún número entero, distribuciones inducidas por una medida positiva de radón, distribuciones inducidas por una función -, etc. ) y cualquier teorema de representación sobre el espacio dual continuo de puede, a través de la transpuesta , transferirse directamente a elementos del espacio ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{X}:C_{c}^{\infty }(U)\to X}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right).}$

Medidas de radón

El mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transpuesta también es una inyección continua. ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{0}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$

Nótese que el espacio dual continuo puede identificarse como el espacio de medidas de Radón , donde existe una correspondencia uno a uno entre los funcionales lineales continuos e integrales con respecto a una medida de Radón; eso es, ${\displaystyle (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$ ${\displaystyle T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$

• si entonces existe una medida de radón en U tal que para todos y ${\displaystyle T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U),T(f)=\int _{U}f\,d\mu ,}$
• Si es una medida de radón en U , entonces la función lineal definida mediante el envío a es continua. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$ ${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U)}$ ${\textstyle \int _{U}f\,d\mu }$

Mediante la inyección cada medida de radón se convierte en una distribución en U. Si es una función localmente integrable en U , entonces la distribución es una medida de radón; por lo que las medidas de radón forman un amplio e importante espacio de distribuciones. ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle \phi \mapsto \int _{U}f(x)\phi (x)\,dx}$

El siguiente es el teorema de la estructura de distribuciones de medidas de radón , que muestra que cada medida de radón se puede escribir como una suma de derivadas de funciones locales en U : ${\displaystyle L^{\infty }}$

Teorema. ^[47]  -  Supongamosque es una medida de radón, dondeseauna vecindad del soporte dey seaExiste una familiadefunciones locales en U tal quepara todosy ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq n\}.}$ ${\displaystyle f=(f_{p})_{p\in I}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} f_{p}\subseteq V}$ ${\displaystyle p\in I,}$

$${\displaystyle T=\sum _{p\in I}\partial ^{p}f_{p}.}$$

Además, también es igual a una suma finita de derivadas de funciones continuas en donde cada derivada tiene orden ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \leq 2n.}$

Medidas positivas de radón

Una función lineal en un espacio de funciones se llama positiva si siempre que una función que pertenece al dominio de no es negativa (es decir, tiene valor real y ), entonces se puede demostrar que toda función lineal positiva en es necesariamente continua (es decir, es, necesariamente, una medida de radón). ^[48] ​​La medida de Lebesgue es un ejemplo de medida positiva de radón. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle T(f)\geq 0.}$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$

Funciones localmente integrables como distribuciones.

Una clase particularmente importante de medidas de radón son aquellas que son funciones inducidas localmente integrables. La función se llama localmente integrable si es integrable de Lebesgue en cada subconjunto compacto K de U. Esta es una gran clase de funciones que incluye todas las funciones continuas y todas las funciones espaciales Lp . La topología on se define de tal manera que cualquier función localmente integrable produce un funcional lineal continuo on – es decir, un elemento de – denotado aquí por cuyo valor en la función de prueba está dado por la integral de Lebesgue: ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T_{f},}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.}$$

Convencionalmente, se abusa de la notación identificándose con siempre que no pueda surgir confusión y, por lo tanto, el emparejamiento entre y a menudo se escribe ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .}$$

Si y son dos funciones localmente integrables, entonces las distribuciones asociadas y son iguales al mismo elemento de si y sólo si y son iguales en casi todas partes (ver, por ejemplo, Hörmander (1983, Teorema 1.2.5)). De manera similar, cada medida de radón define un elemento cuyo valor en la función de prueba es Como se indicó anteriormente, es convencional abusar de la notación y escribir el emparejamiento entre una medida de radón y una función de prueba como . A la inversa, como se muestra en un teorema de Schwartz (similar Según el teorema de representación de Riesz ), toda distribución que no sea negativa en funciones no negativas tiene esta forma para alguna medida de radón (positiva). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle T_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle \int \phi \,d\mu .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \langle \mu ,\phi \rangle .}$

Funciones de prueba como distribuciones.

Las funciones de prueba son en sí mismas integrables localmente y, por lo tanto, definen distribuciones. El espacio de funciones de prueba es secuencialmente denso con respecto a la topología fuerte en ^[49]. Esto significa que para cualquiera hay una secuencia de funciones de prueba, que converge (en su topología dual fuerte) cuando se considera como una secuencia de distribuciones. O equivalente, ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle (\phi _{i})_{i=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$

$${\displaystyle \langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ for all }}\psi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Distribuciones con soporte compacto

El mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que el mapa de transposición también es una inyección continua. Así, la imagen de la transpuesta, denotada por, forma un espacio de distribuciones. ^[13] ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U),}$

Los elementos de se pueden identificar como el espacio de distribuciones con soporte compacto. ^[13] Explícitamente, si es una distribución en U , entonces las siguientes son equivalentes, ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)=(C^{\infty }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle T\in {\mathcal {E}}'(U).}$
• El soporte de es compacto. ${\displaystyle T}$
• La restricción de cuándo ese espacio está equipado con la topología subespacial heredada (una topología más burda que la topología LF canónica) es continua. ^[13] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$
• Existe un subconjunto compacto K de U tal que para cada función de prueba cuyo soporte está completamente fuera de K , tenemos ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle T(\phi )=0.}$

Las distribuciones con soporte compacto definen funcionales lineales continuas en el espacio ; Recuerde que la topología de se define de manera que una secuencia de funciones de prueba converge a 0 si y sólo si todas las derivadas de convergen uniformemente a 0 en cada subconjunto compacto de U. Por el contrario, se puede demostrar que cada funcional lineal continua en este espacio define una distribución de soporte compacto. Por lo tanto, las distribuciones con soporte compacto se pueden identificar con aquellas distribuciones que se pueden extender de a ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

Distribuciones de orden finito

Dejemos que el mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transpuesta también es una inyección continua. En consecuencia, la imagen de denotada por forma un espacio de distribuciones. Los elementos de son las distribuciones de orden ^[16] Las distribuciones de orden que también se llaman distribuciones de orden 0 son exactamente las distribuciones que son medidas de radón (descritas anteriormente). ${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{k}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)}$ ${\displaystyle \,\leq k.}$ ${\displaystyle \,\leq 0,}$

Para una distribución de orden k es una distribución de orden que no es una distribución de orden . ^[dieciséis] ${\displaystyle 0\neq k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \,\leq k}$ ${\displaystyle \,\leq k-1}$

Se dice que una distribución es de orden finito si hay algún número entero tal que sea una distribución de orden y el conjunto de distribuciones de orden finito se denota por. Tenga en cuenta que si es así , entonces es un subespacio vectorial de , y además, si y sólo si ^[16] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \,\leq k,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U).}$ ${\displaystyle k\leq l}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U):=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\mathcal {D}}'^{n}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}'(U).}$

Estructura de distribuciones de orden finito.

Toda distribución con soporte compacto en U es una distribución de orden finito. ^[16] De hecho, toda distribución en U es localmente una distribución de orden finito, en el siguiente sentido: ^[16] Si V es un subconjunto abierto y relativamente compacto de U y si es el mapeo de restricción de U a V , entonces la imagen de debajo está contenido en ${\displaystyle \rho _{VU}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \rho _{VU}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(V).}$

El siguiente es el teorema de la estructura de distribuciones de orden finito, que muestra que toda distribución de orden finito se puede escribir como una suma de derivadas de medidas de radón :

Teorema ^[16]  -  Supongamos que tiene orden finito y Dado cualquier subconjunto abierto V de U que contenga el soporte de hay una familia de medidas de radón en U , tal que para muy y ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle (\mu _{p})_{p\in I},}$ ${\displaystyle p\in I,\operatorname {supp} (\mu _{p})\subseteq V}$

$${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}.}$$

Ejemplo. (Distribuciones de orden infinito) Sea y para cada función de prueba sea ${\displaystyle U:=(0,\infty )}$ ${\displaystyle f,}$

$${\displaystyle Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).}$$

Entonces es una distribución de orden infinito en U. Además, no se puede extender a una distribución en ; es decir, no existe ninguna distribución tal que la restricción de a U sea igual a ^[50] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S.}$

Distribuciones templadas y transformada de Fourier.

A continuación se definen las distribuciones templadas , que forman un subespacio del espacio de distribuciones en Este es un subespacio propio: mientras que cada distribución templada es una distribución y un elemento de lo contrario no es cierto. Las distribuciones templadas son útiles si se estudia la transformada de Fourier , ya que todas las distribuciones templadas tienen una transformada de Fourier, lo que no es cierto para una distribución arbitraria en ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}).}$

espacio de schwartz

El espacio de Schwartz es el espacio de todas las funciones suaves que disminuyen rápidamente en el infinito junto con todas las derivadas parciales. Por lo tanto , en el espacio de Schwartz, cualquier derivada de multiplicada por cualquier potencia de converge a 0, ya que estas funciones forman un TVS completo con una familia de seminormas adecuadamente definida . Más precisamente, para cualquier índice múltiple y definir ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi ,}$ ${\displaystyle |x|,}$ ${\displaystyle |x|\to \infty .}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.}$$

Entonces está en el espacio de Schwartz si todos los valores satisfacen ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )<\infty .}$$

La familia de seminormas define una topología localmente convexa en el espacio de Schwartz. Porque las seminormas son, de hecho, normas en el espacio de Schwartz. También se puede utilizar la siguiente familia de seminormas para definir la topología: ^[51] ${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }}$ ${\displaystyle n=1,}$

$${\displaystyle |f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1+|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N} .}$$

De lo contrario, se puede definir una norma a través de ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

$${\displaystyle \|\phi \|_{k}=\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.}$$

El espacio de Schwartz es un espacio de Fréchet (es decir, un espacio localmente convexo metrizable completo ). Debido a que la transformada de Fourier cambia a multiplicación por y viceversa, esta simetría implica que la transformada de Fourier de una función de Schwartz también es una función de Schwartz. ${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$ ${\displaystyle x^{\alpha }}$

Una secuencia en converge a 0 en si y solo si las funciones convergen a 0 uniformemente en todo lo que implica que dicha secuencia debe converger a cero en ^[51] ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle (1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$es denso en El subconjunto de todas las funciones analíticas de Schwartz también es denso . ^[52] ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

El espacio de Schwartz es nuclear y el producto tensorial de dos mapas induce isomorfismos TVS sobreyectivos canónicos.

$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m+n}),}$$

producto tensorial inyectivoproducto tensorial proyectivo^[53] ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$

Distribuciones templadas

El mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transpuesta también es una inyección continua. Así, la imagen del mapa transpuesto, denotada por, forma un espacio de distribuciones. ${\displaystyle \operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$

El espacio se denomina espacio de distribuciones templadas . Es el espacio dual continuo del espacio de Schwartz. De manera equivalente, una distribución es una distribución moderada si y sólo si ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \left({\text{ for all }}\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}:\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi _{m})=0\right)\Longrightarrow \lim _{m\to \infty }T(\phi _{m})=0.}$$

La derivada de una distribución templada es nuevamente una distribución templada. Las distribuciones templadas generalizan las funciones localmente integrables acotadas (o de crecimiento lento); todas las distribuciones con soporte compacto y todas las funciones integrables en cuadro son distribuciones templadas. De manera más general, todas las funciones que son productos de polinomios con elementos del espacio Lp son distribuciones templadas. ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

Las distribuciones templadas también se pueden caracterizar como de crecimiento lento , lo que significa que cada derivada de crece como máximo tan rápido como algún polinomio . Esta caracterización es dual al comportamiento de caída rápida de las derivadas de una función en el espacio de Schwartz, donde cada derivada de decae más rápido que cada potencia inversa de Un ejemplo de función de caída rápida es para cualquier positivo ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |x|.}$ ${\displaystyle |x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })}$ ${\displaystyle n,\lambda ,\beta .}$

Transformada de Fourier

Para estudiar la transformada de Fourier, es mejor considerar funciones de prueba de valores complejos y distribuciones lineales complejas. La transformada de Fourier continua ordinaria es un automorfismo TVS del espacio de Schwartz, y la transformada de Fourier se define como su transpuesta que (abusando de la notación) se denotará nuevamente por Por lo tanto, la transformada de Fourier de la distribución templada se define por para cada función de Schwartz De nuevo se trata de una distribución moderada. La transformada de Fourier es un isomorfismo TVS del espacio de distribuciones templadas sobre sí mismo. Esta operación es compatible con la diferenciación en el sentido de que ${\displaystyle F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{t}F:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (FT)(\psi )=T(F\psi )}$ ${\displaystyle \psi .}$ ${\displaystyle FT}$

$${\displaystyle F{\dfrac {dT}{dx}}=ixFT}$$

que aumenta lentamente ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \psi T}$

$${\displaystyle F(\psi T)=F\psi *FT}$$

${\displaystyle FT}$ ${\displaystyle F\psi .}$ ${\displaystyle \delta }$

Expresar distribuciones templadas como sumas de derivadas.

Si es una distribución templada, entonces existen números enteros constantes y positivos tales que para todas las funciones de Schwartz ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C>0,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

$${\displaystyle \langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\phi ).}$$

Esta estimación, junto con algunas técnicas del análisis funcional , se puede utilizar para mostrar que existe una función continua que aumenta lentamente y un índice múltiple tal que ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F.}$$

Restricción de distribuciones a conjuntos compactos

Si entonces, para cualquier conjunto compacto existe una función continua soportada de forma compacta (posiblemente en un conjunto más grande que el propio K ) y un índice múltiple tal que en ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(K).}$

Usar funciones holomorfas como funciones de prueba

El éxito de la teoría llevó a una investigación de la idea de hiperfunción , en la que espacios de funciones holomorfas se utilizan como funciones de prueba. Se ha desarrollado una teoría refinada, en particular el análisis algebraico de Mikio Sato , utilizando la teoría de la gavilla y varias variables complejas . Esto amplía la gama de métodos simbólicos que pueden convertirse en matemáticas rigurosas, por ejemplo, las integrales de Feynman .

Ver también

• Valor principal de Cauchy  : método para asignar valores a ciertas integrales impropias que de otro modo no estarían definidas
• Triple de Gelfand  : construcción que vincula el estudio de valores propios "ligados" y continuos en el análisis funcionalPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio Gelfand-Shilov
• Función generalizada  : objetos que amplían la noción de funciones.
• Transformada de Hilbert  : transformada integral y operador lineal
• Distribución homogénea
• Laplaciano del indicador  – Límite de secuencia de funciones suaves
• Límite de distribuciones
• Mollifier  – más específicamentePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Topología vaga

Ecuaciones diferenciales relacionadas

• Solución fundamental  – Concepto en la solución de ecuaciones diferenciales parciales lineales
• Operador pseudodiferencial  – Tipo de operador diferencial
• Solución débil  – Solución matemática

Generalizaciones de distribuciones.

• Álgebra de Colombeau  : álgebra diferencial asociativa conmutativa de funciones generalizadas en la que las funciones suaves (pero no las continuas arbitrarias) se integran como una subálgebra y las distribuciones se integran como un subespacio.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Actual (matemáticas)  – Distribuciones en espacios de formas diferenciales
• Distribución (teoría de números)  : función en conjuntos finitos que es análoga a una integralPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Distribución en un grupo algebraico lineal  : función lineal que satisface una condición de soporte
• Función de Green  : respuesta al impulso de un operador diferencial lineal no homogéneo
• Hiperfunción  : tipo de función generalizada
• Teorema de Malgrange-Ehrenpreis

Notas

1. Tenga en cuenta que ser un número entero implica que esto a veces se expresa como Dado que la desigualdad " " significa: si mientras si entonces significa ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\neq \infty .}$ ${\displaystyle 0\leq i<k+1.}$ ${\displaystyle \infty +1=\infty ,}$ ${\displaystyle 0\leq i<k+1}$ ${\displaystyle 0\leq i<\infty }$ ${\displaystyle k=\infty ,}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k.}$
2. La imagen del conjunto compacto bajo un mapa de valores continuos (por ejemplo, para ) es en sí misma un subconjunto compacto y, por lo tanto, acotado de If , ​​entonces esto implica que cada una de las funciones definidas anteriormente tiene valores (es decir, ninguna de los supremos anteriores son siempre iguales a ). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \left|\partial ^{p}f(x)\right|}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle K\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \infty }$
3. Exactamente como ocurre con el espacio, se define como el subespacio vectorial que consta de mapas con soporte contenido en dotados de la topología del subespacio del que hereda . ${\displaystyle C^{k}(K;U),}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U')}$ ${\displaystyle C^{k}(U')}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C^{k}(U')}$
4. Aunque la topología de no es metrizable, una funcional lineal es continua si y solo si es secuencialmente continua. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$
5. Una secuencia nula es una secuencia que converge al origen.
6. Si también se refiere a la comparación de funciones habitual, entonces podemos considerar que la colección finita consta de un solo elemento. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$
7. El teorema de extensión para asignaciones definidas desde un subespacio S de un espacio vectorial topológico E al propio espacio topológico E también funciona para asignaciones no lineales, siempre que se suponga que son uniformemente continuas . Pero, desafortunadamente, este no es nuestro caso, desearíamos “extender” una aplicación lineal continua A desde un tvs E a otro tvs F, para obtener una aplicación lineal continua desde el dual E' al dual F' ( tenga en cuenta el orden de los espacios). En general, esto ni siquiera es un problema de extensión, porque (en general) E no es necesariamente un subconjunto de su propio dual E'. Además, no es un problema de transposición topológica clásico, porque la transposición de A va de F' a E' y no de E' a F'. Nuestro caso necesita, de hecho, un nuevo orden de ideas, que involucre las propiedades topológicas específicas de los espacios de Laurent Schwartz D(U) y D'(U), junto con el concepto fundamental de adjunto débil (o de Schwartz) del operador lineal continuo. A.
8. Por ejemplo, sea y tome como la derivada ordinaria de funciones de una variable real y suponga que el soporte de está contenido en el intervalo finito, entonces ya que ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (a,b),}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\phi )\subseteq (a,b)}$
   $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} }\phi '(x)f(x)\,dx&=\int _{a}^{b}\phi '(x)f(x)\,dx\\&=\phi (x)f(x){\big \vert }_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=\phi (b)f(b)-\phi (a)f(a)-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\end{aligned}}}$$
   donde está la última igualdad porque ${\displaystyle \phi (a)=\phi (b)=0.}$

Referencias

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27. Véase, por ejemplo, Hörmander 1983, Teorema 6.1.1.
28. Véase Hörmander 1983, Teorema 6.1.2.
29. Trèves 2006, págs. 278–283.
30. Trèves 2006, págs. 284-297.
31. Véase, por ejemplo, Rudin 1991, §6.29.
32. Trèves 2006, Capítulo 27.
33. Hörmander 1983, §IV.2 demuestra la singularidad de tal extensión.
34. Véase, por ejemplo, Gel'fand & Shilov 1966–1968, v. 1, págs. 103–104 y Benedetto 1997, Definición 2.5.8.
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• Strichartz, R. (1994), Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Woodward, PM (1953). Probabilidad y Teoría de la Información con Aplicaciones al Radar . Oxford, Reino Unido: Pergamon Press.

Otras lecturas

• MJ Lighthill (1959). Introducción al Análisis de Fourier y Funciones Generalizadas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-09128-4 (requiere muy poco conocimiento de análisis; define distribuciones como límites de secuencias de funciones bajo integrales) 
• VS Vladimirov (2002). Métodos de la teoría de funciones generalizadas . Taylor y Francisco. ISBN 0-415-27356-0 
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Función generalizada", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Funciones generalizadas, espacio de", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Función generalizada, derivada de a", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Funciones generalizadas, producto de", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Oberguggenberger, Michael (2001) [1994], "Álgebras de funciones generalizadas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.